捕食者食饵均染病的入侵反应扩散捕食系统中扩散的作用

柳文清, 陈清婉

(福建师范大学 闽南科技学院, 福建 泉州 362300)

摘要 研究了捕食者食饵均染病的入侵反应扩散捕食系统利用特征值方法和构造Lyapunov函数,获得了入侵扩散对正常数平衡解的影响, 当入侵扩散系数充分大时, 导致平衡态失稳进一步, 利用拓扑度方法, 证明了在一定条件下入侵扩散系数很大, 自扩散充分小时, 有非常数正平衡解存在

入侵反应扩散; 稳定性; 正常数平衡解; 非常数正平衡解

引 言

由捕食系统和传染病模型结合而成的生态流行病系统,是近些年来生物学一个新的分支Anderson和May[1]首次将生态系统和传染病系统结合起来并提出了食饵染病的食饵捕食系统在种群捕食过程中,疾病也得以传播因此,在传染病系统中研究物种的相互作用效果有实际意义许多学者研究食饵带疾病的捕食模型[2-4],或捕食者染病的捕食食饵模型[5-7]另外,也有捕食者系统均染病的捕食食饵模型[8-10]由于疾病可以在捕食者、食饵群内或群间传播,并且捕食者可选择捕食染病和未染病食饵,从而使这类模型有着丰富的研究内容

然而,前期的传染病食饵模型,并没有考虑空间分布的不均匀性即由内竞争与群间躲避和防御等引起的自扩散和交错扩散,这显然不符合实际情形当捕食者进入食饵密度高的地方捕食时,食饵逃跑或群体防御进攻,从而产生了复杂扩散,相关文章可参考文献[11-14]文献[13]中研究了一类食饵染病的入侵扩散系统:

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(X(0,x),S(0,x),I(0,x))=(X0(x),S0(x),I0(x)), xΩ

(1e)

其中ΩRN(N>1,为正整数)中的有界区域,∂Ω为光滑边界;X是食饵密度,SI分别代表易感捕食和感染捕食,aX-bX2为logistic项;正常数θ,α,β,c,γ分别代表捕食操作时间,易感捕食者的死亡率,转换率,染病捕食者的死亡率和疾病的传播系数;在扩散项中,d1,d2d3为自扩散系数,m代表捕食者朝向食饵的一种趋向,且m被称为侵入反应扩散系数

在此基础上,本文进一步考虑捕食者均染病的入侵扩散捕食系统:

(2)

其中Y为染病食饵,d为染病食饵的死亡率食饵疾病只在食饵之间传播,初值非负不恒为0传播率为k,与系统(2)所对应的椭圆系统为

(3)

1 入侵扩散对稳定性的影响

系统(2)有以下非平凡常数平衡点,分布如下

当满足条件(H1):ak>bd时,存在平衡点

当满足条件(H2):β>θα,a(β-θα)>时,存在平衡点

当满足条件时,存在平衡点

当满足条件时,存在平衡点

本文主要分析正常数平衡点E4的稳定性,记

在点E4处,系统(2)的线性化系统为

Wt=ΦW(E4W+GW(E4)W

对应的特征方程记为

f(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4,

其中0=μ0μ1μ2 ≤…≤μk ≤…,为算子Δ满足齐次Neumann边值条件的特征值

先证明m=0时的情形,记

定理1m=0且r>1,那么正平衡点E4是局部渐近稳定的

m=0时,为了方便仍然记(X*,Y*,S*,I*)=(X,Y,S,I),此时特征方程为

f0(λ)=λ4+A10λ3+A20λ2+A30λ+A40,

其中

容易得到,当r>1时,f0(0)=A40>0,并且f0(λ)=4λ3+3A10λ2+2A20λ+A30>0这说明f0(λ)=0无正实根,下面说明f0(λ)=0无纯虚根 假设λ=iω(ω>0)是特征方程的特征根,代入方程,则有

(ω40-A20ω2+A40)+i(A30ω-A10ω3)=0

由上式可得

ω4-A20ω2+A40=0, A30ω-A10ω3=0,

所以有

通过计算可以得出矛盾 事实上,只要取常数项进行比较A10A20A30-A302μk降幂排列,常数项为

A102A40μk降幂排列,常数项为

从而特征方程不存在虚根由文献[15]中定理3.3.1知,特征方程的根均有负实部即当r>1时,E4具有局部渐近稳定性

定理2m=0且R>1,那么正平衡点E4是全局渐近稳定的

定义Lyapunov函数:

其中h=(1+θX)/β

故当R>1时,V(t)≤0,从而正平衡点是全局渐近稳定的

定理3 若满足

则存在正常数m0,当m>m0,那么正平衡点E4是不稳定的

为了方便,仍然记(X*,Y*,S*,I*)=(X,Y,S,I)由于

det GW(E4)=

取极限

其中

μ1(m),μ2(m),μ3(m),μ4(m)为det GW(E4)=0的4个根,且μ1(m)≤μ2(m)≤μ3(m) ≤μ4(m),则

μ1(m) ·μ2(m) ·μ3(m) ·μ4(m)=k2XY·r2XY>0,

由定理条件可知,B2<0由连续性可知,存在常数m0,当m>m0时,有

-∞<μ1(m)<μ2(m)<0<μ3(m)<μ4(m)<+∞;

0<μ1(m)<μ2(m)<μ3(m)<μ4(m)<+∞;

因此,存在μk∈(μ3(m),μ4(m)),使得det GW(E4)<0 这说明此时至少有一正的特征根故正平衡点E4不稳定

2 非常数正平衡解的存在性

引理1 存在正常数A,使得系统(3)的解满足

A-1≤(X,Y,S,I)≤A

由极值原理易知

将第一个方程和第二个方程相加,同样由极值原理,有

φ(x0)=max φ(x),由极值原理

从而有

下面证明X,Y,S,I下界,记

满足方程

φ1(x)=c(x)φ1(x),

其中

由Harnack[16]不等式可得

从而

同理有

将方程组(3)中第二个和第四个方程积分,由散度定理可得

因此存在x1Ω ,使X(x1)=d/k,结合Harnack不等式可得

用同样的方法可证

对于I(x)下界利用反证法,假设存在序列di,k,mk(i=1,2,3,4),使得k→+∞时,

由Harnack不等式可知,Ik(x)→0在Ω一致成立直接将方程组(3)中第三个方程序列积分,由散度定理可得

k→+∞并由积分中值定理,存在x2Ω,使得

这与条件(H4)矛盾

利用同样方法可证明Y的下界,引理证毕

记系统(3)为

Φ(W)=G(W), B=xΩ|A-1X,Y,S,IA,

将其记为

F(W)=

W-(I-Δ)-1[Φ(W)(W)]-1[G(W)+W·ΦWW(W) ·W]+W=0,

其中(I-Δ)-1是I-Δ的逆,易证对所有W,det ΦW>0存在,由于算子F(·)是恒等算子I的一个紧干扰算子对∀W∈∂BF(W)≠0,则有Leray-Schauder拓扑度deg(F(·),0,B)直接计算得

DWF(E4)=I-(I-Δ)-1[ΦW(E4)]-1GW(E4)+I,

H(μ)=detμI-(ΦW(E4))-1GW(E4)

由Leray-Schauder定理,有以下引理

引理2 对所有正整数i都有H(μi)≠0,则

由于det [Φ(W)(E4)]-1>0,故只需考虑det[μΦW(E4)-GW(E4)]的符号来判断H(μ)的符号

定理4 设满足条件(H4)以及

并且μ3(m)∈(μi-1,μi),μ4(m)∈(μj-1,μj), j-i为奇数 那么存在正常数M,当m>M时,系统(2)至少有一个非常数正平衡解

利用反证法假设结论不成立,对t∈[0,1],定义

考虑如下方程:

(4)

F(t,W)=

W-(I-Δ)-1[ΦW(t,W)]-1[G(W)+W·ΦWW(t,W) ·W]+W=0.

t=1时,系统(4)即是系统(3),并且系统(4)只有唯一正常数解E4由定理条件及引理2可知index(F(1,·),E4)=(-1)σn=-1

另外,考虑m=0时,

f(λ)=λ4+A10λ3+A20λ2+A30λ+A40

B10μ4+B20μ3+B30μ2+B40μ+B50

其中

当满足条件时,对∀u>0,A40>0通过计算可得,当满足条件

时,恒有H(μ)>0因此对任意μ>0,index(F(0,·),E4)=(-1)0=1

因为由假设,在B中系统(4)只有唯一正常数解E4因此有

deg(F(0,·),0,B)=index(F(0,·),E4),

deg(F(1,·),0,B)=index(F(1,·),E4)

这与拓扑度的同伦不变性deg(F(0,·),0,B)=deg(F(1,·),0,B)相矛盾,这说明在B内系统(3)一定有不同于E4的解证毕

3 结 论

由文中定理1~3的结论,首先讨论没有入侵扩散时,正常数平衡点的稳定性,得到结论如下:当扩散系数m=0且满足阈值r>1时,平衡点E4是局部渐近稳定的;当扩散系数m=0且满足阈值R>1时,平衡点E4是全局渐近稳定的而当入侵存在,扩散系数m充分大且满足一定条件时,平衡点E4是不稳定的这就说明入侵会导致平衡态失稳进一步地,由定理4的结论可知,当自扩散系数di(i=1,2,3,4)固定且满足一定条件,扩散系数m足够大时,能进一步产生其他非常数正平衡解,此时捕食者和食饵能共存

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Influence of Diffusion on an Invasion-Diffusion Prey-Predator Model With Disease Infection in Both Populations

LIU Wenqing, CHEN Qingwan

(Minnan Science and Technology Institute, Fujian Normal University, Quanzhou, Fujian 362300, P.R.China)

Abstract: An invasion-diffusion prey-predator epidemic system with disease infection in both populations was studied. The influence of invasion diffusion on the equilibrium solutions of positive constants was obtained through analysis of the eigenvalue and construction of the Lyapunov function. Furthermore, with the topological method, it was proved that the coefficient of invasion diffusion will be big enough while the self-diffusion coefficient is sufficiently small, then there exists a positive non-constant equilibrium solution.

Key words: invasion diffusion; stability; positive equilibrium solution; non-constant positive equilibrium solution

中图分类号 O175.26

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390100

收稿日期 2018-03-30;

修订日期:2018-12-10

基金项目 福建省中青年教师教育科研项目(JAT160676);泉州科技高层次人才创新创业项目(2018C094R)

作者简介 柳文清(1984—),男,硕士(通讯作者. E-mail: lwq84815@163.com).

文章编号1000-0887(2019)03-0321-11

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

引用本文/Cite this paper:柳文清, 陈清婉. 捕食者食饵均染病的入侵反应扩散捕食系统中扩散的作用[J]. 应用数学和力学, 2019,40(3): 321-331.LIU Wenqing, CHEN Qingwan. Influence of diffusion on an invasion-diffusion prey-predator model with disease infection in both populations[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(3): 321-331.