引 言
设X和Y为Banach空间，KY为非空闭凸锥，C为X中的非空集合.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X→R为Lipschitz连续函数，g:X→Y为连续凸函数.考虑多目标优化问题模型:
本文记F 0 {x∈C:g(x)∈－K}为MP的可行集.
当前，MP不仅广泛应用于经济分析、算法设计、金融工程以及通信网络等各种领域，而且也取得了许多十分有意义的理论成果［1-5］.然而，在实际应用问题的多目标优化模型中，受客观的或人为的等多种不确定因素影响，这些不确定因素可能使得多目标优化模型的有效解变得高度不可行.因此在作决策时，必须要同时兼顾多个评价指标以及数据的不确定性.不确定多目标优化问题的研究应运而生.作为研究不确定多目标优化问题的重要工具，鲁棒优化方法［6］得到了众多学者的关注，并取得了一系列的理论及应用成果［7-10］.另一方面，由于多目标优化问题本身的复杂性，要直接求其最优值或最优解并不总是可行的，通常需要借助数值方法求其近似值或逼近解.因此多目标优化问题的逼近解刻画十分必要［11-13］.然而，目前只有文献［14］刻画了约束函数带有不确定信息的不确定凸多目标优化问题的鲁棒逼近最优性条件.基于此，本文考虑目标函数与约束函数均带有不确定信息的MP的不确定优化模型:
对于任意的i=1，2，…，m，ui和v分别为序列紧拓扑空间Ui和V的不确定参数，fi:X×Ui→R与g:X×V→Y为两个给定函数.
为刻画UMP的鲁棒逼近最优性条件，借助鲁棒优化方法，本文首先引入UMP的鲁棒对应模型:
此处，RUMP的可行集记为F {x∈C:g(x，v)∈－K，v∈V}.随后引入RUMP的一类新的拟逼近有效解概念，即UMP的鲁棒拟逼近有效解概念.最后，借助标量化方法和广义次微分性质，刻画了UMP的鲁棒拟逼近有效解的最优性条件，推广和改变了已有文献的结论.
1 预备知识
假设X与Y为Banach空间，X*与Y*分别为X与Y的对偶空间，X*中的闭单位球记为B*.CX为非空集合，KY为非空闭凸锥.K的对偶锥为K*={y*∈Y*〈y*，y〉≥0，y∈Y}.指示函数δC:X→R∪ {+∞}定义为
对任意的x*∈X*与x∈X，x*与x的内积为〈x*，x〉.对于任意的ξ∈X*，ξ的范数定义为‖ξ‖ sup{〈ξ，d〉d∈X，‖d‖ ≤1}.
广义实值函数f:X→R∪ {+∞}的有效域定义为dom f={x∈Rn:f(x)＜+∞}.若dom f≠，则称f是真函数.若 －f为凸函数，则称f为凹函数.若对于任意的x∈X，存在实数L＞0以及x的邻域N(x)，使得对于任意的y，z∈N(x)，
则称函数f是Lipschitz连续函数.Lipschitz连续函数f在x∈X关于方向d∈X的单边方向导数以及Clarke广义方向导数分别定义为
若f'(x;d)存在，并且f'(x;d)=f c(x;d)，则称Lipschitz连续函数f在Clarke意义下为拟可微函数或正则函数.Lipschitz连续函数f在x∈X处的Clarke次微分定义为
若函数f为凸函数，则Clarke次微分c f(x)退化为凸分析意义下的经典次微分定义，即
关于Lipschitz连续函数的基本概念及结论，详情可参见文献［15］.
类似地，考虑函数g:X→Y.若对于任意的x，y∈X与α∈［0，1］，
g(αx+(1－α)y)－αg(x)－(1－α)g(y)∈－K，
则称g为K-凸函数.若 －g为K-凸函数，则称g为K-凹函数.对于任意的λ∈K*，称λg为λ与函数g的复合函数.
本节最后给出ε-半凸函数的基本定义与结论.
定义1［12］ 设ΩX以及ε≥0.若f在x∈Ω处是正则的Lipschitz连续函数，并且满足
则称函数f在x∈Ω处是ε-半凸函数.若对于任意的x∈Ω，函数f均为ε-半凸函数，则称函数f在Ω上是ε-半凸函数.
注1 若ε=0，则定义1中的ε-半凸函数为文献［16］中的半凸函数概念.特别地，对于任意的ε≥0，若函数f为凸函数，则f为ε-半凸函数.
命题1［13］ 设ε≥0以及函数f在x∈Ω处是ε-半凸函数.若存在ξ∈c f(x)，使得对于任意的d∈X，有ξ(d)+
‖d‖≥0，则
2 鲁棒逼近最优性刻画
借助鲁棒优化、Clarke广义次微分以及标量化方法，本节研究了UMP的鲁棒拟逼近有效解的最优性条件.由于UMP的其他鲁棒有效解，如强有效解、弱有效解以及真有效解的研究可类似处理，所以不再一一赘述.
下面首先引入UMP的鲁棒拟逼近有效解.为方便起见，记
定义2 设ε∈
∈F.若不存在x∈F，使得对于任意的i=1，2，…，m，有
以及存在 j∈ {1，2，…，m}，使得
则称x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.
注2 (ⅰ)若不确定集合U和V均为单点集，则UMP的鲁棒拟ε-有效解退化为MP的拟ε-有效解概念［11，13］.类似地，若ε =0，则UMP的鲁棒拟ε-有效解概念退化为UMP的鲁棒有效解概念［7］.
(ⅰ)若m=1，则UMP退化为不确定标量优化问题:
相应地，若对于任意的x∈F，有
则称x－∈F为UP的鲁棒拟ε-最优解.
下述命题阐述了UMP的鲁棒拟ε-有效解的标量化刻画.
命题2 设ε∈Rm+和x－∈F.考虑标量优化问题:
若x－∈F为SP的鲁棒拟θ-最优解，则x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.
证明 借助文献［11］命题3.2的证明方法，可得x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.证毕.
借助Clarke广义次微分以及命题2，建立UMP的鲁棒拟ε-有效解的最优性条件.
定理1 设ε≥0以及x－∈F.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X×Ui→R为Lipschitz连续函数.g:X×V→Y为连续函数，并且对于任意的v∈V，g(·，v)为K-凸函数.假设存在ui∈Ui，i=1，2，…，m，v－∈ V 以及 λ－ ∈ K*，使得
以及
若
在x－处是 θ-半凸的，则x－∈F为UMP的鲁棒拟 ε-有效解.
证明 假设存在
∈ U，i=1，2，…，m，v－ ∈ V 以及 λ－ ∈ K* ，使得式(1)与(2)成立.因此i由式(1)可知，存在 ξi∈ c fi(·，u－i)(x－)，i=1，2，…，m，η ∈ ((λ－g)(·，v－))(x－)，γ ∈ δC(x－)，以及ζ∈B*，使得
对于任意的 x ∈ F，由 η ∈ ((λ－g)(·，v－))(x－) 与 γ ∈ δC(x－) 可得
从而由式(4)和(5)可知，对于任意的x∈F，
进一步地，由
=0，以及式(6)可得
于是，由式(3)和(7)可得
故
从而，由式(2)以及 max ui∈Ui f(x，ui) ≥ fi(x，ui)，i=1，2，…，m，可知
所以
为SP的鲁棒拟θ-最优解.由命题2可知，x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.证毕.
若ε=0，则易得UMP的鲁棒拟有效解的最优性条件.
推论1 设x－∈F.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X×Ui→R为Lipschitz连续函数.g:X×V→Y为连续函数，并且对于任意的v∈V，g(·，v)为K-凸函数.假设存在ui∈ Ui，i=1，2，…，m，v－∈ V 以及 λ－ ∈ K*，使得
以及
若
fi(·，u－i)在x－处是半凸的，则x－∈F为UMP的鲁棒拟有效解.
若U和V均为单点集，则可以得到下述结论.
推论2 设x－∈F.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X→R为Lipschitz连续函数.g:X→Y为连续K-凸函数.假设存在λ－∈K*，使得
若
定理2 设ε≥0以及x－∈F.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X×Ui→R为连续函数，并且对于任意的ui∈Ui，fi(·，ui)为凸函数.假设g:X×V→Y为连续函数，并且对于任意的v∈V，g(·，v) 为 K-凸函数.若存在 ui∈ Ui，i=1，2，…，m，v－∈ V 以及 λ－ ∈ K*，使得
以及
则x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.
证明 对于任意的ε≥0，由注1可知凸函数为正则的ε-半凸函数.又因为有限个凸函数的和还是凸函数，所以由定理1可知x－∈F为UMP的鲁棒拟ε-有效解.证毕.
类似地，若U和V均为单点集，则可以得到下述结论.
推论3 设ε≥0以及x－∈F.对于任意的i=1，2，…，m，fi:X→R为连续凸函数.g:X→Y为连续K-凸函数.假设存在λ－∈K*，使得
则x－∈F0为MP的拟ε-有效解.
3 结 论
基于不确定多目标优化模型在经济、金融等各种领域的广泛应用背景，本文将鲁棒优化方法、Clarke广义次微分以及标量化方法相结合，研究了一类带有不确定信息的非凸非光滑多目标优化模型的鲁棒拟逼近有效解的最优性条件.所得结论不仅推广和改进了相关文献结果，而且为解决现实实际问题提供了一定的理论基础.
另一方面，由于投资组合问题以及风险管理问题的数学模型中均会涉及到同时兼顾多个指标以及数据的不确定性，因此如何将不确定多目标优化问题应用到相关实际领域，这将是笔者后续研究的课题.
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