奇异摄动问题是近几十年来许多学者关心的热点问题,许多的奇摄动方法都被很好地运用到自然科学的诸多领域,许多学者,如Jr O’Malley[1]、Chang等[2]、Nayfeh[3]、De Jager等[4]、Bohé[5]在这些方面做了大量的工作.同时,自然科学中很多问题的研究都可以用带有小参数的数学模型来进行描述,而含有两个参数的数学模型在物理问题中更是随处可见,如空气动力学、反应扩散、非线性波、大气物理、海洋科学、热传导等方面都有着很强的应用背景[6-7].Mo等[8-10]又把这类问题推广到含有时滞变量的小参数问题,利用微分不等式理论研究了小参数满足一定关系下解的渐近性态.笔者也把这类问题进行了推广,研究了一类非线性的带有双参数的时滞问题,利用匹配法给出了所提问题的解的渐近展开式,并利用微分不等式理论证明了解的一致有效性[11].最近,笔者再把这类问题推广到分数阶奇异摄动问题,利用奇异摄动方法求出了问题的外部解,再利用伸展变量法构造了问题在边界附近的两个边界层校正项,得出了所提问题的形式渐近解[12].本文在所研究问题的基础上,再研究一类含有两个参数的二阶非线性时滞奇摄动边值问题,讨论两参数在一定关系下,问题的解的渐近性态,并利用微分不等式理论证明了渐近解的一致有效性.考虑以下的非线性奇异摄动时滞边值问题:
εy″+μp(x)y′=f(x,y(x-μ)),
(1)
y=α, -μ≤x≤0,
(2)
y=β, x=1,
(3)
这里ε和μ均是趋于零的小的正常数, α和 β均是常数.首先做如下假设:
[H1] 函数f,p,h关于其变元在对应的区域上充分光滑;
[H2] fy≥δ>0;
[H3] 当ε→0时,ε/μ2→0;
[H4] 问题(1)~(3)的退化方程:f(x,y)=0存在一个满足y(1)=β的根Y0.
首先对小参数引入如下变换:
(4)
即
ε=ξ2η, ξ=μ,
则问题(1)~(3)变为等式
ξ2ηy″+ξp(x)y′=f(x,y(x-ξ)).
(5)
将式(5)中的函数y(x-ξ)展开成ξ的幂级数形式如下:
(6)
代入式(5)得
(7)
设时滞问题(1)的外部解形如:
(8)
将式(8)代入式(7)和(3),方程右端的非线性项按照ξ和 η的各阶次幂进行展开,比较等式两边ξ0η0的系数得
f(x,Y00)=0, Y00(1)=β.
由假设[H4],显然
Y00=Y0.
(9)
类似地,再将式(8)代入式(7)和(3),比较ξiηj的系数得
fy(x,Y0)Yij=Fij, Yij(1)=0, i, j=0,1,2,…, i+j≠0,
(10)
其中Fij(i, j=0,1,2,…,i+j≠0)为依次可以确定的函数,结构从略.这样由式(9)、(10),我们得到了外部解的系数Yij,从而确定了时滞问题(1)~(3)的外部解. 但这个解不能满足条件(2),所以需要在x=0处构造激波层校正项.
由假设可知问题(1)~(3)可能在x=0附近产生激波,所以在x=0处引入伸展变量:
(11)
这样式(7)就化为
(12)
设
y=Y+U,
(13)
且
(14)
将式(13)、(14)代入式(12)和(2),再将非线性项按照ξ和η的各阶次幂进行展开,比较等式两边ξ和η的各阶次幂系数,可得
(15)
U00(0)=α-Y00(0),
(16)
(17)
Uij(0)=-Y00(0), i, j=0,1,2,…, i+j≠0,
(18)
其中Gij(i, j=0,1,2,…,i+j≠0)为依次可以确定的函数,结构从略.
由式(15)~(18),我们将得到Uij(i, j=0,1,2,…)并且有如下结论:
(19)
其中kij为正常数.将Uij代入式(14),可得问题(1)~(3)的激波层校正项.由式(4)、(19)以及假设条件[H3],我们就得到了问题(1)~(3)的渐近展开式:
(20)
通过以上的讨论,二阶非线性时滞奇摄动边值问题(1)~(3)有一致有效的形式渐近解(20),为此,给出如下定理.
定理1 二阶非线性时滞奇摄动问题(1)~(3)在假设[H1]~[H4]的条件下,存在一个激波解,且有形如式(20)的一致有效的形式展开式.
证明 先构造两个辅助函数和
(21)
(22)
其中ζ=max(μm+1,(ε/μ2)m+1), γ为一个足够大的正常数,将在后面取定,其中函数
现在证明和分别为二阶非线性时滞奇摄动问题(1)~(3)的下解和上解.
显然因为γ为足够大的正数,且由假设及式(21)、(22),显然有
(23)
(24)
下面证明:
(25)
(26)
本文只证明了式(26),式(25)可类似证明.考虑到假设条件,存在一个正常数M,有
(-f(x,Zm(x-μ)+γζ)+f(x,Zm(x-μ)))≤
Mζ-fy(x,)γζ≤(M-δγ)ζ≤0,
其中是中值常数,上式只要选择γ≥M/δ即可,所以式(26)成立.由式(23)~(26)证明了和分别为二阶非线性时滞奇摄动边值问题(1)~(3)当x∈[0,1]时的下解和上解,所以由微分不等式理论,时滞奇摄动边值问题(1)~(3)存在一个激波解,且满足:再由式(21)、(22),就能得到形如式(20)的一致有效的渐近展开式,定理得证.
本文对含有两个参数的二阶非线性时滞奇摄动边值问题(1)~(3),在假设[H1]~[H4]下,根据两参数在一定关系下,构造了问题的外部解和激波层校正项,得出了如下的一致有效的形式渐近解:
文中讨论的双参数时滞奇摄动问题,其时滞变量和小参数不同时的问题,是笔者今后继续研究的重点.
参考文献(References):
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