引 言
微梁作为微机电系统工程、微流控装置等许多高科技领域中的核心部件，其应用范围非常广泛，涉及微型谐振器、微驱动器、微传感器和微米输送系统[1-2]．几乎所有涉及微型设备工作效率改善的问题都要求对其动力学行为的深入了解[3]．为此，国内外学者做了大量的研究工作，其中Rinaldi等在经典连续介质结构环境下，分析了尺寸、边界条件、耗散、材料、流速对输流微型管道、微型谐振器的稳定性、阻尼、频率的数值结果的影响[4]．Setoodeh等基于应变梯度理论，研究了功能梯度输流微管道的非线性动力学行为[5]．受磁场驱动的微机电系统，在工作中存在着微构件的机械力与磁场力相互耦合及流固耦合等非线性特征，其力学行为非常复杂，并且涉及小尺度效应问题，影响系统运行的安全性与可靠性[6-9]．Zhen等研究了单壁纳米管输流梁热力耦合以及非局部弹性振动的问题[10]．据笔者所知，目前对于磁场激励下输流微梁动力学特性的研究还处于初级阶段，为此本文采用非局部Euler梁模型，通过Galerkin数值离散方法、动力系统分支理论和谐波平衡法来研究纵向磁场激励下输流微梁的动力学行为，考察了不同磁场强度、流速和阻尼对系统振动频率的影响．
1 流固耦合控制方程
如图1所示，输流微梁的长度为L，横截面积为A，抗弯刚度为EI，单位长度质量为m，通过该管道的非黏性流体的单位长度质量为M，流体在微梁中的流速为Uf，黏性阻尼系数为C，假定管道及流体的重力、表面张力以及外部压力(例如气压的影响)可以忽略不计，并且微梁只在XZ平面内振动．基于Euler梁模型有下面的位移方程：
(1)
其中，X是轴向坐标，T是时间，U和W代表微梁中面沿X轴和Z轴的位移，
和
分别是管沿着X轴和Z轴方向的总位移．
在纵向磁场的作用下简支微梁发生横向位移和轴向位移，产生的应变如下：
(2)
其中εXX是轴向应变．
图1 简支输流微梁在纵向磁场作用下的模型图
Fig. 1 The model for a simply supported micro beam conveying fluid in a longitudinal magnetic field
对于管道输送流体时所做的横向振动，管道与内部流体的动能表示为
(3)
其中 θ=-∂W/∂X．
管道的势能表示为
(4)
其中σXX为正应力．将方程(2)代入方程(4)，得到Π的表达式：
(5)
其中
具体的表达式见文献
外力所做的功可以表示为
(6)
其中fZ为纵向磁场作用下的Lorentz力：
(7)
对于一维Euler梁模型，考虑非局部效应的本构关系[12-14]可以表示为
(8)
式中E为弹性模量，e0a为小尺度参数．
基于Hamilton变分原理，磁场激励下输流微梁的振动方程可以写为
(δΠ-δT1-δW1)dt=0．
(9)
把方程(3)、(5)～(8)代入方程(9)可得系统无量纲运动微分方程：
(10)
其中
(11)
在研究非局部效应的影响时，只需取无穷阶微分方程中级数的前两个非局部项(n=1,2)即可满足精度要求[10]，于是运动微分方程(11)可转化为
(12)
采用Galerkin数值离散方法，Euler梁的变形可以表示为
(13)
其中φi(x)表示梁的特征模态，qi(t)为关于时间t的广义坐标．将方程(13)代入方程(12)中，两端同乘φi，然后在[0, 1]区域内积分，可得非线性耦合常微分方程组，用矩阵表示为
ϑqT(t)Sq(t)Sq(t)=0,
(14)
其中q(t)=qj(t)，(·)T表示矩阵的转置，
M=[mij]， B=[bij]， F=[fij]， E=[eij]， D=[dij]， S=[sij]，
表达式分别为
(15)
采用方程(13)的前两项离散方程时,即可获得简支输流微梁的振动方程组：
(16)
令
于是，方程组(16)可化为4个一次微分方程，并写成矩阵形式，可得
(17)
其中
(18)
线性系统系数矩阵的特征方程可以写作
det(λI-B)=0，
(19)
其中I是单位矩阵，B是方程(17)右端的系数矩阵；λ是系统的特征值，通常特征值是复数形式，其实部代表系统阻尼，虚部代表振动频率．
运用谐波平衡法，令q1(t)=A1cos(ωt)，q2(t)=A2cos(ωt)，将其代入输流微梁的振动方程组，令一次谐波系数为0，忽略超过一次的高阶谐波，可以得到
(20)
2 数值结果分析
纵向磁场激励下输流微梁的振动表现出多值、分岔等非线性现象，现对式 (12) 所表示的系统进行数值求解，选取系统无量纲参数β=0.2，ϑ=1，τ=0.1和 τ=0.2[11], ψ=12.02和ψ=48.08[6]，c=10和c=15．通过特征值虚部与实部随流速的演化图和幅频响应曲线，得到系统参数对微梁动力学行为的影响．
图2 τ=0， c=0， ψ=0时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 2 For τ=0， c=0， ψ=0， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图2为不考虑小尺度效应，无阻尼、无纵向磁场时特征值虚部与实部随流速u的演化图，从图中可以看出内部流体有效地影响了输流管道的振动频率和稳定性．在Ⅰ区(0≤u≤uD1=π)，4个特征值的实部均为0，当流速增加到临界流速uD1，一阶模态所对应的一对特征值(λ1,2)的虚部减小为0，相应运动出现第一次失稳，并通过叉形分岔进入Ⅱ区，与uD1对应的奇点为鞍点．随着流速的增加，特征区域进入Ⅱ区(uD1<u<uF=2π)，显而易见，由于存在正实部的特征值，在该区域系统的解是不稳定的，当流速穿过uF点时，出现的第二次分岔为Hopf分岔，与uF对应的奇点为焦点，在uF处，一阶和二阶模态开始互相耦合．在Ⅲ区(uF<u<uD2=12.454 8)，特征值的实部特征为λReⅢ=+,-,+,-，当流速增加到uD2时，再次发生叉形分岔进入Ⅳ区，与uD2对应的奇点为鞍点．
图3 τ=0， c=10， ψ=0时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 3 For τ=0， c=10， ψ=0， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图3为不考虑小尺度效应，阻尼项c=10，无纵向磁场时特征值虚部与实部随流速u的演化图．显而易见，在u较小时系统实部一直小于0，此时振动系统是稳定的，直到u=2.724 0时产生叉式分岔，此后系统含有正实部的特征值，因此系统处于不稳定状态．当流速u=6.245 6，10.876 8，14.438 2发生第二次、第三次、第四次分岔．图4为不考虑小尺度效应，阻尼项c=15，无纵向磁场时特征值虚部与实部随流速u的演化图．从图2～4可以看出，阻尼可以改变临界流速的个数，并且使系统的耦合模态颤振消失，这与文献[15]的结论一致．
图4 τ=0， c=15， ψ=0时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 4 For τ=0， c=15， ψ=0， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图5 τ=0， c=0，ψ=12.02时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 5 For τ=0， c=0， ψ=12.02， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图6 τ=0， c=0， ψ=48.08时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 6 For τ=0， c=0， ψ=48.08， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图5为不考虑小尺度效应、无阻尼，纵向磁场ψ=12.02时特征值虚部与实部随流速u的演化图．图6为不考虑小尺度效应、无阻尼，纵向磁场ψ=48.08时特征值虚部与实部随流速u的演化图．对比图2、图5、图6可知纵向磁场的存在可以增大输流管道的临界流速以及振动频率，但磁场不改变特征值随流速变化的分岔类型．
图7为考虑小尺度效应τ=0.1，无阻尼、无纵向磁场情况下特征值虚部与实部随流速u的演化图．图8为考虑小尺度效应τ=0.2，无阻尼、无纵向磁场情况下特征值虚部与实部随流速u的演化图．
图7 τ=0.1， c=0， ψ=0时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 7 For τ=0.1， c=0， ψ=0， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图8 τ=0.2， c=0， ψ=0时，特征值λ的虚部与实部随流速的演化图
Fig. 8 For τ=0.2， c=0， ψ=0， the evolution of the imaginary and real parts of eigenvalue λ with the flow velocity
图9 τ=0， c=0， ψ=0时，系统在不同流速下的幅频特性曲线(实线A1，点线A2)
Fig. 9 For τ=0， c=0， ψ=0， amplitude-frequency characteristic curves of the system under different flow velocities (the solid lines indicate A1, the dotted lines indicate A2)
图10 τ=0， c=0， ψ=48.08时，系统在不同流速下的幅频特性曲线(实线A1，点线A2)
Fig. 10 For τ=0， c=0， ψ=48.08， amplitude-frequency characteristic curves of the system under different flow velocities (the solid lines indicate A1, the dotted lines indicate A2)
对比图2、图7、图8可知，小尺度效应可以增大临界流速和振动频率，但不改变特征值随流速变化的分岔类型．
由图2～8可知，采用改变磁场强度、流速和阻尼的三重方式来调节输流微梁的振动频率是可行的．对于一个给定的频率，它可以对应不同的流速(或者磁场)，并且在临界点处特征值对载荷的变化很敏感，很小的流速变化就会导致有效的频率改变，因此可以在较大范围内调整流速以期获得需要的频率，此种调节方式对于微机电系统的优化设计具有重要意义．
下面来考察系统在不同流速下的幅频特性曲线，由图9与图10可知系统的固有频率ω随振幅A的变化而改变．当临界流速u=π，2π(见图9)，u=7.612 5，9.357 3(见图10)时，幅频特性曲线也处于临界状态．
3 结 论
本文采用非局部Euler梁模型考察简支输流微梁在纵向磁场激励下的非线性动力学行为，所得结果表明： 1) 小尺度效应和纵向磁场可以增大系统的临界流速和振动频率，但不改变特征值随流速变化的分岔类型; 2) 阻尼的存在可以改变临界流速的个数和系统的分岔类型; 3) 不同流速下系统的固有频率随振幅的变化而改变; 4) 采用改变磁场强度、流速和阻尼的三重方式来调节输流微梁的振动频率是行之有效的．
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