D-η-E-半预不变凸映射D-η-E-半预不变真拟凸映射

王海英, 符祖峰

(安顺学院 数理学院, 贵州 安顺 561000)

摘要 研究了D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射的一些性质首先,讨论了D-η-E-半预不变凸与D-η-E-严格半预不变真拟凸、D-η-E-半严格半预不变真拟凸和D-η-E-半预不变真拟凸之间的关系,在中间点的D-η-E-半预不变凸性和其他一些条件下,得到了它的3个重要的性质定理;其次,对D-η-E-半预不变真拟凸与D-η-E-半严格半预不变真拟凸和D-η-E-严格半预不变真拟凸之间的关系也进行了讨论;最后,获得了D-η-E-半预不变真拟凸映射在优化中的一个重要应用

D-η-E-半预不变凸; D-η-E-半预不变真拟凸; D-η-E-半严格半预不变真拟凸;优化

引 言

凸性和广义凸性在数学规划的研究中起着相当关键的作用Kazmi[1]给出了向量值情形下的D-预不变凸映射进一步地,Peng和Zhu[2]建立了D-预不变凸映射的一些性质Long等[3]讨论了D-半严格预不变凸和D-预不变凸之间的关系彭再云等[4]提出了D-半预不变真拟凸、D-半严格半预不变真拟凸和D-严格半预不变真拟凸的概念,并建立了这几类广义凸性间的关系黄应全[5]应用D-上半连续性,*-上半连续性和中间点的D-半预不变真拟凸性,得到了D-半预不变真拟凸映射的两个性质定理唐莉萍和杨新民[6]分别利用D-半严格半预不变真拟凸性和D-严格半预不变真拟凸性建立D-半预不变凸性的充要条件,最后利用D-半预不变真拟凸性给出了半预不变凸性的刻画彭建文[7]给出了向量值情形下的D-η-预不变真拟凸映射,并给出了它的一些性质还有其他一些文献[8-14]对向量广义凸映射进行了研究随后,文献[15]提出了一类新的向量值广义凸映射:D-η-E-半预不变凸映射,它是D-η-预不变凸映射的真推广,建立了D-η-E-半预不变凸映射与D-η-E-严格半预不变凸映射、D-η-E-半严格半预不变凸映射间的关系,并讨论了D-η-E-半严格半预不变凸映射在一类隐约束向量优化问题中的重要应用

受文献[6-7]的启发,本文考虑D-η-E-半预不变凸性的新刻画首先,对文献[15]中提出的条件H给出了一个重要的性质,在此基础上,结合稠密性结果,分别应用D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性和D-η-E-半预不变真拟凸性,建立了D-η-E-半预不变凸性的一些充要条件;其次,提出了一类新的广义凸映射:D-η-E-半预不变真拟凸映射,建立了D-η-E-半预不变真拟凸性与D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性之间的关系;最后,给出了D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在优化中的应用

1 预 备 知 识

X,YRnKXK≠∅,点闭凸锥DXD≠∅,

f:KYη:Rn×Rn×[0,1]→RnE(·):KK

定义1[15] 如果∀x,yK,∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],有

E(y)+αη(E(x),E(y),λ) ∈K

那么,称KX关于ηE-半不变凸集

本文假设KX是关于ηE-半不变凸集

定义2[15] 如果∀x,yK,∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D

那么,称f:KY关于ηD-η-E-半预不变凸

定义3 如果∀x,yK,∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D

那么,称f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸

定义4 如果∀x,yKxy,∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D,

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D

那么,称f:KY关于ηD-η-E-严格半预不变真拟凸

定义5 如果∀x,yKf(E(x)) ≠f(E(y)),∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],有

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D

那么,称f:KY关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸

为了讨论D-η-E-半预不变凸的一些性质,将用到下面的条件和引理

条件H[15]x,yK,∀α∈[0,1],∀λ∈[0,1],如果ηE满足关系式:

(H1) η(E(y),E(y)+αη(E(x),E(y),λ),λ)=-αη(E(x),E(y),λ),

(H2) η(E(x),E(y)+αη(E(x),E(y),λ),λ)=(1-α)η(E(x),E(y),λ),

那么,称η满足条件H

引理1[15]η满足条件H,KX关于ηE-半不变凸集,若f:KY满足

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,∀x,yK

② ∀x,yK,∃α∈[0,1],s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D

A=γ∈[0,1]f(E(y)+γη(E(x),E(y),λ)) ∈

γf(E(x))+(1-γ)f(E(y))-D

在[0,1]中稠密

性质1η满足条件H,那么

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α2η(E(x),E(y),λ),λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ),

x,yK, ∀α1,α2∈[0,1], ∀λ∈[0,1]

(1)

证明 分3种情形考虑

α1=α2时,结论明显成立

α1>α2时,

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α2η(E(x),E(y),λ),λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

(α2-α1)η(E(x),E(y),λ),λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

η(E(y),E(y)+(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)),λ)=

-η(E(y),E(y)+(α1-α2)η(E(x),E(y),λ),λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)

α1<α2时,

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α2η(E(x),E(y),λ),λ)=

η(E(y)+α1η(E(x),E(y),λ),E(y)+α1η(E(x),E(y),λ)+

(α2-α1)η(E(x),E(y),λ),λ)=

-(α2-α1)η(E(x),E(y),λ)=

(α1-α2)η(E(x),E(y),λ)

则式(1)成立

2 D-η-E-半预不变凸映射

本节将结合性质1和条件H,分别应用D-η-E-半严格半预不变真拟凸性、D-η-E-严格半预不变真拟凸性和D-η-E-半预不变真拟凸性给出D-η-E-半预不变凸性的新刻画

定理1 f:KY关于ηD-η-E-半预不变凸⟺

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,∀x,yK,∀λ∈(0,1);

f:KY关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸;

③ ∀x,yK,∀λ∈(0,1),∃α∈[0,1],s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D

证明 必要性明显成立,只需要证明充分性

(反证法) 设∃x,yKλ∈(0,1),β∈(0,1),s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-D

(2)

根据引理1,∃μ,ωA,满足0<μ<β<ω<1,s.t.

f(E(zβ)) ∉μf(E(x))+(1-μ)f(E(y))-D

(3)

f(E(zβ)) ∉ωf(E(x))+(1-ω)f(E(y))-D

(4)

其中 E(zβ)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ)

由条件(H2)和性质1,有

E(zβ)=E(zt1)+μη(E(x),E(zt1),λ), E(zβ)=E(y)+ωη(E(zt2),E(y),λ),

其中 E(zt1)=E(y)+t1η(E(x),E(y),λ), E(zt2)=E(y)+t2η(E(x),E(y),λ)

μ,ωA,故

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(zt1))-D

(5)

f(E(zβ)) ∈ωf(E(zt2))+(1-ω)f(E(y))-D

(6)

分别结合式(3)及式(5),则有

f(E(zt1)) ∉f(E(y))-D

(7)

f(E(zt2)) ∉f(E(x))-D

(8)

以下从两个方面来证明:

f(E(x)) ≠f(E(y))根据fD-η-E-半严格半预不变真拟凸性, 结合式(7)及式(8),有

f(E(zt1)) ∈f(E(x))-int Df(E(zt2)) ∈f(E(y))-int D

再分别结合式(5)与式(6),有

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-int Df(E(zβ)) ∈f(E(y))-int D

f(E(zβ)) ∈βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-int D,与式(2)相矛盾

f(E(x))=f(E(y))由式(2),f(E(zβ)) ≠f(E(y))由性质1,则

根据fD-η-E-半严格半预不变真拟凸性和式(7),有f(E(zt1)) ∈f(E(zβ))-int D结合式(5),有

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(zβ))-int D

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-int D=βf(E(x))+(1-β)f(E(x))-int D=

βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-int D

与式(2)相矛盾证毕

根据定义4和定义5,D-η-E-严格半预不变真拟凸一定是D-η-E-半严格半预不变真拟凸,故由定理1,可得到如下的一个推论:

推论1 f:KY关于ηD-η-E-半预不变凸⟺

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,∀x,yK,∀λ∈(0,1);

f:KY关于ηD-η-E-严格半预不变真拟凸;

③ ∀x,yK,∀λ∈(0,1),∃α∈[0,1],s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D

(9)

接下来将应用D-η-E-半预不变真拟凸性给出D-η-E-半预不变凸性的一个新刻画

定理2 f:KY关于ηD-η-E-半预不变凸⟺

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D,∀x,yK,∀λ∈(0,1);

f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸;

③ ∀x,yK,∀λ∈(0,1),∃α∈[0,1],s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈αf(E(x))+(1-α)f(E(y))-D

(10)

证明 必要性明显成立,只需要证明充分性

(反证法) 设∃x,yKλ∈(0,1),β∈(0,1),s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉βf(E(x))+(1-β)f(E(y))-D

(11)

且∃μ,ωA,满足0<μ<β<ω<1,s.t.

E(zβ)=E(z(β-μ)/(1-μ))+μη(E(x),E(z(β-μ)/(1-μ)),λ)E(zβ)=

E(y)+ωη(E(zβ/ω),E(y),λ),

其中

E(zβ)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ),

μ,ωA,故

f(E(zβ)) ∈μf(E(x))+(1-μ)f(E(z(β-μ)/(1-μ)))-D

(12)

f(E(zβ)) ∈ωf(E(zβ/ω))+(1-ω)f(E(y))-D

(13)

式(12)、(13)分别结合式(5)及式(6),有

f(E(z(β-μ)/(1-μ))) ∉f(E(y))-D

(14)

f(E(zβ/ω)) ∉f(E(x))-D

(15)

fD-η-E-半预不变真拟凸性、式(14)及式(15),则

f(E(z(β-μ)/(1-μ))) ∈f(E(zβ))-Df(E(zβ/ω)) ∈f(E(zβ))-D

分别结合式(12)、(13),有

f(E(zβ)) ∈f(E(x))-Df(E(zβ)) ∈f(E(y))-D

与式(11)相矛盾

3 D-η-E-半预不变真拟凸映射

定理3E:KK满射,若

f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸映射;

② ∃α∈[0,1],对∀x,yKxy,∀λ∈(0,1),s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D

(16a)

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D

(16b)

那么,f:KY关于ηD-η-E-严格半预不变真拟凸映射

证明(反证法) 设f:KY关于η不是D-η-E-严格半预不变真拟凸映射,则∃x,yKxyβ∈(0,1),s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(x))-int D

(17a)

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(y))-int D

(17b)

选取合适的β1,β2,使它们满足0<β1<β2<1,β=αβ1+(1-α)β2

因为EKK是满射,所以∃

因为f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸映射,所以

(18a)

(18b)

根据条件H有

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)+αη(E(y)+β1η(E(x),E(y),λ),E(y)+

β1η(E(x),E(y),λ)+(β2-β1)η(E(x),E(y),λ),λ)=

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)+

αηE(y)+β1η(E(x),E(y),λ),E(y)+β1η(E(x),E(y),λ)+

E(y)+β2η(E(x),E(y),λ)-

E(y)+βη(E(x),E(y),λ),

由式(16)及E:KK为满射,可得

(19a)

(19b)

由式(18)、(19)及D+int D⊂int D,可得

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-int D

(20a)

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-int D

(20b)

则式(20)与式(17)相矛盾所以f:KY关于ηD-η-E-严格半预不变真拟凸映射

定理4E:KK满射,若

① ∀x,yKf(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D;

f:KY关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸映射;

③ ∃α∈[0,1],对∀x,yKλ∈[0,1],s.t.

f(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈

f(E(x))-Df(E(y)+αη(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D

(21)

f(E(y)+(1-α)η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-D

(22a)

f(E(y)+(1-α)η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(y))-D

(22b)

那么,f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸映射

证明 由假设条件,∀x,yK,有

f(E(y)+η(E(x),E(y),λ)) ∈f(E(x))-Df(E(y)) ∈f(E(y))-D

β=0,1时,结果成立下面证明β∈(0,1)时也成立

(反证法) 设f:KY关于η不是D-η-E-半预不变真拟凸映射,则∃x,yKβ∈(0,1),s.t.

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(x))-D

(23a)

f(E(y)+βη(E(x),E(y),λ)) ∉f(E(y))-D

(23b)

因为E:KK是满射,则∃zK,s.t. E(z)=E(y)+βη(E(x),E(y),λ)

f(E(x))≠f(E(y))时,因为f关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸映射,则

f(E(z)) ∈f(E(x))-int Df(E(z)) ∈f(E(y))-int D

与式(23)相矛盾

f(E(x))=f(E(y))时,由式(23),有

f(E(z)) ∉f(E(x))-D=f(E(y))-D

(24)

(a) 当0<β<α<1时,因为E:KK是满射,则∃z1K,s.t.

由条件H,得

E(z1)+(1-α)η(E(y),E(z1),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)=E(z)

由式(22),得f(E(z)) ∈f(E(y))-D,或f(E(z)) ∈f(E(z1))-D由式(24),得

f(E(z)) ∈f(E(z1))-D

(25)

b∈(0,1)由条件H,则

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)+(E(x),E(y)+βη(E(x),E(y),λ),λ)=

E(y)+(β+b(1-β))η(E(x),E(y),λ)=

E(z1)

fD-η-E-半严格半预不变真拟凸性,则

f(E(z1)) ∈f(E(z))-int D

f(E(z1)) ∈f(E(x))-int D

由式(24),得f(E(z1)) ∈f(E(z))-int D,与式(25)相矛盾

(b) 当0<α<β<1时,若因为E:KK是满射,则∃z2K,s.t.

由条件H,则

E(z2)+αη(E(x),E(z2),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)=E(z)

由式(21),则

f(E(z)) ∈f(E(x))-D

f(E(z)) ∈f(E(z2))-D

由式(24),则

f(E(z)) ∈f(E(z2))-D

(26)

μ∈(0,1),且

E(z)+(1-μ)η(E(y),E(z),λ)=

E(y)+βη(E(x),E(y),λ)+

(1-μ)η(E(y),E(y)+βη(E(x),E(y),λ),λ)=

E(y)+βμη(E(x),E(y),λ)=

E(z2)

fD-η-E-半严格半预不变真拟凸性,有

f(E(z2)) ∈f(E(z))-int D

f(E(z2)) ∈f(E(y))-int D

由式(24),有f(E(z2)) ∈f(E(z))-int D,与式(26)矛盾

(c) 当0<α=β<1时,式(21)与式(23)明显矛盾

所以f:KY关于ηD-η-E-半预不变真拟凸映射

4 D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在优化中的应用

考虑优化问题(VP0):minxK f(x)

定义6[15]f(E(K))=∪xK f(E(x)),E(·):KK

∅,称是(VP0)的E-全局有效解;若∃x的邻域U∅,称是(VP0)的E-局部有效解;

∅,称是(VP0)的E-全局弱有效解;若∃x的邻域U∅,称是(VP0)的E-局部弱有效解

下面给出D-η-E-半严格半预不变真拟凸映射在向量优化中的一个应用

定理5ηK×KKE(·):KKKX关于ηE-半预不变凸集, f:KY关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸映射,则

① (VP0)的任意E-局部弱有效解是(VP0)的E-全局弱有效解;

② (VP0)的任意E-局部有效解是(VP0)的E-全局有效解

证明 只需证明第①条是(VP0)的E-全局弱有效解,则∃的邻域U

(27)

假设不是(VP0)的E-全局弱有效解,则

x0K, s.t.

因为K关于ηE-半预不变凸集, f: KY关于ηD-η-E-半严格半预不变真拟凸映射则∀α∈(0,1),有

f(E(x0))-int D-int D

故∀α∈(0,1),有

(28)

α充分小时,

则式(28)与式(27)矛盾,故是(VP0)的E-全局弱有效解同理可以证明第②条亦成立

5 结 论

本文对D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射的一些性质进行了研究讨论了D-η-E-半预不变凸与D-η-E-半严格半预不变真拟凸、D-η-E-严格半预不变真拟凸和D-η-E-半预不变真拟凸之间的关系,以及D-η-E-半预不变真拟凸与D-η-E-半严格半预不变真拟凸和D-η-E-严格半预不变真拟凸之间的关系,分别得到了D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射的一些等价刻画所得结果推广了文献[4,6-7,15]中的相关结果那么如何建立D-η-E-半预不变凸集值映射的择一性定理,并通过择一性定理研究D-η-E-半预不变凸集值映射向量优化问题的最优性条件、鞍点定理以及对偶定理,这将是有待研究的后续课题

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D-η-E-Semi-Preinvex Mapping and D-η-E-Properly Semi-Prequasi-Invex Mapping

WANG Haiying, FU Zufeng

(School of Mathematics and Physics, Anshun University, Anshun, Guizhou 561000, P.R.China)

Abstract: Some properties of the D-η-E-semi-preinvex mapping and the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping were studied. Firstly, relationships among the D-η-E-semi-preinvex mapping, the semistrictly semi-preinvex mapping, the strictly D-η-E-semi-preinvex mapping and the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping were discussed. Three important theorems of properties were obtained based on the middle point D-η-E-semi-preinvex and some suitable conditions. Secondly, relationships among the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping, the semistrictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping and the strictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping also were addressed. Finally, an important application in terms of the D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping was demonstrated in optimization.

Key words: D-η-E-semi-preinvex; D-η-E-properly semi-prequasi-invex; semistrictly D-η-E-properly semi-prequasi-invex; optimization

中图分类号 O211.6

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390143

收稿日期 2018-05-10;

修订日期:2018-06-15

基金项目 国家自然科学基金(61304146);贵州省科技厅、安顺市人民政府、安顺学院三方联合科技基金(LH[2017]7052)

作者简介 王海英(1982—),女,教授,硕士(通讯作者. E-mail: why8206@163.com).

文章编号1000-0887(2019)03-0343-12

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(61304146)

引用本文/Cite this paper:王海英, 符祖峰.D-η-E-半预不变凸映射和D-η-E-半预不变真拟凸映射[J]. 应用数学和力学, 2019, 40(3): 343-354.WANG Haiying, FU Zufeng. D-η-E-semi-preinvex mapping and D-η-E-properly semi-prequasi-invex mapping[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(3): 343-354.