引 言
由于室内试验的局限性，通过室内试验获得的混凝土力学性能与真实情况难免有一定的出入；对混凝土坝在施工期和运行期进行监测可获得一些实测位移，通过反分析可以推算混凝土的力学性能，其数值更接近于真实值[1]．反分析是利用原位监测资料来确定系统内在状态的方法．依据未知量的不同，反分析内容可以分为模型辨识问题、参数反分析、源反分析、记忆反分析、边界控制反分析和几何反分析等[2]．其中，参数反分析是工程实践中研究最多的反分析问题．自从Kavanagh和Clough[3]采用有限元法反演弹性固体的弹性模量以来，目前关于采用最优化算法或仿生算法进行多参数反分析的研究已有大量的文献报导[4-9]，但这些文献一般都回避多参数反分析是否存在唯一解答，仅有少量的文献从理论上探讨了隧洞的多参数反分析是否具有唯一性．吕爱钟[10]利用平面弹性复变方法和一般弹性理论求得了任意形状巷道的位移解析解表达式，并在此基础上证明了参数可唯一辨识的最多个数及分析了量测点布置对可辨识性的影响．张路青等[11]利用单个洞室的位移解析解对位移反分析最多能辨识出的参数个数进行了研究，发现所有地应力分量和弹性模量同为未知量时的反演不具有唯一性；但一些参数已知时，在一些限定条件下，其余参数能被唯一反演．赵同彬等[12]对巷道位移反分析中各力学参数、初始地应力的可反演性进行了较深入的研究，提出了用影响度和敏感度两个指标来评价弹塑性模型下各力学参数和初始地应力的可反演性．王建等[13]对Duncan-Chang模型的特点进行了分析，认为由于破坏比、凝聚力和内摩擦角之间存在一种特殊相关性，导致Duncan-Chang模型的计算参数与计算结果之间是“多对一”的映射关系，从而导致反演结果的不唯一性．目前从理论上探讨混凝土重力坝多参数弹性位移反演分析唯一性问题尚未见文献报导，究其原因是水荷载作用下混凝土重力坝的位移解析解十分复杂．虽然通过分析灵敏系数线性无关是一种辨识多参数反分析唯一性的理论分析方法[10-11]，但由于目前常用的以目标函数和非空凸集构建的数学优化问题本质上是一个凸规划问题[14-18]，因此从凸规划问题角度来分析多参数反演分析的唯一性，在理论上更严谨．为此，本文首先基于均质地基上重力坝在水压力作用下的位移解析解建立目标函数，然后以目标函数和非空凸集构建一个凸规划问题，最后通过分析目标函数是否为严格凸函数来辨识多参数反演分析的唯一性．
1 多参数弹性位移反演分析唯一性证明数学理论
1.1 优化反分析唯一性证明数学理论[14-19]
设函数f(X)定义在凸集C上，其中X=[x1，x2，…，xn]T．
定义1 若存在常数α>0，使得∀X1,X2∈C，以及∀λ∈(0,1)，若有
f(λX1+(1-λ)X2)≤
λf(X1)+(1-λ)f(X2)-αλ(1-λ)‖X1-X2‖2，
(1)
则称f(X)为一致凸函数；若有
f(λX1+(1-λ)X2)<λf(X1)+(1-λ)f(X2),
(2)
则称f(X)为严格凸函数；若有
f(λX1+(1-λ)X2)≤λf(X1)+(1-λ)f(X2),
(3)
则称f(X)为凸函数．
定义2 设f: Rn→R，X0∈Rn，如果f在点X0处对于自变量X各分量的二阶偏导数
(i，j=1，2，…，n)都存在，则称函数f在点X0处二阶可导，并且称矩阵
是f在点X0处的Hesse矩阵．
定义3 设f: C⊆Rn→R，其中C是非空凸集，f是凸函数，则称形式为minX∈C f(X)的问题为凸规划问题．
设
C={X|gi(X)≥0, i=1,2,…,l; hj(X)=0, j=1,2,…,m; X∈Rn},
若-g1，-g2，…，-gl都是Rn上的凸函数，h1，h2，…，hm都是Rn上的线性函数，容易验证C是凸集．此时，凸规划问题可以表示成如下形式：
min f(X),
(4)
定理1 设X*是凸规划问题的局部极小点：
1)若f是凸函数，则X*是凸规划问题全局极小点；
2)若f是严格凸函数，则X*是凸规划问题唯一全局极小点．
定理1的证明在最优化方法的相关文献中已经给出，可参见文献[14]，本文不再赘述．
定理2 设f: C⊆Rn→R，其中C是非空凸集，若Hesse矩阵在C上任意点均正定，则f在C上为严格凸函数．
定理2的证明在最优化方法的相关文献中已经给出，可参见文献[14]，本文不再赘述．
1.2 多参数弹性位移反演分析唯一性证明依据
在进行多参数弹性位移优化反演分析时，一般以理论值(或计算值)与实测值的差值的某种表达式作为目标函数．对于实际问题，由于存在多个测点的测值，因此，目标函数一般为差值的某种表达式的叠加形式．目前常采用差值的l2范数作为目标函数．为便于理论分析，本文直接采用理论值与实测值的差值的l1范数作为目标函数，此时，目标函数为
(5)
式中，‖·‖1为l1范数，|·|为取绝对值；δ为测点的理论位移值，δm为测点的实测位移值，X为待优化反演的参数；N为测点数．
由定义3，容易构造和验证待优化反演参数的等式约束和不等式约束(即集合C)为凸集．由定理1可知，如果凸规划问题具有唯一全局极小点X*，必须保证目标函数f(X)为严格凸函数；由定理2可知，如果Hesse矩阵在C上任意点均正定，那么目标函数f(X)在C上为严格凸函数．即如果能证明目标函数f(X)的Hesse矩阵在C上任意点均正定，那么目标函数f(X)为严格凸函数，此时以目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题具有唯一全局极小点．
当目标函数(式(5))为N个测点的理论值与实测值的差值的l1范数时，此时，判定目标函数(式(5))是否为严格凸函数比较繁琐．为此，以下将首先重点分析一个测点(N=1)的理论值与实测值的差值的l1范数的目标函数类型，然后分析多个测点的目标函数类型．
对于一个测点(N=1)来说，由于式(5)为理论值与实测值的差值的l1范数，当δ(X)≥δm时，f1(X)=δ(X)-δm；当δ(X)<δm时，f2(X)=δm-δ(X)．如果目标函数f1(X)和f2(X)的Hesse矩阵在C上任意点均正定，此时判定目标函数f(X)为严格凸函数，即目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题具有唯一全局极小点；相反地，如果目标函数f1(X)或f2(X)的Hesse矩阵在C上不是任意点都正定，此时目标函数f(X)不是严格凸函数．显然，如果f1(X)或f2(X)不是严格凸函数，那么目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题将不具有唯一全局极小点．
2 均质地基上重力坝在水压力作用下的水平位移解析解
在水压力作用下，大坝任一监测点产生水平位移(δH)，它由3部分组成：水压力作用在坝体上产生的内力使坝体变形引起的位移δ1H；在建基面上产生的内力使地基变形引起的位移δ2H；作用在地基上的水荷载使地基转动所引起的位移δ3H．即[1]
δH=δ1H+δ2H+δ3H．
(6)
对于重力坝来说，一般沿坝轴线切取单宽的坝体作为固接于地基上的变截面悬臂梁．水压力引起均质地基上重力坝位移计算简图如图1所示．
(a)位移δ1H和δ2H计算简图 (b)位移δ3H计算简图
(a)Displacements δ1H and δ2H (b)Displacement δ3H
图1 重力坝位移计算简图
Fig.1 The calculation diagrams for displacements of gravity dams
吴中如[1]和黄耀英等[20]将重力坝剖面简化为上游铅直的三角形楔形体，推导了均质地基上重力坝在水压力作用下任一监测点水平位移解析解:
δ1H=(δ1H)M+(δ1H)Q=
(7)
δ2H=(δ2H)M+(δ2H)Fs=
(8)
(9)
式中，Ec，Gc分别为坝体混凝土的弹性模量和剪切模量；Er，μr分别为地基变形模量和Poisson比；γ0为水的容重；Gc=Ec/(2(1+μc))，μc为坝体混凝土的Poisson比；其余参数含义如图1所示．
3 基于单个测点的目标函数的Hesse矩阵正定性分析
3.1 不同可能的多参数弹性位移反演分析方案
大坝变形(位移)监测反映了大坝整体变形和受力状态，且变形监测直观可靠，国内外普遍将其作为最主要的监测量．由于运行期的大坝实测变形按其成因分为水压分量δH、温度分量δT和时效分量δθ，因此，在实际大坝工程中，常通过对实测变形资料建立统计模型，分离出水压分量，然后进行混凝土坝体和基岩的弹性参数的反演分析．
目前工程上常采用正、倒垂线或引张线等来监测混凝土大坝的水平位移．现设由图1所示测点A的实测水平位移资料分离出的水压分量为δm，坝体和地基的弹性参数为Ec，μc，Er和μr，即待优化反演的参数X=[Ec, μc, Er, μr]．由第2节，容易计算获得假设材料参数下均质地基上重力坝在水压力作用下的水平位移解析解δ(X)，采用单个测点的理论值与实测值的差值的l1范数作为目标函数(式(5))．由于均质地基上重力坝在水压力作用下的水平位移解析解由3部分组成，而且待反演的参数有4个，以下对不同可能的多参数弹性位移反演分析方案的唯一性进行分析．
经分析，不同可能的多参数弹性位移反演分析方案有如下22种．
1)不考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H，假设坝体和地基有2个弹性参数未知，此时，有如下可能的多参数弹性位移反演分析方案:
方案1 Ec和Er未知，μc和μr为已知参数；
方案2 Ec和μc未知，Er和μr为已知参数；
方案3 μc和Er未知，Ec和μr为已知参数；
方案4 Er和μr未知，Ec和μc为已知参数；
方案5 Ec和μr未知，μc和Er为已知参数；
方案6 μc和μr未知，Ec和Er为已知参数．
2)考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H+δ3H，假设坝体和地基有2个弹性参数未知，此时，有如下可能的多参数弹性位移反演分析方案：
方案7 Ec和Er未知，μc和μr为已知参数；
方案8 Ec和μc未知，Er和μr为已知参数；
方案9 μc和Er未知，Ec和μr为已知参数；
方案10 Er和μr未知，Ec和μc为已知参数；
方案11 Ec和μr未知，μc和Er为已知参数；
方案12 μc 和μr未知，Ec和Er为已知参数．
3)不考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H，假设坝体和地基有3个弹性参数未知，此时，有如下可能的多参数弹性位移反演分析方案：
方案13 Ec，μc和Er未知，μr为已知参数；
方案14 Ec，μc和μr未知，Er为已知参数；
方案15 Ec，Er和μr未知，μc为已知参数；
方案16 μc，Er和μr未知，Ec为已知参数．
(4)考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H+δ3H，假设坝体和地基有3个弹性参数未知，此时，有如下可能的多参数弹性位移反演分析方案：
方案17 Ec，μc和Er未知，μr为已知参数；
方案18 Ec，μc和μr未知，Er为已知参数；
方案19 Ec，Er和μr未知，μc为已知参数；
方案20 μc，Er和μr未知，Ec为已知参数．
5)不考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H，假设坝体和地基4个弹性参数均未知，即
方案21 Ec，μc，Er和μr未知．
6)考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H+δ3H，假设坝体和地基4个弹性参数均未知，即
方案22 Ec，μc，Er和μr未知．
由于式(5)为理论值与实测值的差值的l1范数，对于单个测点来说，当δ(X)≥δm时，f1(X)=δ(X)-δm；当δ(X)<δm时，f2(X)=δm-δ(X)．因此，目标函数为f1(X)和f2(X)各有22种不同方案．
3.2 典型方案下目标函数的Hesse矩阵正定性分析
由于不同方案下目标函数的Hesse矩阵正定性分析过程较为类似，以下以方案21和方案22为例进行分析．
(a)对于方案21，不考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H，假设坝体和地基4个弹性参数均未知．当δ(X)≥δm时，目标函数f1(X)=δ(X)-δm=δ1H+δ2H-δm，其中，X=[Ec, μc, Er, μr]．将水平位移解析解代入目标函数有
f1(X)=δ1H+δ2H-δm=
(10)
式中
对目标函数f1(X)求二阶导数，计算Hesse矩阵，容易得到
2f1(X)=
由上述Hesse矩阵容易验证，当d<h时，一阶顺序主子式A1>0，二阶顺序主子式A2<0，且特征值有正有负，即方案21的Hesse矩阵为不定矩阵．
由类似的推导，当δ(X)<δm时，目标函数f2(X)=δm-δ(X)=δm-(δ1H+δ2H)，其中，X=[Ec, μc, Er, μr]．容易分析得到，目标函数f2(X)的Hesse矩阵为不定矩阵．
(b)对于方案22，考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H+δ3H，假设坝体和地基4个弹性参数均未知．当δ(X)≥δm时，目标函数f1(X)=δ(X)-δm=δ1H+δ2H+δ3H -δm，其中，X=[Ec, μc, Er, μr]．将位移解析解代入目标函数有
f1(X)=δ1H+δ2H+δ3H-δm=
(11)
式中
对目标函数f(X)求二阶导数，计算Hesse矩阵，容易得到
2f1(X)=
由上述Hesse矩阵容易验证，当d<h时，一阶顺序主子式A1>0，二阶顺序主子式A2<0，且特征值有正有负，即方案22的Hesse矩阵为不定矩阵．
由类似的推导，当δ(X)<δm时，目标函数f2(X)=δm-δ(X)=δm-(δ1H+δ2H+δ3H)，其中，X=[Ec, μc, Er, μr]．容易分析得到，目标函数f2(X)的Hesse矩阵为不定矩阵．
3.3 不同可能方案下目标函数的Hesse矩阵正定性分析汇总
对上述22种可能方案下目标函数的Hesse矩阵逐一进行正定性分析，将分析结果汇总如表1．表中，斜杠前为目标函数f1(X)的分析结果，斜杆后为目标函数f2(X)的分析结果．例如，“positive definite / negative definite”即该方案下，目标函数f1(X)的分析结果为positive definite，而目标函数f2(X)的分析结果为negative definite，其余类同．
由表1可见，除方案1(δ(X)=δ1H+δ2H，当δ(X)≥δm，Ec和Er未知，μc和μr为已知参数)目标函数f1(X)的Hesse矩阵为正定矩阵外，其余方案的Hesse矩阵均不是正定矩阵．而当δ(X)<δm时，方案1的目标函数f2(X)的Hesse矩阵为负定矩阵，因此，方案1的目标函数f(X)的Hesse矩阵也不能保证在非空凸集C上的任意点均为正定，即上述可能方案的目标函数f(X)均不是严格凸函数．此时，以目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题不具有唯一全局极小点，反演分析不唯一．
表1 不同方案下目标函数的Hesse矩阵正定性分析汇总
Table 1 The positive definiteness analysis on Hessian matrices of objective functions under different schemes
theoretical displacementEc and ErunknownEc and μcunknownμc and ErunknownEr and μrunknownEc and μrunknownμc and μrunknownδ(X)=δ1H+δ2Hpositive definite/negative definite indefinite/indefinitepositive semi-definite/negative semi-definiteindefinite/indefiniteindefinite/indefinitenegative semi-definite/positive semi-definiteδ(X)=δ1H+δ2H+δ3Hindefinite/indefiniteindefinite/indefinitenegative semi-definite/positive semi-definiteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefinitetheoretical displacementEc,μc and ErunknownEc,μc and μrunknownEc,Er and μrunknownμc,Er and μr unknownEc,μc,Erand μr unknownδ(X)=δ1H+δ2Hindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteδ(X)=δ1H+δ2H+δ3Hindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefiniteindefinite/indefinite
4 多个测点的目标函数的Hesse矩阵正定性讨论
对于N个测点(N≥2)的目标函数类型，由于式(5)为理论值与实测值的差值的l1范数，在优化过程中，根据
和
进行组合，N个测点的目标函数f(X)存在2N种目标函数fk(X)(k=1,2,…,2N)．如果目标函数fk(X)(k=1,2,…,2N)的Hesse矩阵在C上任意点均正定，此时判定目标函数f(X)为严格凸函数；相反地，如果目标函数fk(X)(k=1,2,…,2N)的Hesse矩阵在C上不是任意点都正定，此时判定目标函数f(X)不是严格凸函数．
当
时，
由目标函数表达式的叠加性，容易证明，N个测点目标函数f(X)的Hesse矩阵在非空凸集C上的任意点不能保证为正定，即目标函数f(X)不是严格凸函数．此时，以目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题不具有唯一全局极小点，因此反演结果不唯一．
5 结 论
1)本文基于均质地基上重力坝在水压力作用下的位移解析解，建议了一种多参数反演分析唯一性的理论分析方法，即由位移解析解和实测值建立目标函数．然后以目标函数和非空凸集构建一个凸规划问题，通过分析目标函数的Hesse矩阵的正定性，证明目标函数是否是严格凸函数，从而辨识了多参数反演分析的唯一性．
2)由均质地基上重力坝在水压力作用下的位移解析解与坝体和岩基的弹性参数，探讨了22种不同可能的多参数弹性位移反演分析方案．分析表明，虽然不考虑δ3H，即δ(X)=δ1H+δ2H，当δ(X)≥δm，假设Ec和Er未知，μc和μr为已知时，目标函数的Hesse矩阵为正定矩阵，但是当δ(X)<δm时，该方案的目标函数的Hesse矩阵为负定矩阵．即上述可能方案的目标函数f(X)均不是严格凸函数，此时，以目标函数f(X)和非空凸集C构建的凸规划问题不具有唯一全局极小点，反演分析不唯一．
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