ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

强非线性波动方程孤子行波解

冯依虎1,2

(1. 亳州学院, 安徽 亳州 236800;
2. 上海大学 数学系, 上海 200444)

摘要 研究了一个强非线性波动方程利用泛函分析变分迭代方法,首先构造了一个变分, 求出相应的Lagrange乘子;其次构造一个解的变分迭代, 选取初始孤子波;最后利用迭代方法依次求出各次孤子波的近似解该方法是一个简单可行的近似求解非线性方程的方法

波动方程; 孤立子; 近似方法

引 言

孤子波是非线性方程的一个很重要的研究内容许多学者在激波、量子力学、光波散射、神经网络、大气物理等方面都做了一些孤子波理论的研究[1-8]求解孤子波已有了很多新的方法, 例如齐次平衡法、双曲函数法、辅助方程法、椭圆函数法等[9-13]非线性孤子波的定性理论也不断地被研究孤子波渐近方法就是孤子波理论的一种新的研究方法它是用扰动理论的渐近展开式将非线性方程转化为能够求解的方程来处理这种方法完全摆脱了对逆散射变换的直接方法变分迭代方法就是属于这种新方法该方法的优点在于计算简便,思路简明,可得到较高近似度的解本文就是利用变分迭代方法来求解一类问题的孤子行波近似解析解

近来,许多学者讨论了非线性问题的近似理论,近似方法也不断地优化笔者及其合作者利用一些渐近方法来研究一类数学物理问题[14-23]本文首先构造一个变分迭代式,然后进行迭代计算,得到了相应强非线性波动方程的孤立波的任意次精度近似解

1 波动方程与变分迭代

考虑如下强非线性波动方程:

(1)

其中系数a,c1,c2d均为正常数,n是正整数,f为关于其变量为充分光滑的有界函数

首先做行波变换:

s=x-at

(2)

u(s)=w(t,x),则方程(1)为

(3)

其中G(s,u)=f(t,x,w)

引入一个泛函F[u]:

(4)

式中u的限制变量,λ为Lagrange乘子[24-25]将泛函式(4)进行变分运算δF:

δF=[(1+2a2λξu-2a2λ]ξ=sδuξ-[2a2λξξ-c1λu

令泛函F的变分为零(δF=0)于是λ(ξ,s)应满足

2a2λξξ-c1λ=0,

(5)

(6)

由式(5)、(6)可解得

(7)

于是由式(4)、(7), 可构造方程(3)解的变分迭代关系式:

(8)

2 初始变分迭代

为了求方程(3)的孤子波解, 今取如下非线性微分方程的孤子波解为变分迭代式(8)的初始迭代u0(s):

(9)

现采用双曲函数待定系数法来求解非线性方程(9)的孤子波解

u0=Asech(ls)+Btanh(ls),

(10)

这里A,Bl为待定常数

(11)

(12)

将式(10)~(12)代入方程(9):

2al2(-Asech3(ls)+Asech(ls)(1+sech2(ls))-2Bsech2(ls)tanh(ls))-
c1(Asech(ls)+Btanh(ls))-
c2(A3sech3(ls)+3A2Bsech2(ls)tanh(ls)+3AB2sech(ls)(1+sech2(ls))+
B3(1+sech2(ls))tanh(ls))=0

合并上式同类项, 并令其系数为零,有

(-c2A3+3AB2)sech3(ls)=0,
(-4al2B+3c2A2B+B3)sech2(ls)tanh(ls)=0,
(2al2A-c1A+3AB2)sech(ls)=0,
(-c1B+B3)tanh(ls)=0

于是有

将上述结果代入式(10), 便得到初始迭代方程(9)的孤立子解u0(s):

(13)

3 变分迭代渐近解

由式(8)、(13), 可得方程(3)的一次变分迭代解u1(s):

(14)

进而可得方程(3)的二次变分迭代解u2(s):

(15)

其中u1由式(14)表示

继续用相同的方法,还能得到方程(3)孤子波解的更高次近似解

由此,便得到方程(3)的变分迭代近似解序列un(s)由泛函分析变分的极值理论[26-27]知,函数序列un(s)在区域[0,M]上是一致收敛的,其中M为足够大的常数,而且极限函数u(s)是方程(3)的解于是un(s)就是波动方程(2)的第n次变分迭代孤子波近似解

再由行波变换(2),un(x-at)就是超非线性波动方程(1)的第n次变分迭代孤子行波近似解wn(t,x):

wn(t,x)=wn-1(t,x)-

其中w0由式(13)决定,wj(j=1,2,…,n-1)可依次地确定

考虑如下一个简单的非线性波动方程:

(16)

做行波变换s=x-t,方程(16)的解w(t,x)=u(s)满足

(17)

由式(7), 对应的Lagrange乘子为

(18)

于是由式(8)、(18), 可构造方程(16)解的变分迭代关系式:

(19)

由式(13), 取方程

的孤立子解

(20)

为迭代式(19)的初始迭代再由式(20)和(14), 不妨取小参数ε=5×10-3,波动方程(17)解的一次迭代u1(s)为

(21)

非线性波动方程(17)的初始迭代u0(s)和一次近似变分迭代u1(s)的曲线图形分别见图1和图2

由式(15)和(21), 波动方程(17)解的二次迭代u2(s)为

其中u1由式(21)表示

继续用相同的方法,还能得到非线性方程(17)孤子波解的更高次近似解

利用行波变换s=x-t,便得到非线性波动方程(16)对应的变分迭代初始行波解w0(t,x)和变分迭代一次近似行波解w1(t,x):

其曲面图如图3和图4所示

图1 方程(17)的孤子波u0(s)的曲线图2 方程(17)的孤子波u1(s)的曲线
Fig. 1 The curve of solitary waveu0(s)Fig. 2 The curve of solitary waveu1(s)
to eq. (17) to eq. (17)

图3 方程(16)的孤子波w0(t,x)的曲面图4 方程(16)的孤子波w1(t,x)的曲面
Fig. 3 The surface of solitary wavew0(t,x)Fig. 4 The surface of solitary wavew1(t,x)
to eq. (16) to eq. (16)

波动方程(16)解的二次迭代w2(t,x)为

其中u1由式(21)表示

继续用相同的方法,还能得到非线性方程(16)的更高次孤子波行波近似解

4 结 束 语

变分迭代方法是一种泛函的解析求解方法,并且方法简单它不同于通常的数值模拟方法用变分迭代方法得到的近似解析式还能进行解析运算事实上,波动方程(1)的孤子波解,提供了一个构造任意次精度的孤子波近似解它还可以通过解析运算从定量的角度来研究有关孤子波的其他有关的定性性态

致谢 本文作者衷心感谢亳州学院教学研究项目(重点项目)(2017zdjy02)和亳州学院自然科学研究项目(重点项目)(BY2017B02)对本文的资助

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Solitary Travelling Wave Solutions to Strongly Nonlinear Wave Equations

FENG Yihu1,2

(1.Bozhou University,Bozhou,Anhui 236800,P.R.China;
2.Department of Mathematics,Shanghai University,
Shanghai 200444,P.R.China)

Abstract: A strongly nonlinear wave equation was studied. With the functional analytic variational iteration method, firstly, a variational iteration was constructed, and the corresponding Lagrangian multiplicator was solved. Secondly, the initial solitary wave was selected and the iteration method was used to obtain the approximate solution of arbitrary-degree accuracy for the solitary wave. This method is easy and feasible for getting approximate solutions to nonlinear wave equations.

Key words: wave equation; soliton; approximate method

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(41275062)

中图分类号 O175.26

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390054

文章编号1000-0887(2019)01-0089-08

收稿日期 2018-02-03

修订日期2018-04-17

基金项目 国家自然科学基金(41275062);安徽省教育厅自然科学基金(重点项目)(KJ2017A702);安徽省高校优秀青年人才支持计划(重点项目)(gxyqZD2016520)

作者简介 冯依虎(1982—),男,副教授,硕士(E-mail: fengyihubzxy@163.com).

引用本文/Cite thispaper:冯依虎. 强非线性波动方程孤子行波解[J]. 应用数学和力学, 2019,40(1): 89-96.FENG Yihu. Solitary travelling wave solutions to strongly nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2019,40(1): 89-96.