基于改进集的带约束集值向量均衡问题的 最优性条件 ∗

陈 望, 周志昂

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)

(我刊编委杨新民推荐)

摘要 ： 在局部凸空间中，研究了带约束集值向量均衡问题的最优性条件 ． 首先，利用改进集引进了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解和 E -超有效解的概念 ． 其次，在邻近 E -次似凸的假设下，建立了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 ． 最后，在邻近 E -次似凸的假设下，建立了带约束集值向量均衡问题的 E -超有效解的必要性条件 ．

关 键 词 ： 改进集； 邻近 E -次似凸； E -Henig真有效解； E -超有效解； 最优性条件

引 言

本文中，假设 X 为线性空间， Y 和 Z 为局部凸空间 ． 设 A ⊂ X 非空， F : A × A → Y 为向量值函数 ． 向量均衡问题(VEP)的一般模型为：找出 x ∈ A ，使得

F ( x , y )∉- B , ∀ y ∈ A ,

其中， B ∪0为 Y 中的点凸锥 ． 针对VEP，一些学者给出了不同形式的解，如：有效解、弱有效解、超有效解、Benson 真有效解、Henig真有效解、全局真有效解、 f -有效解等(见文献[1-8]) ． 龚循华和乐华明 [1] 及Capătă [2] 分别研究了VEP的有效解和强解及真有效解的存在性 ． Gong [3] 及Long和Peng [4] 分别研究了VEP真有效解集和弱有效解集的连通性 ． 在锥凸与锥似凸的假设下，Gong(龚循华)等 [5-6] 建立了带约束的VEP的不同类型解的最优性条件 ． 在广义锥次似凸的假设下，Qiu [7] 获得了带约束的VEP的全局真有效解的充分必要条件，改善了文献[5]的相关结果 ． 在赋范空间中，Ma和Gong [8] 建立了基于切上导数和径向上导数的VEP的弱有效解、全局真有效解和Henig真有效解的最优性条件 ． 另一方面，向量优化问题作为向量均衡问题的特例，一些学者 [9-12] 利用改进集对向量优化问题的解的统一性进行了研究 ． 最近，Chen等 [13] 给出了基于改进集的向量均衡问题的 E -有效解、 E -弱有效解和 E -Benson真有效解的概念，并且研究了其线性标量化 ． 在邻近 E -次似凸的假设下，宋宁宁和仇秋生 [14] 获得了带约束向量均衡问题的 E -有效解和 E -弱有效解的最优性条件 ． 文献[13]提出了一个有趣的问题： 如何利用改进集引进向量均衡问题的全局真有效解、 Henig真有效解和超有效解， 进而研究其标量化结果 ．

受上述文献启发，在局部凸空间中，研究了带约束集值向量均衡问题(简写为CSVEP)的真有效解的最优性条件 ． 首先，利用改进集给出了CSVEP的 E -超有效解与 E -Henig真有效解的概念，并讨论了它们之间的关系 ． 其次，在邻近 E -次似凸的假设下，建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 ． 最后，在邻近 E -次似凸的假设下，建立了CSVEP的 E -超有效解的必要性条件 ．

1 预 备 知 识

本文中， Y * 和 Z * 分别表示 Y 和 Z 的拓扑对偶空间，0表示每个空间的零元 ． 设 K 是 X 中的非空子集， K 的拓扑内部和闭包分别记为int K 与cl K ， K 的锥包定义为

cone K tk | t ≥0, k ∈ K ．

设 C ⊂ Y ， D ⊂ Z 分别为点凸锥，int C ≠∅，int D ≠∅ ． 记

C * φ ∈ Y * | φ ( y )≥0,∀ y ∈ C ,

C # φ ∈ Y * | φ ( y )>0,∀ y ∈ C\ 0 ．

N(0)⊂ Y 为所有凸零邻域构成的集合 ． 非空凸子集 Θ ⊂ Y 称为 C 的基， 若 C =cone Θ ， 0∉cl Θ ． 记 Θ st φ ∈ Y * |∃ t >0使得 φ ( θ )≥ t ,∀ θ ∈ Θ ． 既然0∉cl Θ ，因此存在 φ ∈ Y * \ 0，使得 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ > φ (0)=0 ． 记 V Θ x ∈ Y || φ ( x )|< r /2 ． 显然，对任意满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)， C U ( Θ ) cone( Θ + U )是点凸锥 ．

设 Q 为 Y 中的非空子集， Q 在 y ∈ Q 的支撑泛函定义为

σ Q ( φ )=sup y ∈ Q φ ( y ), ∀ φ ∈ Y * ．

引理1 [15] 设 φ ∈ Y * \ 0，则 φ ∈ Θ st 当且仅当存在 U ∈N(0)，使得

φ ( u - θ )≤0, ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ ．

引理2 [16] 对任意的满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，( C U ( Θ )) * \ 0⊂ Θ st ； 对任意 φ ∈ Θ st ，存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0 ．

定义1 [17] 设 E ⊂ Y 为任意的非空子集 ． E 称为关于 C 的改进集，如果0∉ E ， E + C = E ． 记T Y 为 Y 中所有改进集构成的集合 ．

定义2 [9] 设 E ∈T Y ， F : A Y 是一集值映射 ． 称 F 在 A 上是邻近 E -次似凸， 如果cl cone( F ( A )+ E )是凸集 ．

注1 文献[9]指出当int C ⊂ E ⊂ C\ 0， C 是 Y 中的闭点凸锥时，邻近 C -次似凸映射和邻近 E -次似凸映射一致 ．

定义3 [18] x ∈ A 称为VEP的 C -超有效解，如果对任意的 V ∈N(0)，存在 U ∈N(0)，使得

cone( F ( x , A )+ C )∩( U - C )⊂ V ．

定义4 [18] x ∈ A 称为VEP的 C -Henig真有效解，如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得

cone( F ( x , A )+ C )∩( U - Θ )=∅ ．

下面将引进一类新的均衡问题，并利用改进集给出其 E -超有效解和 E -Henig真有效解的概念 ． 本文总假设 E ∈T Y ． 设 A ⊂ X 非空， F : A × A Y 和 G : A Z 为集值映射 ． 考虑CSVEP：找出 x ∈ S ，使得

F ( x , y )∩(- B )=∅, ∀ y ∈ S ,

其中， B ∪0为 Y 中的点凸锥， S x ∈ A | G ( x )∩- D ≠∅ ．

记

μ ( F ( x , y ))= μ ( a )| a ∈ F ( x , y ),

下面给出CSVEP的 C -超有效解与 E -超有效解的概念 ．

定义5 x ∈ S 称为CSVEP的 C -超有效解， 如果对任意的 V ∈N(0)， 存在 U ∈N(0)， 使得

cl cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V , ∀ y ∈ S ．

注2 由文献[11]中的注2.3与文献[19]的定义2.2知： x ∈ S 称为CSVEP的 C -超有效解，如果对任意的 V ∈N(0)，存在 U ∈N(0)，使得cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V ，∀ y ∈ S ． 因此，当 F 为向量值映射，CSVEP无约束时，定义5与定义3一致 ．

定义6 x ∈ S 称为CSVEP的 E -超有效解， 如果对任意的 V ∈N(0)， 存在 U ∈N(0)， 使得

cl cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V , ∀ y ∈ S ．

记CSVEP的全体 E -超有效解为 易知，

⟺ cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - C )⊂ V ．

注3 当 E = C\ 0时，定义6就退化为定义5 ． 然而，下面的例子表明定义6不蕴含定义5，因此，定义6是定义5的真推广 ．

例1 设 X = Y = Z = R 2 ， A =[0,1]×[0,1]， C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 ≥0, c 2 ≤0， D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≥0， E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 ≥0.5, e 2 ≤-0.5 ． 对任意的 x =( x 1 , x 2 )， y =( y 1 , y 2 )∈ A ，集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 ]×[0, x 2 + y 1 ],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[- x 2 ,0] ．

显然， E ∈T Y 且可行集 S = A ． 取 对任意的 V ∈N(0)，存在 使得

⊂ V ,

其中， r 是任意充分小的正实数 ． 因此， 是CSVEP的 E -超有效解 ． 然而，存在 对任意的 U ∈N(0)，使得 V ′，这表明 不是CSVEP的 C -超有效解 ．

注 当且仅当对任意的 V ∈N(0)，存在 U ∈N(0)，使得cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V ，∀ y ∈ S ．

下面给出CSVEP的Henig真有效解， C -Henig真有效解和 E -Henig真有效解 ．

定义7 x ∈ S 称为CSVEP的Henig真有效解，如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)， 使得

cl cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅ ．

记CSVEP的全体Henig真有效解为 V He ( F , S ) ．

注5 由文献[20]的引理1知，CSVEP的Henig真有效解又可以表述为：存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅ ． 因此，当 F 为向量值映射，CSVEP无约束时，定义7与定义4一致 ．

定义8 x ∈ S 称为CSVEP的 C -Henig真有效解， 如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)， 使得

cl cone( F ( x , S )+ C )∩( U - Θ )=∅ ．

记CSVEP的全体 C -Henig真有效解为

类似于文献[18]的命题3，有如下命题 ．

命题1 设 Θ 是 C 的基，则

定义9 x ∈ S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解， 如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)， 使得

cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅ ．

将CSVEP的全体 E -Henig真有效解记为

注6 当 E = C\ 0时，定义9就退化为定义8 ． 然而，下面的例子表明定义9不蕴含定义8，因此，定义9是定义8的真推广 ．

例2 设 对任意的 x , y ∈ A ，集值映射 F : A × A Y 定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x |,| y |]×[ y ,0],

并且设可行集 S A ． 显然， E ∈T Y ． 取 则 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ =1， V Θ = z ∈ Y | | φ ( z )|<1/2 ． 容易验证， 对任意满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)， cl ∅ ． 因此， ∉ 另一方面，对上述的 V Θ ，存在满足 U ⊂ V Θ 的 使得cl ∅ ． 因此，

注 当且仅当存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得

cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅ ．

命题2 如果 C 有基 Θ ，则 ⊂

证明 由于 Θ 是 C 的基，则存在 V ∈N(0)，使得

(- Θ )∩2 V =∅ ．

(1)

假设 则对上述 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0)，使得

⊂ V ．

由于 Y 是局部凸空间，可以要求上述 U ⊂ V ∩ V Θ ． 由式(1)得，( U - Θ )∩ V =∅ ． 注意 ⊂( U - Θ )∩ V ． 因此

∅ ．

□

注8 下面的例子表明 ⊂ 不成立 ．

例 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ，集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x 1 |,| y 1 |]×[- y 2 ,0],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[-| x 1 |,0]×0 ．

显然， E ∈T Y ，可行集 S = A ， Θ 是 C 的基 ． 取 容易验证， 存在 对任意的 U ∈N(0)， 使得 V ′ ． 因此， ∉ 另一方面，取 φ =(1/3,1)∈ Y * \ 0，则 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ =2/3， V Θ = z ∈ Y | | φ ( z )|<1/3 ． 从而存在满足 U ⊂ V Θ 的 使得 ∅ ． 因此，

注9 在赋范空间中，文献[21]提出了严有效点的概念并获得了其等价描述(见文献[21]的定义1) ． 对于Henig真有效点，Zheng [19] 将这种概念推广到了局部凸空间(见文献[19]的定义2.1) ． 而文献[19]的定理1指出在局部凸空间中严有效点实质上就是Henig真有效点 ． 此外，文献[22]给出了Henig真有效点的几种等价性刻画 ． 鉴于此，由文献[22]中定理3.1和文献[20]中定理1可以获得CSVEP的 E -Henig真有效解的另一种等价刻画，即： x ∈ S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解，如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得( F ( x , S )+ E )∩(-int C V ( Θ ))=∅ ．

2 最优性条件

定理1 假设以下条件成立：

有基 Θ ；

存在 x 0 ∈ S ，使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅；

在 A 上是邻近( E × D )-次似凸 ．

则 当且仅当存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ，使得

(2)

证明 “必要性”

设 则存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0)，使得

∅ ．

(3)

令 ∀ y ∈ A ． 我们断言

(cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅ ．

(4)

若不然，则存在 使得

(5)

和

(6)

由 D 是点凸锥知， D +int D ⊂int D ⊂ D ． 再由式(6)知， z * ∈- D ，从而 由式(5)知，

∅,

这与式(3)矛盾 ． 因此，式(4)成立 ．

因为 U - Θ 与int D 是开集，所以由式(4)知

(cl cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅ ．

(7)

由条件 和定义2知，cl cone( H ( A )+ E × D )是凸集 ． 由凸集分离定理知：存在( φ , ψ )∈ Y * × Z * \ (0,0)，使得

( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))> φ ( U - Θ )+ ψ (-int D ) ．

(8)

由cl cone( H ( A )+ E × D )为凸锥及式(8)可得，( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))≥0 ． 显然，( φ , ψ )( H ( A )+ E × D )≥0 ． 又因为0∈ D ，所以

φ ( α 1 + e )+ ψ ( α 2 )≥0,

∀ y ∈ A , ∀ ∀ α 2 ∈ G ( y ), ∀ e ∈ E ．

(9)

因此

下证 φ ∈ Θ st 且 ψ ∈ D * ．

首先证 ψ ∈ D * ． 由(0,0)∈cl cone( H ( A )+ E × D )和式(8)，有

φ ( U - Θ )+ ψ (-int D )<0 ．

(10)

由式(10)，可得

ψ ( td )> φ ( u - θ ), ∀ t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ ,

(11)

因此

∀ t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ ．

(12)

在式(12)中，令 t →∞，得

ψ ( d )≥0, ∀ d ∈int D ．

(13)

由 D 是凸锥且int D ≠∅，所以 D ⊂cl D =cl(int D ) ． 因此，由式(13) 可知 ψ ∈ D * ．

现证 φ ∈ Θ st ． 在式(11)中，令 t →0，得

φ ( u - θ )≤0, ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ ．

(14)

由式(14)和引理1知， φ ∈ Θ st ．

“充分性”

设 ∉ 由注9知，对任意满足 U ⊂ C U ( Θ ) 的 U ∈N(0)，使得 ∅，即存在 y U ∈ S ，使得

∅ ．

(15)

既然 φ ∈ Θ st ，由引理2，对上述 U ，使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0 ． 由式(15)知，存在 使得 和 a + e ∈-int C U ( Θ ) ． 又因为 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0，所以 φ ( a + e )<0，即

(16)

由 y U ∈ S 与 ψ ∈ D * ，存在 z ∈ G ( y U )∩(- D )，使得

ψ ( z )≤0 ．

(17)

由式(16)和式(17)可得 φ ( a )+ ψ ( z )< σ - E ( φ )，与式(2)矛盾 ． 故

□

定理2 假设以下条件成立：

有基 Θ ；

存在 x 0 ∈ S ，使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅；

在 A 上是邻近( E × D )-次似凸 ．

如果 则存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ，使得

证明 由命题2和定理1的必要性易证 ．

□

下面通过例子验证定理2 ．

例4 在例1中， 令 Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 - θ 2 =1, θ 1 ≥0, θ 2 ≤0， 则知 定理2的条件 ～ 成立 ． 取 φ =(1,-1)∈ Θ st ， ψ =(-2,1)∈ D * ． 经计算可知

注10 如果定理2的条件 ～ 成立，存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ，使得

则不能得到 是CSVEP的 E -超有效解 ． 下面通过例子说明此情形 ．

例5 设 X = Y = Z = R 2 ， A =[0,1]×[-1,0]， C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 >0, c 2 ∈ R ∪(0,0)， D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≤0， Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 =1, θ 2 ∈ R ， E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 >0.5, e 2 ∈ R ∪(0.5,0) ． 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ，集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 + y 1 ]×[ x 2 ,0],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[0,| x 2 |+1] ．

显然， E ∈T Y ，可行集 S = A ，定理2的所有条件成立 ． 取 通过直接计算可得

因此，式(2)成立 ． 然而，存在 对任意的 U ∈N(0)，使得 V ′ ． 因此， ∉

3 结 论

本文研究了CSVEP的最优性条件 ． 首先，利用改进集引进了CSVEP的 E -超有效解和 E -Henig真有效解，并讨论了它们之间的关系 ． 其次，在邻近 E -次似凸的假设下，分别建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件和 E -超有效解的必要性条件 ． 最后，给出了例子进行说明我们获得的结果 ． 如何进一步研究基于改进集的CSVEP的解集的连通性是值得进一步研究的课题 ．

致谢 本文作者衷心感谢重庆理工大学研究生创新项目(ycx2018256)对本文的资助 ．

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Optimality Conditions for Set-Valued Vector Equilibrium Problems With Constraints Involving Improvement Sets

CHEN Wang, ZHOU Zhiang

( School of Sciences , Chongqing University of Technology , Chongqing 400054, P . R . China )

(Recommended by YANG Xinmin, M. AMM Editorial Board)

Abstract: The optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints were investigated in locally convex spaces. Firstly, the concepts of the E -Henig properly efficient solution and the E -super efficient solution to the set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets were introduced. Secondly, under the assumption of the nearly E -subconvexlikeness, the sufficient and necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were established in the sense of the E -Henig proper efficiency. Finally, based on the nearly E -subconvexlikeness, the necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were obtained in the sense of the E -super efficiency.

Key words: improvement set; nearly E -subconvexlikeness; E -Henig properly efficient solution; E -super efficient solution; optimality condition

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11431004；11471291)

ⓒ 应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887

文章编号 ： 1000-0887(2018)10-1189-09

作者简介： 陈望(1994—)，男，硕士生(E-mail: wf835518304@163.com)；周志昂(1972—)，男，教授，博士(通讯作者. E-mail: zhi_ang@163.com).

基金项目： 国家自然科学基金(11431004；11471291)；重庆市前沿与应用基础研究计划项目(cstc2015jcyjA00050；cstc2017jcyjBX0055；cstc2015jcyjBX0113)

修订日期： 2018-04-09

∗ 收稿日期： 2018-04-02；

DOI: 10.21656/1000-0887.390104

文献标志码： A

中图分类号 ： O221.6

引用本文 / Cite this paper: 陈望, 周志昂. 基于改进集的带约束集值向量均衡问题的最优性条件[J]. 应用数学和力学, 2018, 39 (10): 1189-1197.CHEN Wang, ZHOU Zhiang. Optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets[J]. Applied Mathematics and Mechanics , 2018, 39 (10): 1189-1197.