引 言
非线性Schrdinger方程是一个经典偏微分方程，该方程是孤立子理论中最重要的可积模型，广泛应用在物理中的许多领域，例如，非线性光学、等离子体物理学［1-2］.Li和Sun(李步扬、孙伟伟)在分析非线性抛物型方程半隐格式Galerkin有限元方法的最优误差估计［3-4］中提出了一种新的分析误差的方法，通过引入一个时间离散方程，把非线性抛物型方程的误差分为时间误差和空间误差两部分，通过分析该时间离散方程，得到了强范数下时间离散方程解的一致有界性，进而得到了全离散有限元解的一致有界性，最后得出最优误差估计是无条件稳定的.最近，该方法也被用于讨论非线性Schrdinger方程，由向后Euler方法(BDF)研究该方程，向后Euler法常用于分析常微分方程(ODEs)［5］，该方法具有稳定、迭代简单的优点.向后Euler法目前也用于解决偏微分方程(PDEs)［6］.Cai(蔡文涛)等将该误差分析技巧应用到非线性Schrdinger方程中，给出了在L2范数下的半隐格式向后Euler有限元方法的无条件最优误差估计［7］和全显格式下的BDF2-FEM的无条件最优误差估计［8］，并得到最优误差估计对时间步长无强制条件，进一步说明了该最优误差估计是无条件收敛的，并将该分析方法推广到其他的非线性抛物型方程.基于这种分析技巧并综合向后Euler法和BDF2两种离散格式，本文利用半隐格式BDF2-FEM分析该方程的最优误差估计，通过引入一个时间离散方程，将误差分为时间误差和空间误差两部分，得到强范数下时间离散方程解的一致有界性，进而得到全离散有限元解的一致有界性，从而得到立方Schrdinger方程在L2范数下的无条件最优误差估计，且在半隐格式下的BDF2-Galerkin FEM［9］最优误差估计对时间步长无强制条件.相比较以前的工作，该分析方法是无条件收敛的，对时间步长无约束条件，并降低了计算的复杂度.进一步地，该方法可以推广到其他的非线性抛物型方程.
1 预备知识
在这一节中，定义Schrdinger方程为
其中u是定义在Ω×［0，T］上的复值函数，ΩR2为有界域，边界为Ω.假设f:R R是属于C2(R)的已知函数，g为常函数.
令Γh是一个三角正则剖分，该剖分将区域Ω剖分成三角形Tj，j=1，2，…，M的集合，且剖分尺度h=max j{diam Tj}.若Tj在边界上，则定义Tj为曲边部分;若Tj为内部单元，则Tj=Tj.由上述定义，有限元空间为
式中vh|Tj是次数为r的多项式，在Ω上vh=0;vh|Tj是次数为r的多项式;Vh是H10(Ω)的子空间且Sh是H1(Ω)的子空间.定义φ {φv:φv=0在Ω上;φv=v在Tj上v∈Sh}.令F:C(Ω－) Sh为 Lebesgue算子且赋值 Πh= φF，则 Πh是 C(Ω－) Vh的插值算子.
设u，v是 L2(Ω)内的复值函数，定义L2内积空间为
其中v－是v的共轭函数.由文献［10-11］中的插值方法，得
其中C是正常数.
定义Rh:
(Ω) Vh的Ritz投影算子，则
由文献［12-13］所述的有限元方法，得
定义逆不等式为
令 τ大于0为时间步长，tn=nτ，n=0，1，…，N是［0，T］上的一个正则剖分，这里tN=T，定义 un=u(x，tn) .对于序列{yn}N n=0定义二阶向后差分形式为
由BDF2-Galerkin FEM求解Schrdinger方程(1)的数值解Unh∈Vh，得
对vh∈Vh，在初值条件下，
=Πhu0且
满足
这里
设Un是上述时间半离散方程的解，则对于n=2，3，…，N，有
边界条件为
初值条件为
对x∈Ω，U1*定义为
在任意形式‖·‖的定义下误差函数可分解为［14］
这里
引理 1(Gronwall不等式［15］) 令 τ，B，ak，bk，ck以及 γk(k ≥ 0) 为非负数，得
设 τγk ＜ 1，取 k=(1 － τγk)－1，得
在证明过程中会用到下面的公式［16］.
引理2 若α(Ф)=αnn+… +α0和β(Ф)=βnФn+… +β0是两个次数至多为n的多项式且这两个多项式至少有一个次数为n，同时这两个多项式没有公约数.令(·，·)为内积，若
则存在对称正定矩阵 G=(gij)∈ Rn×n和实数δ0，…，δn，使得对内积空间中v0，…，vn，有
引理3 当q≤5时，-0≤ζq＜1，使得n阶BDF方法形成的多项式
满足
这里ζn可能的最小值有:
ζ1= ζ2=0，ζ3=0.083 6，ζ4=0.287 8，ζ5=0.816 0.
假设1 方程(1)的解存在且满足
定理1 设方程(1)在边界条件(11)及初值条件(12)下有唯一解u，且满足假设1.那么全离散方程(7)～(9)有唯一有限元解Unh，且存在τ0＞ 0和h0＞ 0，使得当τ≤τ0，h≤h0时，有
其中C是Ω上与τ和h无关的正常数.
2 时间误差估计
在本节中，给出en的误差边界和
在强范数下的一致有界性.设u是方程(1)的解，则n≥2时，有
u1满足
令
由假设1和Taylor展开式有
定理2 设方程(1)的唯一解u满足假设1，那么存在正常数τ0，使得当τ＜τ0时，时间半离散方程(10)～(13)有唯一解 Un，n=1，2，…，N，则
证明 由方程(10)～(13)是线性椭圆方程知，它们的解Un 存在且唯一.在研究方程(24)、(25)之前，首先由数学归纳证明下面的初步误差估计，存在正常数τ'0，当τ＜τ'0时，
由方程(13)和(21)，得
这里 e1*=u1－U1*.
取方程(27)两端乘以e1*并在Ω内作内积有
由方程(23)和(28)的虚部，得
取方程(27)两端乘以Δe1*并在Ω内作内积，有
由上述表达式可得
以及
由方程(23)和(29)、(31)、(32)，得
设Ω是光滑的，且由Dirichlet边界条件，得
由假设1和式(34)，得
则存在一个正常数τ1，使得τ≤τ1，方程(35)、(36)成立.
由方程(9)和(22)得到误差方程为
这里
取方程(37)两端乘以e1做内积，得
由方程(36)和假设1，得
式中ξ是由中值定理得到的中值，若在下文中出现中值一律省略下标，均用ξ表示.
取方程(38)的虚部，得
由方程(23)和(39)，得L
在方程(37)两端乘以Δe1，得
由方程(23)、(39)和(42)的实部和虚部，得
由上述表达式可得
则存在一个正常数τ2，使得τ≤τ2，上述结果成立.
因此，当n=1时，方程(26)成立.假设n≤m－1对于方程(26)成立，现用数学归纳法证明n=m成立.
由方程(10)和(20)得到误差方程为
这里
由Φn的定义、假设1和数学归纳法，得
在方程(44)两端乘以en，并在Ω内做内积，得
根据引理2，将 Dτen展开，则
由上述方程的虚部，得
令
则
由方程(45)、(48)及Young不等式，得
对方程(49)从n=1到n=m求和，则
根据方程(50)、(51)，有
由方程(47)～(51)和Gronwall不等式，得
则存在一个正常数τ3，使得τ≤τ3，方程(53)成立.
在方程(44)两边乘以Dτen，并在Ω内做内积，得
由上述方程的实部和引理2，得
下面，给出 |Re(Φn，Dτen)|和 |Re(Qn，Dτen)|的边界，对于方程(44) 乘以 Φn，在 Ω 内做内积，则
根据上述方程，由方程(46)、(53)及Young不等式，得
同时，将方程(55)的右端写为
对方程(44)两端乘以
，在Ω内做内积，得
对上述方程，由方程(46)、(53)、Taylor公式和Young不等式，得
对方程(44)两端乘以
在Ω内做内积，得
对上述方程，由方程(46)、(53)、假设1和Young不等式，得
由方程(23)、(54)～(62)及假设 1，得
于是由方程(62)、(63)及引理2，得
则存在一个正常数τ4，使得τ≤τ4，方程(64)成立.
在方程(44)两端乘以Δen，并在Ω内做内积，得
由上述不等式，得
由上述方程的实部、Young不等式及方程(23)、(46)、(53)、(64)，得
于是
根据上述误差估计和假设1，有
则存在一个正常数τ5，使得 τ≤τ5，上述结果成立.令 τ'0=min{τ1，…，τ5}.由此完成了方程(26)的证明. □
下面，证明方程(24)、(25).由于已完成了方程(26)的数学归纳，则当n=N时，方程(53)、(64)和(68)均可证，所以方程(24)成立.由假设1和方程(24)得
则存在一个正常数 τ6，使得 τ≤τ6，方程(70)、(71) 成立.令τ0=min{τ'0，τ6}，由此完成了定理2的证明. □
3 全离散有限元解
引理4 若时间离散方程(10)～(13)有唯一解，则
证明 由方程(2)、(4)、(5)以及(25)，得
引理4的证明完成.□
定理3 设方程(1)的唯一解u满足假设1，那么有限元方程(7)～(9)有唯一解Unh，n=1，2，…，N，且存在 τ' ＞ 0，h' ＞ 0，使得当 τ≤ τ'，h ≤ h'有
证明 首先证明方程(7)～(9)的解存在且唯一，若线性全离散方程(7)有唯一解Um，当且仅当 Unh，n=1，2，…，m － 1，对应的齐次方程
只有零解，则方程(7)的解存在且唯一.实际上，取上述方程vh=λh，得
显然，实部和虚部均为0，易得λh=0.因此齐次方程(75)只有零解.则对应的方程(7)的解存在且是唯一的.同理可得方程(8)和(9)的解存在且唯一.
下面应用数学归纳证明误差估计方程(74).由U0h=Πhu0、方程(2)、(4)和假设1，得到
由上述不等式，方程(72)以及假设1，得
由方程(5)、(72)和(77)，得
则存在一个正常数h1，使得h≤h1，方程(78)成立.
由方程(3)、(9)和(13)得
令上述方程v=e1*h，则
由上述方程的虚部，得
由假设 1、Young不等式、方程(4)、(35)、(36)、(77)和(78)，得
由假设 1、方程(4)、(36)、(78)、(81)和(82)，得
则存在一个正常数h2，使得h≤h2，方程(83)成立.
由方程(5)、(72)和上述不等式，得
则存在一个正常数h3，使得h≤h3，上述结果成立.
由方程(3)、(8)和(12)，得
令上述方程
，得
由方程(25)、(35)、(36)、(77)和(86)得
因此
由方程(5)、(72)和上述不等式，得
则存在一个正常数h4，使得h≤h4，方程(89)成立.
因此，当n=1时方程(74)成立.假设n≤m－1对于方程(74)成立，现在证明n=m成立.由方程(3)、(7)和(10)得
令vh=
，代入上述方程得
取上述方程的虚部及引理2，得
令
由假设1、Young不等式、方程(4)、(24)、(25)以及数学归纳法，得
由方程(4)、引理2、Young不等式及Gronwall不等式，得
由方程(5)、(72)和上述不等式，得
则存在一个正常数h5，使得h≤h5，上式成立.令h'=min{h1，…，h5}.由此完成了方程(74)的证明.□
下面证明方程(73)，由于方程(74)用数学归纳法可证，当n=N时方程(95)也成立，由此证明完成. □
注1 上述误差估计在L2范数下是最优的，由于在定理3中L2误差估计与τ无关，因此可由逆不等式得到H1的误差估计:
由假设1、定理2、定理3和方程(4)，可得到r=1时L2和H1范数下的最优误差估计.
推论1 设方程(1)的唯一解u满足假设1，那么有限元方程(7)～(9)有唯一解Unh，n=1，2，…，N，且存在 τ″＞ 0，h″＞ 0，使得当 τ≤ τ″，h≤ h″有
下面证明定理1.设
，且由方程(2)、(4)和假设1，得
由方程(3)、(9)和(21)，得
对上述方程，令
，为证明过程简洁，取
，由引理2得到
令
则
由方程(96)、(97)和Young不等式，得
根据 Young不等式、假设 2、方程(4)、(74)和(95)，得
于是由方程(99)、(100)，得
由方程(3)、(12)和(22)，得
令上述方程
，由其虚部，得
根据 Young不等式、假设 1、方程(4)、(96)和(101)，得
于是由上述不等式，可得
由方程(3)、(12)和(22)，得
根据引理 2，将
展开，得
根据方程(104)、(105)以及Young不等式，有
由假设 1、方程(4)和(74)，得
对方程(106)从n=1到n=m求和，得
由方程(103)、(107)和 ‖
的正则性，得
由方程(105)～(108)和Gronwall不等式，得
则存在一个正常数h6，使得h≤h6，方程(109)成立.
令h0=min{h'，h6}，由此，根据方程(4)和(109)，完成了定理1的证明. □
4 数值算例
例 考虑下面的Schrdinger方程:
这里 Ω ={(x，y):(x－ 0.5)2+(y－ 0.5)2＜ 0.52}.由下面的精确解u定义右端项g和初值条件:
u=5ei t(3+2t2)x(2－x)y(5－y).
在计算过程中，分别用二阶向后差分的线性有限元方法和二次有限元方法求解方程(110).为确定L2范数的最优收敛速度，线性有限元选用τ=O(h)，二次有限元选用τ2=O(h3).取T=0.5，1，1.5，2，在表1和2中给出数值结果.由表1和2可以看出，在 L2范数下线性有限元误差估计与h2成正例，且二次有限元的误差估计与h3成正例.因此，数值结果与理论分析一致.
表1 L2范数线性有限元误差估计
Table 1 L2-error estimates of the linear FEM
h‖u(·，tn) － Unh‖L2 T=0.5 T=1 T=1.5 T=2 1/16 1.124 5E－2 2.961 7E－2 5.442 3E－2 1.557 3E－1 1/32 2.389 0E－3 7.195 8E－3 1.331 6E－2 3.806 8E－2 1/64 5.524 9E－4 1.650 1E－3 3.301 2E－3 9.242 7E－3 1/128 1.368 5E－4 3.894 1E－4 7.965 8E－4 2.289 6E－3 1/256 3.337 8E－5 9.691 7E－5 1.943 8E－4 5.664 3E－4 orderα 2.10 2.06 2.03 2.03
表2 L2范数二次有限元误差估计
Table 2 L2-error estimates of the quadratic FEM
h ‖u(·，tn) － Un h‖L2 T=0.5 T=1 T=1.5 T=2 1/16 2.361 9E－4 6.162 7E－4 1.486 2E－3 3.635 2E－3 1/32 2.216 4E－5 6.292 8E－5 1.549 9E－4 3.857 5E－4 1/64 2.519 7E－6 6.251 7E－6 1.731 8E－5 4.397 9E－5 1/128 2.664 7E－7 7.086 1E－7 1.842 1E－6 4.775 5E－6 1/256 2.893 3E－8 7.712 4E－8 1.985 7E－7 5.205 1E－7 orderα 3.25 3.24 3.22 3.19
图1 线性和二次有限元方法的L2误差估计
Fig.1 L2-norm errors of the linear and quadratic FEMs
为进一步说明无条件稳定，在T=1时，研究二阶向后差分线性有限元估计和二次有限元估计与时间步长 τ=0.2，0.05，0.01，网格尺度1/h=8，16，32，128，256的关系.从图1可以看出，对固定时间步长τ，当网格尺度逐步加细时，在L2范数下线性有限元和二次有限元误差估计基本趋向于常数.因此，方程(110)的BDF2-FEM算法的稳定性对时间步长无强制条件.
5 结 论
本文由BDF2-FEM方法得到了立方Schrdinger方程在L2范数下的无条件最优误差估计.通过将该方程的误差分为时间误差和空间误差两部分，给出了强范数下时间离散方程解的一致有界性.进一步地，得到了全离散有限元解的一致有界性，并得到了最优误差估计对时间步长无强制条件.另外，该方法还可以分析其他的非线性抛物型方程.
［1］ DELFOUR M，FORTIN M，PAYRE G.Finite-difference solutions of a non-linear Schrdinger equation［J］.Journal of Computational Physics，1981，44(2):277-288.
［2］ EBAID A，KHALED S M.New types of exact solutions for nonlinear Schrdinger equation with cubic nonlinearity［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235(8):1984-1992.
［3］ LI B Y，SUN WW.Error analysis of linearized semi-implicit Galerkin finite element methods for nonlinear parabolic equations［J］.International Journal of Numerical Analysis and Modeling，2013，10(3):622-633.
［4］ LI B Y，SUN WW.Unconditionally optimal error estimates of a Crank-Nicolson Galerkin method for the nonlinear thermistor equations［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，2012，52(2):933-954.
［5］ LAMBERT J D.Numerical Methods for Ordinary Differential Systems:the Initial Value Problem［J］.New York:John Wiley ＆ Sons Inc，1991.
［6］ BAKER G，DOUGALISV，KARAKASHIAN O.On a higher accurate fully discrete Galerkin approximation to the Navier-Stokes equations［J］.Mathematics of Computation，1982，39(160):339-375.
［7］ CAI W，LI J，CHEN Z.Unconditional convergence and optimal error estimates of the Euler semi-implicit scheme for a generalized nonlinear Schrdinger equation［J］.Advances in Computational Mathematics，2016，42(6):1311-1330.
［8］ CAI W，LI J，CHEN Z.Unconditional optimal error estimates for BDF2-FEM for a nonlinear Schrdinger equation［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2018，331:23-41.
［9］ DUPONT T.Three-level Galerkin methods for parabolic equations［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1974，11(2):392-410.
［10］ 姜礼尚，庞之垣.有限元方法及其理论［M］.北京:人民教育出版社，1979.(JIANG Lishang，PANG Zhiyuan.Finite Element Method and Its Theory［M］.Beijing:People’s Education Press，1979.(in Chinese))
［11］ BREZZI F，RAPPAZ J，RAVIART P A.Finite Dimensional Approximation of Nonlinear Problems［M］.New York:Springer-Verlag，1980.
［12］ AKRIVIS G，LARSSON S.Linearly implicit finite element methods for the time-dependent Joule heating problem［J］.Bit Numerical Mathematics，2005，45(3):429-442.
［13］ JENSEN M，MALQVIST A.Finite element convergence for the Joule heating problem with mixed boundary conditions［J］.Bit Numerical Mathematics，2013，53(2):475-496.
［14］ BULUT H，PANDIR Y，DEMIRAY ST.Exact solutions of nonlinear Schrdinger equation with dual power-law nonlinearity by extended trial equation method［J］.Waves Random Complex Media，2014，24(4):439-451.
［15］ HEYWOOD J G，RANNACHER R.Finite element approximation of the nonstationary Navier-Stokes problem IV:error analysis for second-order time discretization［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1984，27(2):353-384.
［16］ FEIT M D，FLECK J A，STEIGER A.Solution of the Schrdinger equation by a spectral method II:vibrational energy levels of triatomic molecules［J］.Journal of Computational Physics，1983，78(1):301-308.