一类非均布载荷下中心裂纹圆盘T应力分析*

摘要：　实际结构中，岩石常承受非均布载荷作用；并且试验中，集中力作用下往往会存在微小的分布角，这一载荷分布也是非均匀分布的．基于此类情况提出一类非均布载荷，这种载荷为三角函数形式，在分布角的中间压力最大，然后向两边逐渐减小直至为0．运用径向集中压力下中心裂纹巴西圆盘T应力解析公式，在分布角范围内积分获得这类非均布载荷下试件的T应力解析解，并同时进行有限元分析获得数值解．通过比较这两种结果，发现二者非常吻合，相互验证了各自分析的正确性．此外，与均布力作用相比，同等条件下此类非均布载荷作用的无量纲T应力值更接近集中力作用的值，而且两者的数值误差相当小．进一步论证了实际试验中采用集中力加载的T应力公式是正确与合理的．

关　键　词：　非均布压力；　中心裂纹巴西圆盘；　T应力；　有限元分析

引　　言

应力强度因子一直是岩石断裂中的重要参数，一度被认为是控制断裂的唯一因素，它反映了材料抵抗裂纹扩展失稳的能力．但不少试验发现，采用最大周向力(MTS)准则预测的结果与试验结果出现较大差异性，MTS准则总是低估了岩石材料的Ⅰ型和Ⅱ型断裂韧度[1-3]．这一差异性让研究者纷纷指向Williams展开式中的非奇异项，后面进一步的分析表明裂纹尖端附近的非奇异项常数项(T应力)在裂纹扩展中同样扮演着重要角色，是不可忽略的一个重要因素，并且考虑T应力断裂准则的预测结果将大幅上升，与试验结果保持非常好的一致性[2,4-5]．Fett[6]采用Green(格林)函数法和边界配位法计算出一系列不同加载条件和裂纹尺寸下中心裂纹巴西圆盘中的T应力；Ayatollahi等[7]运用有限元分析方法得到纯Ⅰ型和复合型加载条件下中心裂纹巴西圆盘中的T应力,并提供了一系列不同相对裂纹长度和加载角下的无量纲T应力值；Hua等[8]采用权函数法和叠加原理推导出围压和径向集中压力共同作用下中心裂纹巴西圆盘的T应力封闭形式解，并可以求出任意裂纹长度和加载角下的T应力值；李一凡等[9]运用权函数法导出径向集中力作用下中心裂纹巴西圆盘的T应力，并结合微积分思想导出分布力作用下中心裂纹巴西圆盘的T应力计算公式；高玉华等[10]运用特征分析法和边界元法求解裂纹尖端T应力，并分析得出T应力对Ⅱ型主导断裂模式有重要影响．

在岩石类材料断裂性能研究中，巴西圆盘试件属于一类重要的试验试件,Dong等[11]导出了中心裂纹巴西圆盘集中载荷和分布力作用下应力强度因子的封闭形式解，而且巴西圆盘试件具有加载模式多样性的特点，通过改变加载角能够轻易地实现纯Ⅰ型、纯Ⅱ型和复合型模式加载,被广泛地运用于岩石类材料的断裂性能研究中[11-14]．以上研究仅限于均布载荷或集中力的情况，但实际应用中载荷往往呈非均匀分布，非均布载荷下试件的T应力研究尚未有人涉及．因此本文通过运用集中力作用下的T应力公式，积分获得此类非均布载荷下的T应力解析解，并进行有限元分析获得T应力模拟结果，验证理论推导的正确性，并期望此类非均布载荷作用形式下的T应力能为含T应力的断裂准则提供参考数据．

1　理论分析

对于线弹性材料平面问题，裂纹尖端应力如图1所示，以裂纹尖端为原点，裂纹尖端应力的Williams展开式的极坐标形式表示如下[4]：

式中KⅠ和KⅡ表示Ⅰ和Ⅱ型应力强度因子，第一项表示奇异项应力，在整个式中占主导地位，第二项T表示Williams展开式中的非奇异常数项(T应力)，后面r的更高阶项在r趋近于0时，r1/2及其高阶项一般可以忽略不计．

前面已经说明了T应力逐渐在断裂准则中充当重要角色，因此当T应力日益广泛地运用到各类断裂准则中时，一个重要的研究方向就是分析各类几何形状试件和加载条件下的T应力，本文将就一类非均布力作用下中心裂纹圆盘中的T应力进行研究．

图2为中心裂纹巴西圆盘试件受径向集中压力作用的示意图，Hua等[8]以及李一凡等[9]采用权函数法获得图1所示试件的T应力解析解，其表达式具体如下：

式中σ=P/(πBR),B为圆盘试件的厚度，α=a/R，a为裂纹长度的一半，R表示圆盘试件的半径，θ表示裂纹作用线与加载力之间的夹角(加载角)，fi，A1i(θ)及A2i(θ)的表达式具体如下：

当加载力、加载角以及圆盘试件的相关数据已知时，根据以上公式可以轻易获得中心裂纹圆盘试件在径向集中压力下的T应力解，本文研究的载荷分布类型为非均布压力，假设力P分解成如图3所示的非均布压力载荷，分布角大小为2γ，加载角θ0表示裂纹线方向与分布角中心连线的夹角．沿裂纹线方向建立极坐标系，那么非均布压力在圆周上的具体表达式为

其中σ0表示函数幅值，θ0为加载角，此表达式保证了分布角中间加载压力最大，然后加载压力向两边逐渐减小，到分布角的两边时减小为0．

将dF视为集中力，运用径向集中压力作用下T应力公式可得到dF作用在dθ产生的微小T应力dT：

根据A1i(θ)以及A2i(θ)的表达式，为了方便积分先定义两个积分式分别如下：

将式(9)、(10)代入式(8)可以得到此类非均布载荷作用力下T应力的计算公式：

式(11)和式(12)即为此类非均布力载荷作用下中心裂纹巴西圆盘试件T应力计算公式．

2　有限元分析

2.1　有限元分析介绍

上一节分析得到了非均布压力载荷下中心裂纹巴西圆盘的T应力解析解，为了验证上面推导公式的正确性，采用有限元分析方法分析其中的T应力．本次研究采用有限元软件ABAQUS进行模拟分析，假设试件材料为PMMA，俗称有机玻璃，其性能优异，价格合理，现广泛地用于生产生活中．它是一种脆性材料，弹性模量为4.87 GPa，密度1 170 kg/m3，Poisson(泊松)比为0.388．建模分析时设试件半径为0.01 m，厚度为0.005 m[15]．

网格划分大体分为两个部分，裂纹尖端区域和以外的区域，其中裂纹尖端以外的区域采用四边形网格，裂纹尖端区域采用扫掠式网格划分技术，裂纹尖端点会出现一层三角形网格，故单元形状设为四边形为主．总体上网格划分规则合理，ABAQUS网格检查无任何警告和错误．

分别取相对裂纹长度α=0.1,0.3,0.5，0.7进行数值分析，加载角从纯Ⅰ型到纯Ⅱ型，载荷分布角取4个角度，分别是5°， 10°， 15°和20°．其中有限元分析形成的裂纹尖端网格如图4所示．

2.2　有限元分析结果

不同相对裂纹长度和不同加载条件下T应力有限元数值分析结果与理论公式结果对比如图5所示．图5中N表示有限元数值解，A表示理论公式解析解．

从图5不难发现纯Ⅰ型以及θ=5°的复合型加载模式下，有限元分析得到的数值解基本与理论公式结果吻合；但当加载角增加到10°以及纯Ⅱ型加载角时，α=0.7时两者的区别开始显现．综合数值解与解析解的结果对比情况，发现α=0.7时两者误差相对较大,故以α=0.7时的结果为例，具体比较数值解与解析解的差距．若此时的误差仍然较小，那么就可以相互验证结果的有效性．α=0.7时无量纲T应力的数值解与解析解分析结果见表1．

(a) 纯Ⅰ型加载条件 (b) θ=5°的复合型加载条件
(a) The pure mode Ⅰ loading condition (b) The θ=5°combined mode loading condition

(c) θ=10°的复合型加载条件 (d) 纯Ⅱ型加载条件
(c) The θ=10°combined mode loading condition (d) The pure mode Ⅱ loading condition
图5　T应力有限元数值分析结果与理论公式结果对比
Fig. 5　Comparison of T-stress results between the FEM and the analysis formula

表1数据显示，当加载角在0°～10°范围内时，数值解与解析解的误差都在1%以内．只有当加载角增加到纯Ⅱ型加载角时，此时两者的相对误差相对偏大，约为3%～5%．这是因为纯Ⅱ型加载时，无量纲T应力本身值接近于0，造成了相对误差偏大．进一步查看纯Ⅱ型时两者无量纲T应力差距也可以发现二者的绝对误差在4%左右，这表明此时数值解与解析解也是吻合的．综上所述，α=0.7时两者的结果吻合良好，验证了理论推导结果的准确性．进一步查看α=0.1,0.3，0.5的结果可以发现两者的误差相当接近，尤其是α=0.1，0.3等较小值时，两者的误差在0.1%左右，误差极小．

本文提出的这种非均布压力载荷也是基于实际情况下集中力的加载，试验研究中如果采用集中力加载一般会运用到含有集中力的公式，前面已经提出集中力的加载总是存在微小的分布角，那么这微小的分布角是否会对集中力公式计算结果产生影响呢？下面以集中力作用下T应力求解为例，比较同等合力P作用下集中力和本文中非均布力以及李一凡等[9]提出的均布力形式下的无量纲T应力结果，即同等合力P作用下分布角度的大小对T应力的影响．以加载角度等于5°(复合型断裂模式)为例进行对比分析，具体数据见表2．

表1　α =0.7时无量纲T应力结果对比

Table 1　Comparison between 2 dimensionless T-stress results, α=0.7

表2中ω1，ω2分别表示均布力和非均布力作用下无量纲T应力的变化程度，定义为

式中Tc表示集中力作用下的无量纲T应力，Td表示分布力作用下的无量纲T应力，表2中分布角等于0°对应于集中力作用．

通过表中数据可以判断同等条件下三角函数形式的非均布力作用更接近集中力作用的无量纲T值．虽然随着分布角的增加，其无量纲T值也随着增大，但根据表中数据可以明显地看出其变化程度总是小于均布力的变化程度．而且对于α在0.1到0.5范围内，分布角小于等于20°时，T应力变化程度都在4%以内．只有α=0.7、分布角等于20°时，T应力变化程度偏大，达到7.72%，而α=0.7、分布角等于10°时，其相对集中力误差只有1.99%．根据表中数据不难看出分布角越大时对应T应力变化程度也会越大，实际情况下集中力加载占据的微小分布角肯定远远小于5°，而由当前数据显示α=0.7、分布角等于5°(γ=2.5°)时，T应力变化程度只有0.47%．

进一步分析纯Ⅰ型、复合型(θ=10°)以及纯Ⅱ型加载条件下α=0.7、分布角等于5°时的变化率，得到的数据显示纯Ⅱ型条件下其变化程度最大达到2.78%，同样没有超过3%，这也是因为纯Ⅱ型加载条件下无量纲T应力值接近于0，造成了变化程度偏大，具体的无量纲T应力差距也只有2%左右．因此可以得出结论，如果实际运用中集中力简化为本文中的非均布压力载荷形式，那么α≤0.7以及进行纯Ⅰ型、复合型和纯Ⅱ型径向集中压力加载时，采用集中力公式计算中心裂纹巴西圆盘中T应力产生的误差将远远小于3%，误差非常小可以忽略不计．这更进一步验证了实际集中力加载过程中采用集中力计算公式完全合理，即使存在误差也会相当小，属于可以接受的误差范围．

表2　θ=5°时无量纲T应力值以及变化程度

Table 2　Dimensionless T-stress values and the degree of variation, θ=5°

3　结　　论

本文在中心裂纹巴西圆盘试件集中载荷作用下T应力公式基础上，开展非均布载荷作用下的T应力研究，并得到如下结论：

1) 提出中心裂纹巴西圆盘试件承受一类非均布压力载荷，载荷的分布在分布角中间最大，然后逐渐向两边减小直至在分布角的两边减小为0；同时结合集中力作用下的T应力计算公式与微积分思想，得到此类非均布载荷作用下试件的T应力计算解析公式．

2) 运用有限元分析验证了公式推导的正确性，发现在α值偏大以及纯Ⅱ型加载条件下两者T应力结果差距相对较大，但其无量纲T应力值差距也只有4%左右，α较小的情况下数值解与解析解已非常接近．

3) 与均布力作用相比，同等合力P作用下本文中的非均布载荷更接近集中力作用的无量纲T应力值，进一步论证了实际集中力加载中求解T应力误差会非常小，采用集中力公式完全合理．

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T-Stress in a Centrally Cracked Brazilian Disk Under Nonuniform Pressure Load

(College of Architecture and Environment, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R.China)

Abstract: In an engineering structure, the rock is often subjected to nonuniform load; in addition, there is a small distribution angle under a concentrated force in actual experimental study, and the load distribution also should be nonuniform. Based on this case, a class of nonuniform loads were proposed in the trigonometric function form. Then the maximum loading pressure appeared in the middle of the distribution angle and gradually became small to both sides until 0. By means of the centrally cracked Brazilian disk (CCBD) T-stress formula under a radial concentrated load, the analytical T-stress solution under this kind of nonuniform load was acquired via the integral in the range of the distribution angle, meanwhile the finite element simulation was conducted to obtain the numerical solution. There is a very good consistency between the numerical results and the analytical results, which verifies the accuracy of each other. Compared with those under the uniform load, the dimensionless T-stress values under this nonuniform load are closer to the values under the concentrated load when the other condition is the same, and the discrepancy between the stresses under the nonuniform load and the concentrated load is very small. The further calculated results show that it is accurate and reasonable to use the T-stress formula for the CCBD subjected to the concentrated forces in actual testing.

Key words: nonuniform load; centrally cracked Brazilian disk; T-stress; finite element analysis

基金项目：　国家自然科学基金(11172186);四川省科技计划(2018JY0024)

作者简介：　彭凡(1995—)，男(E-mail: 1145747505@qq.com)；董世明(1963—)，男，教授，博士(通讯作者. E-mail: smdong@126.com).

彭凡，董世明. 一类非均布载荷下中心裂纹圆盘T应力分析[J]. 应用数学和力学, 2018, 39(7): 766-775.

PENG Fan, DONG Shiming. T-stress in a centrally cracked Brazilian disk under nonuniform pressure load[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2018, 39(7): 766-775.

一类非均布载荷下中心裂纹圆盘T应力分析*

引 言

1 理 论 分 析

2 有限元分析

2.1 有限元分析介绍

2.2 有限元分析结果