引 言
本文在Ω⊂R2上考虑无黏性无热传导Boussinesq方程组：
(1)
其中u=u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t))是速度场，
是涡量， θ=θ(x,t)是温度场， ψ是流函数，n是Ω的单位外法向量．后文将用方程(1)i表示方程组(1)中第i行的方程， 其他方程类同．方程组(1)描述了在考虑温度的影响下流体的流动情况， 可用来模拟大气、 洋流等现象[1-3]．本文将证明在一类无界光滑区域上，方程组(1)有θ的任意阶导对时间都有指数增长的解．
另外，对轴对称不可压Euler方程组，证明类似的增长定理．熟知在柱坐标下，轴对称Euler方程组可写为[4]
(2)
其中(r,θ,z)是柱坐标，各量不依赖于θ，u(r,θ,z)=ur(r,z)er+uθ(r,z)eθ+uz(r,z)ez是速度场，p=p(r,z)是压力，n是Ω的单位外法向量．令ω=∂zur-∂ruz(即为涡量在(r,θ,z)坐标中的θ分量)．把方程(2)1和(2)3“点积”(∂z,-∂r)(即求∂z(2)1-∂r(2)3)得到方程(3)1，把方程(2)4 重写为方程(3)3，方程(2)5重写为方程(3)4，得
(3)
本文将证明在一类无界光滑轴对称区域上，方程(3)有uθ的任意阶导对时间都有指数增长的解．
二维无黏性无热传导Boussinesq方程组、三维Boussinesq方程组与三维不可压Euler方程组的全局正则性均是受关注的开问题[4-5]，即还不知道局部正则解是不是一定可延拓为全局正则解．它们引发出很多研究(参看文献[6]及其中的文献)．它们正则解的增长速度可视作这个问题的延伸．若局部正则解的某些量增长极快，在有限时间达到无穷，则其就不能延拓为全局正则解．
二维不可压Euler方程是二维无黏性无热传导Boussinesq方程组θ≡0的特殊情况，也是三维不可压Euler方程的二维版本．已知它在光滑区域和R2上有全局正则性[4,7-9]．有关它的全局正则解增长的研究，因为已知‖ω( · ,t)‖L∞恒常，所以研究都集中在‖
ω( · ,t)‖L∞，结果依赖于区域．在有界光滑区域中，Yudovich[10]在1963年已证得涡量的梯度最多只有双指数幂增长，Kiselev和Sverak[11]在圆盘上构造了例子，证明了这是最佳的估计．Zlatos[12]证明了在环面上([-1,1]2上周期边值问题)‖ω( · ,t)‖L∞可以达到指数增长．在一个有尖点的区域，Kiselev和Zlatos[13]构造了一个ω在有限时间内变得不连续的局部光滑解，可理解为ω增长极快，在有限时间内达到无穷．
若对Boussinesq方程用文献[11-13]中处理Euler方程的方法求解，将会遇到麻烦．在Boussinesq方程中，涡量一般不是被搬运，质点流动时它的涡量可以变动，所以没法保证涡量在任何时候都是正的，而且不能控制涡量为负的质点的位置，以致难以用Biot-Savart定律估计质点的速度，得到关于ω增长的结果．在Boussinesq方程中，对应于Euler方程涡量的量是涡量ω和温度梯度θ．与二维Euler方程的‖ω( · ,t)‖L∞不同，‖ω( · ,t)‖L∞和‖θ( · ,t)‖L∞一般是依赖于t的，所以研究它们的增长是有意义的．对方程(1)，Chae、Constantin、Wu[14]在锥形区域上构造速度场定常、θx2呈指数增长的全局光滑解，而且指出同样方法可以构造θx2有双指数幂增长的解，但没有写出解的公式(据笔者理解，用同样方法得到的解不是光滑的)．本文改动了文献[14]中的方法，找到一类无界光滑区域，在其上构造θ对x2的各阶偏导有指数增长的方程(1)的全局光滑解．
三维轴对称或一般不可压Euler方程组与二维不可压Euler方程也有基本的区别．在二维，涡量沿质点轨迹是保持不变的，但在三维，它可被拉伸，甚至变号，所以不能用处理二维情况的方法研究三维的方程．但熟知三维轴对称不可压Euler方程组跟二维无黏性无热传导Boussinesq方程组有相似的结构[4]，本文用Chae、Constantin、Wu[14]的方法，对它做类似的讨论，找到一类光滑无界区域，在其上构造一些uθ对r的各阶偏导都有指数增长的全局光滑解．
本文在第1节讨论了二维Boussinesq方程，在第2节讨论了三维Euler方程．
1 令二维Boussinesq方程组有指数增长解的光滑区域
在本节中，
定理1 令f:(0,∞)→R， f(ξ)=c1+c2ξ+c3ξ-1,c3>0．令Ω=(x1,x2)|x2>0,x1>f(x2)．则对任意正整数n，方程(1)都有全局光滑解(ω,θ)，使对任何(x1,x2)∈Ω，θ对x2的1,2,…,n阶偏导对t都有指数增长．详细地，有光滑解(ω,θ,u1,u2)，其中u2,θ都不依赖于x1，使对k=1,2,…,n,有
其中θ0∈Cn((0,∞);(0,∞))，且对
特别地，若θ0(ξ)=eξ，则(ω,θ)是无穷光滑的，且当k=1,2,…,n时，
对t都有指数增长．
证明 以下是证明大要．选初始温度θ0不依赖于x1，再选u2在任何时间都不依赖于x1，使“同层”的质点任何时候都同层，因为θ是被搬运的，所以对任何时间t，θ( · ,t)都不依赖于x1(θx1≡0)．有两个后果．首先，方程(1)1、(1)3、(1)4封闭，可解出ψ,u1,ω．另外，方程(1)2退化为∂tθ(x2,t)-u2(x2,t)∂x2θ(x2,t)=0，适当选取u2 和θ0就可使
有指数增长．以下是详细证明．
第一步 选
u2(x1,x2)=-x2，
求u1．从u=⊥ψ=(-ψx2,ψx1)，存在φ(x2)使
ψ(x1,x2)=
u2(s,x2)ds+φ(x2)=-x1x2+φ(x2),
(4)
所以
u1(x1,x2)=-ψx2=x1-φ′(x2)．
(5)
要决定φ(x2)，用边界条件(1)4，即u跟∂Ω平行：
得
φ′(x2)=f(x2)+x2 f′(x2)．
(6)
可取
φ(x2)=
(f(s)+sf′(s))ds,
(7)
则
故
ω=(0, 3f″(x2)+x2 f‴(x2)),
所以
u·ω=-x2[3f″(x2)+x2 f‴(x2)]．
令u·ω=0， 因为ωt=0， 若要ω满足方程(1)1， 则u·ω=0， 即0=3f″(x2)+x2 f‴(x2)，所以
若取c3>0，则如定理1中定义的Ω是光滑区域．在Ω上，由式(5)、(6)和式(4)、(7)给出
u1=x1-f(x2)-x2 f′(x2)，
ψ=-x1x2+ (f(s)+sf′(s))ds．
第二步 找出以θ0( ·)为初值的解θ的公式．因为θx1=0，所以方程(1)2简化为θt+u2θx2=0，可得
(8)
熟知方程(8)的解θ沿x2-t平面中的质点轨迹的值不变，所以对
要找解θ在该点的值，只需找经过该点的质点轨迹的出发点，这点处的初值就是
令
为在
时经过
的轨迹，简记为X(t)．它满足
所以
即
其出发点为
所以
将
写为(x2,t)，再对x2求偏导，只要θ0∈Cn(0,∞)，则对1≤k≤n，有
若
则它们对t就有指数增长．
□
2 令三维轴对称Euler方程组有指数增长解的光滑区域
在本节中，
定理2 令f:(0,∞)→R， f(r)=c1+c2r2+c3r-2,c3>0．令Ω为轴对称区域(r,θ,z)|z>f(r)．则对任意正整数n，存在方程(2)的全局光滑解(ω,uθ)，使对任意(r,θ,z)∈Ω，uθ对r的1,2，…,n阶偏导都有指数增长．详细地，有光滑解(ω,ur,uθ,uz)，其中ur,uθ 都不依赖于z，使对k=1,2，…,n，有
其中
且对
特别地，若
则(ω,uθ)无穷光滑，且对k=1,2,…，n,有
呈指数增长．
证明 取ur=-r，则方程(3)2变成
再取uθ的初值
不依赖于z，可见方程(3)2有唯一不依赖于z的解uθ(r,t)．则uθ在方程(3)1中消失，从而方程(3)1、(3)3、(3)4封闭，可从中解出ω,ur,uz,并确定使定理成立的光滑区域．再从方程(3)2，可得
对t有指数增长．以下给出详细证明．
第一步 确定ψ,uz,ω和Ω．取ur(r,t)=-r，从方程(3)3得∂zψ=rur=-r2，故有
ψ(r,z)=-r2z+φ(r),
(9)
所以
(10)
利用边值条件(3)4(即方程(2)5)，有
解得
φ′(r)=2rf(r)+r2f′(r)．
(11)
可取
φ(r)=
[2sf(s)+s2f′(s)]ds，
(12)
则
故
所以
因为(ω/ r)t=0，所以要方程(3)1成立，就要
则
f(r)=c1+c2r2+c3r-2．
若c3>0，则定理2中定义的Ω是避开z轴的光滑区域．再由式(10)、(11)和式(9)、(12)有
uz=2z-2f(r)-rf′(r),
ψ=-r2z+[2sf(s)+s2f′(s)]ds．
第二步 因为ur=-r和uθ不依赖于z，故方程(3)2退化为
(13)
令
为r-t区域(0,∞)×(0,∞)中的任意点，通过该点的方程(13)的特征线r(t)满足
即
其出发点是
沿此特征线，方程(13)连同初值
的问题变为
解之得uθ(r(t),t)=cet，其中
即
令
得
所以
若
则对k=1,2,…,n，
若
则
对t有指数增长．
□
3 结 论
在文献[14]中，已证明在一个二维锥形区域中，存在温度梯度有指数增长的无黏性无热传导Boussinesq方程组的全局光滑解．本文做了两项工作：首先，改进了文献[14]中的方法，求得一类二维无界光滑区域使上述结论成立，且留意到温度的高阶导也有指数增长．另外，把方法应用到结构与二维无黏性无热传导Boussinesq方程组相似的三维轴对称不可压Euler方程组，求得一类光滑无界轴对称区域，其上的轴对称不可压Euler方程组存在速度的高阶导有指数增长的全局光滑解．这两个方程组的全局正则性是开问题，即还不知道局部光滑解是否一定可以延拓为全局光滑解．光滑解的增长情况可看作是该问题的延伸，若它们增长极快，以致在有限时间达到无穷，则局部光滑解就不能延拓为全局光滑解．所以构造对时间增长尽量快的光滑解是研究方程组(1)、(2)全局正则性的一种手段．
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