引 言
镁合金具有高阻尼、密度小、比强度高、比弹性模量大等特点，因此在航空航天领域得到了广泛应用．但其阻尼特性机理复杂，且变化规律和演变性能难以描述，在材料设计、结构分析方面有诸多困难．为此，许多学者对镁合金的阻尼性能测定开展了大量的研究工作．刘先兰等[1]采用品质因数倒数表述各种配比成分下镁合金材料的阻尼性能，做了阻尼与应变振幅和温度的谱系分析．刘运峰等[2]在制造工艺和微观形态上对包含阻尼性能在内的动力学参数进行了系统的研究．李浩等[3]采用OM、XRD、SEM、EDX等仪器对不同含量Sb，以及不同热处理下镁合金阻尼性能的影响关系进行了研究，给出了镁合金阻尼的一些变化规律．Ni等在文献[4]中，对镁合金与其他合金的阻尼性能进行了对比试验，进一步证实了镁合金的高阻尼性能．Hidetoshi等[5]对基体与颗粒之间界面结构对Mg-Zn和Mg-Zn-Y合金阻尼性能的影响进行了研究，阐述了成分对镁合金阻尼的影响．Hiroyuki等[6]探究了富勒烯成分的添加对于AZ91D型镁合金阻尼性能的影响．张军等[7]采用TA-DMA Q800型动态热机械分析仪在频率10 Hz时，对AZ31和ZK60镁合金室温下的阻尼性能进行了研究，阐述了两种合金阻尼性能可以用G-L模型来解析．Tian等[8]采用动力学分析和透射电子显微镜，研究了位错动态演化对AZ61型镁合金阻尼性能的影响．文献[9-12]分别从不同角度对不同成分的镁合金阻尼性能进行了实验和理论分析研究．上述工作提供了诸多测定镁合金阻尼比的方法，同时揭示了立足于材料微观尺寸下合金成分对其力学性能和阻尼参数的影响，为本文研究确定成分的镁合金阻尼测试提供了良好的文献参考．但这种对阻尼的变化特征所引起的动力学分析问题所见的研究甚少，对镁合金在动力学应用领域的指导也是不够的．本文的工作基于明确这种变化阻尼特性后，给动力学系统响应所带来的变化以及要面临的分析困难而展开．在动力学分析中，尤其是在随机荷载工况下服役的高性能材料结构，阻尼变化将导致结构动力响应与恒定阻尼系统的动力响应不同，如不考虑其影响，可能严重影响结构动力学设计与评估分析．通常恒定阻尼系统具有线性随机振动系统的特征，基于现有技术比较容易求解，但考虑阻尼变化的系统则演变为非线性随机系统，依据变化规律可能演变为高阶非线性，这为求解带来了巨大的困难．目前多数变化阻尼的研究成果集中于结构阻尼的滞变、蠕变等，这种阻尼变化与材料阻尼比的变化有所不同，通常是以结构调制在大范围内变化的，一般采用等效线性方法进行分析．对材料阻尼特性变化的研究成果尚不多见．Oh等[13]采用实验统计的方法研究了生物金属束材阀门的变阻尼动力学振动响应问题，分析得出了变化阻尼对结构动力学影响．Andre等[14]就小阻尼变化动力学系统求解的一种方法提出了异议，同时也阐述了阻尼变化问题在动力学系统求解中存在的问题．Liu等[15]解决了风振中阻尼与结构振型耦合变化的问题，将其作为非线性系统进行分析．Liu等[16]以半主动控制系统的阻尼器的力学行为为例，提出在实际应用中处理变化阻尼是一个很困难的工作．同时在桥梁减隔震问题的研究中也多涉及变化阻尼模型，但其原理和金属材料阻尼性能受外界工况影响而产生的变化不同，求解方法也有许多不同．
本文以GW63K镁合金材料为对象探索其阻尼性能，借鉴在金属材料学领域的研究成果，以实验方法在定性、定量两个层次，从结构动力学的角度研究了该材料阻尼特性及随荷载工况、服役环境的演变规律．进而以结构振动、随机振动为重点，探讨变化阻尼所带来的振动分析困难．以阻尼的演变规律为基础，结合随机振动的虚拟激励方法[17-18]，推导了可演变为时变阻尼的动力学系统在随机荷载工况下的动力学分析方法．基于MATLAB和ABAQUS平台，以实验和数值计算方法分析和比较了恒定阻尼、变化阻尼对结构动力学响应的影响，验证了本文方法的正确性和精度，并对镁合金在动力学领域的分析方法提出了建议．
1 GW63K镁合金阻尼测试
1.1 金属材料阻尼测试原理
现代阻尼理论对镁合金等金属阻尼机理解释为位错型阻尼机制[19]、晶界型阻尼机制[20]、孪晶型阻尼机制[21]等，用于表征材料阻尼的方式主要有损耗因子η、损耗角正切tan φ、品质因子倒数Q-1、阻尼比ζ等．依据国家标准GB/T 18258—2000[22]的材料阻尼性能测试方法，通常采用悬臂梁共振法测定．测量记录共振曲线时，精度满足振幅测量准确度不低于0.5%，共振频率测量准确度不低于1%，半功率带宽测量分辨率不低于半功率带宽的1%．测定量包括材料的损耗因子η、损耗角正切tan φ等．自支撑(材料体较硬，其本身可直接由测试装置夹持进行测量)和非自支撑阻尼材料(材料体较软，其本身不能直接被测量装置夹持测量)分别用式(1)、(2)计算损耗因子：
η=(ΔF0i)/(F0i),
(1)
(2)
式(1)中，ΔF0i为试件的第i阶模态的半功率带宽，F0i为第i阶共振频率；对于非自支撑材料损耗因子的计算式(2)中，M是复合材料板阻尼层材料与金属层材料弹性模量比，ηsi是复合材料板的损耗因子，T1为阻尼层厚度与金属层厚度的比值．根据这一测试理论，动态热机械分析仪(DMA)采用黏滞、Coulomb及滞变阻尼理论，由循环荷载作用下应力-应变曲线形成的滞回曲线的面积来表示损耗因子，在大范围内温度与频率变化下实现材料的阻尼参数测定，计算方式可表述为
ε=ε0exp(ωt-φ),
(3)
σ=σ0exp(ωt),
(4)
E*=σ/ε=(σ0/ε0)(cos φ+isin φ)=E′+iE″,
(5)
η=E″/E′=tan φ,
(6)
其中，ε0表示应变振幅；σ0表示应力振幅；ω为圆频率；t表示时间；φ为损耗角，即应变滞后于应力的相位差．应变与应力形成一个滞后回路，从而引起机械振动能量的消耗；E″表示损失模量；E′为存储模量．DMA测试中，η， ζ， Q-1和tan φ都被用来表征阻尼性能，四者具有如下关系：
tan φ=Q-1=η=2ζ．
根据DMA实验设备的加载范围，试验件的尺寸设计为42 mm×10 mm×1 mm(长×宽×高)，基于三点弯夹持模式，采用12组，每组4件试样进行定性、定量实验研究，实验装置、夹持模式如图1所示．
图1 DMA-Q800和夹持模式
Fig. 1 The DMA-800 device and the clamping method
1.2 GW63K型镁合金阻尼性能
根据DMA实验的原理和特点，本文重点考察了GW63K型镁合金的阻尼水平，阻尼参数随温度变化的敏感特性，激振频率对阻尼参数的影响三个方面的内容．实验结果曲线如图2～4所示，DMA测试结果为损耗角正切tan φ表达的阻尼特性，这里纵坐标统一用tan φ表示阻尼特性，横坐标λ表示应变振幅，温度用符号T表示，频率用符号Fh表示．
图2 阻尼随应变振幅的变化规律
Fig. 2 Damping-strain amplitude relationships
图2给出了镁合金室温常态下阻尼参数测定结果，实验条件为室温25 ℃，激振频率为1 Hz，基于2组试样，多次重复试验，取其中2组4条阻尼特性曲线．可以看出，该型镁合金材料的阻尼性能随着应变幅值的增大而变得趋于稳定，应变振幅在10-1%(P0.1)左右数值点密集，阻尼参数随应变振幅增加的变化逐渐减弱，在达到0.027 46时趋于稳定．根据实测同一组试件的两根试件曲线来看，吻合比较好，尤其在最后的稳定阶段，收敛性比较一致．另根据所测试件的阻尼特性曲线，阻尼参数随应变振幅变化的趋势可以看出在10-1%(P0.1)值附近有近似平缓的趋势，尤其是在较大幅值时表现的更为明显，这就是临界脱钉应变振幅点，工程中通常采用这个点的数值作为常态下的阻尼性能参数．该点一般处于较低和较高应变振幅相交的位置，材料阻尼比的大小在应变振幅大于10-1%后的变化较小．
图3给出了该型镁合金材料的阻尼对温度变化的敏感度．实验中应变振幅设置为P0.1级，激振频率为1 Hz．由图3可以看出，阻尼是随着温度的增加而增大的，但由于夹具夹持、升温过程的细微区别，其变化规律有些局部不同，且对温度是较为敏感的．从幅值来分析，25 ℃与330 ℃的值相差约一倍，这说明温度升高后阻尼性能得到了大幅提高．可以看出，合金在随温度升高的过程中阻尼的变化速率并不是一致的，在小于150 ℃较低温度阶段阻尼性能增加幅度较缓，高于150 ℃以后合金阻尼性能随温度大幅提升．从金属微观性能上分析，在温度升高初期，合金内的晶格畸变能对位错滑移阻尼的抵消作用，使合金随温度的增加呈小幅增加趋势；而随着温度升高，合金的晶界滑移被激活，此时晶格畸变能几乎不发生改变，从而合金的阻尼性能大幅增高．另对于不同的测量，DMA升温炉内的温度升高过程也不尽然一致，这导致了阻尼性能虽然趋势一致，且每次测量的结果也不尽相同，受实验环境影响较大．
图3 阻尼随温度的变化规律
Fig. 3 Damping-temperature relationships
图4给出了同一温度下(常温25 ℃时)，镁合金材料阻尼参数与激振频率的关系．可以看到常温下镁合金的阻尼随激振频率的增加而有下降趋势，但下降幅度不大，基本上在7%～8%的范围内．这个量级对结构动力学响应而言几乎可以不计，故可以看到常温的范围内，频率对阻尼特性影响不大．
图4 阻尼随激励频率的变化规律
Fig. 4 Damping-excitation frequency relationships
由以上实验现象可以看出，镁合金的阻尼性能是一个变化的量，且随服役工况的不同变化范围较大．对材料性能而言，这一变化仅是一个现象；而对动力学系统而言，阻尼的变化则会引起结构及响应的关联反应，在工程中需对这一问题认真研究．与通常结构动力学中的恒定阻尼参数不同，考虑变化阻尼的随机振动问题将是一个包含非线性、随机性的困难问题．本文将根据虚拟激励方法计算非平稳随机响应的思路，推导平稳随机激励下的镁合金结构时变阻尼分析方法．
2 结构非平稳随机振动的虚拟激励法
根据虚拟激励方法的思想，结构受非平稳随机响应的功率谱密度函数的计算可以转化为虚拟确定性外载
作用下的瞬态(时间历程)动力响应分析，
指的是虚拟激励，g(t)指的是时间调制函数．
n自由度离散线性结构体系受均匀调制零均值演变随机激励作用的运动方程可以表达为
(7)
其中M，C，K代表系统的质量、阻尼、刚度矩阵，注意这里是常量，非时变的；P是激励幅值，g(t)为调制函数，x(t)为随机激励，是随时间变化的历程．上式的解可以表达为
(8)
式中，φj(j=1,2,…,q)为结构的前q(q≪n)阶特征向量；hj(t)为与第j阶振型相应的脉冲响应函数；γj为第j阶振型参与系数，
(9)
则y(t)的相关矩阵为
g(τj)g(τk)E(x(τj)x(τk))dτjdτk．
(10)
根据Wiener-Khinchin关系可得
E(x(τj)x(τk))=Rxx(τ)=
Sxx(ω)eiω(τj-τk)dω．
(11)
将式(10)与(11)合并,可以得到
(12)
其中
Ij(ω,t)=
hj(tj-τj)g(τj)eiωtdτj．
(13)
对于时变自功率谱矩阵Syy(ω,t)有
(14)
根据以上推导,若构造如下虚拟激励：
(15)
则在t时刻的总响应必为
(16)
由此，可以简单地得到虚拟激励方法求解非平稳随机振动的结果：
(17)
当然这个问题若要数值求解，需要借助时间离散，通常的方法有精细积分方法和逐步积分方法．
3 变化阻尼的随机动力学分析拟非平稳方法
对于镁合金这种变化阻尼材料，在平稳随机激励下，其动力学方程可以表达为
(18)
可以看到式(18)与式(7)的不同在两方面：其一是所受激励没有调整过程，是平稳随机激励；其二是阻尼矩阵C不为常数矩阵，演变为变化阻尼矩阵．若为温度或频率引起的阻尼变化，则根据升温或频率变化的时间历程，该阻尼可演变成随时间变化的一组向量．推导如下：
Ti=T(ti) (i=1,2,…,n)，
(19)
Fi=F(ti) (i=1,2,…,n)，
(20)
这里，T(t)表示环境温度随时间变化的函数关系，将其按照计算精度进行时域离散可以获得第i时刻的温度值Ti，对频率引起的阻尼变化则F(t)表示频率变化随时间变化的函数关系，将其按照计算精度进行时域离散可以获得第i时刻的频率值Fi．基于二者变化对阻尼的影响曲线或拟合函数关系可以得到递推函数：
(21)
(22)
式中ηT为向量，表示材料阻尼随温度变化的规律，其分量ηT(Tn)表示在温度为Tn时的阻尼参数取值．若以实验曲线为参照取样，则为离散点；若基于实验曲线拟合数值曲线取样，则为拟合函数．结合式(19)的推导，最终都为时间变量t的函数，这里定义为GT(t);同样，基于式(20)的推导，随激励频率变化的阻尼也可表达为向量ηF和以时间为变量的函数GF(t)．这样系统演变为随时间变化的非线性随机振动系统：
(23)
这里，阻尼矩阵C(t)和激励向量x(t)都具有时变特性，变化阻尼系数的规律演变为一条随时间变化的曲线．虽然阻尼演变为时变函数，但仍始终保持正交特性，对动力学系统Rayleigh阻尼理论[23]依然适用，可以表达为
C(t)=α(t)M+β(t)K,
(24)
(25)
(26)
这里，α(t)，β(t)为时变阻尼的Reyleigh阻尼比参数；ωi，ωj为各阶模态圆频率，通常取第1阶和后几阶对振动贡献较大的模态;ηT(F)(t)为时变阻尼向量中的分量，分别以下标T与F区分温度和激振频率引起的变化．这样从形式上看，动力学问题仍应被归属于平稳随机振动问题，但由于系统阻尼矩阵C演变为时刻变化的动态矩阵，所以需进行时域离散进行求解．参照恒定阻尼的非平稳随机振动求解方法，这里称式(23)为伪非平稳随机动力学系统,基于非平稳方法进行求解．
在整个时间历程上，与非平稳系统不同之处在于虚拟激励的时间调制性，非平稳随机虚拟激励通常表达为式(15)，变化阻尼的伪非平稳过程则仍是平稳过程的虚拟激励
(27)
其时，变特性体现在下个时刻t+Δt阻尼矩阵的演变上，即
C(t+Δt)=α(η(t+Δt))M+β(η(t+Δt))K．
(28)
这样变化阻尼的动力学分析在线性框架下可以通过数值方法方便地获得．
对于简单模型，可以通过MATLAB平台编制程序求解;对于复杂模型,则可通过商业有限元计算软件ABAQUS求解，
4 数值算例与实验验证
4.1 单悬臂镁合金梁简谐激励下动力学响应分析与实验验证
本文采用某型镁合金材料构建数值分析与实验验证模型，采用单悬臂模式，在自由端施加持续正弦激励，分别基于DMA在25～350 ℃范围内采集振幅数据；采用应变振幅P0.1级时的阻尼参数数值计算恒定阻尼系统的振幅响应；基于DMA实验所得阻尼-温度曲线，使用变化阻尼理论计算振幅响应；最后将三者进行对比．通常材料弹性模量随温度也会有一定范围的变化，该型镁合金的弹性模量在200 ℃的范围内最大降幅为2.075 6～3.112 4 MPa，在350 ℃范围内其下降范围在3.162 1～3.933 3 MPa，在算例温度范围内变化范围小于8%，阻尼在这个范围的最大增幅为119%．考虑弹性模量变化引起的双重时变矩阵带来的计算困难，该算例基于计算效率和精度，未对弹性模量变化引起的动力学作用进行探讨．作为关于材料阻尼比变化引起结构动力学响应分析的初步研究，本文侧重于理论方法的适用性，实验测量的阻尼随温度变化具有较复杂的依赖关系，采用离散点进行分析将需要进行大量插值计算，采用高阶函数拟合则使函数GT(t)产生大量高阶项，使动力学系统出现高阶非线性．这里在考虑有限误差情况下，采用线性插值，将变化阻尼的数值做线性拟合，如图5所示．
图5 镁合金阻尼-温度曲线
Fig. 5 Damping-temperature curves of the magnesium alloy
计算参数如表1所示，单悬臂梁的实验与变化阻尼、恒定阻尼响应包络线如图6所示．
表1 GW63K型镁合金参数
Table 1 The parameters of the GW63K magnesium alloy
itemelastic modulus E/GPadensity ρ/(g·cm-3)Poisson’s ratio νdamping ratio tanϕvalue45.838 81.820 30.281 00.027 4itemlength L/cmwidth W/cmheight H/cmvalue4.81.20.2
图6 镁合金试件加速度响应包络比对图
Fig. 6 Acceleration response envelopes for the comparison of magnesium alloy specimens
算例中根据DMA-Q800设备控制软件的升温程序，设定0.18 ℃/s，升温过程持续1 800 s，在数值模拟中采用同样速率，以升温函数表达．图6中实验采集的结果曲线初始阶段的毛刺峰值是实验夹具夹持在振动初始紧固平衡的现象．从三种方法的结果中可以看出，恒定阻尼遵循理论上的守恒，而变化阻尼因为阻尼值在不断增加，其响应是在衰减的，这与实验结果相吻合，趋势亦相同，说明本文所建议的方法是较为精确的，若采用阻尼实测曲线代替模拟曲线精度会更好．另一方面，结构最大响应恒定阻尼与变化阻尼实验和计算值最大相差分别为0.021 m/s2和0.018 m/s2，高达50%左右，这种差异在动力学分析中是比较大的，应当引起充分重视．由此可见,在该型材料的服役中，阻尼对温度变化的敏感性较强，由此引起的动力学响应差别较大．
4.2 基于ABAQUS平台的镁合金工程结构的变化阻尼动力学分析
航天工程中，基于减振和减重两方面的考量，镁合金结构作为较好性能的替代产品被广泛采用．本小节以某型镁合金航天器支座实际结构进行变化阻尼动力学分析．
如图7所示镁合金结构，材料参数如表1所示．结构模态及固有频率结果如表2所示．
图7 镁合金支座三维模型
Fig. 7 The 3D model of the magnesium alloy support
表2 镁合金支座固有频率
Table 2 The natural frequencies of the magnesium alloy support
model order1234natural frequency f/Hz548.44683.361 144.71 313.2
阻尼比在25～350 ℃内线性变化，变化范围在0.027 4～0.058之间，时间为10 s(理论计算取值，实际实验设备的升温过程较慢)．在四角的螺孔处施加固定约束，在跨中的两个螺孔位置施加正弦载荷．提取跨中位置某点动力学响应，由于较大结构高温振动试验较难实现，这里采用结构服役下温度180 ℃的恒定阻尼比，进行动力学响应数值计算结果分析．动力学响应包络线如图8～10所示．
图8 镁合金支座位移包络线对比图
Fig. 8 Comparison of displacement response envelopes for the magnesium alloy support
在实际工程结构中可以看出,支座动力学响应幅值随着阻尼参数的增加逐渐减小，对于恒定阻尼的情况，激励与能量损耗处于一个平衡状态；而考虑阻尼变化的情况，系统则演变为耗散系统，响应的幅值呈下降趋势．位移幅值减小至最大值的47.72%，速度幅值减小至最大值的47.73%，加速度幅值减小至最大值的47.74%．这说明随着结构材料阻尼的增大，结构的能量耗散增多，动能减少，阻尼力增加，减振效果得到加强．
图9 镁合金支座速度包络线对比图
Fig. 9 Comparison of velocity response envelopes for the magnesium alloy support
图10 镁合金支座加速度包络线对比图
Fig. 10 Comparison of acceleration response envelopes for the magnesium alloy support
图11给出了正弦荷载下恒定阻尼结构的位移响应曲线，可以发现结构在经历极短的不稳定的瞬态振动阶段之后进入稳态振动阶段，其动力学响应幅值保持稳定，此特点和变化阻尼情况下动力学响应幅值不断变化的特点有明显区别．
图11 镁合金支座位移曲线(恒定阻尼)
Fig. 11 Displacement responses of the magnesium alloy support (constant damping)
图12、13给出了使用经过二次开发的ABAQUS软件计算出的变化阻尼情况下，动力学响应与恒定阻尼情况下动力学响应对比的情况，恒定阻尼仍采用服役环境温度180 ℃的阻尼比，图示为最终阶段t=10 s时的响应云图．从整个结构看支座中段的动力学响应差异较为明显，而支座两端由于远离正弦荷载以及受固定约束的影响其动力学响应差异并不特别明显．以位移响应为例，支座端部的位移响应由于受固定约束以及远离正弦荷载的影响，二者差异并不显著，位移响应值集中于图中深蓝色区段；而在向支座中段靠近时，位移响应差异逐步增加，变化阻尼情况下时支座中段的位移响应主要集中在7.798×10-2～8.789×10-2 mm区段，而恒定阻尼支座中段的位移响应主要集中在1.077×10-1～1.176×10-2 mm区段．这些结果表明，恒定阻尼系统和变化阻尼系统的动力学响应之间存在显著差异，这种差异的影响程度会影响结构设计与减隔振处理，应当引起充分重视．
图12 位移响应(中段) 图13 位移响应(端部)
Fig. 12 Displacement responses (middle section) Fig .13 Displacement Responses (end section)
注 为了解释图中的颜色，读者可以参考本文的电子网页版本．
5 结 论
本文通过DMA实验，对GW63K型镁合金阻尼参数演化规律的测定，以及基于ABAQUS平台对某型镁合金航天器支座的变化阻尼动力学响应分析，得出了以下结论：
1) DMA实验定性、定量地揭示了GW63K型镁合金材料阻尼比参数依赖激励频率、环境温度变化规律，并在结构动力学领域说明了这种变化性相对于采用恒定阻尼引起结构响应的差异，应当对高阻尼材料变化阻尼问题对动力学响应分析的影响引起足够重视；
2) 本文提出可用于计算阻尼比小范围变化的随机动力系统响应问题的有效分析方法，通过数值与实验方法的结果分析，初步验证了所建议方法的正确性和精度；
3) 基于本文推导的方法在ABAQUS商用软件平台上进行了二次开发，可以实现对大型实际工程结构的小范围时变阻尼系统的随机振动分析，为镁合金在工程应用中的设计提供了技术支持．
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