定荷载和双面排水条件下非饱和土一维固结的解析解 *

何子舟1, 周凤玺1,2

(1. 兰州理工大学 土木工程学院, 兰州 730050;2. 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 兰州 730050)

摘要: 基于多孔介质弹性理论,结合粒间吸应力表示的有效应力原理,建立了非饱和土固结的耦合偏微分控制方程考虑一维问题,采用Laplace积分变换,得到了定荷载和双面排水条件下非饱和土固结的解析解答通过数值算例,分析了土体饱和度对超孔隙水压力、有效应力以及土层沉降的影响规律结果表明,土体的初始饱和度越高,则孔隙水压力消散得越快,有效应力增加越快

关 键 词: 非饱和土; 解析解; 吸应力特征曲线; 孔隙水压力

引 言

非饱和土中孔隙水压力和孔隙气压力随土体变形而变化以及随时间增长而消散的规律属于非饱和土固结理论的重要研究内容然而影响非饱和土力学行为的因素多,相应的研究难度大,至今尚没有公认研究成熟的非饱和土固结理论Barden[1-2]提出了压实非饱和黏土的一维固结分析,用Darcy定律描述气相和液相的流动,对于土的不同饱和度,提出了若干种独立的分析Fredlund [3]提出了用两个偏微分方程求解非饱和土固结过程的孔隙气压力和孔隙水压力该方程假定气相是连续的,将Darcy定律和Fick定律分别应用于液相和气相的流动陈正汉等[4-5]以混合物理论为基础,提出非饱和土有效应力的理论公式,用公理化方法建立了非饱和土固结的三维理论,求得一维问题的完全解析解和二维有限元解;陈正汉团队[6-8]后期又论证了双应力状态变量的合理性并加以采用,建立了多种非饱和土固结模型[9-11]Li等[12-13]和杨代泉[14]都是用唯象法建立非饱和土的固结理论,其中Li等以多孔介质理论和简化的Bishop有效应力公式为基础,杨代泉则采用双应力态变量构建了非饱和土的固结理论李冰河等[15]建立了变荷载情况下的软黏土地基非线性一维固结问题的控制方程,并编制相应的计算程序,利用半解析解法进行求解秦爱芳等[16-17]在Fredlund非饱和土固结理论的基础上推导出在瞬时荷载和指数型荷载及单面排水条件下的一维固结解析解

多孔介质弹性力学方法可用于求解在可变形多孔介质上施加压力时所产生的应力和孔隙流体压力之间关于时间的耦合Biot模型[18-19]以固相的位移矢量和孔隙水压力作为因变量,通过一对耦合的偏微分方程描述饱和土中的多孔弹性行为Lo等[20-21]对含有两种不混溶的、黏性的、可压缩流体的多孔介质进行研究,得到了非饱和土一维固结的解析解

本文在Lo等[21]研究成果的基础上,结合Lu等[22-23]提出的非饱和土有效应力原理,建立非饱和土三维固结的偏微分方程组,通过引入加载瞬间计算得出的初始条件,推导得到定荷载和双面排水条件下一维固结问题的解析解最后以黏土为例,分析初始饱和度对非饱和土一维固结的影响

1 基 本 方 程

在准静态和不考虑体力的情况下,含有两种不混溶、可压缩、黏性流体的均质多孔弹性介质的动量平衡方程的形式为[21]

Pa,

(1a)

Pw,

(1b)

·σ=0,

(1c)

式中,ua为气体位移矢量,uw为水的位移矢量,us为固相位移矢量; θa为气体的体积分数, θw为水的体积分数,θa=Saφθw=SwφSaSw分别是气体和水的饱和度, φ为土体孔隙度;Pa为孔隙气压力,Pw为孔隙水压力;为固相和气体的黏性耦合系数,为固相和水的黏性耦合系数,η1为气体的动态剪切黏度,η2为水的动态剪切黏度,ks为多孔介质框架的固有渗透性,kra为气体的相对渗透率,krw为水的相对渗透率;σ为多孔介质的总应力张量,规定拉力为正,压力为负

对于非饱和土,Lu等[22]提出了一类基于粒间吸应力的有效应力方程:

σ=σ′-Pa-σs,

(2)

其中,σ′为有效应力,σs为土的粒间吸应力[22]

(3)

式中χ是与土体饱和度等因素有关的参数陈正汉等[4-5]通过理论推导以及实验验证给出了χ的表达式为

(4)

式中KnKsn分别是孔隙率为n的多孔介质的体变模量和孔隙率为sn的多孔介质的体变模量,其中n是土的孔隙率,s是第一种流体的饱和度

从式(4)中可以看出, 该有效应力参数不仅能反映饱和度的影响, 还能反映土体孔隙率的影响本文为了能够得到解析解答, 采用Lu等[23]提出的具有显式表达形式的有效应力参数,即

(5)

其中Ss为完全饱和度,Sr为残余饱和度

Pa-Pw≥0时,总应力为

σ=σ′-(1-Se)Pa-SePw

(6)

将固体骨架和孔隙流体的变形结合起来,得到一般的应力应变关系[21]

(7)

-θaPa=a12e+a22εa+a23εw,

(8a)

-θwPw=a13e+a23εa+a33εw,

(8b)

式中e=(1/2)(us+表示固相的应变张量, e=us是固相的体积应变, εa=ua是气体的体积应变, εw=uw是水的体积应变, G是多孔介质框架的剪切模量, δ是单位张量,aij(i, j=1, 2, 3)是线性弹性系数关于式(7)和(8)中各个参数的具体确定方法详见文献[24-25]

为了简化公式,令

(9a)

(9b)

结合总应力表达式(6)和一般应力应变关系式(7),并将式(9a)、(9b)代入,推导可得

(a12+A1a22+A2a23)εa+(a13+A1a23+A2a33)εw

]δ

(10)

通过联立方程(8a)和(8b),求解可得

εa=d1e+d2Pa+d3Pw

(11a)

εw=d4e+d5Pa+d6Pw

(11b)

式中

对式(1a)和(1b)左右两边同时取散度, 并将式(11a)和(11b)代入其中, 得到耦合扩散方程:

2Pa

(12a)

2Pw

(12b)

然后将式(11a)和(11b)代到方程(10)中消除εaεw,得总应力表达式:

σ =2Ge+(H1e+H2Pa+H3Pw)δ

(13)

其中系数分别表示为

H1=a11-2G/3+A1a12+A2a13+(a12+A1a22+A2a23)d1+

(a13+A1a23+A2a33)d4

H2=(a12+A1a22+A2a23)d2+(a13+A1a23+A2a33)d5

H3=(a12+A1a22+A2a23)d3+(a13+A1a23+A2a33)d6

最后结合方程(1c)和方程(13),推导出一般的应力平衡方程:

G2us+(H1+G)e+H2Pa+H3Pw=0.

(14)

方程(12a)、(12b)、(14)是3个耦合的偏微分方程,可用来求解非饱和土的三维固结

2 一维固结的控制方程

图1为本文的计算模型,在无限均布荷载P*不随时间变化的情况下,仅对z方向进行考虑,则exx=eyy=0,e=ezz=∂w/∂z,于是方程(12a)、(12b)、(13)简化为

(15a)

(15b)

(16)

式中w表示固相位移矢量沿z方向的分量,由方程(16)解出

(17)

图1 双面排水的非饱和土层固结的计算模型
Fig. 1 The computational model for consolidation of unsaturated soil layer with double-side drainage

将方程(17)代入方程(15a)、(15b),得控制方程:

(18a)

(18b)

其中系数q1q2q3q4b1b2分别为

在方程(18b)中,b2/q4=cv是孔隙水压力的扩散系数,在固结理论中称为固结系数

3 初始条件和边界条件

在施加均布荷载P*(P*=0.1 MPa)的瞬间,既来不及排气也来不及排水,则水和气体的含量都保持不变[5]结合方程式(18)可得

(19)

式中积分限0和0+分别代表开始加载的时刻和加载完成的时刻

由方程(15)得

(20a)

(20b)

将式(17)代入到方程(20a)和(20b),解得初始条件:

Pa(z,0+)=r1P*

(21a)

Pw(z,0+)=r2P*

(21b)

其中

(22a)

(22b)

图1中, 土层厚度为h, 水平向无限大, 在z=0, z=h的这两个界面是渗透面, 则有边界条件:

Pa(0,t)=Pw(0,t)=0,

(23a)

Pa(h,t)=Pw(h,t)=0

(23b)

4 方 程 求 解

对于Pa(z,t)和Pw(z,t),假设它们取级数形式,λn=nπ/h,则

(24a)

(24b)

结合方程(24a)、(24b)和(18a)、(18b)得

(25a)

(25b)

由于sin函数的正交性,得

(26a)

(26b)

对方程(26a)和(26b)进行Laplace变换得

(27a)

(27b)

利用分离变量法,对于方程(24a)、(24b),当t=0时

(28)

则有

(29)

积分可得

(30)

同理可得

(31)

结合方程(30)、(31)和(27a)、(27b),得到Laplace域上的表达式:

(32a)

(32b)

其中

Δ=q1q4-q2q3

(33)

然后进行Laplace逆变换,利用部分分式展开法,对于式(32a),假设

(34)

得到以下方程组:

(35)

解方程组(35)得

(36)

(37)

(38)

(39)

同理,对于式(32b),令

(40)

可得

(41)

(42)

由此,可以推导出Pan(t)和Pwn(t)在时间域上的表达式:

Pan(t)=D1e-C1t+D2e-C2t

(43a)

Pwn(t)=D3e-C1t+D4e-C2t

(43b)

最后,结合式(16)、(24a)、(24b)和(43a)、(43b),求得与时间相关的总沉降:

(44)

5 参 数 分 析

由于黏性耦合系数R11R22依赖于相对渗透率因此,水的饱和度跟线性弹性系数的变化会影响毛细管压力的变化其线性弹性系数为[20]

KbKsφ[K1(1-Sa)+K2S1+N2]},

式中Sa是气体饱和度,Sa+Sw=1,Kb是土体体积模量,K1是空气体积模量,K2是水的体积模量, Ks是固相体积模量,参数N1N2N3定义为

N1Ks(1-φ)-Kb,

(45)

(46)

(47)

其中pc表示毛细管压力利用VG模型的关系式:

Se=[1+(ζhc)n]-m,

(48)

式中nmζ均是拟合参数,m=1-1/n

基质势与毛细管压力关系为[20]

(49)

式中ρw是水的密度,g是重力加速度结合式(48)、(49)和(46),得N2的表达式:

(50)

考虑空气和水的相对渗透率[26]

kra=(1-Se)η[1-(Se)1/m]2m

(51a)

(51b)

式中η是孔隙连通性参数表1列出了文献[24-25]所得黏土的计算参数

当含水量很高时,空气变得不连续,在土体孔隙中以气泡形式分布;当含水量很低时,孔隙水紧紧接触于固体颗粒的周围,在固结过程中不能形成连续相,因此土体中的水和空气只有在水的饱和度介于高低界限之间时,才能用连续介质力学公式由于黏土的饱和度一般在0.6~1之间,所以在求解方程(24a)、(24b)和(44)时,饱和度Sw分别取0.7,0.8,0.9

表1 黏土的基本物理力学参数[24-25]

Table 1 Basic physical and mechanical parameters of the clay[24-25]

parametervalueparametervalueporosity φ0.475fitting parameter ζ/(m-1)1.168fitting parameter n1.165intrinsic permeability ks/m21.699×10-14shear modulus G/Pa2.4×106bulk modulus of air K1/MPa0.145bulk modulus of water K2/GPa2.25bulk modulus of solid Ks/GPa35bulk modulus Kb/Pa4.5×106material density of water ρw/(kg·m-3)997viscosity of air η1/(N·s·m-2)1.8×10-5viscosity of water η2/(N·s·m-2)0.001gravity acceleration g/(m·s-2)9.8fitting parameter η1.165

定义无量纲时间T=(cv/h2)t,当饱和度Sw取0.7,0.8,0.9和土体厚度h=1 m时,固结系数分别为cv=2.36×10-9,7.7×10-9,2.9×10-8 m2/s定义无量纲深度为z/h,无量纲孔隙水压力Pw/P*,无量纲有效应力σ′/P*,分别取无量纲时间T=10-5,10-3,10-1

从图2的曲线变化可以反映出,越接近排水边界孔隙水压力越小,越靠近土层中心孔隙水压力越大,在土层中间的位置孔隙水压力达到最大值,并且最大值随着时间的发展而逐渐减小相应地,孔隙水压力随着固结的完成逐渐减小,但其减小程度随时间的变化在深度方向上不一致,从图2(b)和图2(c)可以看出,在孔隙水压力稳定后(T>10-3),接近边界处的孔隙水压力消散得快,越往中间孔隙水压力消散得越慢

(a) T=10-5

(b) T=10-3 (c) T=10-1
图2 不同饱和度下无量纲孔隙水压力随无量纲深度的变化
Fig. 2 Variation of the dimensionless pore water pressure with the dimensionless depth for different saturations

当孔隙水压力逐渐趋于稳定后,其在较高的初始饱和度时消散得更快,这是因为湿润的土壤具有较高的水力传导性,所以水通过渗透性的边界流动得更快在很短的时间T=10-5时,图2(a)显示出了最高的孔隙水压力,此时的有效应力最低,有效应力的变化趋势可由图3看出

(a) T=10-5

(b) T=10-3 (c) T=10-1
图3 不同饱和度下无量纲有效应力随无量纲深度的变化
Fig. 3 Variation of the dimensionless effective stress with the dimensionless depth for different saturations

图4 饱和度对双面排水条件下非饱和黏土总沉降的影响
Fig. 4 Effect of the saturation on the total settlement of the unsaturated clay under double-side drainage

当受到外部荷载时,孔隙水压力最高时的饱和度为Sw=0.9,其次是Sw=0.7和Sw=0.8因此,虽然湿土的孔隙水压力可以消散得更快,但它具有最高的孔隙水压力和最低的有效应力

最终,由于孔隙压力的减小而产生更大的有效应力,也增加了相应的固结从图4可以看出,在受压瞬间(T=0时)初始压力完全由流体来承受,因为饱和度0.7的黏土含空气较多所以导致瞬间沉降量较大此外,黏土因初始饱和度不同造成达到稳定后的总沉降量不同,饱和度为0.9时最大,0.8时次之,而0.7时最小

6 结 论

1) 结合多孔介质弹性理论,通过理论分析得到了在定荷载和双面排水条件下孔隙气压力、孔隙水压力和总沉降的解析解

2) 在固结过程中,孔隙水压力的消散速度随初始饱和度的增大而增大;土体在受压瞬间,初始饱和度越小瞬间沉降量越大,而与之相反,总沉降量随着土体饱和度的增加而增加

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Analytical Solution for 1D Consolidation of Unsaturated Soil Under Constant Load and Double-Side Drainage

HE Zizhou1, ZHOU Fengxi1,2

(1. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, P.R.China;2. Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou 730050, P.R.China)

Abstract: Based on the elastic theory for porous media and the principle of the effective stress expressed with intergranular suction stresses, the coupled partial differential governing equation for unsaturated soil consolidation was established. For the 1D consolidation problem, the analytical solution for the consolidation of unsaturated soil under constant load and double-side drainage was obtained through the Laplace integral transform. The effects of soil saturation on the excessive pore water pressure, the effective stress and the soil settlement were analyzed with numerical examples. The results show that, the higher the initial saturation of the soil is, the faster the pore water pressure will dissipate and the faster the effective stress will increase.

Key words: unsaturated soil; analytical solution; suction stress characteristic curve; pore water pressure

文章编号:1000-0887(2019)09-01035-13

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

*收稿日期: 2018-11-19; 修订日期:2019-02-15

基金项目: 国家自然科学基金(11962016);甘肃省陇原青年创新创业人才资助项目(17-059003)

作者简介: 何子舟(1995—),男,硕士生(通讯作者. E-mail: 16609319588@163.com).

中图分类号: TU431

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390292

引用本文/Cite this paper:

何子舟, 周凤玺. 定荷载和双面排水条件下非饱和土一维固结的解析解[J]. 应用数学和力学, 2019, 40(9): 1035-1047.

HE Zizhou, ZHOU Fengxi. Analytical solution for 1D consolidation of unsaturated soil under constant load and double-side drainage[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(9): 1035-1047.

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11962016)