袁全勇， 杨 阳， 李 春， 阚 威， 叶柯华
(上海理工大学 能源与动力工程学院， 上海 200093)
摘要： 为研究风速时间序列的长程相关性和自相似性，采用重标度极差分析和去趋势波动分析对风速时间序列进行相关性分析，计算风速时间序列的Hurst指数，并对其进行了功率谱密度分析，计算其谱指数．结果表明，两种方法计算所得Hurst指数都较为接近1，说明风速时间序列具有显著的自相似性和长程正相关性；但R/S分析及DFA所得Hurst指数有所差异，这一差异说明DFA可体现出非平稳风速时间序列的幂率特征．此外，对风速时间序列Hurst指数及谱指数的分析还表明了风速波动具有“1/f噪声”特征．为风速分形混沌特性研究及风速短时预测等提供了理论依据．
关 键 词： 风速时间序列； 去趋势波动分析； 重标度极差； Hurst指数； 谱分析
风能作为一种清洁的可再生能源，已经成为许多国家可持续发展战略的重要组成部分[1-2]．据全球风能协会统计，2016年，全球新增装机容量达54.6 GW，其中我国占比42.8%，位居世界首位[3]．与传统能源不同，风能的捕获受风速波动影响极大：风速波动会导致风力发电功率波动，影响电网稳定性[4]；也会引起风力机主要机械部件的交变应力，加速疲劳破坏[5〗．因此，深入准确地研究风速性质对于风速建模及风速预测等具有重要意义[6]．
风速研究中，通常使用统计方法描述风速特性，如使用Weibull分布和Rayleigh分布描述风速频率分布[7]．然而风速脉动实际是大气湍流运动的体现[8]，湍流是典型的非线性系统，统计方法无法反映隐含在风速时间序列中的非线性特征．因此，越来越多的文献从混沌及分形等非线性科学角度，研究风速特性：文献[9]利用混沌理论对风速时间序列进行相空间重构，并计算其关联维数和Lyapunov指数，计算结果表明风速时间序列具有混沌特征；文献[10]使用计盒维数法计算了风速时间序列的盒维数，并探讨了风速的统计参数与分形维数的关系；文献[11]使用随机型Weierstrass-Mandelbrot函数设计了能够仿真风速脉动自相似特性的风速仿真方案；文献[12]通过相空间重构理论，结合BP神经网络和一阶局域预测模型实现风速短期预测．Fortuna等[13]基于Hurst指数及频谱分析原理，研究并发现意大利及美国等地风速时间序列具有长程相关性，且不同时长的风速时间序列具有不同的功率谱特征，但均服从幂律分布．Liang等[14]提出了基于Hilbert-Huang变换(HHT)和Hurst分析的风力发电规模划分方法，对风电的各种多尺度混沌特征进行研究，揭示了风力发电的动态信息行为．Telesca等[15]研究了山区复杂地形条件下的风速时间序列特征，结果表明，风速时间序列动力学特征存在于两个不同的时间尺度下，在较大时间尺度下具有长程正相关性和多分形特征，在较小时间尺度下具有长程负相关性及单分形特征．Tsekouras等[16]以Hurst指数为时间序列持续性的衡量指标，估算了风速时间序列的Hurst指数，研究了风速时间序列的可持续性．
长程相关性和自相似性是非线性系统的重要性质，对于系统建模和仿真、系统行为预测有重要的意义[17]．因此，本文在上述研究的基础上，基于重标度极差分析(rescaled range analysis，R/S分析)和去趋势波动分析(detrended fluctuation analysis，DFA)，计算了风速时间序列的Hurst指数，进一步分析时间序列的自相似性和长程相关性，并结合功率谱分析研究了风速时间序列信号的物理特征．为风场风速建模、风速预测等奠定理论基础．
Hurst指数可用于衡量时间序列的自相似性和长程相关性．自相似性表明了时间序列可从不同尺度上进行度量， 体现其波动的相似程度．长程相关性是时间序列信号的重要特征， 它反映了某一时间间隔上两个数据的统计相关性， 反映了信号内在的波动本质．对于一个时间序列：
1) 0<H<1/2，表示该时间序列为长程负相关，即当前趋势会影响未来趋势，且当前与未来趋势为负相关．如果时间序列在某一区间是增长的，那么在下一区间很可能会降低，反之亦然．
2) H≈1/2，说明该过程无长程相关性，为类似于“白噪音”的不自相关随机过程．
3) 1/2≤H<1，序列为长程正相关，即当前的序列趋势会影响未来的序列趋势，且当前与未来趋势正相关．如果时间序列在某一区间是增长的，那么下一区间多半会增长，反之亦然．
4) H≈1，说明该过程为“1/f波动”．
5) H>1,序列为非平稳信号；当H=1.5时，序列为“Brown噪音”．
基于重标度极差分析、去趋势波动分析及功率谱分析对风速时间序列进行了自相似性及长程相关性分析．
1951年，Hurst等提出了R/S分析方法，通过分析重标度累积均值离差的标度行为，研究时间序列的时间相关性和趋势持久性[18]．
使用重标度极差法分析时间序列，步骤如下：
1) 将长度为N的时间序列{P(t)}分割成长度为n的A个连续不重叠的子区间Ia(a=1,2,…,A)，Ia中每个元素为pk,a(k=1,2,…,n)．
2) 对于每个子区间，分别计算其标准差SI、累积均值离差xk,a和极差RI：
(1)
(2)
(3)
式中，ea为Ia序列的均值．
3) 计算每个子区间的重标度极差(RI/SI)及A个区间的平均重标度极差(R/S)n：
(4)
4) 改变步骤1)中的子区间长度，重复步骤1)～3)，计算不同子区间长度下的极差值(R/S)n．lg(R/S)n与lg n之间存在线性关系，即
lg(R/S)n=lg θ+Hlg n．
(5)
将平均极差和子区间长度绘制在双对数坐标图上，通过最小二乘法进行线性拟合，斜率H即为Hurst指数．
1994年，Peng等提出了DFA法，用于分析DNA的自相似性、标度不变形和长程相关性等分形特性[19]．该方法被广泛应用到不同领域的时间序列数据分析中，如通过震动信号进行齿轮和轴承的故障诊断[20]、脑电信号分析[21]、金融市场数据分析[22]、地震信号分析[23]等．研究证明，DFA方法是分析非平稳信号及时间序列的稳健、可靠的工具[24]．
对长度为N的时间序列xk(k=1,2,3,…,N)进行去趋势波动分析，步骤如下：
1) 通过重组数据为序列y(i)求其累积离差：
(6)
式中，
为xk的均值．
2) 将y(i)分为Ns个长度为s的等长度子区间，Ns=[N/s]，其中[·]为取整函数．
3) 通过k阶多项式，使用最小二乘法对各子区间数据进行拟合，得到各子区间的波动趋势yv(i)：
(7)
式中，an为拟合多项式系数．
4) 消除各子区间内的波动趋势，并求其平方平均数:
(8)
5) 计算全序列2阶波动函数：
(9)
6) 改变步骤2)中的子区间长度s，并重复步骤2)～5)，得到全序列波动Fq(s)随子区间长度s的变化曲线，并绘制曲线的双对数坐标图．通过最小二乘法使用一次函数拟合数据点，拟合得到一次函数，如式(10)所示：
lg(Fq(s))=Hαlg s+lg A，
(10)
式中，所得斜率Hα即为去趋势波动分析法求出的Hurst指数．
时间序列x(t)的自相关函数R(t)的Fourier(傅里叶)变换就是功率谱：
S(f)=
R(t)eiftdt∝f-β,
(11)
式中，β为谱指数(PSA指数)，代表时间序列的相关程度．若β=0，表示时间序列为无相关性的随机序列，如白噪声；若β>0，则认为时间序列具有分数维数的分形相关特性．特别地，当β=2时，时间序列为Brown噪声；当β=1时，则为“1/f ”噪声，是一种介于白噪声(β=0)及Brown噪声(β=2)的中间状态．
以Brown运动为例，推导DFA指数(Hα)和功率谱指数(β)之间的对应关系[25]．如图1为二维随机Brown运动，每一个时间间隔移动1个单位距离，下图为移动10个单位距离所得到的3种不同移动轨迹．数字(1～10)代表移动顺序，箭头表示移动方向，则移动n步以后的净位移为
其中ei是第i步指向最邻近位置的单位向量．
图1 二维Brown运动的不同轨迹
Fig. 1 The different trajectories of a 2D Brownian motion
因为
所以平均平方位移为
〈r2(n)〉=
(12)
若每一步移动的时间间隔是τ，那么n步随机游动的时间间隔t=nτ，则
(13)
设格子间隔为a，则每一个格子点上游动的可能方向有2d个(d是格子的维度)，单位时间内游动的方差为
(14)
式中，K为扩散系数，其单位为m2·s-1．因此，式(13)可改写为
即
〈x2〉∝t．
(15)
式(15)即为Brown运动扩散方程．推广至分数维Brown运动：
〈x2〉∝t2Hα,
(16)
式中，Hα为Hurst指数．由上式得能量量纲
(17)
功率谱为
S(f)=R(τ)eifτdτ∝f-β,
则
E=f·S(f)=f-β+1．
(18)
由式(17)与式(18)所示能量量纲得功率谱指数β与Hurst指数Hα之间的关系为[15，26]
(19)
风速时间序列关联特性与DFA指数及PSA指数对应关系如图2所示[27]．
图2 DFA指数(Hα)及PSA指数(β)与关联特性对应关系
Fig. 2 Diagram of the types of correlations to which various DFA exponents Hα and PSA exponents β correspond
由图2可知，当Hα<1时，β<1，表明时间序列具有幂律特征；当Hα>1时，β>1，表明时间序列具有非幂律特征．就相关性而言，当Hα<0.5时，β<0，此时表明时间序列长程负相关，并且Hα越小，这种负相关程度越强；当Hα>0.5时，β>0，此时表明时间序列长程正相关，且Hα越大，这种正相关程度越强．特别地，当Hα=1时，β=1，表明时间序列为1/f噪声，当Hα=1.5时，β=2，表明时间序列为Brown噪声．
拟合优度R2作为线性回归分析的统计量，是衡量线性回归拟合效果的一个重要指标[28]．拟合优度是指回归直线对测量值的拟合程度，是表达因变量与所有自变量之间的总体关系的参数．拟合优度R2介于0～1之间，R2越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好，即说明Hurst指数计算越精确，风速时间序列自相似性越强．其计算原理如下：
(20)
式中，
为Hurst指数，yi为每个子区间的重标极差对数
为所有子区间的平均重标度极差对数值lg(R/S)n，lg θ为常数．
基于以上3种方法计算时间序列Hurst指数，分析风速时间序列的相关性，在所有子区间长度上，对双对数坐标值的线性拟合情况进行拟合优度检验，若拟合良好，则说明时间序列具有自相似性．
以美国国家风能研究中心M2测风塔(National Wind Technology Center M2 tower)2016年上半年180 d风速时间序列数据[29]为研究对象．将数据分为每30 d一组，共6组，分别编号样本1～样本6．风速数据为一天内每分钟的平均风速，每天共1 440个数据点，因此每个样本包含43 200个数据．6组样本风速波动情况如图3所示．
图3 原始风速数据
Fig. 3 Raw data of the wind speed
基于R/S分析方法及拟合优度检验原理，对6组样本风速数据进行Hurst指数分析，如图4为样本1数据线性回归情况，其斜率0.929 8即为Hurst指数H；拟合优度R2为0.998 3．根据以上R/S分析及拟合优度检验过程，分别对6组样本风速数据进行Hurst指数分析，结果如图5所示．
图4 极差与子区间长度双对数图 图5 R/S分析及拟合优度检验结果
Fig. 4 Bilogarithmic diagram of the range Fig. 5 The results of R/S analysis and and the segment length goodness of fit tests
由图5基于R/S分析法计算风速时间序列的Hurst指数的结果可知，各样本风速时间序列Hurst指数各不相同，其中样本2风速Hurst指数最大，为0.950 0；样本6风速Hurst指数最小，为0.881 1．由于R/S对非平稳信号分析的局限性，使得该方法计算的Hurst指数均小于1，但样本1～样本5的Hurst指数均较为接近1．说明风速时间序列具有显著的“1/f波动”特征且呈现出长程正相关性特征．此外，对各样本风速Hurst计算过程进行拟合优度检验，拟合优度R2介于0.995～0.999之间，拟合效果较优．说明风速时间序列具有明显的自相似性．
基于去趋势波动分析原理，对6组风速时间序列样本数据进行Hurst指数分析．其中样本1全局波动与子区间长度关系如图6所示．DFA1～DFA4分别为采用1～4阶多项式使用最小二乘法对各子区间数据进行拟合所得全局波动与子区间长度关系的结果．根据以上分析过程，采用1～8阶多项式对6组样本风速数据进行DFA分析，各样本风速数据Hurst指数随拟合次数K的变化关系如图7所示．
图6 拟合次数K变化时全局波动与 图7 DFA分析时拟合次数K子区间长度关系双对数图 对Hurst指数的影响
Fig. 6 Bilogarithmic graph of the global fluctuation and Fig. 7 The influence of fitting times K on the segment length with the fitting times K the Hurst exponent in DFA analysis
由图7可知，样本风数据基于DFA分析的Hurst指数相比R/S分析的Hurst指数略大，介于1.00～1.23之间；随着拟合次数的增大，6组样本数据的Hurst指数均先增大、后减小．对6组样本风数据1～8阶拟合所得Hurst指数及拟合优度R2求平均值，其结果如表1所示．
表1 DFA分析Hurst指数结果
Table 1 The Hurst exponents of DFA analysis
由表1结果可知，DFA分析所得6组样本风速时间序列的Hurst指数基本稳定在1左右，表明风速时间序列为“1/f波动”，Hurst大于0.5，也说明风速时间序列具有长程正相关性．对图4中所示各曲线进行线性拟合时，拟合优度R2均大于0.99，说明线性拟合效果良好，证明了风速时间序列具有明显的自相似性．
由图5及表1结果可知，R/S分析H值均小于1，而DFA分析结果均大于1．这是因为风速序列取决于自然界的气象规律，其受温度、大气运动、空气湿度、环境条件等诸多因素的影响，属于典型的非线性不平稳信号[30]；R/S分析法对短期依赖性较为敏感，分析非平稳信号或具有短期记忆性的时间序列时，其Hurst指数计算结果具有一定误差[31-32]，文献对金融系统[33]、股票波动[34]、结肠压力活动[27]及螺纹钢线材市场[35]等时间序列相关性研究，也证明了基于R/S分析法计算所得Hurst指数为不大于1的正数．如图2所示，对非线性时间序列关联特性的研究，R/S分析仅能表现时间序列的幂率特征，即R/S分析结果对应H值在0～1之间．因此，采用R/S分析得到的Hurst指数小于1是合理的，H值接近1，仍能体现风速时间序列的“1/f噪声”特征．DFA方法是一种分析非平稳时间序列长记忆性及相关性强度指数的方法．与R/S分析相比，其不同之处在于能消除时间序列的局部趋势，可获取时间序列的局部相关性．对于包含噪声或多项式叠加趋势的时间序列，也能检测该时间序列的长程相关性[36-37]，既能体现幂率特征(0<H<1)，也能体现非幂律特征(H>1)．因此，基于DFA法所得H值大于1，也属于正常情况，但H值接近1，也能体现风速时间序列的“1/f噪声”特征．
采用谱分析方法验证风速时间序列的“1/f波动”特征．通过Welch法估计风速时间序列功率谱密度， 分别对每段信号通过Hamming窗函数进行加窗Fourier变换， 计算其功率谱密度， 然后对其进行平均．图8为样本1计算所得功率谱密度(横纵坐标分别为频率及功率谱取对数)．
图8 样本1风速功率谱密度 图9 DFA法与PSA法Hurst指数对比分析
Fig. 8 The power spectrum density of Fig. 9 Comparative analysis of Hurst sample 1 wind speed exponents by PSA and DFA
所得结果按式(11)形式通过最小二乘法拟合功率谱，得到
(13)
可得，β=1.130 2．同理,可得其他样本风速时间序列的功率谱密度β值，并对每组样本数据进行拟合优度检验．此外，由PSA及DFA关系可依据β值计算出Hurst指数
结果如表2所示，由R2可知拟合效果较优．
表2 功率谱分析与拟合优度检验结果
Table 2 The results of power spectrum analysis and goodness of fit tests
基于DFA分析及PSA分析所得结果基本满足式(19)所示Hα与β对应关系．基于DFA与PSA的Hurst值H计算结果对比如图9所示．
由图9可知，两种方法H值存在一定偏差，尤其是样本5与样本6偏差较大．其原因是：① 相对于时间与频率描述而言，DFA是时间序列长程相关性的周期性描述，而PSA属于时间序列相关性的频率描述[38]．而时间与频率存在关系：f=1/T．可以说DFA为双对数功率谱PSA的改进．二者的差别在于，PSA以平稳性假设为前提，对于非平稳时间序列风速分析会产生一定误差，如图10(a)与10(b)所示，PSA对非平稳信号产生低频偏差域，这一偏差会导致计算结果具有一定误差；而DFA的优势在于其消除了局部趋势，这在一定程度上避免了将非平稳性虚假地检测为长程相关性，但残留的周期趋势对Hurst指数H值仍有影响(表现为中间尺度的轻微转折，如图10(c)与10(d)所示)，且这一影响在样本5及样本6时间序列中表现尤为突出． ② DFA指数与PSA指数均是在双对数坐标中拟合得到的结果， 拟合结果本身存在误差， 且两种方法拟合优度并不完全相同(PSA分析时样本5及样本6拟合优度分别为0.916 6和0.816 7；而DFA分析时样本5及样本6拟合优度分别为0.995 9和0.991 0)，这就说明PSA拟合效果相对较差，导致PSA指数β偏差较大，这也将造成DFA指数与PSA指数差异．由于以上原因，造成了DFA指数与PSA指数有所不同．尽管如此，DFA与PSA分析的H值均较为接近1，符合“1/f波动”的特征，也能说明风速时间序列属于“1/f噪声”．
(a) 样本5风速功率谱密度 (b) 样本6风速功率谱密度
(a) The power spectrum density of sample 5 wind speed (b) The power spectrum density of sample 6 wind speed
(c) 样本5全局波动与子区间长度关系双对数图 (d) 样本6全局波动与子区间长度关系双对数图
(c) Bilogarithmic graph of sample 5 global fluctuation (d) Bilogarithmic graph of sample 6 global fluctuation and the segment length and the segment length
图10 PSA与DFA对比分析
Fig. 10 Comparative analysis of PSA and DFA
“1/f波动”广泛存在于各种物理、生物和天文现象中．研究表明，在非线性系统中，奇异吸引子是“1/f波动”产生的原因，且这类系统通常具有“自组织临界性”(self-organized criticality)，其宏观行为具有时间和空间上的标度不变性[39]．风速脉动属于“1/f波动”，再次体现出风速具有分形、混沌等非线性特征．风速属于“1/f波动”这一结论也为风速模拟提供了一定参考．分形差分自回归(auto regressive fractionally integrated moving average，ARFIMA)模型是生成“1/f波动”的主要模型[40]，该方法可以生成具有一定长程相关性的随机过程时间序列．使用ARFIMA模型生成具有一定长程相关性的风速时间序列，可以作为风速模拟的新思路．
1) 采用重标度极差法和去趋势波动分析法计算得到的风速时间序列Hurst指数大于0.5且接近1，说明风速不是完全随机波动的时间序列，其具有明显的长程正相关性和自相似性．
2) 风速时间序列Hurst指数接近1，说明其属于“1/f波动”，体现了风速时间序列的分形及混沌特征，功率谱分析的结果证明了这一结论．
3) 风速序列属于非线性不平稳时间序列，与R/S分析及PSA分析相比，DFA可体现出非平稳风速时间序列的幂率特征，对于非平稳风速时间序列的信号分析更具优势．
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YUAN Quanyong, YANG Yang, LI Chun, KAN Wei, YE Kehua
(School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, P.R.China)
Abstract: In order to investigate self-similarity and long-rang dependence of wind speed time series, the rescaled range analysis and the detrended fluctuation analysis (DFA) were carried out to calculate the Hurst exponent of the wind speed time series. The power spectral density was analyzed and the spectral indexes were calculated. The results show that, the Hurst exponents calculated with the both methods are close to 1, which means that the wind speed time series has strong self-similarity and long-range positive dependence. However, the Hurst indexes from the 2 methods are different, which means that the DFA method could reflect the power-law feature of the non-stationary wind speed time series. Furthermore, the results of the Hurst exponents and the spectral indexes show that the wind speed fluctuation belongs to the “1/f fluctuation”. The conclusions offer some references for further study on fractal chaos and short-time wind speed prediction.
Key words: wind speed time series; detrended fluctuation analysis; rescaled range; Hurst exponent; spectral analysis
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(51676131;51176129)
文章编号：1000-0887(2018)07-0798-13
ⓒ 应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887
*收稿日期： 2017-05-26；
修订日期：2017-06-23
基金项目： 国家自然科学基金(51676131;51176129)
作者简介： 袁全勇(1990—)，男，硕士生(E-mail: usst_2011ndyqy@163.com)；李春(1963—)，男，教授，博士生导师(通讯作者. E-mail: lichunusst@163.com).
中图分类号： TK83
文献标志码：A
DOI: 10.21656/1000-0887.380154
引用本文/Cite this paper:
袁全勇， 杨阳， 李春， 阚威， 叶柯华. 基于Hurst指数的风速时间序列研究[J]. 应用数学和力学, 2018, 39(7): 798-810.
YUAN Quanyong, YANG Yang, LI Chun, KAN Wei, YE Kehua. Research of wind speed time series based on the Hurst exponent[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2018, 39(7): 798-810.