一类分数阶非线性时滞问题的奇摄动

朱红宝

(安徽工业大学 数理科学与工程学院,安徽 马鞍山243002)

摘要: 讨论了一类奇异摄动非线性分数阶时滞问题.首先利用奇异摄动方法求出了问题的外部解.再利用伸展变量法构造了问题在边界附近的两个边界层校正项,得出了所提问题的形式渐近解.最后,在合适的假设条件下,利用微分不等式理论证明了解的一致有效性,并给出了结论及未来的研究方向.

关 键 词: 分数阶微分方程; 非线性; 时滞; 奇摄动

引 言

奇异摄动问题的研究一直以来是一个热门问题,许多学者在很多领域做了大量的研究工作[1-6].最近几十年来,学者们把奇摄动理论和方法运用到了分数阶微分方程上.莫嘉琪[7]研究了一类奇摄动非线性分数阶微分方程Cauchy问题,在适当的条件下,利用奇异摄动理论和方法得到解的形式渐近展开式;Shi和Mo[8]又研究了一类奇摄动分数阶微分方程初值问题;林学渊等[9]和莫嘉琪等[10-11]研究了不同分数阶奇异摄动问题,得出了一些结论.所有这些分数阶问题解决了许多常规的导数不能描述和解决的实际问题,例如许多复杂的渗流现象、热传导现象以及神经元和神经网络等,这些问题的研究丰富和发展了奇异摄动理论.同时,带有小参数的时滞奇摄动也是广大学者研究和探讨的问题.Wang等[12]利用一些奇摄动方法研究了具有边界摄动的非线性时滞反应扩散方程奇摄动问题;Mo等[13]讨论了一类具有两参数时滞奇摄动非线性问题的冲击波解,在适当的条件下,利用匹配法和微分不等式理论,构造了原问题的冲击波奇摄动解,并讨论了它的渐近性态;Mo[14]和欧阳成[15]分别研究了一些时滞微分问题及微分差分方程在一定条件下的一致有效渐近解.本文把这两类问题进行了综合,研究了一类分数阶时滞非线性问题,利用奇摄动理论和方法构造了一类分数阶时滞微分方程的渐近解,并用微分不等式理论证明了渐近解的一致有效性.

考虑以下的非线性分数阶奇异摄动时滞问题:

这里ε是个很小的正常数.函数yx)的α分数阶导数Dαx定义为

其中Γ(·)为Gamma函数,α为小于1的正分数.

首先做如下假设:

(H1)函数fxy),Aε)和Bε)关于其变量在其变化区域内为足够光滑函数.

(H2)函数fxyxε))≤0,且存在正的常数δ,使得f′yxyxε))≤-δ<0.

(H3)退化问题fxy)=0仅有唯一单调解y 0x).

1 外部解

将函数yxε)展开成ε的幂级数形式如下:

代入式(1),有

设时滞问题(1)的外部解形如

将式(6)代入式(5),并将右端函数按照ε的各阶次幂进行展开,比较等式两边ε的各阶次幂系数相等,得

由假设(H3)及以上各式都是代数方程可依次得y ix),其中

F i的表达式都可依次由前式确定,故其结构省略.将y ix)代入式(6),便得到了原问题的外部解.显然,由此构造的外部解不一定满足条件(2)、(3),为此需要构造边界层校正项ZW .

2 构造边界层校正项

首先构造在x=0附近的边界层校正项Z,为此设分数阶时滞问题(1)~(3)的解为

其中τxε为伸长变量,且

将式(13)、(12)和式(6)代入式(5)和式(2)、(3),按照ε的各阶次幂展开式(5)右端的函数及Aε),Bε),并比较等式两边ε的各阶次幂系数相等,可得

Gii=1,2,… 是由y 0y 1,…,y iz 0z 1,…,z i-1 逐次确定的已知函数,其结构从略.

由分数阶微分方程(14),我们能得到以下Volterra积分系统:

其中C 1C 2为任意常数,解Volterra积分系统(20)、(21)并结合条件(15)、(16)能够得到z 0τ).类似地,可依次求出z 1τ),z 2τ),…,将其代入式(13),可得到在x=0附近的边界层校正项Zτε).又由假设(H2)知,函数z iτ),i=0,1,… 具有性质[16]

其中k i+1k ii=0,1,… 为正常数.

再构造在x=1附近的边界层校正项W,为此设分数阶时滞问题(1)~(3)的解为

其中η= (x-1)/ε为伸长变量,且

将式(24)、(13)、(6)和式(23)代入式(5)和式(2)、(3),按照ε的各阶次幂展开式(5)右端的函数及Aε),Bε),并比较等式两边ε的各阶次幂系数相等,得

H ii=0,1,… 是由y 0y 1,…,y iz 0z 1,…,z iw 0w 1,…,wi-1 逐次确定的已知函数,其结构从略.

由分数阶微分方程(25),我们能得到以下Volterra积分系统:

其中D 1D 2为任意常数,解 Volterra积分系统(31)、(32)并结合条件(26)、(27)能够得到w 0η).类似地,可依次求出w 1η),w 2η),…,将其代入式(24),可得到在x=1附近的边界层校正项Wηε).又由假设(H2)知,函数w iη),i=0,1,… 具有性质[16]

其中i=0,1,… 为正常数.

由式(6)、(13)、(24)和(23)及以上讨论所确定的y ix),z iτ)及w iη),i=0,1,…,我们得到分数阶非线性时滞奇摄动问题(1)~(3)的形式渐近展开式为

3 渐近展开式的一致有效性

下面证明以上的展开式为关于ε一致有效的展开式.首先给出如下定义.

定义1 设存在两个光滑函数,且分别满足

则分别称yy为问题(1)~(3)的上解和下解.

定理1 在假设(H1)~(H3)的条件下,yxε)和yxε)分别为分数阶奇摄动边值问题

的上解和下解,则问题(1)~(3)存在一个解yxε),且有关系式:

证明 利用数学归纳法证明定理,先按以下迭代关系式构造函数序列:

分别以y为式(37)、(38)的初始迭代函数,可分别依次构造n=0,1,…-.于是可得到两个函数列 ,现讨论它们的收敛性态.

i=0,1,… .因此,当i=0时,,由假设(H2),则有

于是由极值原理[17]

于是由极值原理得.因此,由数学归纳法知

同样的方法,类似可得

以及

通过以上讨论结合Arzela-Ascoli定理,分数阶时滞奇摄动边值问题(1)~(3)有一个解yxε),使得

定理1证毕.

定理2 在假设(H1)~(H3)下,分数阶时滞奇摄动边值问题(1)~(3)有一个解yxε),且具有如下关于ε的一致有效的渐近展开式:

证明 首先构造两个辅助函数αxε),βxε),定义如下:

其中r为适当大的正常数,将在随后的证明中给出.显然

且对于足够小的ε,存在一个正常数δ1,使得

故选取rδ1,就可得到

同理,类似可得

下面证明

仅证明式(45),类似的方法证明式(46).事实上,由假设和式(22)、(33),存在一个正常数δ2,使得

上式成立只需要选择足够的rδ2c即可,所以式(45)成立,同理可证式(46)成立.故函数βxε)和αxε)分别为问题(1)~(3)的上解和下解.由定理1知,分数阶非线性时滞奇摄动边值问题(1)~(3)有一个解yxε),且满足关系式:

αxε)≤yxε)≤βxε).

再由式(40)、(41)得式(39)成立,定理2证毕.

4 结 论

对分数阶时滞奇摄动边值问题(1)~(3),在假设(H1)~(H3)下,构造了问题的外部解和边界层解,得出了如下的一致有效的形式渐近解:

本文讨论的分数阶时滞奇摄动问题,其时滞变量和小参数都是同一个ε.笔者可以继续推广,研究时滞变量和小参数不同时的问题,也即双参数的分数阶时滞奇摄动问题,这将是笔者今后努力研究的方向.

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A Class of Fractional Nonlinear Singularly Perturbed Problems With Time Delays

ZHU Hongbao
School of Mathematics PhysicsAnhui University of TechnologyMaanshanAnhui 243002,P.R.China

Abstract:A class of fractional nonlinear singularly perturbed problems with time delays were considered.Firstly,the outer solution was constructed by means of the singular perturbation method.Then,a stretched variable was introduced to obtain 2 boundary layer correction items for the solution,and the asy mptotic analytic expansion solution to the problem was also acquired.Finally,under suitable conditions,the theory of differential inequalities was applied to prove the uniformlyvalid asy mptotic expansion of the solution to the original problem,and the conclusion with the future research directions was given.

Key words:fractional differ ential equation;nonlinear;time delay;singularly perturbed

中图分类号: O175.14

文献标志码: A

DOI:10.21656/1000-0887.400195

文章编号:1000-0887(2019)12-1356-08

* 收稿日期: 2019-06-20;修订日期: 2019-08-10

基金项目: 安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2019 A0062)

作者简介: 朱红宝(1975—),男,硕士(E-mail:zhuhb@ahut.edu.cn).

① 〗引用本文/Cite this paper:

朱红宝.一类分数阶非线性时滞问题的奇摄动[J].应用数学和力学,2019,40(12):1356-1363.

ZHU Hongbao.A class of fractional nonlinear singularly perturbed problems with time delays[J].Applied Mathe matics and Mechanics,2019,40(12):1356-1363.