引 言

凸性和广义凸性在数学规划的研究中起着相当关键的作用．Kazmi[1]给出了向量值情形下的D-预不变凸映射．进一步地，Peng和Zhu[2]建立了D-预不变凸映射的一些性质．Long等[3]讨论了D-半严格预不变凸和D-预不变凸之间的关系．彭再云等[4]提出了D-半预不变真拟凸、D-半严格半预不变真拟凸和D-严格半预不变真拟凸的概念，并建立了这几类广义凸性间的关系．黄应全[5]应用D-上半连续性，*-上半连续性和中间点的D-半预不变真拟凸性，得到了D-半预不变真拟凸映射的两个性质定理．唐莉萍和杨新民[6]分别利用D-半严格半预不变真拟凸性和D-严格半预不变真拟凸性建立D-半预不变凸性的充要条件，最后利用D-半预不变真拟凸性给出了半预不变凸性的刻画．彭建文[7]给出了向量值情形下的D-η-预不变真拟凸映射，并给出了它的一些性质．还有其他一些文献[8-14]对向量广义凸映射进行了研究．随后，文献[15]提出了一类新的向量值广义凸映射:D-η-E-半预不变凸映射，它是D-η-预不变凸映射的真推广，建立了D-η-E-半预不变凸映射与D-η-E-严格半预不变凸映射、D-η-E-半严格半预不变凸映射间的关系，并讨论了D-η-E-半严格半预不变凸映射在一类隐约束向量优化问题中的重要应用．

受文献[6-7]的启发，本文考虑D-η-E-半预不变凸性的新刻画．首先，对文献[15]中提出的条件H给出了一个重要的性质，在此基础上，结合稠密性结果，分别应用D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性和D-η-E-半预不变真拟凸性，建立了D-η-E-半预不变凸性的一些充要条件；其次，提出了一类新的广义凸映射：D-η-E-半预不变真拟凸映射，建立了D-η-E-半预不变真拟凸性与D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性之间的关系；最后，给出了D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在优化中的应用．

1 预 备 知 识

设X,Y⊂Rn，K⊂X且K≠∅，点闭凸锥D⊂X且D≠∅，

f:K→Y， η:Rn×Rn×[0,1]→Rn， E(·):K→K．

定义1[15] 如果∀x,y∈K，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，有

E(y)+αη(E(x),E(y),λ) ∈K，

那么，称K⊂X关于η是E-半不变凸集．

本文假设K⊂X是关于η的E-半不变凸集．

定义2[15] 如果∀x,y∈K，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D，

那么，称f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变凸．

定义3 如果∀x,y∈K，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D，

那么，称f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸．

定义4 如果∀x,y∈K，x≠y，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D,

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D，

那么，称f:K→Y关于η是D-η-E-严格半预不变真拟凸．

定义5 如果∀x,y∈K， f(E(x)) ≠f(E(y))，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D，

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D，

那么，称f:K→Y关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸．

为了讨论D-η-E-半预不变凸的一些性质，将用到下面的条件和引理．

条件H[15] ∀x,y∈K，∀α∈[0,1]，∀λ∈[0,1]，如果η和E满足关系式：

(H1) η(E(y)，E(y)+αη(E(x),E(y),λ)，λ)=-αη(E(x),E(y),λ)，

(H2) η(E(x)，E(y)+αη(E(x),E(y),λ)，λ)=(1-α)η(E(x),E(y),λ)，

那么，称η满足条件H．

引理1[15] 设η满足条件H，K⊂X关于η是E-半不变凸集，若f:K→Y满足

①f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D，∀x,y∈K；

② ∀x,y∈K，∃α∈[0,1]，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D，

则

A=γ∈[0,1]f(E(y)+γη(E(x),E(y),λ)) ∈

γf(E(x))+(1-γ)f(E(y))-D

在[0,1]中稠密．

性质1 设η满足条件H，那么

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α2η(E(x),E(y),λ)，λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ),

∀x,y∈K， ∀α1,α2∈[0,1]， ∀λ∈[0,1]．

(1)

证明 分3种情形考虑．

当α1=α2时，结论明显成立．

当α1>α2时，

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α2η(E(x),E(y),λ)，λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

(α2-α1)η(E(x),E(y),λ)，λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

η(E(y)，E(y)+(α1-α2)η(E(x),E(y),λ))，λ)=

-η(E(y)，E(y)+(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)，λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)．

当α1<α2时，

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α2η(E(x),E(y),λ)，λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

(α2-α1)η(E(x),E(y),λ)，λ)=

-(α2-α1)η(E(x),E(y),λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)．

则式(1)成立．

2 D-η-E-半预不变凸映射

本节将结合性质1和条件H，分别应用D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性和D-η-E-半预不变真拟凸性给出D-η-E-半预不变凸性的新刻画．

定理1 f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变凸⟺

①f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D，∀x,y∈K，∀λ∈(0,1)；

②f:K→Y关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸;

③ ∀x,y∈K，∀λ∈(0,1)，∃α∈[0,1]，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D．

证明 必要性明显成立，只需要证明充分性．

(反证法) 设∃x,y∈K，λ∈(0,1)，β∈(0,1)，s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-D．

(2)

根据引理1，∃μ,ω∈A，满足0<μ<β<ω<1，s.t.

f(E(zβ)) ∉μf(E(x))+(1-μ)f(E(y))-D，

(3)

f(E(zβ)) ∉ωf(E(x))+(1-ω)f(E(y))-D，

(4)

其中 E(zβ)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ)．

令

由条件(H2)和性质1，有

E(zβ)=E(zt1)+μη(E(x),E(zt1),λ)， E(zβ)=E(y)+ωη(E(zt2),E(y),λ)，

其中 E(zt1)=E(y)+t1η(E(x),E(y),λ)， E(zt2)=E(y)+t2η(E(x),E(y),λ)．

因μ,ω∈A，故

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(zt1))-D，

(5)

f(E(zβ)) ∈ωf(E(zt2))+(1-ω)f(E(y))-D．

(6)

分别结合式(3)及式(5)，则有

f(E(zt1)) ∉f(E(y))-D，

(7)

f(E(zt2)) ∉f(E(x))-D．

(8)

以下从两个方面来证明：

f(E(x)) ≠f(E(y))．根据f的D-η-E-半严格半预不变真拟凸性， 结合式(7)及式(8)，有

f(E(zt1)) ∈f(E(x))-int D， f(E(zt2)) ∈f(E(y))-int D．

再分别结合式(5)与式(6)，有

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-int D， f(E(zβ)) ∈f(E(y))-int D．

则f(E(zβ)) ∈βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-int D，与式(2)相矛盾．

f(E(x))=f(E(y))．由式(2)，f(E(zβ)) ≠f(E(y))．由性质1，则

根据f的D-η-E-半严格半预不变真拟凸性和式(7)，有f(E(zt1)) ∈f(E(zβ))-int D．结合式(5)，有

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(zβ))-int D，

则

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-int D=βf(E(x))+(1-β)f(E(x))-int D=

βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-int D，

与式(2)相矛盾．证毕．

根据定义4和定义5，D-η-E-严格半预不变真拟凸一定是D-η-E-半严格半预不变真拟凸，故由定理1，可得到如下的一个推论：

推论1 f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变凸⟺

①f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D，∀x,y∈K，∀λ∈(0,1);

②f:K→Y关于η是D-η-E-严格半预不变真拟凸;

③ ∀x,y∈K，∀λ∈(0,1)，∃α∈[0,1]，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D．

(9)

接下来将应用D-η-E-半预不变真拟凸性给出D-η-E-半预不变凸性的一个新刻画．

定理2 f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变凸⟺

①f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D，∀x,y∈K，∀λ∈(0,1)；

②f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸；

③ ∀x,y∈K，∀λ∈(0,1)，∃α∈[0,1]，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D．

(10)

证明 必要性明显成立，只需要证明充分性．

(反证法) 设∃x,y∈K，λ∈(0,1)，β∈(0,1)，s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-D．

(11)

且∃μ,ω∈A，满足0<μ<β<ω<1，s.t.

E(zβ)=E(z(β-μ)/(1-μ))+μη(E(x),E(z(β-μ)/(1-μ)),λ)E(zβ)=

E(y)+ωη(E(zβ/ω),E(y),λ)，

其中

E(zβ)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ)，

因μ,ω∈A，故

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(z(β-μ)/(1-μ)))-D，

(12)

f(E(zβ)) ∈ωf(E(zβ/ω))+(1-ω)f(E(y))-D，

(13)

式(12)、(13)分别结合式(5)及式(6)，有

f(E(z(β-μ)/(1-μ))) ∉f(E(y))-D，

(14)

f(E(zβ/ω)) ∉f(E(x))-D，

(15)

而

由f的D-η-E-半预不变真拟凸性、式(14)及式(15)，则

f(E(z(β-μ)/(1-μ))) ∈f(E(zβ))-D， f(E(zβ/ω)) ∈f(E(zβ))-D．

分别结合式(12)、(13)，有

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-D， f(E(zβ)) ∈f(E(y))-D，

与式(11)相矛盾．

3 D-η-E-半预不变真拟凸映射

定理3 设E:K→K满射，若

①f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸映射；

② ∃α∈[0,1]，对∀x,y∈K，x≠y，∀λ∈(0,1)，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D，

(16a)

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D，

(16b)

那么，f:K→Y关于η是D-η-E-严格半预不变真拟凸映射．

证明(反证法) 设f:K→Y关于η不是D-η-E-严格半预不变真拟凸映射，则∃x,y∈K，x≠y，β∈(0,1)，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(x))-int D，

(17a)

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(y))-int D．

(17b)

选取合适的β1,β2，使它们满足0<β1<β2<1，β=αβ1+(1-α)β2．

因为E：K→K是满射，所以∃

因为f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸映射，所以

或

且

(18a)

或

(18b)

根据条件H有

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)+αη(E(y)+β1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+

β1η(E(x),E(y),λ)+(β2-β1)η(E(x),E(y),λ)，λ)=

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)+

αηE(y)+β1η(E(x),E(y),λ)，E(y)+β1η(E(x),E(y),λ)+

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)-

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)，

即

由式(16)及E:K→K为满射，可得

(19a)

或

(19b)

由式(18)、(19)及D+int D⊂int D，可得

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D，

(20a)

或

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D．

(20b)

则式(20)与式(17)相矛盾．所以f:K→Y关于η是D-η-E-严格半预不变真拟凸映射．

定理4 设E:K→K满射，若

① ∀x,y∈K， f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D;

②f:K→Y关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射；

③ ∃α∈[0,1]，对∀x,y∈K，λ∈[0，1]，s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈

f(E(x))-Df(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D，

(21)

且

f(E(y)+(1-α)η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D，

(22a)

或

f(E(y)+(1-α)η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D，

(22b)

那么，f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸映射．

证明 由假设条件，∀x,y∈K，有

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D且f(E(y)) ∈f(E(y))-D，

则β=0,1时，结果成立．下面证明β∈(0,1)时也成立．

(反证法) 设f:K→Y关于η不是D-η-E-半预不变真拟凸映射，则∃x,y∈K及β∈(0,1)，s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(x))-D，

(23a)

或

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(y))-D．

(23b)

因为E:K→K是满射，则∃z∈K，s.t. E(z)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ)．

当f(E(x))≠f(E(y))时，因为f关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射，则

f(E(z)) ∈f(E(x))-int D 或 f(E(z)) ∈f(E(y))-int D，

与式(23)相矛盾．

当f(E(x))=f(E(y))时，由式(23)，有

f(E(z)) ∉f(E(x))-D=f(E(y))-D．

(24)

(a) 当0<β<α<1时，因为E:K→K是满射，则∃z1∈K，s.t.

由条件H，得

E(z1)+(1-α)η(E(y),E(z1),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)=E(z)．

由式(22)，得f(E(z)) ∈f(E(y))-D，或f(E(z)) ∈f(E(z1))-D．由式(24)，得

f(E(z)) ∈f(E(z1))-D．

(25)

令则b∈(0,1)．由条件H，则

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)+bη(E(x),E(y)+βη(E(x),E(y),λ),λ)=

E(y)+(β+b(1-β))η(E(x),E(y),λ)=

E(z1)．

由f的D-η-E-半严格半预不变真拟凸性，则

f(E(z1)) ∈f(E(z))-int D，

或

f(E(z1)) ∈f(E(x))-int D．

由式(24)，得f(E(z1)) ∈f(E(z))-int D，与式(25)相矛盾．

(b) 当0<α<β<1时，若因为E:K→K是满射，则∃z2∈K，s.t.

由条件H，则

E(z2)+αη(E(x),E(z2),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)=E(z)．

由式(21)，则

f(E(z)) ∈f(E(x))-D，

或

f(E(z)) ∈f(E(z2))-D．

由式(24)，则

f(E(z)) ∈f(E(z2))-D，

(26)

令则μ∈(0,1)，且

E(z)+(1-μ)η(E(y),E(z),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)+

(1-μ)η(E(y),E(y)+βη(E(x),E(y),λ),λ)=

E(y)+βμη(E(x),E(y),λ)=

E(z2)．

由f的D-η-E-半严格半预不变真拟凸性，有

f(E(z2)) ∈f(E(z))-int D，

或

f(E(z2)) ∈f(E(y))-int D．

由式(24)，有f(E(z2)) ∈f(E(z))-int D，与式(26)矛盾．

(c) 当0<α=β<1时，式(21)与式(23)明显矛盾．

所以f:K→Y关于η是D-η-E-半预不变真拟凸映射．

4 D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在优化中的应用

考虑优化问题(VP0)：minx∈K f(x)．

定义6[15] 令f(E(K))=∪x∈K f(E(x))，E(·):K→K．

若∅，称是(VP0)的E-全局有效解；若∃x的邻域U，∅，称是(VP0)的E-局部有效解；

若∅，称是(VP0)的E-全局弱有效解；若∃x的邻域U，∅，称是(VP0)的E-局部弱有效解．

下面给出D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在向量优化中的一个应用．

定理5 设η：K×K→K，E(·):K→K，K⊂X关于η是E-半预不变凸集， f:K→Y关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射，则

① (VP0)的任意E-局部弱有效解是(VP0)的E-全局弱有效解；

② (VP0)的任意E-局部有效解是(VP0)的E-全局有效解．

证明 只需证明第①条．设是(VP0)的E-全局弱有效解，则∃的邻域U，

∅．

(27)

假设不是(VP0)的E-全局弱有效解，则∅．即

∃x0∈K， s.t.

因为K关于η是E-半预不变凸集， f: K→Y关于η是D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射．则∀α∈(0,1)，有且

或

若则

⊂

f(E(x0))-int D-int D⊂

故∀α∈(0,1)，有

(28)

当α充分小时，有

则式(28)与式(27)矛盾，故是(VP0)的E-全局弱有效解．同理可以证明第②条亦成立．

5 结 论

本文对D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射的一些性质进行了研究．讨论了D-η-E-半预不变凸与D-η-E-半严格半预不变真拟凸、D-η-E-严格半预不变真拟凸和D-η-E-半预不变真拟凸之间的关系，以及D-η-E-半预不变真拟凸与D-η-E-半严格半预不变真拟凸和D-η-E-严格半预不变真拟凸之间的关系，分别得到了D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射的一些等价刻画．所得结果推广了文献[4,6-7,15]中的相关结果．那么如何建立D-η-E-半预不变凸集值映射的择一性定理，并通过择一性定理研究D-η-E-半预不变凸集值映射向量优化问题的最优性条件、鞍点定理以及对偶定理，这将是有待研究的后续课题．

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D-η-E-Semi-Preinvex Mapping and D-η-E-Properly Semi-Prequasi-Invex Mapping

WANG Haiying, FU Zufeng

(School of Mathematics and Physics, Anshun University, Anshun, Guizhou 561000, P.R.China)

Abstract: Some properties of the D-η-E-semi-preinvex mapping and the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping were studied. Firstly, relationships among the D-η-E-semi-preinvex mapping, the semistrictly semi-preinvex mapping, the strictly D-η-E-semi-preinvex mapping and the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping were discussed. Three important theorems of properties were obtained based on the middle point D-η-E-semi-preinvex and some suitable conditions. Secondly, relationships among the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping, the semistrictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping and the strictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping also were addressed. Finally, an important application in terms of the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping was demonstrated in optimization.

Key words: D-η-E-semi-preinvex; D-η-E-properly semi-prequasi-invex; semistrictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex; optimization

中图分类号： O211.6

文献标志码：A

DOI: 10.21656/1000-0887.390143

收稿日期： 2018-05-10；

修订日期：2018-06-15

基金项目： 国家自然科学基金(61304146);贵州省科技厅、安顺市人民政府、安顺学院三方联合科技基金(LH[2017]7052)

作者简介： 王海英(1982—)，女，教授，硕士(通讯作者. E-mail: why8206@163.com).

文章编号：1000-0887(2019)03-0343-12

ⓒ 应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(61304146)

引用本文/Cite this paper:王海英， 符祖峰.D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射[J]. 应用数学和力学, 2019, 40(3): 343-354.WANG Haiying, FU Zufeng. D-η-E-semi-preinvex mapping and D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(3): 343-354.