符 号 说 明
C
井储系数，m3/Pa
rin
内区半径，m
Lref
参考长度，m
Lh
水平井半长，m
h
有效地层厚度，m
ρ
无限小垂直距离，m
δ
无限小径向距离，m
p1，p2
内区、外区储层压力，Pa
pi
原始储层压力，Pa
p-hD
Laplace空间水平井压力，Pa
q
生产井地下产量，m3/s
q
瞬时流量，m3/s
r
任意位置径向距离，m
t
生产时间，s
S
表皮系数，无因次
x，y，z
三维空间中任意位置坐标，m
k1，k2
内区、外区储层渗透率，m2
xw，yw，zw
三维空间中任意计算位置坐标，m
Ct1，Ct2
内区、外区综合压缩系数，Pa-1
μ1，μ2
内区、外区幂律流体黏度，Pa·s
m
幂律指数，无因次
φ1，φ2
内区、外区地层孔隙度，无因次
μa
外区幂律流体视黏度，Pa·s
M12
内区、外区流体流度比，无因次
u
Laplace变量
η12
内区、外区储层导压系数比，无因次I0(x)，I1(x)分别为零阶和一阶的第一类修正Bessel函数
K0(x)，K1(x)分别为零阶和一阶的第二类修正Bessel函数
Kv(x)，Iv(x)分别为v阶的第二类和第一类修正Bessel函数
下标
D
无因次变量
h
水平方向
v
垂直方向
上标
Laplace空间参数
有限余弦Fourier变换变量
引 言
聚合物驱成为提高原油采收率的重要手段，可将聚合物驱替过程抽象为Newton-非Newton流体组成的双区复合模型[1-2]．水平井与储层接触面积大，单井产量高，井筒附近流动阻力小，因此，水平井在复杂油气藏和薄层储层的开采中占有重要地位[3-5]，研究Newton-非Newton双区复合水平井试井解释模型对储层参数的求取和油气藏评价具有重要作用．在非Newton幂律流体试井模型研究方面，国外学者Ikoku和Ramey[6]对多孔介质中的非Newton幂律流体不稳定渗流特征做了研究；Vongvuthiporncha等[7]在此基础上进一步考虑了井筒储集和表皮效应的影响，求得了均质无限大地层Laplace空间的解析解．在聚合物驱油藏压力动态特征研究方面，国内学者宋考平等[8]建立了Newton-非Newton复合油藏直井渗流数学模型，采用Laplace变换解得Newton区、非Newton区的Laplace空间的解析解；梁光跃等[9]假定三元复合体系为非Newton幂律流体，建立了考虑井筒储集与表皮效应直井渗流数学模型，为三元复合驱油试井解释方法提供理论依据；李元媛等[10]在文献[9]的基础上建立了非Newton幂律流体模型，采用分离变量法获得非定常非线性模型的解析解，为非Newton幂律流体数学模型的求解提出了新方法；郭辉等[11]、程时清等[12]建立了聚合物驱双区复合直井试井模型，此模型为Newton-非Newton流体复合模型，由于模型的非线性较强，因此采用有限差分法对模型进行求解；姚军等[13]建立了碱-聚合物复合驱油藏流线数值试井解释模型，考虑了碱组分、聚合物组分的扩散情况，给出了不同驱动方式、不同碱浓度对井底压力的影响；帅媛媛等[14]建立了聚合物驱水平井产能方程，分析幂律指数对产能的影响．综上所述，这些聚合物驱替试井解释模型都是基于直井展开的，对于聚合物驱水平井压力动态特征没有展开深入的研究．在复合油藏水平井压力动态研究方面，大部分研究都是建立双区渗流微分方程并采用Laplace变换进行求解，利用点源函数的方法求解相对较少．Ozkan等[15]基于Gringarten等[16]实空间点源函数的研究，将其转化到Laplace空间，为考虑井储和表皮影响时储层压力求解奠定了良好的基础．Chen等[17]、Zhao(赵玉龙)等[18]基于点源函数基本原理，对双区复合油藏压裂井的试井解释模型进行了研究；石国新等[19]、王晓冬等[20]建立了Newton流体复合油藏水平井试井模型，并采用有限余弦Fourier积分变换法进行求解；姜瑞忠等[21]建立了水平井穿透内区的复合油藏Newton流体试井解释模型，采用点源函数叠加方法进行求解；吴明录等[22]建立了稠油热采三区复合油藏水平井试井解释模型， 采用Laplace变换和有限余弦积分变换进行降维和齐次化处理， 为模型解析解的求解提出了新方法； 刘启国等[23]对夹角断层多段压裂水平井模型提出了新的求解方法．
本文基于前人提出的Newton-非Newton双区复合直井以及水平井试井解释模型求解方法，根据点源函数基本理论，首先建立了Newton-非Newton双区复合油藏物理模型，通过Laplace变换和有限余弦Fourier变换求解出点源函数基本解；然后对点源解积分获得Newton-非Newton复合油藏水平井试井解释模型解析解；最后利用Stehfest数值反演[24-25]获得实空间井底压力解，绘制了井底压力及压力导数典型特征曲线并进行了影响因素分析．
1 试井模型的建立与求解
1.1 物理模型描述
针对聚合物驱油过程，本文的物理模型可抽象为Newton流体-非Newton幂律流体组成的双区复合油藏(图1)．内区为Newton流体，外区为非Newton幂律流体，内区半径为rin．具体假设条件如下：
1) 井位于地层中心，储层为水平、均质、等厚地层．
2) 各区流体均为单相微可压缩液体，忽略重力和毛管力的影响．
3) 各区流体均符合等温渗流．
4) 水平井水平段半长为Lh．
5) 内区与外区渗流界面不存在附加压力降．
6) 非Newton流体黏度服从Ostwald-de Waele幂律流体模型．根据文献[2]，幂律流体的视黏度与特征黏度的比值可以用Newton区半径和幂律指数表示，即
μaμ2=(rDrinD)1-m．
(1)
图1 Newton-非Newton复合区点源物理模型示意图
Fig. 1 The physical model for the point source in the Newtonian-non-Newtonian composite reservoir
1.2 Newton-非Newton双区复合点源函数解
根据上述物理模型的描述，三维空间无因次渗流微分方程如下：
1rD∂∂rD(rD∂pD1∂rD)+∂2pD1∂z2D=∂pD1∂tD, 1≤rD≤rinD,
(2)
其中
rD=(xD-xwD)2+(yD-ywD)2．
外区无因次渗流微分方程如下：
1rD∂∂rD(rmD∂pD2∂rD)+kD∂2pD2∂z2D=rm-1inDη12∂pD2∂tD, rinD≤rD,
(3)
其中
η12=(k1φ1μ1Ct1)(k2φ2μ2Ct2)．
在初始时刻，内外区压力相等且都为原始地层压力：
pD1(rD,zD,tD=0)=pD2(rD,zD,tD=0)=0．
(4)
由于水平井位于上下封闭边界储层中，因此，上下边界封闭条件可以写为
∂pD1(rD,zD=0,tD)∂zD=∂pD2(rD,zD=0,tD)∂zD=0，
(5)
∂pD1(rD,zD=hD,tD)∂zD=∂pD2(rD,zD=hD,tD)∂zD=0．
(6)
侧向无限大外边界为
pD2(rD=+∞, zD, tD)=0，
(7)
内边界条件为
limρD→0∫zwD+ρD/2zwD-ρD/2[limεD→0(rD∂pD1∂rD)rD=εD]dzD=-qD(tD)ρD．
(8)
内区与外区界面处压力和速度相等：
pD1|rD=rinD=pD2|rD=rinD，
(9)
M12∂pD1∂rD|rD=rinD=∂pD2∂rD|rD=rinD，
(10)
其中
M12=(k1μ1)(k2μ2)．
式(1)～(10)中各参数的无因次定义如下：
rD=rLref， rinD=rinLref， xD=xLref， yD=yLref， zD=zLrefkh1kv1，
xwD=xwLref， ywD=ywLref， zwD=zwLrefkh1kv1， hD=hLref， kD=(kh1kv1)(kh2kv2)，
LhD=LhLref， pD1=2πkh1hqscμ1(pi-p1)， pD2=2πkh1hqscμ1(pi-p2)，
tD=kh1tφ1μ1Ct1L2ref， qD=q(t)Lrefq， CD=C2πφ1Ct1hL2ref．
为了求解上述模型，分别对式(2)～(10)关于无因次时间tD进行Laplace积分变换，得到Laplace空间渗流微分方程和边界条件，再对zD进行有限余弦Fourier变换和逆变换，式(11)和(12)为有限余弦Fourier变换和逆变换：
p-Di(rD,n,u)=∫hD0p-Di(rD,zD,u)cos(nπzDhD)dzD, i=1,2,
(11)
p-Di(rD,zD,u)=1hD[p-Di(rD,0,u)+2∑+∞n=1p-Di(rD,n,u)cos(nπzDhD)], i=1,2．
(12)
得到Laplace变换和有限余弦Fourier变换之后的渗流微分方程及其边界条件如下：
{1rDddrD(rDdp-D1drD)=(u+n2π2h2D)p-D1，
1rDddrD(rmDdp-D2drD)=(urm-1inDη12+kDn2π2h2D)p-D1，
p-D2(rD=+∞, n, u)=0，
p-D1|rD=rinD=p-D2|rD=rinD，
M12dp-D1drD|rD=rinD=dp-D2drD|rD=rinD，
limδD→0(rDdp-D1drD)rD=εD=-qD(s)hDcos(nπzwDhD)．
(13)
式(13)为内区与外区的渗流微分方程和外边界条件，其中内区的渗流微分方程为零阶Bessel方程，外区的渗流微分方程为v阶Bessel方程，这两个微分方程的通解为
p-D1=AK0(εnrD)+BI0(εnrD)，
(14)
p-D2=Cr(1-m)/2DKv(ε
nβ rβD)+Dr(1-m)/2DIv(εnβ rβD)．
(15)
根据Bessel函数的性质和外边界条件可知D=0．再根据内区与外区界面处的压力相等、速度相等和内边界条件得到系数A，B，C的具体表达式如下：
{A=qD,
B=M12r(1-m)/2inDuK1(εnrinD)Kv(εnβ rβinD)-r1-minDεnK0(εnrinD)Kv-1(εnβ rβinD)M12εnI1(εnrinD)r(1-m)/2inDKv(εnβ rinD)+I0(εnrinD)r1-minDεnKv-1(εnβ rinD)qD,
C=η12M12rinDqDM12εnI1(urinD)r(1-m)/2inDKv(εnβ rinD)+I0(εnrinD)r1-minDεnKv-1(εnβ rinD),
n=0,1,2,3,…,
(16)
式中
εn=(nπ)2h2D+u， εn=n2π2h2D kD+u， β=3-m2， v=1-m3-m， u=uη12rm-1inD．
将上面解出的系数A，B和C分别代入到式(14)和(15)，并结合式(12)有限余弦Fourier逆变换得到Laplace空间双区复合油藏点源解，其解的形式如下：
p-D1=qDK0(ε0rD)+BI0(ε0rD)+2∑∞n=1(K0(εnrD)+BI0(εnrD))×
cos(nπzDhD)cos(nπzwDhD)]．
(17)
1.3 Newton-非Newton双区复合水平井
在Newton-非Newton渗流双区复合点源函数解的基础上，对点源函数在x方向从-LhD到LhD积分得到Newton-非Newton渗流双区复合的线源解(图2)．
图2 Newton-非Newton双区复合水平井物理模型示意图
Fig. 2 The physical model for the horizontal well in the Newtonian-non-Newtonian composite reservoir
取yD=ywD得到水平线源解，对于单一水平井而言，总的产量等于水平井产量．因此，有以下关系表达式:
q=2qLh．
(18)
积分之后得到水平井压力为
p-hD=12uLhD[∫LhD-LhDK0(ε0(xD-α)2)dα+B∫LhD-LhDI0(ε0(xD-α)2)dα+
2∑+∞n=1cos(nπzDhD)cos(nπzwDhD)×
∫LhD-LhD[K0(εn(xD-α)2)+I0(ε0(xD-α)2)]dα]．
(19)
上式中xD取0.732代替井底压力解[15]，根据Ozkan等[15]关于Bessel函数积分计算方法，结合试井分析中常用的Duhamel原理以及叠加原理，可求得Laplace空间中考虑井筒储集和表皮效应的无因次井底压力：
p-wD(s)=up-hD+Su+CDu2(up-hD+S)．
(20)
2 典型特征曲线分析与影响因素分析
根据式(20)，利用Stehfest数值反演[24-25]得到实空间井底压力解．图3为Newton-非Newton双区复合水平井井底压力与压力导数的特征曲线．根据井底压力导数曲线特征，Newton-非Newton渗流双区复合水平井井底压力特征曲线分为7个流动阶段：第①阶段为井储和表皮反应阶段，纯井储阶段井底压力和压力导数曲线重合且呈斜率为1的直线，井储和表皮共同作用阶段压力导数为一个明显的驼峰；第②阶段为早期径向流阶段，该阶段井底压力导数曲线呈值为1/(4LhD)的水平线；第③阶段为储层流体沿井筒的线性流阶段，该阶段井底压力导数曲线呈斜率为0.5的直线；第④阶段为储层流体围绕水平井的椭圆流阶段，该阶段压力导数曲线呈斜率为0.36的直线；第⑤阶段为径向流阶段，该阶段压力导数曲线呈值为0.5的水平线；第⑥阶段为过渡段；第⑦阶段为非Newton幂率流体响应阶段，由于外区为幂率流体，流体黏度大，流体流动所消耗的压降大，因此，该阶段井底压力导数曲线上翘，且呈斜率为(1-m)/(3-m)的直线，幂律指数m越小，直线斜率越大．
图3 Newton-非Newton双区复合水平井特征曲线
Fig. 3 Wellbore pressure characteristic curves of the horizontal well in the Newtonian-non-Newtonian composite reservoir
图4为水平井水平段长度对井底压力与压力导数特征曲线的影响．水平段长度越长，水平段井筒附近流体从储层流入井筒所消耗的压降越小，井底压力曲线的幅度越低．井底压力导数曲线上所表现出的特征为水平段长度越长，早期径向流阶段结束的时间越早，线性流持续时间越长，早期径向流阶段压力导数曲线幅度越低．
图4 水平井水平段长度对特征曲线的影响
Fig. 4 Characteristic curves for different horizontal section lengths of horizontal wells
图5为水平井纵向位置对特征曲线的影响．在上下边界封闭，侧向无限大外边界条件下，水平井偏离储层纵向位移越大，早期径向流阶段结束的时间越早．在纵向上，当压力波传播到上(下)封闭边界时，由于直线边界的影响，早期径向流阶段井底压力导数曲线从1/(4LhD)水平线过渡到1/(2LhD)的水平线．水平井越靠近上(下)边界，井底压力导数曲线1/(2LhD)水平线特征越明显．
图5 水平井纵向位置对特征曲线的影响
Fig. 5 Characteristic curves for different vertical positions of the horizontal well
图6为内外区流度比与内区半径大小对井底压力与压力导数特征曲线的影响．流度比M12越小，说明内区流体比外区流体流度小，由于计算的压力为井底压力，所以外区流体流入井筒所消耗的压差更大．因此，内外区流度比越小，外区径向流阶段无因次井底压力导数曲线越低且呈斜率为(1-m)/(3-m)的直线(图6(a))．内区半径的大小主要影响内区径向流阶段持续时间和外区径向流阶段的开始时间．由于外区幂率流体黏度与内区半径呈反比，因此，内区半径越小，内区径向流阶段持续时间越短，井底压力导数曲线值呈0.5水平线持续的时间越短，外区井底压力和压力导数曲线幅度越高(图6(b))．
(a) 内外区流度比(b) 内区半径
(a) The flow ratio of inner to outer zones(b) The radius of the inner zone
图6 内区-外区流度比和内区半径对特征曲线的影响
Fig. 6 The characteristic curves for different flow ratios of inner to outer zones and radii of the inner zone
3 模 型 验 证
为了验证本文模型，借助Saphir试井解释软件，建立双区复合水平井几何模型．采用Saphir试井解释软件建立模型基本参数为：表皮系数S=0，井储系数CD=0，储层的厚度h=10 m，内区半径rinD=800 m，内外区的流度比M12=4，内外区的导压系数比η12=4，井径rw=0.1 m，水平井水平段在纵向上位于储层的中部，即zw=5 m．
为了方便对比，取幂律指数m=1，本文模型简化为水平井常规双区复合模型．图7中本文计算井底压力与压力导数曲线时参数的取值与Saphir试井解释软件中模型建立时参数取值一致．通过图7可知，采用本文模型计算的结果与Saphir试井解释软件计算的结果基本一致，但在早期，由于井储阶段经历的时间很短，所以理论曲线可以反映出历时很短的井储阶段，而用Saphir试井解释软件很难计算出历时很短的井储阶段．
图7 本文模型与Saphir软件模型结果对比
Fig. 7 Comparison of the results between the proposed model and the Saphir software model
4 结 论
1) 基于点源函数基本理论建立Newton-非Newton渗流双区复合油藏水平井试井模型，通过Laplace变换获得Laplace空间解析解．与常规双区复合油藏水平井井底压力与压力导数曲线相比，Newton-非Newton渗流双区复合油藏井底压力主要影响晚期井底压力和压力导数曲线变化．
2) 幂律指数m主要影响晚期曲线变化，外区径向流阶段井底压力导数曲线呈斜率为(1-m)/(3-m)的直线，幂律指数越小，直线的斜率越大．
3) 内外区流度比越大，外区径向流阶段井底压力导数曲线幅度越高；内区半径越小，内区径向流持续的时间越短．
4) 根据Newton-非Newton幂律流双区复合水平井数学模型以及求解方法，结合符合上述模型实际现场数据，可对储层的参数进行解释，为Newton-非Newton幂律流双区复合水平井的试井解释提供理论指导．
致谢 本文作者衷心感谢陇东学院青年基金(XYZK1807)对本文的资助．
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