f(x,t,y)，则PGWVQEP模型退化为Zhong和Huang[19]的模型；1994年，Blum和Oettli[1]首先提出了平衡问题的数学模型．随后，这一模型于1997年在文献[2-3]中被推广到向量情形，即向量平衡问题．众所周知，向量平衡问题为向量变分不等式问题、向量互补问题、向量优化问题和向量鞍点问题等众多问题提供了一个统一的研究框架．一般而言，将带约束条件的向量平衡问题称为向量拟平衡问题．向量(拟)平衡问题为向量(拟)优化问题、向量(拟)鞍点问题、向量(拟)互补问题及向量(拟)变分不等式等问题提供了统一的模型．因而,近年来受到国内外众多专家学者的重视而被广泛研究．
在优化问题中，向量变分不等式和向量平衡问题领域，对解集稳定性的研究是非常有趣和重要的课题．在相关研究中，有大量关于优化问题、向量变分不等式问题或向量平衡问题(见文献[4-13]和相关文献)解集稳定性的论文．在有限维空间中，Li和Chen[14]提出了一个假设Hg，并通过假设Hg，获得了一类参数弱向量变分不等式解映射Hausdorff下半连续的充分性条件．在Banach空间中，Chen和Li[15]给出了一个类似的条件(记为Hg1)，并运用Hg1得到了参数集值弱向量变分不等式(PSWVVI) 解集映射Hausdorff下半连续的充分性条件．Chen等[16]将文献[14-15]的问题扩展到PGVQVI问题，借助假设Hg2对其进行了研究．注意到，上述文献中主要研究了解集映射Hausdorff下半连续的充分性条件．然而在实际问题研究与算法构造中，对解集映射Hausdorff半连续的必要性进行研究也是非常有趣的，也即是说，解映射是Hausdorff下半连续的能否得到类似条件Hg成立？在Banach空间中，Zhong和Huang[17]从一个侧面回答了这个问题，证明了条件Hg3不仅是参数集值弱向量变分不等式解集映射Hausdorff下半连续的充分条件，也是其必要条件．最近，针对Hausdorff 拓扑向量空间中的两类参数向量拟平衡问题，Anh和Hung[18]给出了两个关键假设Hp(γ0)和Hh(γ0)，并证明了它们分别是这两类问题解映射Hausdorff连续的充分必要条件．
受文献[18-19]的启发，本文借助参数间隙函数h(x,γ)讨论一类参数广义弱向量拟平衡问题解映射的Hausdorff连续性．首先，定义该问题并给出适当的非线性标量化函数．其次，给出参数间隙函数并讨论其连续性．最后，研究参数向量拟平衡问题解映射的Hausdorff连续性，并且举例说明所得结果的正确性．由此获得了一些较新的结果．
本文均假设X，Y，Z，P是局部凸Hausdorff拓扑向量空间．A⊆X，B⊆Y和Γ⊆P是非空子集．假设集值映射C:X→2Z对任意x∈X，有C(x)是Z中的闭凸锥且intC(x)≠∅．K:A×Γ→2A，T:A×Γ→2B是集值映射．f:A×B×A×Γ→Z是均衡函数，即f(x,t,x,γ )=0对任意x∈A，t∈B和γ∈Γ恒成立．
考虑如下PGWVQEP： 存在x∈K(x,γ)和t∈T(x,γ)，对任意γ∈Γ满足
f(x,t,y,γ )∈Z\-intC(x), ∀y∈K(x,γ )．
特殊情形
1) 如果f(x,t,y,γ)f(x,t,y)，则PGWVQEP模型退化为Zhong和Huang[19]的模型；
2) 如果f(x,t,y,γ)〈t,y-x〉，则PGWVQEP模型退化为Chen等[16]的广义参数向量拟变分不等式；
3) 若XRm，YRn，ZR，C(x)R+，K(x,γ)A，T(x,γ)T(x)，f(x,t,y,γ)〈t,y-x〉，则PGWVQEP模型退化为Aubin和Ekeland[20]的Stampacchia变分不等式．
对任意的γ∈Γ，记E(γ)={x∈X:x∈K(x,γ)}．用S(γ)表示PGWVQEP的解集，其中S(γ)={x∈E(γ):∃t∈T(x,γ),s.t.f(x,t,y,γ)∈Z\-intC(x),∀y∈K(x,γ)}．在本文中，假设S(γ)非空．
下面，回顾一些与连续性相关的概念及性质．
定义1[20-21] 设X和Y是拓扑向量空间，G:X→2Y是集值映射．
称G在点x0∈X处是下半连续(lsc)的，如果对任意满足V∩G(x0)≠∅的开集V⊆Y，都存在x0的邻域U(x0)，使得对任意的x∈U(x0)有V∩G(x)≠∅；
称G在点x0∈X处是上半连续(usc)的，如果对Y中任意包含G(x0)的开集V，都存在x0的邻域U(x0)，使得对任意的x∈U(x0)有G(x)⊆V；
称G在点x0∈X处是Hausdorff上半连续(H-usc)的，如果对Y中原点的任意开邻域B，存在x0 的邻域U(x0)⊆X，使得G(x)⊆G(x0)+B,∀x∈U(x0)；
称G在点x0∈X处是Hausdorff下半连续(H-lsc)的，如果对Y中原点的任意开邻域B，存在x0的邻域U(x0)⊆X，使得G(x0)⊆G(x)+B,∀x∈U(x0)；
称G在点x0∈X处是连续的，如果G在点x0∈X既是usc的，又是lsc的；
称G在点x0∈X处是Hausdorff连续的，若G在点x0∈X既是H-usc的，又是H-lsc的；
称G在点x0∈X处是闭的，若对网{(xn,yn)}⊆graphG{ (x,y)|y∈G(x),(xn,yn)→(x0,y0)}有(x0,y0)∈graphG；
称G在X上是lsc(resp. usc、H-lsc、H-usc)的，如果它在任意的x0∈X都是lsc(resp. usc、H-lsc、H-usc)的．称G在X上是连续(H-连续)的，如果它在X上既是usc(H-usc)的，又是lsc(H-lsc)的．
引理1[20-21] 设X和Y是拓扑向量空间，G:X→2Y是集值映射．
如果G在点x0∈X处是usc的，则G在点x0处是H-usc的．反之，如果G在点x0处是H-usc的且G(x0)是紧的，则G在点x0处是usc的．
如果G在点x0∈X处是H-lsc的，则G在点x0处是lsc的．反之，如果G在点x0处是lsc的且G(x0)是紧的，则G在点x0处是H-lsc的．
G在点x0∈X处是lsc的，当且仅当对X中任意满足xα→x0的网{xα}和任意y0∈G(x0)有yα∈G(xα)使得yα→y0．
若G具有紧值，则G在点x0∈X处是usc的，当且仅当对X中任意满足xα→x0的网{xα}和满足的yα∈G(xα)的网{yα}，有y0∈G(x0)和一个子网{yβ} ⊂{yα}，使得yβ→y0．
引理2[22-23] 记X，Y是凸Hausdorff拓扑向量空间．集值映射C:X→2Y对任意x∈X，有C(x)是Y中的闭凸锥且intC(x)≠∅．e:X→Y是集值映射intC(·)的连续选择，即，e(·)是连续的，且e(x)∈intC(x)．设集值映射V:X→2Y为V(x)=Y\-intC(x)．定义非线性标量化函数ξe:X×Y→R为ξe(x,y)=min{r∈R:y∈re(x)-C(x)}，则
若V，C是usc的，则ξe(·,·)是连续的；
ξe(x,y)<r ⟺y∈re(x)-intC(x)；
ξe(x,y)≥r ⟺y∉re(x)-intC(x)．
在本节中，将介绍PGWVQEP的参数间隙函数，并讨论它的重要性质．在本文中假设K和T在A×Γ上连续且具有紧值，V和C在X上是usc的，f在A×B×A×Γ上是连续的．
定义2 称函数g:A×Γ→R是PGWVQEP的参数间隙函数，若
g(x,γ)≤0, ∀x∈K(x,γ)；
g(x,γ)=0 ⟺x∈S(γ)．
对任意γ∈Γ，定义函数h:A×Γ→R如下：
∀x∈K(x,γ)．
因为对任意(x,γ)∈A×Γ，有K(x,γ)和T(x,γ)是紧集，ξe和f是连续的，故h是良定的．
定理1 h(x,γ)是PGWVQEP的参数间隙函数．
证 定义函数ψ:E(Γ)×B×Γ→R如下：
∀x∈E(Γ),t∈B,γ∈Γ,
其中
易知ψ(x,t,γ)≤0．反证法．假设存在(x0,t0,γ0)∈E(γ0)×B×Γ使得ψ(x0,t0,γ0)> 0，则
ξe(x0,f(x0,t0,y,γ0)), ∀y∈K(x0,γ0)．
对任意给定的e(x0)∈C(x0)，当y=x0时，有
ξe(x0,f(x0,t0,x0,γ0))=ξe(x0,0)=
min{r∈R:0∈re(x0)-C(x0)}=
min{r∈R: -re(x0)∈-C(x0)}=
min{r∈R:r≥0}=0,
其与假设ψ(x0,t0,γ0)>0矛盾，故
ψ(x,t,γ)≤0．
于是可得
∀x∈K(x,γ)．
由ξe和f的连续性及T的紧性知，对于∀γ∈Γ,h(x,γ)=0 当且仅当存在t′∈T(x,γ)使得
ψ(x,t′,γ)=0,
即
则有
ξe(x,f(x,t′,y,γ))≥0, ∀y∈K(x,γ)．
由引理2知，此不等式成立当且仅当对任意y∈K(x,γ)有
f(x,t′,y,γ)∉-intC(x),
即
f(x,t′,y,γ)∈Z\-intC(x),
即x∈S(γ)．
□
注1 相比于其他文献，本文的参数间隙函数h是明显不同的．就文献[19]而言，它的参数间隙函数不受参数γ扰动，同时要求t具有任意性，而本文中的函数受参数γ扰动，而且只要求t具有存在性．
定理2 h在A×Γ上是连续的．
证 先证明h在A×Γ上是下半连续的．对任意a∈R，取序列(或网){ (xα,γα)}⊂X×Γ，满足(xα,γα)→(x0,γ0)，h(xα,γα)≤a，即
由T的紧性知，存在tα∈T(xα,γα)使得
因为ξe是连续的，在X×Γ上，K连续且具有紧值，故存在yα∈K(xα,γα)，使得
(1)
因K，T是usc的且具有紧值，不失一般性，假设yα→y0∈K(x0,γ0)，tα→t0∈T(x0,γ0)．对式(1)取极限有
ξe(x0,f(x0,t0,y0,γ0))≤a．
于是对t0∈T(x0,γ0)有
因此
这表明, 对任意a∈R，水平集{(x,γ):h(x,γ)≤a}是闭的，即h是下半连续的．
然后证明h是上半连续的．对任意b∈R，取序列{ (xα,γα)} ⊂X×Γ满足(xα,γα)→(x0,γ0)，h(xα,γα)≥b．有
对任意α，任意t∈T(xα,γα)，有
(2)
任取t0∈T(x0,γ0),因T在X×Γ上连续且具有紧值，由式(2)知，存在tα∈T(xα,γα)满足tα→t0，使得
(3)
任取y0∈K(x0,γ0),因K在X×Γ上是lsc的且是紧的，由式(3)知，存在yα∈K(xα,γα)满足yα→y0，使得
ξe(xα，f(xα,tα,yα,γα))≥b．
(4)
因为ξe和f的连续性，则对式(4)取极限有
ξe(x0,f(x0,t0,y0,γ0))≥b．
因此，由y0及t0的任意性和K，T的紧性知
这表明, 对任意b∈R，水平集{(x,γ):h(x,γ)≥b}是闭的，即h是上半连续的．
综上所述，h在A×Γ上是连续的．
□
在这部分，建立PGWVQEP解映射Hausdorff连续的充要条件．
定理3 假设A是紧集，K在A×Γ上连续且具有紧值，T在A×Γ上是usc的且具有紧值．则S在Γ上既是usc的，又是闭的且具有紧值．
证 (a) 反证法．假设S在点γ0∈Γ处不是usc的．则存在包含S(γ0)开集U和Γ中满足γα→γ0的网{γα}，使得存在xα∈S(γα)\U对任意α都成立．
由xα∈A且A是紧集，则xα→x0∈A．K在A×Γ上连续且具有紧值，故K在点(x0,γ0)处是闭的，又因xα∈K(xα,γα)，则x0∈K(x0,γ0)．
现证明x0∈S(γ0)．假设x0 ∉S(γ0)．因为xα∈S(γα)，故存在tα∈T(xα,γα)，使得
f(xα,tα,y,γα)∈Z\-intC(xα), ∀y∈K(xα,γα)．
(5)
由于T在点(x0,γ0)处是usc的且具有紧值，不失一般性，假设tα→t0∈T(x0,γ0)．由假设x0 ∉S(γ0)知，存在y0∈K(x0,γ0)使得
f(x0,t0,y0,γ0)∈-intC(x0)．
(6)
由K在点(x0,γ0)的下半连续性知，存在yα∈K(xα,γα)使得yα→y0．由yα∈K(xα,γα)，由式(5)知
f(xα,tα,yα,γα)∈Z\-intC(xα)．
(7)
结合xα，yα，tα，γα的收敛性，f的连续性，C(·)的闭性和式(7)，有
f(x0,t0,y0,γ0)∈Z\-intC(x0),
这与式(6)矛盾，故假设x0 ∉S(γ0)不成立，即x0∈S(γ0)⊂U．这与对任意α有xα ∉U成立矛盾，因此S在Γ上是usc的．
(b) 记γ0∈Γ是任意的，假设{γα} ⊂Γ，xα∈S(γα)，(xα,γα)→(x0,γ0)．用(a)类似的方法，易知x0∈S(γ0)，因此S在Γ上是闭的．
(c) 因为S在Γ上是闭的，所以对任意γ∈Γ有S(γ)是A中的闭子集．由A的紧性，S是具有紧值的．
□
下面通过例1来说明定理3中关于K连续的假设是必要的．
例1 记X=Y=Z=P R，A=B [-3,3]，Γ[0,3]，C(x)R+，K(x,γ)[-3,γ)，T(x,γ)[0,3]，且f(x,t,y,γ)x(y -x)．
容易验证除K不是usc的以外，定理3的所有条件均满足．但是由usc的定义知，K不是usc的．因为当γ0 =0时，K(x,γ0)=K(x,0)[-3,0)，取V=(-4,0)⊃[-3,0)=K(x,0)，对(x,γ0)任意的邻域U，有γ1>0和(x,γ1)∈U，使得K(x,γ1)=[-3,γ1)
V，即K(x,γ1)⊄V．
通过直接计算，可得
现在验证S(γ)在Γ上不是usc的．因为当γ0=0时，取
⊃S(0)={-3}，对任意γ0的邻域
都有
使得
⊄
由定义1知，S(γ)在γ0处不是usc的．因此，定理3中关于K连续的假设是不可或缺的．
推论1 若满足定理3的条件，结合引理1中，易知S在Γ上是H-usc的．
受文献[4,14,16,19]的启发，给出如下的关键假设．
Hh： 给定γ0∈Γ，对X中原点的任意开邻域U，存在常数ρ>0和γ0一个邻域V(γ0)，使得对任意的γ∈V(γ0)和x∈E(γ)\(S(γ)+U)，有h(x,γ)≤-ρ．
接下来，研究Hh的性质特征．
定理4 假设K和T在A×Γ上连续且具有紧值，对于X中原点的任意开邻域U，记
ΨU(γ)
则Hh成立当且仅当对X中原点的任意开邻域U，有
证 若Hh成立，即对于X中原点的任意开邻域U，存在ρ> 0和γ0的一个邻域V(γ0)，对任意γ∈V(γ0)和x∈E(γ)\(S(γ)+U)，有h(x,γ)≤-ρ，这就意味着对任意γ∈V(γ0)，都有ΨU(γ)≤-ρ，因此
反之，对于X中原点的任意开邻域U，若
则存在γ0的一个邻域V(γ0)，对任意γ∈V(γ0)都有
因此，对任意x∈E(γ)\(S(γ)+U)，有
h(x,γ)≤-ρ，
即Hh成立．
□
下面，借助于假设Hh，获得PGWVQEP解映射H-lsc的充分必要性结果．
定理5 假设A是紧集，K和T在X×Γ上是连续的且具有紧值，f在A×B×A×Γ上是连续函数，则S在Γ上是H-lsc的，当且仅当对任意γ0∈Γ，假设Hh成立．
证 (a) 反证法．假设Hh成立，但S在γ0∈Γ处不是H-lsc的，则存在X中原点的邻域U，网{xα}和收敛到γ0的网{γα}满足
xα∈S(γ0)\(S(γα)+U)．
(8)
由定理3知，S(γ0)是紧集，存在x0∈S(γ0)使得xα→x0．因为U是X中原点的邻域，所以存在X中原点的均衡开邻域B0(即λB0⊂B0,∀λ∈[-1,1])使得B0+B0+B0⊂U(见文献[20])．因此，对任意ε∈(0,1]，有(x0+εB0)∩E(γ0)≠∅(x0+εB0为x0的平移)． 因为K在点(x0,γ0)是下半连续的，故存在收敛于x0的xα∈K(xα,γα)．取{xα}的子列{xβ}使之满足：对任意β，都有xβ∈(x0+εB0)和(x0+εB0)∩E(γβ)≠∅成立．记ζβ∈(x0+εB0)∩E(γβ)，则有ζβ∉S(γβ)+B0．否则存在δβ∈S(γβ)使得ζβ-δβ∈B0．因为B0是均衡邻域，故有xβ-x0∈B0，且
xβ-δβ=(xβ-x0)+(x0-ζβ)+(ζβ-δβ)∈B0+B0+B0⊂U．
这就意味着xβ∈S(γβ)+U，与式(8)矛盾．因此
ζβ ∉S(γβ)+B0．
由假设Hh成立知，存在ρ> 0使得h(ζβ,γβ)≤-ρ．因为ζβ∈(x0+εB0)，所以x0∈(ζβ+B0)．对于B0，由定理2知，h在X×Γ上是连续的，因此
h(x0,γ0)≤-ρ<0,
即
因此由K，T的紧性知，存在t0∈T(x0,γ0)，y0∈K(x0,γ0)满足
ξe(x0,f(x0,t0,y0,γ0))< 0．
由引理2知
f(x0,t0,y0,γ0)∈-intC(x0),
这与x0∈S(γ0)相矛盾，故S在Γ上是H-lsc的．
(b) 假设S在Γ上是H-lsc的，但Hh在某些点γ0∈Γ不成立．由定理4知，存在X中原点的一个邻域U，满足lim supγ →γ0ΨU(γ)=0(ΨU(γ)与定理4中定义相同)，则存在满足γα →γ0的网{γα}⊂Γ使得
(9)
因为E(γα)\(S(γα)+U)是紧集且h是连续的，所以存在xα∈E(γα)\(S(γα)+U)满足ΨU(γα)=h(xα,γα)．由式(9)有
因K是连续的且具有紧性，不妨设xα→x0∈K(x0,γ0)．由h的连续性，有h(x0,γ0)=0且x0∈S(γ0)．故对任意δ∈S(γ0)，可以找到一个网{δα}，δα⊂S(γα)，满足δα→δ．又因为xα∈E(γα)\(S(γα)+U)，所以有xα-δα∉U，取极限有x0-δ ∉U．这与x0∈S(γ0)矛盾，故Hh对任意γ0∈Γ都满足．
□
下面，分别给出例2和3来验证定理5．
例2 记X=Y=PR，Z R2，A=B [0,3]，Γ [0,1]，C(x)
[0,1]，T(x,γ)[γ,1]，f(x,t,y,γ)((y-x)πt-1-5,(y-x)πt-1)，π为圆周率．
不难验证定理5的条件都满足．直接计算
∀y∈K(x,γ)
得S(γ)={0}．显然，S是Hausdorff连续的．
下面验证对任意γ0∈Γ，Hh是成立的．取
则
对任意x∈K(x,γ)，h(x,γ)≤0，且当x=0时，h(x,γ)=0．显然，h是PGWVQEP的参数间隙函数．对任意给定的γ0∈Γ，Uε(0)=(-ε，ε)和0<ε≤γ0，取ρ=ε和足够小的δ，有
h(x,γ)≤-ρ，∀γ∈(γ0-δ,γ0+δ),
∀x∈E(γ)\(S(γ)+Uε(0))=[ε,1],
即对任意γ0∈Γ，Hh是成立的．
例3 记X=Y=Z=P R，A=B [-3,3]，Γ [0,1]，C(x)R+，K(x,γ)[-1,1]，T(x,γ){x2+γ2}，f(x,t,y,γ)t(y-x)．
直接计算得
因此，S(γ)在Γ上不是H-lsc的．现在验证Hh在点γ0=0处不成立．取e(x)=1∈int R+．有
对任意原点的邻域U=(-ε,ε)和ρ> 0，其中0<ε<1，取收敛于0的序
有
因此，Hh在点γ0=0处不成立．
现在，结合定理3、5和引理1可获得PGWVQEP解映射Hausdorff连续的充分必要条件．
定理6 假设定理3和定理5中的条件都满足，则S在Γ上是Hausdorff连续的当且仅当对任意γ0∈Γ，Hh成立．
证 若满足定理3中的条件，则S在Γ上是usc的，又是闭的且具有紧值．结合引理1中，有S在Γ上是H-usc的．
若又满足定理5的条件，故若对任意γ0∈Γ，Hh是满足的，则S在Γ上是H-lsc的．再结合定义1中知，S在Γ上是Hausdorff连续的．
若S在Γ上是Hausdorff连续的，则S在Γ上是H-lsc的．由定理5知，对任意γ0∈Γ，Hh是满足的．
□
最后，给出例4来说明定理6．
例4 记X=P R，Y=Z R2，A [0,6]，B( 1 ，[-1,1])T，Γ [0,1]，C(x)
[2,5]，T(x,γ)(1,[γ2,1])T，f(x,t,y,γ)2(y-x)t．
证 易知定理4的所有条件都满足．通过直接计算得解映射S(γ)={2}．显然S是Hausdorff连续的．下面，验证假设Hh是满足的．取
有
对任意x∈K(x,γ)，h(x,γ)≤0，且当x=2时，h(x,γ)=0．显然，h是PGWVQEP的参数间隙函数．对任意给定的γ0∈Γ，Uε(0)=(-ε，ε)和0<ε≤γ0．取ρ=2ε和足够小的δ，有
h(x,γ)≤-ρ，
∀γ∈(γ0-δ,γ0+δ), ∀x∈E(γ)\(S(γ)+Uε(0))=[2+ε,5],
即，对任意γ0∈Γ，Hh是成立的．
本文主要研究了Hausdorff拓扑向量空间中的一类参数广义弱向量拟平衡问题(PGWVQEP)解映射的H-连续性，给出了一个关键假设及其等价刻画，运用非线性标量化函数，获得了PGWVQEP解映射H-连续的充要条件．能否在一般序集下研究PGWVQEP或相关问题的稳定性，这将是下一个值得深入研究的课题．
致谢 本文作者衷心感谢重庆交通大学校级创新团队项目；重庆交通大学校内培育基金(2018PY21)及重庆交通大学创新创业训练项目(201810618104)对本文的资助．
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应用数学和力学编委会，ISSN 1000-0887
邵重阳(1993—),男,硕士(E-mail: shaocyll@sina.com);
彭再云(1980—),男,教授,博士(通讯作者. E-mail: pengzaiyun@126.com).
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