Euler-Bernoulli梁的高阶二次摄动解及收敛性讨论

摄动法又称小参数展开法.利用摄动法求解方程的渐进解通常要将物理方程和定解条件无量纲化.在无量纲方程中选择一个能反映物理特征的无量纲小参数作为摄动量，然后假设解可以按小参数展开成幂级数，将这一形式级数代入无量纲方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解.

摄动方法在非线性系统分析中有着广泛的应用［1-9］，然而与高阶摄动解相关的工作并不多见.宋涛和李家春［10］给出了表面张力作用下深水波的高阶摄动解答，其中三角函数的降幂与积化和差公式由符号软件递归求得.在对圆薄板的非线性弯曲分析中，陈山林［11］用推演分析的方法，求出了均布载荷与集中载荷作用的高阶钱伟长(钱氏)摄动解，并用权余法讨论了此种方法的渐近特性.然而，这种手工推算高阶摄动解，不仅阶数有限，而且其工作量很大，难以推广.叶开沅和周又和［12］解决了这一问题，即在求得函数结构后，其系数的递推工作由计算机完成，文中给出了在中心集中载荷作用下的钱氏解的21阶摄动解，并得出如下结论:钱氏摄动解在圆板的中心挠度与厚度之比w m/h＜1.63时收敛，而在w m/h＞2.18时(出现中心下凹)其解发散.

在钱氏摄动法［1］的基础上，沈惠申和张建武［13］对单向压缩简支矩形板后屈曲摄动分析，首次提出了二次摄动法，该方法被 Blázquez和 Picón［14］称为“沈-张方法”.该方法最有特色之处在于:第一，摄动参数ε可暂不赋予任何物理意义;第二，通过摄动参数转换，将该摄动参数用最大挠度代替.该方法可适用梁、板、壳结构非线性分析的各种问题.应用该方法Shen(沈惠申)及其合作者［15-22］用手工推算二次摄动解，成功地求解了各向同性和复合材料梁板壳结构在机械荷载、热荷载及其共同作用下的非线性弯曲、后屈曲和非线性振动问题.然而仅仅用手工推算二次摄动解，回答不了高阶摄动解的渐近性质、解答的解析结构以及各阶次摄动解的适用域等问题.

在飞机制造、造船工业、建筑结构、仪器设计等多个领域中，研究者们提出了大量关于梁板壳结构的大变形与稳定性问题，因而非线性弹性力学问题已经得到了各国力学家的关注.其中Novozhilov(诺沃日洛夫)［23］从几何的角度，将弹性力学问题分为四大类:第一类，大应变问题;第二类，小应变大转动问题，结果使物体大变形;第三类，小应变小转动，但应变的大小与转动的平方同量级，结果也使物体大变形，如Von Kármán板就是属于这一类;第四类，小应变小转动，而应变的大小与转动的大小同量级，这样就转化为线弹性力学的问题.在目前关于梁板壳的工作中，第三与第四类问题的研究工作很多，第一与第二类问题的研究工作相对较少，其数量少的主要原因之一是这两类问题求解难度高.

在本文中，假定梁的中线不可伸长，用精确曲率公式与能量变分原理导出了非线性Euler-Bernoulli梁的模型，并且首次借助符号计算软件成功地给出了高阶二次摄动解，用解析的方式给出了Euler-Bernoulli梁后屈曲与非线性弯曲问题的高阶二次摄动解答，并讨论了各阶摄动解的适用域.值得一提的是，本文的工作属于Novozhilov［23］所说的第二类问题.

1 基于精确曲率的非线性梁的建模

建立如图1所示的坐标系，对于两端简支的均匀梁，其长度为Lx，抗弯刚度为EI，沿x方向受水平压力P，横向方向受分布荷载qz，Δx表示梁沿x方向的缩短量，w0表示梁的挠度，精确曲率具体表达式如下:

假定梁的中线不可伸长，Δx对x求导的具体表达式如下:

本文公式推导过程与文献［20］略有所不同，平衡方程是由能量变分原理导出:

其中Π=U+V，虚应变能为

通过变分运算与进一步整理，控制方程可以表达为

需注意到，方程(5)只适用于具有端部可移条件与中线不可伸长假定的梁.

2 高阶二次摄动解

在本节中，将给出关于Euler-Bernoulli梁压缩后屈曲与非线性弯曲问题的高阶二次摄动解，并进一步讨论不同阶次摄动解的适用域及其渐近特性.

2.1 后屈曲

对于简支梁后屈曲问题的求解，首先引入如下无量纲参数:

在摄动解答的求解过程中，由于W的偶数项与λP的奇数项对解答没有贡献，所以在此假定W按奇数项展开，λP按偶数项展开:

其中ε是小摄动参数.将式(6)、(7)代入控制方程(5)中，而后合并具有相同阶次的ε项，即可得到一系列的摄动方程，其解答可以通过逐阶求解各阶摄动方程得到.值得指出的是，以下的求解过程是借助符号计算软件(如MATHEMATICA、MAPLE、REDUCE等)一步步推导得到，三角函数的积化和差运算以及合并同类项、摄动参数转换等等，全部由计算机实现，这与过去手工推算的工作(手工推算阶次有限，而且工作量很大)有所不同.所得到的第1阶方程O(ε)表达如下:

方程(8)与Euler-Bernoulli梁的线性屈曲方程形式相同，假定可以满足简支边界条件W1=d2W1/d X2=0的解答如下:

将方程(9)代入方程(8)，可以得到

第3阶方程O(ε3)表达如下:

将式(9)代入方程(11)的右端，可知W3具有如下形式的解答:

将方程(12)代入方程(11)，可以得到

出于简洁性的考虑，更高阶次的方程与求解过程略去.值得进一步说明的是，当i≥3时，Wi具有如下形式的解析结构:

以下将直接给出第21阶近似解答，W m与λP分别为

式中

ε是与无量纲最大挠度W m相关的二次摄动参数.由式(15)可得

将式(17)代入式(16)，则后屈曲路径可以表达为

若将上式用浮点形式表达，则可以得到如下表达式:

通过计算给出的简支梁在水平轴向压力作用下的后屈曲荷载-挠度曲线，各阶摄动解与文献［24］用椭圆积分所求得精确解答相比较，详见图2.其中P cr=π2EI/L2x是Euler屈曲荷载，无量纲最大挠度为w max/Lx.关于各阶摄动解的适用域，可以通过直接观察，初步得到结论如下:2阶摄动解在w max/Lx＜0.15时适用;4阶摄动解在w max/Lx＜0.25时适用;当0.25＜w max/Lx＜0.4时，需要更高阶次的摄动解.需要补充说明一下，对于水平轴向压力继续增加，而中心挠度反而减小的情况，高阶二次摄动解答或许失效，这种情况在本文中并不深入讨论，读者若是对此感兴趣，请查看文献［24］中的第一章与第三章，当P/P cr=1.75时，w max/Lx=0.403是其转折点.

2.2 非线性弯曲

对于梁的非线性弯曲问题，假定荷载为正弦荷载，即qz=q0sin(πx/Lx)，引入如下无量纲参数:

将方程(19)、(20)代入方程(5)，而后合并具有相同阶次的ε项，得到的第一阶方程O(ε)表达如下:

选取可以满足简支边界条件W1=d2W1/d X2=0的解答如下:

将方程(22)代入方程(21)，可以得到

第3阶方程O(ε3)表达如下:

同样地，W3具有如下形式:

将方程(25)代入方程(24)，可以得到A(3)30与λ3，分别为

同样出于简洁性的考虑，更高阶次的方程与求解过程略去.以下将直接给出第21阶近似解答，中心挠度与荷载的关系:

本文通过计算，给出了简支梁在正弦荷载作用下的荷载-挠度曲线，各阶摄动解答详见图3.关于各阶摄动解的适用域，通过直接观察，可以初步得到结论如下:1阶摄动解在w max/Lx＜0.1时适用;3阶摄动解在w max/Lx＜0.2时适用;当0.2＜w max/Lx＜0.4时，需要更高阶次的摄动解.

需要指出的是，在中心荷载作用下圆板的钱氏高阶摄动解［12］的系数是有正有负的，而在式(18)与(27)中，Euler-Bernoulli梁后屈曲与非线性弯曲问题的高阶二次摄动解答各阶次的系数都为正值.在本文中所用的几何方程是精确曲率表达式(1)，适用于描述大转动问题，属于Novozhilov［23］所说的第二类问题.而文献［12］中所用的是Von Kármán意义下的几何非线性，属于Novozhilov［23］所说的第三类问题.从图2与图3中，可以直接观察出各阶摄动解的适用域.因此，需要进一步指出的是，文献［20-22］中的部分结果不精确是由于摄动解答超出了其特定的适用域.

3 结论

本文首次用解析的方式给出了Euler-Bernoulli梁后屈曲与非线性弯曲问题的高阶二次摄动解答.通过与精确解或高阶摄动解的比较，讨论了二次摄动解的收敛性及适用域.得到主要结论如下:

1)低阶摄动解适于描述梁的初始后屈曲阶段及初始非线性弯曲阶段，更高阶次的摄动解适于描述梁的深度后屈曲以及深度非线性弯曲;

2)两端简支的Euler-Bernoulli梁在端部压力作用下的后屈曲与在正弦荷载作用下的非线性弯曲问题，其高阶二次摄动解答各阶次的系数都为正值;

3)文献［20-22］中的部分结果不精确是由于摄动解答超出了其特定的适用域.

致谢本文作者衷心感谢江西理工大学博士科研启动基金(jxxjbs18022)对本文的资助.

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