引 言

功能梯度材料(FGM)是一种新型材料[1-2]，其材料属性沿特定方向呈功能梯度变化．这类结构具有抗高温或者抗腐蚀的特性，同时还能保证结构的强度和韧性．功能梯度材料由于其优越的性能而被广泛应用于航空航天、机械结构、土木建筑、医学设备等领域．功能梯度结构的动力学行为机理研究一直是相关研究人员和设计者所关心的重要问题．科研人员利用各种方法(有限元法[3]、谱-微分求积混合法[4]、Fourier法[5]和动刚度法[6]等)并结合不同的板壳结构理论(一阶剪切变形理论[7]、经典板壳理论[8]、修正理论[9]与高阶理论[10]等)研究功能梯度结构的力学特性．

板壳结构的振动特性一直是振动噪声控制领域[11-14]的研究热点．近年来，随着功能梯度材料应用的日趋广泛，国内外众多学者对功能梯度板振动特性开展了大量研究，取得了丰富的研究成果．王云等[15]利用直接位移法研究了功能梯度圆板的轴对称自由振动．曹志远等[16]采用半解析梯度有限元法分析了复杂形状及开孔功能梯度板的三维振动．Liu等[17]研究了面内功能梯度矩形板的自由振动特性．Malekzadeh和Beni[18] 基于经典板壳理论利用微分求积法计算了面内功能梯度矩形板的非线性自由振动．由于板的弯曲刚度远远小于平面内的拉伸刚度，导致板的低阶振动模态都属于弯曲振动，而面内振动主要集中在高频阶段．为此，大部分研究侧重于横向弯曲振动，关于面内振动的研究较少．然而，在工程实践中，机械结构的工作环境并不总是一直处于低频振动，开展面内振动研究对工程结构设计具有重要的工程指导意义．近年来，由于圆形和矩形形状可分别在极坐标和直角坐标系下表示，求解振动控制方程时所需的积分域较为直观、简单，仅有少数关于板面内振动的研究文献主要集中于矩形板和圆形板．对于生活中常见的三角形板，其面内振动特性研究还处于空白．

等几何方法[19]是一种能够实现CAD与CAE的无缝连接，并具有高精确度的数值方法．该方法利用CAD中建模基函数(如T样条、B样条、NURBS)为形函数对结构未知域进行求解．由于该方法具有高精度、高收敛、网格细化方便与高阶函数连续性等优点，常被应用于求解各类功能梯度结构力学[20-24]，同时还被应用到其他领域如声学、流体力学、电磁学等．

本文针对弹性边界约束下面内呈功能梯度变化三角形板的面内振动问题，基于平面应变理论，采用NURBS函数进行结构建模，同时结合有限元思想对结构的面内振动进行求解．通过数值对比验证该方法的正确性、有效性，分析了材料参数、几何尺寸与边界条件对面内功能梯度三角形板面内振动特性的影响．

1 面内功能梯度三角形板

1.1 几何结构模型

图1为任意约束条件下功能梯度材料三角形板分析模型．图中P1，P2和P3为三角形的3个顶点，P4为P2到直线P1P3的投影，b和h分别为板的高度和厚度，a为直线P1P3的长度，c为直线P1P4的长度．假设弹性模量和密度在面内方向呈功能梯度变化并满足以下方程：

E=E0Ve, ρ=ρ0Ve, Ve=e(x/l)kx+(y/b)ky,

(1)

式中l为a和c中的最大值；E0和ρ0为在P1点的弹性模量和密度；kx和ky为材料参数．Poisson比μ为恒值．当材料参数ky=0时，属性变化函数Ve只是关于x的函数(如图2所示)．当kx=ky=0时，该三角形板材料可认为各向同性材料．

图3为三角形板的边界约束示意图．kp和kn分别表示边界上的切向弹簧和法向弹簧．通过设置边界弹簧刚度可实现全固支(C-C-C)、全自由(F-F-F)、全简支1(S1-S1-S1)，全简支2(S2-S2-S2)和C-F-F等经典边界约束．其中，全简支1表示法向位移自由，切向位移完全约束；全简支2表示法向位移完全约束，切向位移自由；C-F-F表示边界1位移完全约束，边界2和边界3位移自由．通过将某一方向位移所对应的弹簧刚度系数设置为无穷大(如1×1015)，可实现这一方向的完全约束．

1.2 基于平面应变理论的面内功能梯度基本方程

基于平面应变理论，三角形面内振动应力可表示为

σx=A11εx+A12εy，

(2)

σy=A21εx+A22εy，

(3)

τxy=A66γxy，

(4)

其中σx，σy和τxy分别代表平面正应力和切应力；εx，εy和γxy代表平面正应变和切应变．Aij为弹性系数，其表达式如下：

(5)

式中E为弹性模量，μ为Poisson比．板的应变和应力关系为

(6)

式中x, y为自然坐标分量；u，v为面内位移分量．

2 基于平面应变的等几何分析

2.1 NURBS基函数

在等几何分析中，NURBS基函数常被用来构建结构的几何模型和未知域，一维和二维的NURBS具体的表达形式可分别定义如下:

(7)

(8)

式中和分别代表一维和二维权值；和为阶次；ξ和η为参数空间；和分别为ξ和η方向上的B样条基函数．B样条基函数一般定义在非负单调不减的节点矢量并结合Cox-de Boor递推公式推导而来[25]．

当时，

(9)

当时，

(10)

等几何有限元法采用NURBS为形函数对未知域进行描述，面内位移分量可表示为

(11)

其中ua=[ua va]T表示节点a的位移矢量；Ra为控制点a的函数矩阵，其是一个主对角线为NURBS函数Na的对角矩阵；nc为控制点数．

2.2 等几何面内振动控制方程

功能梯度三角形板的结构势能U、动能T和边界弹簧势能Usp可写为以下形式：

(12)

(13)

(14)

式中Ω和lr分别表示积分曲面和曲线；r表示三角形板的第r条边，其以底边为1沿逆时针方向命名；和分别表示第r条边界上的法向弹簧和切向弹簧；Lr为坐标转换矩阵，具体可写为

(15)

其中φr为三角形的第r条边与x轴的夹角．

基于Hamilton原理，功能梯度三角形板的振动控制方程可由下式求出：

δ(T-U-Usp)dt=0．

(16)

将方程(12)～(14)代入方程(16)，并结合有限元方法，可将功能梯度三角形板的面内振动控制方程写为

(K-ω2M)u=0，

(17)

其中K和M分别为整体刚度矩阵和质量矩阵，ω为固有角频率．根据有限元思想，为计算整体刚度矩阵和质量矩阵，需要对每个单元的刚度矩阵和质量矩阵进行计算，然后采用有限元组装技术得到整体刚度矩阵和质量矩阵，如文献[26]．

单元对K的贡献可表示为

(18)

(19)

(20)

(21)

式中Ωe为单元积分区域，下角标表示板内结构单元，下角标i和j表示单元内控制点系数．边界约束对K的贡献可表示为

(22)

(23)

(24)

其中le为边界单元积分曲线，下角标表示边界单元．单元对M的贡献可写为

(25)

(26)

(27)

功能梯度三角形板的面内振动固有频率和节点位移矢量可通过求解方程(17)得到．

3 数 值 算 例

3.1 模型的验证

采用等几何法对面内功能梯度三角形板进行面内振动分析时，NURBS基函数的阶数和单元数影响计算时间和计算精度，为了验证等几何法计算面内功能梯度三角形板面内振动频率的收敛性，采用不同的单元数和NURBS基函数阶数的等几何方法进行计算．在以下数值算例分析中，将坐标原点材料设为铝材料：E0=70 GPa, μ=0.3, ρ0=2 700 kg/m3．三角形板长度l=1 m, 厚度h=0.01 m．表1给出了在C-F-F边界条件下面内功能梯度三角形板的前五阶面内振动频率f=ω/(2π)(Hz)．表中的其他材料和几何参数为：kx=1,ky=0,b=1 m,c=0.5 m．从表1可以看出，基函数的阶数越高，结果收敛所需的单元就越少，同时，该方法在和8×8个单元时已经具备良好的收敛性．因而在后面参数分析中，采用和8×8个单元的等几何方法进行数值计算．

表2给出了在C-F-F边界条件下ANSYS和等几何方法计算的面内功能梯度三角形板前三阶面内振动频率f=ω/(2π)对比．坐标原点O的材料为铝：E0=70 GPa, μ=0.3, ρ0=2 700 kg/m3．几何尺寸l=1 m,b=1 m,c=0 m,h=0.01 m．ANSYS仿真结果是利用单元Plane183对三角形板划分了1 860个单元．另一组数据是基于3阶NURBS基函数的等几何法并对三角形板划分8×8个单元计算的振动频率．通过数据对比可以看出，等几何法计算出的面内振动频率与ANSYS的计算结果吻合良好．

3.2 参数分析

表3给出了不同材料参数kx,ky和边界条件(BCs)下面内功能梯度三角形板前三阶面内振动无量纲频率除了c=0.5 m，表3中其他几何尺寸和材料属性与表2一样．从表中数据可以看出，全固支约束下同阶模态对应的固有频率最高，全简支2次之，全简支1最低．这是因为边界弹簧对刚度矩阵的贡献量不等，边界约束对整体刚度矩阵的贡献量越大，结构的固有频率就越高．同时还可以看出材料参数对固有频率的影响并不是单调增加或减少．由于材料弹性模量和密度随材料参数kx和ky的增加而增加，从而导致部分单元刚度矩阵和质量矩阵都增加，然而在计算三角形板的振动频率时，整体矩阵不仅与部分单元刚度矩阵有关，还与几何参数和边界有关．

模态振型常作为研究结构动力学机理的重要指标．图4给出了不同材料参数kx, ky和不同边界条件下功能梯度三角形板第一阶面内振动模态．图中振型图所对应的面内振动频率可在表3中查出．由图4可以看出边界条件不仅能够引起频率变化，同时还能直接影响模态振型的分布．例如，在材料参数ky=0和kx=0时，三角形板第一阶面内振动在C-C-C边界条件下沿y轴方向振动，但是在S1-S1-S1边界条件下转为沿x轴方向振动．三角形面内功能梯度材料能够导致三角形面内振动方向发生偏转．例如，在C-C-C边界条件下，三角形板第一阶面内振动在材料参数ky=0，kx=0时沿y轴方向振动；然而在材料参数ky=0，kx=5时三角形板第一阶面内振动的振动方向从y轴方向顺时针偏转了一定角度；在材料参数ky=5，kx=5时，振动方向偏转的角度更大．

图5和图6分别给出了边界条件C-F-F和C-C-C下几何参数c对面内功能梯度三角形板的前二阶面内振动的影响，除变量c外，其他几何参数材料属性与表2相同．直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的面内振动都可通过改变几何参数比c/a得到．几何参数比c/a对三角形面内振动的影响比较复杂，频率的变化还与边界条件和材料参数有关．在C-F-F边界条件下，材料参数kx=0，1，2对应的前两阶面内振动频率随几何参数比c/a的增加先增加后降低；而材料参数kx=5对应的前两阶面内振动频率随参数比c/a的增加而降低，材料参数ky的值越大，频率随几何参数比c/a的增加区间越小．

在C-C-C边界条件下，当几何参数比c/a从0增加到1时，材料参数kx=0，1，2对应的第一阶三角形板面内振动频率先增加后减小，但是第二阶三角形板面内振动频率先减小后增加；材料参数kx=5对应的前两阶三角形板面内振动频率先减小后增加；当几何参数比c/a从1增加到2，前两阶三角形板面内振动频率都保持增加趋势，材料参数ky的值能影响频率曲线的增加区间或减小区间．从图5、6可以看出，当材料参数kx大于某一具体数值时，曲线的变化趋势有可能发生改变．例如，图6中ky=0, kx=5所对应第一阶面内振动频率变化与材料参数ky=0, kx=1时不同．

图7和图8分别研究了C-F-F和C-C-C边界条件下面内功能梯度三角形板的高对无量纲面内振动频率的影响．在该分析中，除变量b外，其他几何参数材料属性与表2相同．从图中可以看出，三角形的高对面内振动的影响呈单一变化，面内振动频率随三角形的高增加而降低．其主要原因是由于三角形的高增加会导致结构在三角形高的方向跨度变大，从而导致结构的刚度降低．

图9和图10分别给出了边界弹簧kp和kn对面内功能梯度三角形板的面内振动频率影响．在该分析中，三角形板的几何参数和材料属性与表2相同，边界2和3完全固支，边界1弹性约束．例如，图9中只约束三角形板边界1切向位移；图10中只约束三角形板边界1法向位移．

从图9、10中可以看出弹簧刚度只有在一定的区域才对频率有明显的影响，超过这一区域其面内振动频率基本没有变化．这是由于边界弹簧对整体刚度的贡献量不同．当弹簧刚度较小时，其相对结构的刚度可以忽略；当弹簧刚度足够大时，其相当于边界完全约束．这一区域的决定因素主要与材料属性有关，材料参数kx的值越大，这一区域越靠近高刚度系数．

4 结 论

本文针对任意边界约束条件下的面内功能梯度三角形板进行了几何建模和面内振动分析．基于平面应变理论并结合等几何方法对结构的未知位移域进行描述．同时采用弹簧耦合技术模拟结构边界，并结合有限元思想求解结构的振动控制方程．从而在精确构建几何结构模型的同时也易于对边界施加弹性约束．通过与有限元软件算出的结果进行对比，验证了本文方法的快速收敛性和良好精确性．数值分析结果表明：

1)材料属性的变化、边界条件和几何参数同时影响结构的固有频率．

2)在一定的几何参数和边界条件下，三角形板的面内振动频率随指数参数增加而增加；在其他几何参数和边界下，其面内振动频率有可能随指数参数增加而减小．

3)三角形板的高度越大，三角形板的面内振动无量纲频率越低．

4)弹簧的刚度对频率的影响只在一定区域内有明显变化．在这一区域内，其边界约束越强，振动频率越高；超过这一区域，振动频率将不随边界约束变化而变化．

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Isogeometric in-Plane Vibration Analysis of Functionally Graded Triangular Plates

CHEN Mingfei, LIU Kunpeng, JIN Guoyong,ZHANG Yantao, YE Tiangui, LIU Zhigang

(College of Power and Energy Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001, P.R.China)

Abstract: The in-plane vibration of the triangular plates of in-plane functionally graded(IFG)materials based on the plane stress theory was investigated by means of isogeometric analysis(IGA).The material of the triangular plate is homogenous in the thickness direction, but functionally graded along the in-plane direction.The geometry and displacement field of the considered plate were constructed with the non-uniform rational B-splines(NURBS)basis functions, then a seamless integration of the geometric design and the vibration characteristic analysis of the triangular plate was realized.The arbitrary boundary conditions of the triangular plate were obtained through adjustment of the stiffness of artificial springs introduced into the boundary of the triangular plate.The flexibility, high accuracy and quick convergency of the proposed method were verified through different refinements and results comparison.Finally, effects of boundary conditions, material properties and geometry parameters were investigated systematically.The vibration solutions of many kinds of triangular plates of in-plane functionally graded materials with elastic boundary conditions were given.The work provides a good reference for engineering application.

Key words: triangular plate; isogeometric analysis; NURBS; in-plane vibration; functionally graded material; finite element method

中图分类号： O326

文献标志码：A

DOI: 10.21656/1000-0887.400171

收稿日期： 2019-05-15；

修订日期：2019-12-25

基金项目： 国家自然科学基金(51775125;51822902;51709066);中国博士后科学基金(2018T110277;2017M621252);黑龙江省自然科学基金(2018050)

作者简介： 陈明飞(1990—)，男，黎族，博士生(E-mail: mingfeichen@hrbeu.edu.cn);叶天贵(1989—)，男，副教授(通讯作者.E-mail: yetiangui@gmail.com).

引用格式: 陈明飞, 刘坤鹏, 靳国永, 张艳涛, 叶天贵, 刘志刚.面内功能梯度三角形板等几何面内振动分析[J].应用数学和力学, 2020, 41(2): 156-170.

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(51775125;51822902;51709066)；China Postdoctoral Science Foundation(2018T110277;2017M621252)