含参广义向量均衡问题近似解集的连通性

巨兴兴 1 , 陈加伟 1 , 张俊容 1 , 李高西 2

(1. 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715; 2. 重庆工商大学 数学与统计学院, 重庆 400067)

摘要 主要研究了含参广义向量均衡问题的几类近似解 C -次似凸性的条件下, 建立了该类含参广义向量均衡问题 ε -弱近似解的标量化特征, 并得到该类含参广义向量均衡问题两类近似解集的连通性 通过举例说明了所得结果的正确性

广义向量均衡问题; 近似解; 连通性

引 言

向量均衡问题作为均衡问题的推广, 为向量优化问题、鞍点问题、向量互补问题和向量变分不等式等问题的研究提供了统一框架 研究向量均衡问题最重要的问题之一是研究解的性质, 如解的存在性、 连续性、 适定性、 连通性、稳定性等 在这些性质当中, 连通性被学者们广泛研究 [1-4] Peng等 [5] 通过标量化方法, 在适当的条件下, 得到了含参弱向量均衡问题近似解映射下半连续性的充分性条件 Chen等 [3] 提出了 ε -弱有效解和 ε -有效解的概念, 并且研究了向量均衡问题近似解集的连通性 Li等 [6] 通过标量化方法, 研究了含参向量均衡问题近似解映射的Berge上、下半连续性 Han等 [4] 研究了广义向量均衡问题近似解集的连通性以及含参广义向量均衡问题近似解映射的上、下半连续性 Wang等 [7] 在不包含任何解映射的条件下, 通过标量化方法, 研究了一类广义含参向量均衡问题解映射的下半连续性 Sadeqi等 [8] 通过使用标量化方法, 在不使用映射有界的条件下, 研究了向量均衡问题解集的紧性和凸性, 并且研究了含参均衡问题近似解映射的Lipschitz连续性 韩瑜等 [9] 在不需要映射的单调性和解映射信息的条件下, 讨论了一类含参广义向量均衡问题有效解映射的下半连续性和Hausdorff上半连续性 受以上文献的启发, 本文主要研究在不需要假设映射的单调和紧性条件下, 借助函数的 C -次似凸性, 建立了该类含参广义向量均衡问题 ε -弱近似解的标量化特征, 并借助这个标量化结果研究了含参广义向量均衡问题近似解集的连通性

1 预 备 知 识

在本文中, X , Y Z 是三个赋范空间 假设 C Y 的一个闭凸点锥, 并且int C ≠∅ Y * Y 的对偶空间, C 的对偶锥 C * 定义为 C * = f Y * : f ( y )≥0,∀ y C ,并且定义 C * 的拟内部为 C # = f Y * : f ( y )>0,∀ y C\ 0 D Y 的子集, 记 D 的闭包为cl( D ), D 的内部为int D 凸锥 C 的非空凸子集 B 称为 C 的一个基, 若 C =cone( B )且0∉cl( B ) 容易得到, C # ≠∅,当且仅当 C 具有基 [2] ω ∈int C , 令 B * = f C * : f ( ω )=1, B # = f C # : f ( ω )=1 B * C * 的弱*紧基, B # C # 的基且关于弱*拓扑有 B * =cl( B # ) [10]

A X 的非空闭凸子集, F : A × A →2 Z 是集值映射 Sadeqi等 [8] 考虑了如下形式的广义向量均衡问题:

x A ,使得

F ( x , y )∩(-int C )=∅, ∀ y A

(1)

由于在实际问题中, 得到问题(1)的精确解并不容易 正因为如此, 许多学者考虑问题(1)的近似问题: 设 ε >0, f B * \ 0,找 x A ,使得

( F ( x , y )+ εω )∩(-int C )=∅, ∀ y A ;

x A ,使得

f ( F ( x , y ))+ ε R + , ∀ y A

A X 的非空闭凸子集, u M , M Z 并且 F : A × A × M →2 Z 是集值映射 Li等 [6] 考虑了如下形式的含参向量均衡问题:找 x A ,使得

F ( x , y , u )∉-int C , ∀ y A

(2)

类似地, 问题(2)的近似问题是: 设 ε >0, f B * \ 0,找 x A ,使得

F ( x , y , u )+ εω ∉-int C , ∀ y A

x A ,使得

f ( F ( x , y , u ))+ ε R + , ∀ y A

当集合 A 与映射 F 被参数 λ 扰动时,其中 λ Λ Y ,考虑如下含参广义向量均衡问题:找 x A ( λ ),使得

F ( x , y , λ )∩(- Δ )=∅, ∀ y A ( λ ),

(3)

其中, Δ ∪0是 Z 中的凸锥, A : Λ →2 X \ ∅以及 F : X × X × Λ →2 Z \ ∅是两个集值映射 A ( Λ )表示 A 的像, 即 A ( Λ ) λ Λ A ( λ ) 本文主要讨论 Δ 的两种特殊情形, 即 Δ =int C Δ = C\ 0

定义1 ε >0, λ Λ , Λ Y , f B * \ 0并且 A : Λ →2 X \ ∅以及 F : X × X × Λ →2 Z \ ∅是两个集值映射

x A ( λ )称为含参广义向量均衡问题(3)的 ε -弱近似解, 如果

( F ( x , y , λ )+ εω )∩(-int C )=∅, ∀ y A ( λ )

x A ( λ )称为含参广义向量均衡问题(3)的 ε -近似解, 如果

( F ( x , y , λ )+ εω )∩(- C\ 0)=∅, ∀ y A ( λ )

x A ( λ )称为含参广义向量均衡问题(3)的 εf -近似解, 如果

f ( F ( x , y , λ ))+ ε R + , ∀ y A ( λ )

x A ( λ )称为含参广义向量均衡问题(3)的强有效解, 如果

F ( x , y , λ )⊂ C , ∀ y A ( λ )

特别地, 含参广义向量均衡问题(3)的 ε -弱近似解集, ε -近似解集, εf -近似解集和强有效解集分别记为 S εW ( λ ), S ε ( λ ), S εf ( λ )和 Ω ( λ )

A : Λ →2 X \ ∅与 F : X × X × Λ →2 Z \ ∅是两个集值映射 如果 S ε 1 W ( λ )和 S ε 2 W ( λ )是非空的并且0≤ ε 1 < ε 2 , 则 S ε 1 f ( λ )⊂ S ε 2 f ( λ )(见文献[8]中的引理2.1) 如果 S ε 1 ( λ )和 S ε 2 ( λ )是非空的并且0≤ ε 1 < ε 2 , 则 S ε 1 ( λ )⊂ S ε 2 ( λ )

下面, 通过例1说明存在含参广义向量均衡问题的 ε -近似解, ε -弱近似解和强有效解

例1 并且 F : X × X × Λ →2 Z \ ∅定义如下:

F ( x , y , λ )=[ x - λ 2 +1,10]×[1+ y 2 - λ ,50], ∀ y A ( λ )

首先,求解 Ω ( λ ) 当-5≤ y λ 2 +6, λ Λ =[0,1]时,显然有1+ y 2 - λ ≥0恒成立 下面只需 x - λ 2 +1≥0, 即 x λ 2 -1 因此, Ω ( λ )=[ λ 2 -1,6+ λ 2 ]

然后, 求解 S εW ( λ ), S ε ( λ ) 由例子条件得, F ( x , y , λ )+ εω =[ x - λ 2 +1,10]×[1+ y 2 - λ ,50]+(2,4) 由于1+ y 2 - λ +4>0,50+4=54>0,故对∀ x ∈[-5,6+ λ 2 ], 有( F ( x , y , λ )+ εω )∩(-int C )=∅, 以及( F ( x , y , λ )+ εω )∩(- C\ 0)=∅

定义2 E X 的非空闭凸子集, ε >0, λ Λ , Λ Y , 并且 A : Λ →2 X \ ∅与 Ψ : X × X × Λ →2 Z \ ∅是两个集值映射

λ Λ , y E , x Ψ ( x , y , λ )称为 C -凸的,如果∀ x 1 , x 2 E , t ∈[0,1]使得

( x 1 , y , λ )+(1- t ) Ψ ( x 2 , y , λ )- Ψ ( tx 1 +(1- t ) x 2 , y , λ )⊆ C

λ Λ , x E , y Ψ ( x , y , λ )称为 C -凹的,如果∀ y 1 , y 2 E , t ∈[0,1]使得

Ψ ( x , ty 1 +(1- t ) y 2 , λ )-( ( x , y 1 , λ )+(1- t ) Ψ ( x , y 2 , λ ))⊆ C

λ Λ , y E , x Ψ ( x , y , λ )称为 C -次似凸的, 存在 θ ∈int C , 如果∀ x 1 , x 2 E , t ∈[0,1], ε >0,使得

εθ + ( x 1 , y , λ )+(1- t ) Ψ ( x 2 , y , λ )- Ψ ( E , y , λ )⊆ C

定义3 [11] X 1 X 2 是两个Hausdorff拓扑向量空间, u 0 X 1 并且 T : X 1 →2 X 2

如果对于 T ( u 0 )的任意邻域 V , 存在 u 0 的邻域 U ( u 0 ),使得对任意 u U ( u 0 ), 有 T ( u )⊆ V , 称映射 T 在点 u 0 处是上半连续的

如果对于任意 x T ( u 0 )以及 x 任意邻域 V , 存在 u 0 的邻域 U ( u 0 ),使得对任意 u U ( u 0 ), 有 T ( u )∩ V ≠∅, 称映射 T 在点 u 0 处是下半连续的

如果 T X 1 的每一点都是上半连续的(下半连续的), 则称 T X 1 上是上半连续的(下半连续的) 如果 T X 1 上同时是上半连续和下半连续的,则称 T X 1 上是连续的

引理1 [11] 集值映射 T : X 1 →2 X 2 在点 u 0 X 1 是下半连续的,当且仅当任意序列 u n X 1 满足 u n u 0 以及任意 x 0 T ( u 0 ), 存在 x n T ( u n )使得 x n x 0

引理2 [4] 假设 A γ : γ Γ 是拓扑空间 Z 中的连通集族 如果∩ γ Γ A γ ≠∅, 则∪ γ Γ A γ 是拓扑向量空间 Z 的连通集

引理3 [7] X Z 是两个赋范空间, E X 的非空闭凸子集, F : E →2 Z 是一个集值映射, 则 F E 上是 C -次似凸的⟺ F ( E )+int C 是凸的⟹cl cone( F ( E )+ C )是凸的

2 含参广义向量均衡问题近似解集的标量化性质

本节主要利用映射 F 关于第2个变量是 C -次似凸的, 研究 ε -弱近似解的标量化结果

定理1 ε >0, λ Λ , Λ Y 并且 A : Λ →2 X \ ∅以及 F : X × X × Λ →2 Z \ ∅是两个集值映射 假设 S εW ( λ )≠∅, 并且 λ Λ , x A ( λ ), y F ( x , y , λ )是 C -次似凸的,则有

(4)

证明 先证明∪ f B * S εf ( λ )⊂ S εW ( λ ) x 0 ∈∪ f B * S εf ( λ ), 则存在 f B * 使得

f ( F ( x 0 , y , λ ))+ ε R + , ∀ y A ( λ )

(5)

假设 x 0 S εW ( λ ), 则存在一个 y 0 A ( λ )使得( F ( x 0 , y 0 , λ )+ εω )∩(-int C )≠∅ 因此, 存在一个 z 0 ∈( F ( x 0 , y 0 , λ )+ εω )∩(-int C ),使得 f ( z 0 )<0 又因为 z 0 ∈( F ( x 0 , y 0 , λ )+ εω ), 故存在 ξ 0 F ( x 0 , y 0 , λ ), 使得 z 0 = ξ 0 + εω 于是有0> f ( z 0 )= f ( ξ 0 + εω )= f ( ξ 0 )+ εf ( ω )= f ( ξ 0 )+ ε ,即 f ( ξ 0 )+ ε <0,与式(5)矛盾 所以∪ f B * S εf ( λ )⊂ S εW ( λ )

下面证明 S εW ( λ )⊂∪ f B * S εf ( λ ) x 0 S εW ( λ ),则

( F ( x 0 , y , λ )+ εω )∩(-int C )=∅, ∀ y A ( λ )

所以( F ( x 0 , A ( λ ), λ )+ C + εω )∩(-int C )=∅,从而

cl cone( F ( x 0 , A ( λ ), λ )+ C + εω )∩(-int C )=∅

因为 λ Λ , x A ( λ ), y F ( x , y , λ )是 C -次似凸的,由引理3可得cl cone( F ( x , A ( λ ), λ )+ C + εω )是一个凸集 由凸集分离定理可知,存在一个连续线性函数 h Y * \ 0,使得

inf h ( z ): z ∈cl cone( F ( x 0 , y , λ )+ c 1 + εω ), c 1 C

sup h ( c ): c ∈-int C

(6)

因为0∈cl cone( F ( x 0 , y , λ )+ c 1 + εω ),从而

inf h ( z ): z ∈cl cone( F ( x 0 , y , λ )+ c 1 + εω ), c 1 C h (0)=0

结合式(6)有sup h ( c ): c ∈-int C ≤0, 于是有 h ( c )≥0,∀ c ∈int C 因为 h 是连续线性泛函, 则有 h ( c )≥0,∀ c C 根据对偶锥的定义知, h C * , 从而 h C * \ 0 由于0∈ C , 则有 F ( x 0 , y , λ )+ εω F ( x 0 , y , λ )+ εω + C 因此对任意的 y A ( λ ), 有 h ( F ( x 0 , y , λ )+ εω )= h ( F ( x 0 , y , λ ))+ εh ( ω )⊆ R + 又因为 ω ∈int C 并且 h C * \ 0, 所以 h ( ω )>0 f = h / h ( ω ), 则有 f B * , f ( F ( x 0 , y , λ ))+ ε R + , ∀ y A ( λ ),也即是 x 0 S εf ( λ ), 这表明 x 0 ∈∪ f B * S εf ( λ ) 所以 S εW ( λ )⊂∪ f B * S εf ( λ )

注1 假设映射 F C -凸的条件下, 可得到不同定义的近似解的标量化结果, 即文献[3]中的引理3.1, 文献[6]中的引理4.1和文献[10]中的引理2.1 假设映射 F C -似凸的条件下, 也可以得到不同定义的近似解的标量化结果, 即文献[4]中的定理3.3、文献[5]中的定理4.1和文献[9]中的引理3.1 ε =0, 映射 F 关于第2个变量在 C -次似凸的条件下, 定理1退化为文献[7]中的引理3.2 由文献[12] 中的式(4)可知, C -次似凸的条件比 C -凸与 C -似凸更弱, 故定理1推广了文献[3-7,9-10]的相关结果

3 含参广义向量均衡问题近似解集的连通性

定理2 Ω ( λ )≠∅, f B * , λ Λ ,假设下面条件成立:

1) A ( λ )是非空闭凸集;

2) λ Λ , y A ( λ ), x F ( x , y , λ )在 A ( λ )上是 C -凹的;

3) λ Λ , x A ( λ ), y F ( x , y , λ )在 A ( λ )上是 C -凸的

S εf ( λ )是一个凸集,并且 S εW ( λ )也是一个连通集

证明 x 1 S εf ( λ ), x 2 S εf ( λ )以及 t ∈[0,1], 则有 x t = tx 1 +(1- t ) x 2 A ( λ ) S εf 的定义可知, f ( F ( x 1 , y , λ ))+ ε R + , f ( F ( x 2 , y , λ ))+ ε R + 进而, t f ( F ( x 1 , y , λ ))+ R + ,(1- t ) f ( F ( x 2 , y , λ ))+(1- t ) ε R + 于是有

tf ( F ( x 1 , y , λ ))+(1- t ) f ( F ( x 2 , y , λ ))+ ε R +

(7)

由条件2)可得

F ( tx 1 +(1- t ) x 2 , y , λ )⊆ C + tF ( x 1 , y , λ )+(1- t ) F ( x 2 , y , λ )

又因为 f B * ,则

f ( F ( x t , y , λ ))⊆ R + + tf ( F ( x 1 , y , λ ))+(1- t ) f ( F ( x 2 , y , λ ))

(8)

由式(7)、(8)可得

f ( F ( z t , y , λ ))+ ε R + + tf ( F ( x 1 , y , λ ))+

(1- t ) f ( F ( x 2 , y , λ ))+ ε R + + R + R +

所以 x t = tx 1 +(1- t ) x 2 S εf ( λ ), 即 S εf ( λ )是凸集, 并且是一个连通集

下证 S εW ( λ )是一个连通集, 只需证明∩ f B * S εf ( λ )≠∅ 由条件知 Ω ( λ )≠∅, 显然有 Ω ( λ )⊆ S εf ( λ )≠∅, 所以∩ f B * S εf ( λ )≠∅ 结合引理2和定理1可知, S εW ( λ )是一个连通集

注2 当映射 F : X × X × Λ R 时, 含参广义向量均衡问题(3)退化为文献[6]所讨论的含参均衡问题, 并且当 F 关于第1个变量 x 是凹函数时, 定理2即为文献[6]中的引理3.3

下面, 通过一个例子说明 S <