插值型无单元Galerkin比例边界法与有限元法的耦合在压电材料断裂分析中的应用*

陈莘莘,王 娟

(华东交通大学 土木建筑学院,南昌 330013)

摘要插值型无单元Galerkin比例边界法是一种只需在边界上采用插值型无单元Galerkin法离散且无需基本解的半解析方法,能有效求解压电材料的断裂问题为进一歩提高这种方法的适用性,该文提出了一种用于压电材料断裂分析的插值型无单元Galerkin比例边界法耦合有限元法(finite element method, FEM)的分析方法裂纹周边一定范围的计算域采用插值型无单元Galerkin比例边界法离散,其余区域采用FEM离散插值型无单元Galerkin比例边界法方程和FEM方程的耦合可利用界面两侧广义位移的连续条件方便地实现最后,给出了两个数值算例验证了该文所提方法的有效性

压电材料; 断裂力学; 插值型无单元Galerkin比例边界法; 强度因子

引 言

作为一种新型的智能材料,压电材料可以实现机械能与电能之间的相互转换正是由于这种机电耦合特性,压电材料已被广泛应用于电子、机械等领域但压电材料本身呈脆性,在制备和服役的过程中常常会导致内部裂纹的出现众所周知,压电材料除施加荷载会导致裂纹扩展之外,还应考虑电场以及电、力场的耦合影响因此,解析法显然已不再适用压电材料的断裂问题,开展相关的数值方法研究[1-2]非常必要

插值型无单元Galerkin比例边界法(interpolating element-free Galerkin scaled boundary method, IEFG-SBM)[3-5]是一种综合了无网格法[6-8]与比例边界有限元法[9-10]优点的新方法该方法采用插值型无单元Galerkin法对计算域的边界进行离散,不仅降低了前处理工作量,而且无需基本解改进的插值型移动最小二乘(improved interpolating moving least squares, IIMLS)法[11-12]构造的环向形函数满足Kronecker delta函数性质,从而可以直接准确地施加本质边界条件此外,IIMLS法不仅克服了插值型移动最小二乘法[13]因权函数奇异导致的计算困难,而且计算形函数时待定系数比传统的移动最小二乘法少一个

然而,IEFG-SBM要求所有边界均从相似中心可见,否则需将求解域划分成多个子域为了充分发挥IEFG-SBM能有效处理压电材料断裂问题的优势,并提高其通用性和解决问题的广泛性,借鉴文献[14-15]的思路,提出了压电材料断裂问题的IEFG-SBM与FEM的耦合方法其思想是在含裂纹和不含裂纹的两个区域分别采用IEFG-SBM与FEM建立离散方程,再通过界面两侧广义位移的连续条件将其耦合,这种思想类似于FEM中常用的子结构法[16]最后,通过数值算例的计算和对比分析验证了本文所提的IEFG-SBM和FEM耦合方法进行压电材料断裂分析的有效性与合理性

1 压电材料断裂问题的控制方程

y轴是极化方向时,横观各向同性压电材料的广义平面应变本构方程可以表示为[2]

(1)

式中,为广义应力,为广义应变,H为材料常数矩阵,

(2)

(3)

(4)

其中,σx,σy,τxy是应力分量;Dx,Dy是电位移分量;εx,εyγxy是应变分量;Ex,Ey是电场强度分量;c11,c13,c33c44是弹性常数;e31,e33e15是压电常数;h11h33是介电常数广义应变与广义位移之间的关系可表示为

(5)

式中,ux,uy是位移分量,φ是电势,梯度算子L可表示为

(6)

2 IEFG-SBM

2.1IIMLS法

设在某一光滑边界段Si上有N个节点s1,s2,…,sN,这里s代表Si上从起点开始的弧长p1(s),p2(s),…,pm(s)表示给定用来构造逼近函数的一组基函数,其中p1(s)≡1为了使权函数非奇异,并且逼近函数满足插值性质,对给定的基函数和函数u(s)作相同的变换

(7)

(8)

式中,表示点s局部影响域内的点,n为点s局部影响域内的节点数,sI为边界上影响域覆盖s的节点,并且

(9)

基于新的基函数,由移动最小二乘法可获得局部函数的逼近函数如下[11-12]

(10)

式中

(11)

u=(u(s1),u(s2),…,u(sn))T

(12)

(13)

(14)

其中,eIn维单位行向量,其第I列元素为1,wI(s)是节点sI对应的权函数,且

(15)

v(s)=(v(s,s1),v(s,s2), …,v(s,sn))

(16)

本文采用四次样条权函数,即

(17)

式中,为权函数支撑域半径各节点的支撑域半径取为rI=α·Δs,其中Δs为相邻节点之间的距离,系数α取为2.5根据式(8)和(10),可将函数u(s)的逼近函数写为

(18)

其中,形函数矩阵为

Φ(s)=(φ1(s),φ2(s), …,φn(s))=v(s)+gT(s)A-1(s)H(s),

(19)

gT(s)=(g2(s),g3(s), …,gm(s)),

(20)

(21)

2.2控制方程的导出与求解

引入包含径向坐标ξ和环向坐标s的比例边界坐标系,如图1所示选取一点作为相似中心,并要求所有边界均从相似中心可见径向坐标ξ从相似中心指向外边界,在相似中心取值为0而在边界上取值为1,环向坐标s沿着外边界逆时针方向域内任意点的直角坐标与比例边界坐标(ξ,s)的关系为

(22)

基于式(18),广义位移可近似地表示为

(23)

式中,为节点I的径向广义位移向量若不考虑体力和体电荷作用,将式(23)代入虚功原理,可推导出压电材料断裂分析的IEFG-SBM控制方程为[5]

(24)

(25)

式中,Pm为等效广义节点力向量,系数矩阵E0,E1E2的具体形式为

(26)

(27)

(28)

其中

|J|=x(s)y(s),s-y(s)x(s),s

(29)

(30)

(31)

图1 比例边界坐标系
Fig.1 Scaled boundary coordinates

引入的对偶变量将式(24)转化为一阶常微分方程,即

(32)

(33)

式中

(34)

对矩阵Z进行分块对角Schur分解[9],可得

Z=ψSψ-1,

(35)

式中

(36)

(37)

λ(S1)≤λ(S2)≤…≤λ(S2N),

(38)

式中,I为3×3的单位矩阵,λ(Si)为分块矩阵Si的特征值实部对于有限域问题(0≤ξ≤1),IEFG-SBM计算域的刚度矩阵Km可写为

(39)

边界广义节点位移可通过如下的平衡方程式进行求解:

(40)

域内任一点的广义应力可由下式计算得到

(41)

式中

(42)

(43)

3 IEFG-SBM与FEM的耦合

如图2所示,计算域Ω内含一条裂纹,任取裂纹周边一定范围(ABCD与外边界围成的计算域)并定义为Ω2,其余区域则定义为Ω1Ω1Ω2分别采用FEM和IEFG-SBM离散,并且两者相互独立在计算域Ω1中,FEM广义节点位移的求解方程为

图2 结构示意图
Fig.2 Schematic of the model

(44)

式中,KfPf分别为FEM的刚度矩阵和等效广义节点力向量

FEM计算域Ω1与IEFG-SBM计算域Ω2的界面S′上必须满足广义位移连续条件,即

(45)

式中,分别为计算域Ω1和计算域Ω2在界面S′上的广义位移向量

为便于施加条件(45),引入界面S′上的势能泛函Π

(46)

式中,α为罚因子,一般取弹性常数c11的102~104倍可获得理想的结果,且

(47)

(48)

式中,分别为FEM和IEFG-SBM的广义位移,NI(s)和φI(s)分别为FEM和IIMLS的形函数,ne为FEM单元节点个数

将式(47)和(48)代入式(46),由泛函的变分为零可以得到

(49)

式中,为整体节点(包含FEM节点和IEFG-SBM节点)的广义位移列向量,且

(50)

式中

(51)

最终IEFG-SBM和FEM耦合后的离散求解方程可写为

(52)

式中

(53)

(54)

4 数 值 算 例

为了验证所提方法的有效性,对两个典型算例进行了计算,并与已有的数值解进行了比较计算中,选用了二次基函数和8节点四边形等参单元,且材料参数均取为

c11=126 GPa,c13=84.1 GPa,c33=117 GPa,c44=23 GPa,

e31=-6.5 C/m2,e33=23.3 C/m2,e15=17.44 C/m2,

h11=1.503×10-8C/(V·m),h33=1.30×10-8C/(V·m)

图3 含边界裂纹压电板 图4 含边界裂纹压电板的离散模型
Fig.3 A piezoelectric strip with an edge crack Fig.4 The discretization model for the piezoelectric strip with an edge crack

4.1边界水平裂纹

图3为一宽为b,高为h的压电板,内含一长为a的边界水平裂纹极化方向为y轴,受到远端拉伸载荷σ0与电位移载荷D0作用,并令加载参数R=D0c33/(e33σ0)计算中,取h=5.0 m,b=1.0 m,并且IEFG-SBM计算域的大小为0.8 m×0.8 m图4给出了FEM单元尺度为0.1 m,IEFG-SBM计算域边界节点总数为41的离散模型图5和图6分别给出了R=0,1,2,3时裂尖的正则化应力强度因子KI与电位移强度因子KD显然,本文耦合方法与文献[17]的计算结果几乎一致,从而可知本文方法具有较高的计算精度

图5 正则化应力强度因子KI与裂纹长度的关系 图6 正则化电位移强度因子KD与裂纹长度的关系
Fig.5 Normalized stress intensity factor KIvs.the normalized crack length Fig.6 Normalized electric displacement intensity factor KDvs.the normalized crack length

图7 含中心水平裂纹压电板 图8 含中心水平裂纹压电板的离散模型
Fig.7 A piezoelectric strip with a horizontal central crack Fig.8 The discretization model for the piezoelectric strip with a horizontal central crack

图9 正则化应力强度因子KI与裂纹长度的关系 图10 正则化电位移强度因子KD与裂纹长度的关系
Fig.9 Normalized stress intensity factor KIvs.the normalized crack length Fig.10 Normalized electric displacement intensity factor KDvs.the normalized crack lenth

4.2中心水平裂纹

图7为一尺寸为2b×2h的压电板,内含一长度为2a的中心水平裂纹极化方向为y轴,受到拉伸载荷σ0和电位移荷载D0作用,并令加载参数R=D0c33/(e33σ0)计算中,取b=1 m,h=5 m图8给出了FEM单元尺度为0.2 m,IEFG-SBM计算域边界节点总数为100的离散模型图9和图10分别给出了R=0,1,2,3时的正则化应力强度因子KI和电位移强度因子KD与裂纹长度的关系,并与文献[17]的计算结果进行了比较显然,本文计算结果仍具有较高的计算精度,这进一步证明了本文所提方法的有效性

5 结 论

为了充分发挥IEFG-SBM处理压电材料断裂问题十分有效的独特优势,并提高算法的通用性和解决问题的广泛性,本文提出了压电材料断裂分析的IEFG-SBM与FEM耦合方法该耦合方法将计算域划分为含裂纹和不含裂纹的两个区域,并分别独立地采用IEFG-SBM与FEM模拟IEFG-SBM计算域仅需对其边界布置一系列的离散节点,前处理简单,并且可以充分利用其半解析特性,从而可直接根据定义得到较高精度的应力强度因子和电位移强度因子此外,FEM网格可以不必考虑裂纹,因此其划分过程几乎没有难度,从而大幅度降低了前处理的难度数值算例表明,本文所提方法能有效用于压电材料断裂问题的求解

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Application of a Coupled Interpolating Element-Free Galerkin Scaled Boundary Method and Finite Element Method in Fracture Analysis of Piezoelectric Materials

CHEN Shenshen, WANG Juan

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,EastChinaJiaotongUniversity,Nanchang330013,P.R.China)

Abstract:The interpolating element-free Galerkin scaled boundary method (IEFG-SBM) is a semi-analytical method which only requires discretizing the boundary with the interpolating element-free Galerkin (EFG) method without fundamental solution.This method is very powerful to deal with fracture problems of piezoelectric materials.In order to further improve the applicability of the IEFG-SBM, a coupled IEFG-SBM and finite element method (FEM) for fracture analysis of piezoelectric materials was developed.The IEFG-SBM was utilized to model the domain close to the crack tip and the FEM was employed in the remaining domain.Based on continuity conditions at the interface between the IEFG-SBM sub-domain and the FEM sub-domain, the coupled formula of the proposed method can be conveniently derived.Finally, 2 numerical examples were presented to demonstrate the validity of the proposed method.

Key words:piezoelectric material; fracture mechanics; interpolating element-free Galerkin scaled boundary method; intensity factor

Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(11462006; 21466012)

作者简介陈莘莘(1975—),男,教授,博士(通讯作者.E-mail: chenshenshen@tsinghua.org.cn).

基金项目国家自然科学基金(11462006;21466012)

修订日期:2018-05-21

*收稿日期2018-04-23;

文章编号1000-0887(2018)11-1258-10

文献标志码:A DOI: 10.21656/1000-0887.390129

中图分类号O39; TB12

① 引用本文/Citethispaper:

陈莘莘,王娟.插值型无单元Galerkin比例边界法与有限元法的耦合在压电材料断裂分析中的应用[J].应用数学和力学, 2018,39(11): 1258-1267.

CHEN Shenshen, WANG Juan.Application of a coupled interpolating element-free Galerkin scaled boundary method and finite element method in fracture analysis of piezoelectric materials[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2018,39(11): 1258-1267.