考虑应力沿深度变化的饱和软黏土一维固结半解析解*

王晋宝, 童焯煜, 何 博, 许光映

(浙江海洋大学 港航与交通运输工程学院, 浙江 舟山 316022)

摘要: 针对饱和软黏土,结合引入弹壶元件改进的分数阶Kelvin模型,同时考虑土体内应力沿深度变化的特点,利用Laplace变换推导获得其一维固结半解析解首先,通过与文献中的试验结果及文献中的理论结果对比,说明了该模型的有效性;其次,详细地分析了不同分数阶阶数、不同总应力比以及不同分级线性加载等因素对饱和软黏土固结沉降以及孔隙水压力的影响,再现了饱和软黏土的固结沉降机理,以期为工程实践提供相关的理论基础

关 键 词: 饱和软黏土; 黏弹性; 分数阶Kelvin模型; 半解析解; 分级线性加载

引 言

到目前为止,工程上仍沿用Terzaghi[1]的经典一维固结理论来预测饱和土的沉降速率和超孔隙水压消散率的走势众所周知,由于Terzaghi理论的局限性,对于饱和土体固结的预测与实际情形相差较大不少学者已做了大量改进研究,使预测结果更接近于实际工程对于饱和软黏土的研究,一直是一维固结理论研究的热点Taylor和Merchant[2]首先将黏弹性Kelvin模型应用在饱和土的固结理论研究当中,并通过与经典弹性模型对比,发现黏弹性模型能更好地描述饱和土的固结机理孙海忠等[3]将分数阶黏壶引入经典Kelvin模型中,描述了软黏土的蠕变过程,与试验结果比较,取得了较好的拟合效果刘忠玉等[4]首次将弹壶模型应用于Kelvin黏弹性模型中,并研究了考虑单面排水边界条件和恒定均布荷载作用的流变固结问题,得出了与实验结果相一致的结论汪磊等[5]用分数阶Kelvin模型,推导出了饱和土体一维固结的半解析解,并以此来描述土体固结过程中的沉降

饱和土体的固结问题,除了考虑较为合理的黏弹性模型外,荷载对其作用的方式也是讨论的焦点之一考虑变荷载作用,谢康和等[6]完成了饱和土体固结模型的推导,给出了任意层地基一维固结问题的解析解,并指出荷载的固结速率会随时间的增加而变小蔡袁强等[7]在任意荷载的基础上,给出了成层黏弹性地基的一维固结解析解,并基于工程实例进行了有效验证谢康和等[8]在考虑饱和软黏土大应变固结的基础上,得出加载速率越快,固结完成也相应越快李传勋等[9]在变荷载的基础上,对基于指数形式渗流定律的一维固结问题进行计算分析,并得出渗流指数的变化与固结的关系Zhu等[10]基于同时考虑时间和土层深度对附加应力的影响,给出了单层地基一维固结的解析解卢萌盟等[11-12]基于逐级加荷载,得出了复合地基固结解析解,并在之后的研究中同时考虑了附加应力沿深度变化的情况,得出了相应的理论解秦爱芳等[13]基于Fredlund非饱和土一维固结理论,得到了线弹性和黏弹性两种地基在线性加载情况下,非饱和土的固结理论解,并分析了不同工况下超孔隙水压力、超孔隙气压力和固结度的变化规律Conte等[14-15]在Fourier级数的基础上,分别给出了单层土壤线性和非线性固结的两个解析解,其中通过选择合适的Fourier级数周期,可以适用于模拟各种加载方案Xie等[16]针对双层饱和土,使用简化的k-σ′以及mv-σ′模型,研究了双层饱和土的固结行为,并提出了巩固其固结效果的方案

围绕饱和土体固结问题,尽管目前已有较多的改进工作开展,但由于土体固结的复杂性,进一步完善地再现其固结行为仍然是迫切需要的在已有的工作中,尚缺少同时考虑软黏土的黏弹性行为和载荷引起的总应力沿土层变化的研究,其预期能更好地反映工程实际情况本文利用能够更好地描述土体黏弹性行为的基于弹壶修正的分数阶Kelvin模型,同时综合考虑载荷引起的总应力沿深度线性分布的变化特征,通过Laplace变化,获得了可以分析饱和软黏土一维固结的半解析解,这将为工程实际问题提供一定的理论基础

1 改进的分数阶Kelvin模型

经综合比较,Riemann-Liouville(R-L)型分数阶微积分算子对描述黏弹性更具优势,其积分形式如下:

(1)

式中α为积分的阶数,t为时间,Γ(i)为Gamma函数,Γ(i)=ti-1e-tdt(Re(i)>0)

图1 改进的分数阶Kelvin模型
Fig. 1 The improved fractional Kelvin model

如图1所示,本文用Koeller[17]所提出的分数阶导数定义的弹壶元件替代Kelvin模型中的黏壶元件,即改进的分数阶Kelvin模型为

(2)

上式为本文所选取的黏弹性模型的表达式,其中σ′(t)为正应力,ε(t)为应变,E1为该弹壶的弹性模量,η为该弹壶的黏滞系数,α为分数阶阶数α=1时,其退化为经典的Kelvin模型;当η=0时,其退化为一个弹簧原件,即为Terzaghi固结理论中的弹性模型

2 荷 载 形 式

由于文献[18]中已经对土样的初始孔隙水压力沿土层深度的分布进行了详细说明,本文将采用文献[18]中所讨论的沿深度线性变化的形式作为研究条件具体荷载形式如下:

(3)

上式中σ(z,t)为总应力,H为土层厚度,σ0z=0处的应力,σ1z=H处的应力,tc为临界时间

图2、3分别描述了总应力沿土层深度分布的规律以及总应力随时间的变化规律,即所用荷载和沿深度呈线性变化形式,这也符合实际工程中的地基处理常用的预压固结方式

图2 顶部应力与底部应力沿深度变化图3 顶部应力与底部应力随时间变化
Fig. 2 The top stress and bottom stress Fig. 3 The top stress and bottom stress
changing along the depth changing with time

3 固结方程求解

由图4可知,H为土层厚度,u(z,t)为孔隙水压,σ′(z,t)为有效应力由于土层微元体的流出和流入的流量差,近似等于它的体积变化,其他假定沿用Terzaghi经典一维固结定理[1],可得

(4)

其中kv为土层的渗透系数,γw=ρwgρw为水的密度,ε为土层的应变

总应力与有效应力和孔隙水压力的关系为

σ(z,t)-σ′(z,t)=u(z,t)

(5)

将式(5)代入式(4),可得

(6)

分别对式(6)与式(2)进行Laplace变化,可得

(7)

(8)

图4 饱和软黏土一维流变固结
Fig. 4 The 1D rheological consolidation of the saturated soft clay

将式(7)与式(8)结合,可得

(9)

考虑单面排水边界条件:

(10)

其中

对式(10)进行Laplace变化可得

(11)

结合式(11)的边界条件,最终求解方程式(9)可得

(12)

其中

本文所采用的一维流变固结模型的沉降量为

W(t)=ε(z,t)dz

(13)

对式(13)进行Laplace变换:

(14)

将式(2)代入式(14),可得

(15)

将式(12)代入式(15),可得

(16)

引入Crump数值反演方法[19],式(16)可变换为

(17)

式中a=α-ln E′/(2T),其中本文选取α=0,E′=0.001,T根据每组参数不同而定(T>tmax)

4 算例验证与参数分析

为了说明该模型的可靠性,本文将所得的半解析解结果与李西斌[20]的试验结果及汪磊等[5]的理论结果分别进行了对比;进一步地,基于本文的半解析解,本文将分析相关参数对饱和软黏土体固结的影响

4.1 算例验证

首先,基于李西斌[20]所做一维流变固结试验中的结果,本文开展了改进的分数阶Kelvin模型及普通分数阶Kelvin模型与其对比的分析其中,对比的试验参数如表1所示

表1 对比试验参数[20]

Table 1 Comparison test parameters[20]

q0/MPakv/(m·s-1)E/MPaη/(MPa·s)0.84×10-111651 125

基于李西斌[20]试验中所给的土样参数,图5给出了将本文改进的分数阶Kelvin模型半解析解与李西斌[20]的试验结果以及普通分数阶Kelvin模型结果进行对比的情况对比后发现:在本文模型中取α=0.35,在普通分数阶Kelvin模型中取α=0.9时,可以获得与试验结果较为一致的曲线关系从图5的对比曲线中可以看出,与普通分数阶Kelvin模型的结果对比,本文改进的分数阶Kelvin模型结果与试验结果具有更好的吻合度,即基本与试验曲线保持相当的一致性,说明了本文利用弹壶元件改进的分数阶Kelvin模型具有更好的可靠性从以上的对比试验中也可以看到:对于分数阶阶数这种材料内禀参数的选取,不同的黏弹性模型所需的分数阶阶数不同,一定程度上与材料的参数相关其中,有关于分数阶参数与材料参数的相关性,目前仍然是一个开放的问题,有待于进一步深入研究

进一步地,基于文献[5]中的关于饱和软黏土体的参数值,具体为kv=1×10-7 m/s,γw=10 kN/m3E(0,1)=12 MPa,H=19 m,η=230 MP·d

图6所示为本文结果与文献[5]理论结果的对比,其中α均选取为0.6,tc均取为100 d由图可知,本文结果与文献[5]结果趋势相同,固结前期快速上升,固结后期趋于平稳然而,我们也可以发现,最终沉降量以及达到最终沉降的时间略有所不同,这主要归因于本文采用的是基于弹壶改进的分数阶Kelvin黏弹性模型,而文献[5]所采用的是普通分数阶Kelvin模型

图5 本文结果与文献试验结果及普通分数阶Kelvin模型对比 图6 本文结果与文献结果对比
Fig. 5 Comparisons of the present results with those from the Fig. 6 Comparisons of the present results
literature test and the traditional fractional Kelvin model with the literature results

4.2 参数分析

基于改进的Kelvin黏弹性分数阶模型以及所获得的半解析解,本文将进一步考虑不同分数阶阶数α与不同应力比σ0/σ1对饱和软黏土体固结的影响,土样基本参数的选取与上文相同

图7 分数阶阶数对饱和软黏土沉降的影响图8 分数阶阶数对饱和软黏土孔隙水压力的影响
Fig. 7 Influences of the fractional order on the Fig. 8 Effects of the fractional order on the pore
settlement of the saturated soft clay water pressure of the saturated soft clay

4.2.1 分数阶阶数α的影响

图7、8分别表示在α分别取0.3,0.6,0.9及tc取0 d(恒定荷载)情况下,饱和软黏土的固结沉降变化以及固结过程中的孔压变化由图7可知,分数阶阶数越小,固结前期沉降速率越快,固结后期沉降速率反而越慢,且最终沉降量越小,达到最终沉降所需时间越长由图8可知,在固结前期,分数阶阶数越小,孔压消散越慢,而到了固结中后期,分数阶阶数越小,孔压消散越快综合比较图7、8可得沉降变化明显滞后于孔压变化,这很好地反映了饱和软黏土的蠕变特性,且分数阶阶数越小,效果越明显正是因为本文模型中采用了分数阶弹壶,通过改变分数阶阶数可以同时改变土体的黏滞系数与弹性模量,即可以有效地描述土体的蠕变行为

4.2.2 不同应力比σ0/σ1的影响

图9 应力比对饱和软黏土沉降的影响
Fig. 9 Effects of the stress ratio on the settlement of the saturated soft clay

图9表示不同总应力比σ0/σ1对饱和软黏土的固结沉降影响,从图中可以看出,随着总应力比的增大,软黏土体固结的最终沉降值越大,固结效果越好由于排水边界在土体的顶部表面,所以在靠近排水表面设置大应力有利于土体的固结

5 线性加载下的固结影响

在本节中,主要考虑一级线性加载以及两级线性加载方式对土体的固结影响

图10 一级线性加载形式 图11 两级线性加载形式
Fig. 10 The one-step linear loading scheme Fig. 11 The two-step linear loading scheme

5.1 线性加载的荷载形式

本文采用两种线性加载方式,一级线性加载(如图10所示),时间分别为tc=0, 10, 100, 1 000 d;两级线性加载(如图11所示)时间分别为tc1=10 d,tc2=10 d;tc1=20 d,tc2=20 d;tc1=30 d,tc2=30 d;tc1=40 d,tc2=40 d;tc1=50 d,tc2=50 d(第一加载阶段时间为tc1,第二加载阶段时间为tc2)对于不同的加载方式,主要体现为加载时间越短,加载的速率越快具体的两种加载方式可参见图10、11

5.2 不同线性荷载的影响

图12为一级线性加载下饱和软黏土体的沉降曲线,曲线显示不同的tc值对固结沉降的影响图13表现的是两级线性加载下的沉降曲线通过图12、13可以发现,随着tc值的增大,在荷载加载结束前,沉降的增长速率越慢; 在加载结束后, 对于不同的tc值, 最终固结沉降量均相同这主要是由于tc值所代表的就是荷载的加载速率,tc越小加载速率越快,反之则越慢其中,荷载的加载速率(tc值大小)体现的是加载期内荷载发展的速度,会影响沉降速率的变化,对最终荷载加载结束后的固结沉降无影响

图12 一级线性加载下饱和软黏土体的沉降 图13 两级线性加载下饱和软黏土体的沉降
Fig. 12 Settlement of the saturated soft clay Fig. 13 Settlement of the saturated soft clay
under one-step linear loading under two-step linear loading

6 结 论

基于改进的分数阶Kelvin模型,本文通过Laplace变换以及Crump反演方法,获得了考虑总应力沿深度变化的线性荷载作用下饱和软黏土的半解析解通过与文献试验结果及文献理论结果对比,说明了本模型的有效性进一步地,本文分析了有关参数对饱和软黏土的影响,所得结论如下:

1) 通过与文献试验结果的对比,可以看出改进的分数阶Kelvin模型比普通的分数阶Kelvin模型有更好的吻合度

2) 分数阶阶数越小,固结前期沉降速率越快,固结后期沉降速率反而越慢,且最终沉降量越小,达到最终沉降所需时间越长,孔压消散越快

3) 饱和软黏土的沉降变化明显滞后于孔压变化,且随着分数阶阶数的减小,滞后效果越明显

4) 通过分析一级和两级线性荷载作用下饱和软黏土的固结沉降可得,随着tc值的增大,在荷载加载结束前,沉降的增长速率越慢;在加载结束后,固结沉降量最终相同

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A Semi-Analytical 1D Consolidation Solution of Saturated Soft Clay With Changing Stresses Along the Depth

WANG Jinbao, TONG Zhuoyu, HE Bo, XU Guangying

(School of Port and Transportation Engineering, Zhejiang Ocean University,Zhoushan, Zhejiang 316022, P.R.China)

Abstract: A semi-analytical 1D consolidation solution of saturated soft clay was derived via the Laplace transform by means of the spring pot-based fractional-order Kelvin model and in view of changing inner stresses along the depth of the soft clay. Firstly, the validity of the semi-analytical solution was verified through comparison with the referential results. Then, the effects of different fractional orders, total stress ratios and multi-grade linear loadings on the consolidation settlement and the pore water pressure of the saturated soft clay were analyzed based on the semi-analytical solution in detail. The work provides a theoretical basis for the related practical geotechnical engineering.

Key words: saturated soft clay; visco-elasticity; fractional-order Kelvin model; semi-analytical solution; multi-grade linear loading

文章编号:1000-0887(2019)10-1099-10

*收稿日期: 2018-10-10; 修订日期:2019-09-04

基金项目: 国家自然科学基金(11372281)

作者简介: 王晋宝(1975—),男,教授,硕士生导师(通讯作者. E-mail: jinbaow@zjou.edu.cn).

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

中图分类号: TU435

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390265

Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(11372281)

引用本文/Cite this paper:王晋宝, 童焯煜, 何博, 许光映. 考虑应力沿深度变化的饱和软黏土一维固结半解析解[J]. 应用数学和力学, 2019,40(10): 1099-1108.WANG Jinbao, TONG Zhuoyu, HE Bo, XU Guangying. A semi-analytical 1D consolidation solution of saturated soft clay with changing stresses along the depth[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(10): 1099-1108.