热力耦合问题数学均匀化方法的计算精度*

李鸿鹏1, 凌 松1, 戚振彪1, 姜克儒1, 陈 磊2

(1. 国网安徽省电力有限公司经济技术研究院, 合肥 230009; 2. 北京航空航天大学 合肥创新研究院, 合肥 230012)

摘要: 针对复合材料周期结构热力耦合问题,推导了数学均匀化方法(MHM)各阶摄动位移的全解耦格式和各阶影响函数控制方程,并使用加权残量方法将其转化为易于编程计算的有限元列式.在解耦格式中,各阶摄动位移是相应阶次的影响函数和宏观场导数的乘积,即影响函数和宏观场导数的计算精度共同决定摄动项的精度,其中影响函数的计算精度取决于单胞边界条件选取的适用性.针对2D复合材料周期结构静力学问题,使用超单胞边界条件和微分求积有限单元法,分别提高了影响函数和宏观场导数的求解精度.在此基础上,研究了高阶展开项对MHM真实位移精度的影响,确定了二阶摄动项的必要性.最后应用最小势能原理评估了各阶摄动MHM的计算精度,数值比较结果验证了结论的正确性.

关 键 词: 数学均匀化方法; 周期复合材料; 热力耦合; 高阶摄动

引 言

复合材料具有比强度高、比刚度大等优点,广泛应用于航天、航空工业等领域.众所周知,对于很多复合材料的宏观解,如低阶频率和模态,可以使用等应变模型或等应力模型[1]以及其他均匀化方法[2],但相对于宏观应力分析,微观分析要复杂很多.为了在计算精度和效率之间达到平衡,各种多尺度方法相继被提出,例如MHM[3-5]、广义有限单元方法(GFEM)[6-7]、多尺度有限单元方法(MSFEM)[8-9]、异类多尺度方法(HMM)[10-11]以及多尺度特征单元方法(MEM)[12-13].

MHM是最具有代表性的多尺度方法之一,因其具有严格的数学背景,且可以包含所有的微观结构复合材料信息而广泛应用于分析周期复合材料热力耦合作用下的结构响应问题[14-19].然而只考虑一阶展开项对于细观结构物理和力学信息的捕捉往往不够[20],对于很多实际工程问题[21-26],二阶展开项对于计算精度的影响不可忽略,这就需要寻找高阶MHM求解复合材料细观结构的物理和力学属性.Han等[27]基于二阶渐近展开均匀化方法(AEH)处理功能梯度材料的静态热力耦合问题,精确地估计了有效弹性模量和应力应变场.Han等[28]基于周期均匀化方法推导了二阶展开项用于求解复合材料弹性问题.Guan等[21]和Yang等[23]研究了一种二阶多尺度方法用于预测周期和非周期复合材料的物理和力学属性,并求解一些实际工程问题.Allaire等[24]使用双尺度二阶渐进展开方法研究辐射边界条件下的热传导模型,并证明了均匀化过程的双尺度收敛.显然,通过二阶矫正项可以更加准确地捕捉到材料内部物理和力学行为的细观信息,得到越来越多学者的认可.但从文献检索看出,关于二阶展开项的必要性问题基本上集中在具体物理和力学问题的解决上,鲜有文献针对热力耦合问题AEH高阶展开必要性问题以及高阶展开项本身的计算精度进行系统的研究.Xing等[29-31]详细研究了影响线弹性问题MHM计算精度与摄动位移阶次之间的关系,指出影响函数和宏观位移导数是决定摄动位移本身精度的两个关键因素,其中影响函数的计算精度主要依赖于单胞边界条件选取的合理性,并构造了超单胞周期边界条件提高一些函数的计算精度.从数学角度看,随着摄动阶次的提高,MHM的计算精度必然随之提高;从数值计算角度看,随着摄动阶次的提高,宏观场导数的阶次随之提高,精度也愈难保证,从而限制了摄动项对MHM精度的积极作用,严重时,高阶摄动项对MHM精度起反作用.传统的有限元方法主要采用低阶格式,但为了提高精度,通常需要加密网格或使用大量结点,虽然高阶格式用较少的单元就能达到较高的精度,但存在构造形函数及其导数计算的困难[32];微分求积方法[33]可以高精度地近似微分,但在实现单元化过程中遇到了施加边界条件的灵活性和单元矩阵不对称等问题;微分求积有限单元法[34]利用微分求积方法和Gauss-Lobato积分方法来离散系统的能量泛函,较好地解决了上述有限元方法和微分求积方法中存在的问题.解决宏观场高阶导数的计算精度问题是研究高阶展开项必要性问题的前提条件.

本文在文献[29-31]的基础上,针对更复杂的问题推导各阶摄动项的全解耦格式和影响函数控制方程,并使用加权残量方法将其转化为有限元矩阵列式;使用超单胞边界条件求解各阶弹性影响函数和热影响函数控制方程,同时将微分求积有限单元法和热力耦合问题MHM相结合,构造宏观位移场和温度场高阶微分求积有限单元求解影响函数各阶导数,保证高阶摄动位移本身的计算精度;在此基础上通过高阶MHM计算结果与精细有限元方法计算结果之间的误差分析,确定了高阶摄动项的必要性依据.

1 热力耦合问题数学均匀化方法

1.1 基本理论

热力耦合问题结构线性小变形的应力-应变关系为

(1)

其中表示弹性常数张量,是总应变,表示热应变.总应变-位移和热应变分别表示为

(2)

(3)

其中uε为真实位移,为热膨胀系数,Tmn为温差.将式(2)和(3)代入式(1)并考虑弹性常数张量的对称性可以得到

(4)

考虑如图1所示的热力耦合作用下的复合材料周期结构平面问题,其平衡方程的数学表达式为

(5)

其中Ω表示域.由于方程(5)中包含了一个小参数ε,通常会找一个在ε上进行幂级数展开的解:

(6)

多尺度方法背后的基本思想是假设表达式里所有的项依赖于xy=x/ε,而且由于微分方程系数是x/ε的周期函数,所以展开式中的所有项也是x/ε的周期函数,从而可以假设的形式如下,其中y上具有周期性,即

(7)

其中Y为结构的周期.

真实位移对宏观尺度x的导数可以根据链式法则得到

(8)

变量xy=x/ε分别代表周期结构的慢(宏观)尺度和快(微观)尺度.当ε≪1时,变量yx变化得更快,并且在微观尺度下考虑问题时,可将x看作常数,这就应用了尺度分离,即将xy看作独立变量.

将式(6)代入式(5),可以得到渐进展开形式的控制方程:

(9)

值得注意的是,此时热应变已经耦合进入方程(9),联合式(8),对其真实位移进行求导并展开.假设当ε→0+时方程(9)的极限存在,方程式可以满足,所以基于ε的阶数可以将方程(9)排列为三级分层方程:

(10)

(11)

(12)

(13)

1.2 求解分级方程

分别对方程(10)~(12)进行求解,可得到如下方程.

1.2.1 ε-2

通过在方程(10)两端同时乘以ε2,并考虑ε→0+的极限情况,可以得到如下方程:

(14)

方程(14)成立的前提是所以即均匀化位移是宏观尺度x的方程,与微观尺度y无关.

1.2.2 ε-1

通过在方程(11)两端同时乘以ε,并考虑ε→0+的极限情况,可以得到如下方程:

(15)

为一阶摄动位移,使用变量分离得到方程(15)的解为

(16)

其中ψ1m分别表示一阶弹性影响函数和一阶热影响函数,为结构均匀化位移(宏观位移场),T为结构的温差(宏观温度场的一阶导数).

将式(16)代入方程(15)可得

(17)

方程(17)可以解耦成两个分别用于求解χ1ψ1的控制方程:

一阶弹性影响函数控制方程

(18)

一阶热问题影响函数控制方程

(19)

由方程(18)和(19)可以得到

1.2.3 ε0

将方程(12)转化为如下形式:

(20)

为了使方程(20)具有适定性,方程右端在单胞域内的均值必须为0,即

(21)

将方程(16)代入方程(21)可以得到方程如下:

(22)

均匀化弹性常数张量和均匀化热弹性常数张量分别由如下公式计算:

(23)

(24)

将方程(23)和(24)代入方程(5),得到均匀化结构平衡方程:

(25)

其中

为均匀化热膨胀常数张量.

为二阶摄动位移,与一阶摄动位移相同可以变量分离为

(26)

将方程(16)、(25)和(26)代入方程(20)可得

(27)

方程(27)可以解耦为分别求解χ2ψ2的控制方程:

二阶弹性影响函数控制方程

(28)

二阶热影响函数控制方程

(29)

方程(13)中的为三阶摄动位移,可以解耦为与一阶、二阶摄动位移相同的三阶弹性影响函数和宏观位移导数以及三阶热影响函数和温差导数的乘积:

(30)

将方程(16)、(26)以及(30)代入方程(13)可得

(31)

方程(31)可以解耦为分别求解χ3ψ3的控制方程:

三阶弹性影响函数控制方程

(32)

三阶热影响函数控制方程

(33)

使用相同的分析方法可以得到摄动位移和影响函数控制方程的递推形式(s≥3)为

(34)

其中,省略号“…”表示上标字母的个数与分母的求导阶次相对应:

s阶弹性影响函数控制方程为

(35)

s阶热影响函数控制方程为

(36)

2 有限元列式

使用加权残量方法将影响函数控制方程转化为易于编程计算的矩阵形式,高阶MHM热力耦合问题有限元计算过程和公式如下:

1) 单胞一阶影响函数控制方程

一阶弹性影响函数控制方程

(37)

一阶热影响函数控制方程

(38)

2) 均匀化参数矩阵列式

(39)

3) 均匀化结构控制方程

(40)

4) 周期结构控制方程

(41)

5) 单胞二阶影响函数控制方程

二阶弹性影响函数控制方程

(42)

二阶热影响函数控制方程

(43)

6) 单胞三阶影响函数控制方程

三阶弹性影响函数控制方程

(44)

三阶热影响函数控制方程

(45)

7) s单胞高阶影响函数控制方程

s阶弹性影响函数控制方程

(46)

s阶热影响函数控制方程

(47)

其中,矩阵E1E8如附录所示.

3 数学均匀化方法计算精度的关键影响因素

文献[31]给出了影响MHM计算精度的两个关键影响因素:影响函数和宏观位移导数的计算精度.其中影响函数的计算精度依赖于单胞边界条件施加的合理性,常用的四边固支周期边界条件对于一维复合材料周期结构单胞问题是精确的,但用于求解2D周期结构单胞问题影响函数的精度较低,提出高精度的超单胞周期边界条件有效解决了该问题.将微分求积有限单元与MHM结合形成微分求积MHM,可有效提高宏观位移场和温度场各阶导数的求解精度.

3.1 超单胞周期边界条件

考虑9个单胞(3×3)组成的一个超单胞施加四边固支边界条件,如图1(a)所示,具体实现过程如下:

1) 使用式(4)计算超单胞的一阶、二阶以及三阶虚拟位移;

2) 将超单胞包含的9个单胞根据其在超单胞中的位置分为9种单胞,分别为①~⑨,如图1(b)所示,每个单胞均有独立的一阶、二阶以及三阶虚拟位移;

3) 将单胞⑤的一阶、二阶以及三阶虚拟位移复制到结构内部的每一个单胞上,①、②、③、④、⑥、⑦、⑧、⑨这8个单胞的一阶、二阶以及三阶虚拟位移根据其在超单胞中的位置分别对应复制给结构边界上的单胞,如图1(c)所示.

图1 超单胞边界条件实现过程
Fig. 1 The procedure of the super unit cell boundary condition realization

3.2 微分求积MHM

微分求积MHM首先用超单胞周期边界条件计算单胞问题各阶弹性影响函数和热影响函数,再构造高阶微分求解有限单元(如图2所示)求解宏观场及其各阶导数,最后得到MHM真实位移的方法.微分求积MHM的计算步骤如下:

1) 使用超单胞周期边界条件求解单胞问题,得到各阶弹性影响函数、热影响函数和均匀化弹性常数张量;

2) 分别构造宏观位移场和温度场高阶微分求积有限单元求解结构宏观场;

3) 使用微分求积法计算宏观位移场和温度场在高阶微分求积有限单元内部节点的各阶导数;

4) 使用Lagrange插值函数计算高阶微分求积有限单元内部与单胞内部节点相对应位置的各阶导数;

5) 计算结构的二阶MHM的真实位移.

微分求积单元平衡方程为

ku0=f,

(48)

其中k为微分求积单元刚度矩阵, f为施加在结构上的外载荷和热载荷之和,u0为结构的均匀化位移.均匀化位移的一阶导数、二阶以及三阶导数如下:

(49)

(50)

(51)

使用Lagrange插值结构内任意一点的位移及其导数计算公式为

(52)

图2 微分求积有限单元
Fig. 2 The differential quadrature finite element

3.3 势能泛函

势能泛函越小说明计算结果越精确,为了准确评估各阶摄动的求解精度,计算周期复合材料在温度载荷作用下MHM1(u0+u1)、MHM2(u0+u1+u2)、MHM3(u0+u1+u2+u3)和FEM的总势能泛函Π.Π的计算公式为

(53)

其中UW分别为应变能和外力势能,K为结构刚度矩阵, f为外载荷,本文算例中没有在结构中施加外载荷,把温度应变作为结构的初始应变,初始应变作为外载荷作用下的应变,即

(54)

4 算 例 分 析

4.1 二维周期复合材料单胞结构

图3 二维复合材料单胞结构
Fig. 3 The unit cell of the 2D composite structure

结构大小为30 mm×30 mm,单胞内部含有4块夹杂,如图3所示,基体的弹性模量和热膨胀系数分别为E1=2×109 Pa,a1=3×10-6-1,夹杂的弹性模量和热膨胀系数分别为E2=6×1010 Pa,a2=1×10-6-1,基体和夹杂的Poisson比均为μ=0.2,结构温差T=106(x2+y2) ℃.

使用式(36)分别计算均匀化弹性模量和均匀化热膨胀系数为EH=2.67×109 Pa,aH=2.5×10-6-1.图4(a)~(d)分别给出结构沿A、B、C、D线上节点在x1方向的位移曲线.表1给出了结构总势能泛函计算结果,其中FEM为有限元解,作为标准检验MHM的求解精度,MHM1表示包含一阶摄动项的MHM计算结果,MHM2表示包含二阶摄动项的MHM计算结果,MHM3表示包含三阶摄动项的MHM计算结果.

结合图4和表1可以得到:

1) 包含一阶摄动位移的计算结果MHM1误差较大;

2) MHM2和MHM3的精度明显高于MHM1;

3) MHM3精度高于MHM2.

表1 2D单胞结构的势能泛函

Table 1 The potential energy functional for the 2D unit-cell structure

uεΠ/JMHMFEM((ΠFEM-ΠMHM)/ΠFEM×100%)/%MHM1-2.475×10-6-2.939×10-615.8MHM2-2.916×10-6-2.939×10-60.78MHM3-2.937×10-6-2.939×10-60.068

(a) A线节点沿x1方向位移曲线 (b) B线沿节点x1方向位移曲线 (a) Displacement curves along longitudinal lines A(b) Displacement curves along longitudinal lines B

(c) C线节点沿x1方向位移曲线 (d) D线节点沿x1方向位移曲线 (c) Displacement curves along longitudinal lines C(d) Displacement curves along longitudinal lines D
图4 沿纵线A、B、C、D线上节点位移曲线
Fig. 4 Displacement curves along longitudinal lines A,B,C and D

4.2 二维周期复合材料多胞结构

结构大小为45 mm×45 mm,包含5×5个单胞,每个单胞内部含有一块夹杂,如图5所示,材料参数以及温差和算例1相同.影响函数和宏观位移导数分别使用超单胞周期边界条件和微分求积有限单元法计算得到,均匀化弹性模量和均匀化热膨胀系数分别为EH=2.42×109 Pa,aH=2.63×10-6-1.图6(a)~(d)分别给出结构沿A、B、C、D线上节点x1方向的位移曲线.表2给出了结构的总势能泛函计算结果,FEM、MHM1、MHM2、MHM3与算例1相同.

结合图6和表2可以得到:

1) 包含一阶摄动位移的计算结果MHM1误差较大;

2) MHM2和MHM3的计算精度明显好于MHM1;

3) MHM2和MHM3的计算精度较高,且两者相差不大;

4) 二阶摄动项对计算精度的影响较大,而三阶摄动项对计算精度的影响可以忽略.

图5 二维周期复合材料结构
Fig. 5 The 2D periodical composite structure

表2 2D多胞结构的势能泛函

Table 2 The potential energy functional for the 2D multi-cell structure

uεΠ/JMHMFEM((ΠFEM-ΠMHM)/ΠFEM×100%)/%MHM1-3.547 7×10-6-4.436 1×10-620MHM2-4.335 6×10-6-4.436 1×10-62.27MHM3-4.396 8×10-6-4.436 1×10-60.89

(a) A线节点沿x1方向位移曲线(b) B线节点沿x1方向位移曲线 (a) Displacement curves along longitudinal lines A(b) Displacement curves along longitudinal lines B

(c) C线节点沿x1方向位移曲线(d) D线节点沿x1方向位移曲线 (c) Displacement curves along longitudinal lines C(d) Displacement curves along longitudinal lines D
图6 沿纵线A、B、C、D上节点位移曲线
Fig. 6 Displacement curves along longitudinal lines A,B,C and D

5 结 论

本文推导了热力耦合问题高阶MHM通用计算公式,并将其转化为有限元列式,结合超单胞周期边界条件提出了微分求积MHM,通过提高影响函数和宏观场导数计算精度保证了高阶展开项本身的计算精度;数值算例和最小总势能泛函结果验证了公式的正确性和微分求积MHM的有效性.本文得到的结论如下:

1) 弹性影响系数和热影响系数的导数是线性关系,斜率为材料热膨胀系数;

2) 高阶(三阶及以上)影响函数控制方程具有相同的形式;

3) 二阶摄动项对计算精度作用较大,不可忽略.

附 录

对于平面线性单元来说,χ1为8×3阶矩阵,χ2为8×6阶矩阵,为2×3阶矩阵,为3×2阶矩阵,其中各矩阵元素均是按照式(23)和(27)中各指标的求和关系生分别为

由弹性矩阵和弹性张量分量的对应关系,可以将弹性矩阵EHEε写成

所以可以用对应的弹性矩阵元素分别表示为

参考文献References):

[1] BERTHELOT J M. Composite Materials: Mechanical Behavior and Structural Analysis[M]. New York: Springer, 1999.

[2] KALIDINDI S R, ABUSAFIEH A. Longitudinal and transverse moduli and strengths of low angle 3-D braided composites[J]. Journal of Composite Materials, 1996, 30(8): 885-905.

[3] BABUKA I. Solution of interface problems by homogenization: Ⅰ[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1976, 7(5): 603-634.

[4] BABUKA I. Solution of interface problems by homogenization: Ⅱ[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1976, 7(5): 635-645.

[5] BENSSOUSAN A, LIONS J L. Asymptotic Analysis for Periodic Structures[M]. Amsterdam: North-Holland, 1978.

[6] STROUBOULIS T, BABUSKA I, COPPS K. The generalized finite element method: an example of its implementation and illustration of its performance[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2000, 47(8): 1401-1417.

[7] BABUKA I, OSBOM J. Generalized finite element methods: their performance and their relation to mixed methods[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1983, 20: 510-536.

[8] HOU T Y, WU X H. A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media[J]. Journal of Computational Physics, 1997, 134: 169-189.

[9] HOU T Y, WU X H, CAI Z Q. Convergence of a multi-scale finite element method for elliptic problems with rapidly oscillating coefficients[J]. Mathematics of Computation, 1999, 68(227): 913-943.

[10] WEINAN E, BJORN E. The heterogeneous multi-scale methods[J]. Commun Math Sci, 2003, 1: 87-132.

[11] WEINAN E, BJORN E, LI X T. Heterogeneous multiscale methods: a review[J]. Communications in Computational Physics, 2007, 2(3): 367-450.

[12] XING Y F, YANG Y. An eigenelement method of periodical composite structures[J]. Composite Structures, 2011, 93: 502-512.

[13] XING Y F, YANG Y, WANG X M. A multiscale eigenelement method and its application to periodical composite structures[J]. Composite Structures, 2010, 92(9): 2265-2275.

[14] TERADA K, KURUMATANI M, USHIDAI T. A method of two-scale thermo-mechanical analysis for porous solids with micro-scale heat transfer[J]. Computational Mechanics, 2010, 46(2): 269-285.

[15] MUHAMMAD R, ERDATA N, NAOYUKI W. A novel asymptotic expansion homogenization analysis for 3-D composite with relieved periodicity in the thickness direction[J]. Composites Science and Technology, 2014, 97: 63-73.

[16] MUHAMMAD R, ERDATA N, NAOYUKI W. Thermomechanical properties and stress analysis of 3-D textile composites by asymptotic expansion homogenization method[J]. Composites Part B: Engineering, 2014, 60: 378-391.

[17] BARROQUEIRO B, DIAS-DE-OLIVEIRA J, PINHO-DA-CRUZ J. Practical implementation of asymptotic expansion homogenization in thermoelasticity using a commercial simulation software[J]. Composite Structures, 2016, 141: 117-131.

[18] ZHAI J J, CHENG S, ZENG T. Thermo-mechanical behavior analysis of 3D braided composites by multiscale finite element method[J]. Composite Structures, 2017, 176: 664-672.

[19] 李志青, 冯永平. 一类小周期结构热力耦合问题的双尺度渐近分析[J]. 广州大学学报, 2016, 15(2): 27-32.(LI Zhiqing, FENG Yongping. Two-scale asymptotic analysis on one class of thermoelastic coupling problem in small periodic structure[J]. Chinese Journal of Guangzhou University, 2016, 15(2): 27-32.(in Chinese))

[20] YANG Z Q, CUI J Z, ZHOU S. Thermo-mechanical analysis of periodic porous materials with microscale heat transfer by multiscale asymptotic expansion method[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2016, 92: 904-919.

[21] GUAN X F, LIU X, JIA X. A stochastic multiscale model for predicting mechanical properties of fiber reinforced concrete[J]. International Journal of Solids and Structures Volumes, 2015, 56/57: 280-289.

[22] YANG Z Q, CUI J Z, MA Q. The second-order two-scale computation for integrated heat transfer problem with conduction, convection and radiation in periodic porous materials[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems(Series B), 2014, 19(3): 827-848.

[23] YANG Z Q, SUN Y, CUI J Z, et al. A multiscale algorithm for heat conduction-radiation problems in porous materials with quasi-periodic structures[J]. Communications in Computational Physics, 2018, 24(1): 204-233.

[24] ALLAIRE G, HABIBI Z. Second order corrector in the homogenization of a conductive-radiative heat transfer problem[J]. Discrete & Continuous Dynamical Systems(Series B), 2013, 18(1): 1-36.

[25] WAN X, CAO L Q, WONG Y S. Multiscale computation and convergence for coupled thermoelastic system in composite materials[J]. SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation, 2015, 13(2): 661-690.

[26] YANG Z Q, CUI J Z, SUN Y. Multiscale analysis method for thermo-mechanical performance of periodic porous materials with interior surface radiation[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2016, 105(5): 323-350.

[27] HAN F, CUI J Z, YU Y. The statistical second-order two-scale method for thermomechanical properties of statistically inhomogeneous materials[J]. Computational Materials Science, 2009, 46(3): 654-659.

[28] HAN F, CUI J Z, YU Y. The statistical second-order two-scale method for mechanical properties of statistically inhomogeneous materials[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2010, 84: 972-988.

[29] XING Y F, CHEN L. Accuracy of multiscale asymptotic expansion method[J]. Composite Structures, 2014, 112: 38-43.

[30] 陈磊, 邢誉峰. 若干周期复合材料结构数学均匀化方法的计算精度[J]. 航空学报, 2014, 36(5): 1520-1529.(CHEN Lei, XING Yufeng. Accuracy analysis of mathematical homogenization method for several periodical composite structure[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 36(5): 1520-1529.(in Chiniese))

[31] XING Y F, GAO Y H, CHEN L. Solution methods for two keyproblems in multiscale asymptotic expansion method[J]. Composite Structures, 2017, 160: 854-866.

[32] 邢誉峰, 李敏. 计算固体力学原理与方法[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2011.(XING Yufeng, LI Min. Principle and Method of Computational Solid Mechanics[M]. Beijing: Beihang University Press, 2011.(in Chiniese))

[33] BERT C W, MALIK M. Differential quadrature method in computational mechanics: a review[J]. Applied Mechanics Reviews, 1996, 49: 1-28.

[34] XING Y F, LIU B. A differential quadrature finite element method[J]. International Journal of Applied Mechanics, 2010, 2(1): 207-227.

Accuracy of the Mathematical Homogenization Method for Thermomechanical Problems

LI Hongpeng1, LING Song1, QI Zhenbiao1, JIANG Keru1, CHEN Lei2

(1. State Grid Anhui Economic Research Institute, Hefei 230009, P.R.China;2. Hefei Innovation Research Institute, Beihang University, Hefei 230012, P.R.China)

Abstract: For thermo-mechanical problems of periodical composite structures, the full decoupled scheme of each order perturbation and the governing equation of each order influence function for the mathematical homogenization method (MHM) were derived, then the weighted residual method was utilized to transform them into the conveniently programmable finite element matrix form. The perturbation displacements in the uncoupled form were defined as the products of influence functions and the macro field derivatives, and the calculating accuracy of the perturbation displacements were determined by the accuracy of influence functions and the macro field derivatives, in turn the accuracy of influence functions depended mainly on the applicability of unit cell boundary conditions. For the static problems of 2D periodical composite structures, the super unit cell periodical boundary condition and the differential quadrature finite element method were applied to guarantee the calculating accuracy of the influence function and the macro field derivatives respectively. On this basis, the influence of the high-order perturbations on the true displacement of the MHM was studied, and the necessity of the 2nd-order perturbation was emphasized. Finally, the potential energy functional was used to evaluate the accuracy of the MHM. Numerical comparisons validate the conclusions.

Key words: mathematical homogenization method; periodical composite; thermo-mechanical; high-order perturbation

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2019-03-22;

修订日期:2019-11-18

作者简介:

李鸿鹏(1987—),男,硕士(E-mail: 931061658@qq.com);

陈磊(1986—),男,博士(通讯作者. E-mail: chenlei2019@buaa.edu.cn).

引用格式: 李鸿鹏, 凌松, 戚振彪, 姜克儒, 陈磊. 热力耦合问题数学均匀化方法的计算精度[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(1): 54-69.

中图分类号: O302

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400119