引 言
对加热引起的自然对流问题的研究始于20世纪对Rayleigh-Benard对流的研究[1-2]．对Rayleigh-Benard对流的研究方法，可以分为实验方法、理论分析方法及流体力学方程组的数值模拟方法．实验最早揭示了Rayleigh-Benard对流的现象及斑图的形成．之后，理论分析建立起Rayleigh-Benard对流的稳定性判据，给出了斑图形成的条件[3]．流体力学方程组的数值模拟，一方面可以获得Rayleigh-Benard对流的稳定性条件及临界点附近的特性[4-8]；另一方面可以发现非线性领域对流斑图的形成机理，探讨对流斑图的局部微细结构[9-14]．文献[15-16]发现了一种对流斑图，探讨了扰动成长特性等问题．特别是近几十年来，流体力学方程组的数值模拟已经成为研究加热引起的自然对流问题的有力工具，侧向加热的自然对流问题也是通过实验方法[17]、理论分析方法[18]及流体力学方程组的数值模拟方法进行研究．以前，更多的是研究方形腔体或者接近方形腔体中的对流问题、边界层特性等[19-24]．文献[25-26]研究了大高宽比腔体中的对流特性，揭示了一些运动机理．文献[14,26]研究了底部周期加热的局部对流斑图和侧向局部加热腔体内对流结构，探讨了加热方式对对流的影响．由于大高宽比腔体中加热方式对对流的影响研究还很少，有必要进一步探讨大高宽比腔体中侧向局部加热的对流特性．
本文通过流体力学方程组的数值模拟，研究了侧向局部加热条件下Prandtl数为0.027 2时流体对流的周期性．发现随着Grashof数Gr的增加，对流按稳态对流、单局部周期对流、双局部周期对流、准周期对流的顺序发展．当Gr<3.6×103时对流为稳态；在3.6×103<Gr<6.78×104的范围内，对流属于单局部周期；在6.78×104<Gr<3.5×106范围内，对流具有双局部周期；当Gr≥3.5×106时，对流进入准周期．进而研究了在上述的对流周期变化范围内对流的结构与特性，结果表明，对于一定的Pr，对流周期随着Gr增大而减小．
1 数学物理模型
1.1 流体力学方程组
基于Boussinesq假定，侧向加热对流问题的流体力学方程组可以表述为
U=0,
(1)
)U=-
2U-α(T-T0)g,
(2)
)T=κ2T,
(3)
式中U(u,0,w)为速度矢量场，p为压强，T为温度，t为时间，ν为运动黏性系数，α为体积膨胀系数，
为密度，κ为热扩散系数，
为导热系数，cp为定压比热容，g=-gey，g为重力加速度，ey表示y轴单位矢量，平行于y轴向上，下标0表示相应物理量的参考值．
1.2 边界条件与初始条件
速度及温度的边界条件如下：
当y=0,Γ时,u=w=0；
当x=0,d时，u=w=0；
当y=0,Γ时，∂T/∂y=0；
当x=0时，T=TL；
当x=d时，T=TR，
u，w分别表示水平流速、垂向流速，Γ为计算区域高度，d为计算区域宽度，TL为左壁面温度，TR为右壁面温度．
初始流速条件为u=w=0，初始温度为边壁面突然加温．
腔体的高宽比A=Γ/d，Grashof数Gr=αgd3ΔT/ν2，Prandtl数Pr=ν/κ是系统的控制参数．计算中A=10，Pr=0.027 2，侧壁面局部加热．为讨论方便，对腔体尺寸进行量纲归一化处理，即Y=y/d，X=x/d．
1.3 数值方法
利用有限容积法对流体力学方程组进行了离散，采用SIMPLE算法求解流体方程组，对流项采用二阶迎风格式，时间采用一阶隐格式，采用均匀交错网格系统．根据文献[26]，在Pr=6.949，Gr=7.0×106的情况下，对网格尺寸分别为Δx=Δy=d/20和Δx=Δy=d/30进行数值分析，发现最大垂直流速很接近,因此，采用Δx=Δy=d/20．时间步长为0.01 s．本文数值模拟采用FLUENT软件．
1.4 局部加热条件和方式
左壁面温度保持恒定，右壁面局部加热:
当0≤Y<2.5, 5<Y<7.5时，TR=TL+ΔT；
当2.5≤Y≤5, 7.5≤Y≤10时，TR=TL，
ΔT表示左右壁面温度差． 左右壁面侧向局部加热的温度分布如图1所示．
图1 侧向局部加热的温度分布
Fig.1 Temperature distribution under lateral local heating
2 侧向局部加热对流的周期性
图2 Gr=1.2×103时稳态阶段的对流
Fig.2 Steady convection for Gr=1.2×103
对于高宽比A=10的矩形腔体，Pr=0.027 2的低Prandtl数流体，通过改变Grashof数Gr，对腔体内发生的对流斑图进行数值计算，发现随着Gr的增加，对流斑图的演化愈加复杂，其可以分为以下几个阶段．
2.1 稳态的对流斑图
图2为Gr=1.2×103时稳态对流的对流斑图．图2(a)为流线图，可以看出，在两个加热区各存在一个大的封闭的流线圈，在它们的上方，靠近右壁面各存在一个小的封闭的流线圈．图2(b)为温度等值线图，在两个加热区，各存在一个大的封闭的等值线圈，等值线圈的上半部分，超过了加热区，位于加热区以上．在稳态对流阶段，这样的流线圈和温度等值线圈稳定存在，不随着时间变化．
2.2 单局部周期对流斑图
当Gr=1.7×104时，我们观察了右壁面Nusselt数Nu随时间的变化．图3为Nu的时间演化图．可以看出，在t≤300 s时Nu随时间迅速增加；t>300 s后，Nu随时间振动性地增大；在t≥1 200 s后Nu随时间围绕某个值上下振动地发展，这时，对流已经稳定，它的右壁面Nu随时间是周期变化的，对流进入周期性变化阶段．
图3 Gr=1.7×104时Nu的时间演化
Fig.3 Time evolution for Nu for Gr=1.7×104
(a)Gr=1.7×104 (b)Gr=5.6×104
图4 单局部周期对流的时空结构
Fig.4 The space-time structures of convection with a single local period
图4(a)给出了当Gr=1.7×104时腔体内流线图随着时间的变化．时间由左向右发展，每个框之间的时间间隔为10 s．右壁面自下向上分为4个区域，即Ⅰ-1、Ⅰ-2的加热区(左右壁面存在温度差)和Ⅱ-1、Ⅱ-2的未加热区(左右壁面不存在温度差)．相应的腔体中的对流斑图也分为4个区域，在Ⅱ-1、Ⅱ-2的未加热区，各存在多个对流圈，对流圈位置基本保持固定，不随着时间变化．在Ⅰ-1的加热区，存在一个大的对流圈，对流圈位置也基本保持固定，不随着时间变化．在Ⅰ-2的加热区，存在一个大的对流圈，对流圈内的核心部位随着时间下移，如图4(a)中直线所示，在图4(a)的时间内变化了一个周期，大约是40 s．由于在Ⅰ-1的加热区对流圈是固定的，在Ⅰ-2的加热区对流圈是周期变化的，称这种对流斑图为单局部周期对流斑图．增大到Gr=5.6×104时，获得了类似图4(a)的结果，如图4(b)所示．在图4(b)中，时间由左向右发展，每个框之间的时间间隔为6 s，对流变化一个周期的时间大约是30 s．可见，随着Gr的变化，对流的变化周期是不同的．
2.3 双局部周期对流斑图
图5(a)给出了当Gr=1.7×105时腔体内流线图随着时间的变化．时间由左向右发展，每个框之间的时间间隔为4 s．在Ⅱ-1、Ⅱ-2的未加热区，各存在多个对流圈，对流圈位置基本保持固定，不随着时间变化．在Ⅰ-1、Ⅰ-2的加热区，各存在一个大的对流圈，对流圈内的核心部位都随着时间下移，在图5(a)的时间内变化了一个周期，大约是16 s．图5(a)中的直线给出了周期移动的对流圈的核心部位的运动轨迹．由于在Ⅱ-1、Ⅱ-2的未加热区对流圈是固定的，在Ⅰ-1、Ⅰ-2的加热区对流圈是周期变化的，我们称这种对流斑图为双局部周期对流斑图．图5(b)为对应的速度矢量图，可以清楚地看出，Ⅱ-1、Ⅱ-2的未加热区对流圈位置基本保持固定，在Ⅰ-1、Ⅰ-2的加热区流动圈周期下移．
(a)流线 (b)流场矢量
(a)Streamlines (b)Velocity vectors
图5 Gr=1.7×105时，双局部周期对流的时空结构
Fig.5 Space-time structures of convection with double local periods for Gr=1.7×105
图6 Gr=7.004×106时,Nu的时间演化
Fig.6 Time evolution of Nu for Gr=7.004×106
2.4 准周期对流斑图
当增大到Gr=7.004×106时，Nu随着时间的变化如图6所示．当t<1 400 s时，Nu在不断增加与调整阶段，然后进入基本周期变化．当t≥1 400 s时，形成稳定的基本周期变化；Nu稳定在一定数值上下周期振动，对流仍然处于周期变化阶段，这时对流流线的时空结构如图7所示．在Ⅱ-2的未加热区，存在多个对流圈，对流圈位置基本保持固定，不随着时间变化．在Ⅱ-1未加热区对流圈的上下部各存在随着时间变化的强度较弱的小对流圈．也就是说，在Y=2.5与Y=5附近存在随着时间变化的强度较弱的小对流圈，它们是随着时间准周期变化的．因此，称为准周期对流斑图．
图7 Gr=7.004×106时,流线的时空结构
Fig.7 Space-time structures of streamlines for Gr=7.004×106
2.5 对流斑图的分区与对流周期的变化
对流斑图分区如表1所示．对于不同的Pr，随着Gr的增加，对流按稳态对流、单局部周期对流、双局部周期对流、准周期对流的顺序发展．Pr=0.027 2时的流动进入单局部周期对流的下限较Pr=6.949时的流动进入单局部周期对流的下限小．双局部周期结束的上限基本相当．Pr=0.027 2时，对流周期T0随着Gr的变化如表2所示．
表1 对流斑图的分区
Table 1 The convection pattern partition
Prandtl number PrGr dependence of convective patternssteady statesingle local perioddouble local periodquasi period0.027 2Gr<3.6×1033.6×103
表2 对流周期
Table 2 Convection periods
Grashof number Gr8.75×1031.7×1045.6×1041.7×1057.004×106convection period T0/s10050301611
可以看出，随着Gr增大，对流周期时间减小，这个规律与文献[26]对Pr=6.949时的研究结果类似，但Pr=0.027 2时对流周期的具体数值较Pr=6.949时对流周期的具体数值大．也就是说，在Gr给定的情况下，随着Pr增加，对流周期减小．
3 结 论
本文通过流体力学方程组的数值模拟，研究了侧向局部加热条件下Prandtl数Pr=0.027 2时流体对流的周期性．得出了以下结论：
1)对于不同的Pr，随着Gr的增加，对流按稳态对流、单局部周期对流、双局部周期对流、准周期对流的顺序发展．
2)对于Pr=0.027 2，对流从稳态过渡到单局部周期状态的临界Grashof数为Gr=3.6×103；对流从单局部周期状态转变成双局部周期状态的临界Grashof数为Gr=6.78×104；对流从双局部周期状态进入准周期状态的临界Grashof数为Gr=3.5×106．
3)在稳态对流区间，壁面加热区对应的对流圈的位置不随着时间变化，未加热区没有对流圈出现．在单局部周期对流区间，壁面上加热区对应的对流圈内的核心部位随着时间周期移动；下加热区和两个未加热区对应的对流圈位置不随着时间变化．在双局部周期对流区间，壁面两个加热区对应的对流圈内的核心部位都随着时间周期移动；两个未加热区对应的对流圈位置不随着时间变化．在准周期区间，在下未加热区对应对流圈的上下部位各存在随着时间准周期变化的小对流圈；两个未加热区对应的对流圈位置不随着时间变化．
4)在对流周期变化的整个范围内，当Pr给定时，对流周期随着Gr增大而减小．
致谢 本文作者衷心感谢西安理工大学博士创新基金(310-252071507)和西北旱区生态水利国家重点实验室基金(2017ZZKT-2)对本文的资助．
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