引 言
近几年关于时间依赖吸引子的研究，学者们在不同的方程上得到了一些成果．时间依赖全局吸引子是由Di Plinio和Temam等[1-3]提出的，并讨论了振动方程与波方程时间依赖全局吸引子的存在性及正则性．文献[4-5]研究了反应扩散方程时间依赖全局吸引子的相关性质；文献[6]讨论了plate方程时间依赖全局吸引子的存在性，而后，文献[7]运用压缩函数的方法，证明了带有时间依赖系数的非自治plate方程时间依赖拉回吸引子在空间
中的存在性；文献[8]研究了具有临界指数的强阻尼波动方程的时间依赖全局吸引子；文献[9]运用先验估计技巧，结合修正的拉回吸引子理论，证明了记忆型无阻尼抽象发展方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性．
时间依赖吸引子最近几年提出，通过文献[10-12]对时间依赖吸引子有更加深入的了解．梁方程的研究已有很多成果，文献[13-15]对梁方程解的长时间行为进行了讨论．当ε=ε(t)是关于时间t的函数时，梁方程吸引子的存在性还未见讨论，受此启发，本文主要应用先验估计和算子分解方法验证了方程的渐近紧性，证明了梁方程时间依赖全局吸引子的存在性．
本文考虑下面的非线性梁方程：
(1)
梁方程的研究具有较强的数学物理背景，其中u=u(x,t)描述了桥面在竖直平面内的变形，u0(x)，u1(x)是初始位移和初始速度，α>0是黏性阻尼系数，λ>0是常数，g(x)∈L2(Ω)，ε(t)是关于t的函数，设Ω⊂R2是具有光滑边界∂Ω的有界区域，ε(t)和f(u)分别满足下面的条件:
1)ε(t)∈C1(R)是单调递减的正函数，并且满足
(2)
特别地，存在L>0，使得
(3)
2)函数f∈C2(R)，f(0)=0，并且
增长性条件
|f′(s)|≤c(1+
)， ∀s∈R，m≥5,
(4)
(5)
这里的λ1>0是A=Δ2的第一个特征值，
常数c>0．
耗散性条件
(6)
其中F(u)=
f(y)dy，0<μ<1，c>0是常数．
1 预 备 知 识
记H=L2(Ω)，分别记内积和范数为〈·,·〉，‖·‖．对于0≤σ≤2，定义由A生成的Hilbert空间族Hσ=dom(Aσ/4w)，并赋予如下内积与范数
〈w,v〉σ=〈Aσ/4w, Aσ/4v〉，‖w‖σ=‖Aσ/4w‖．
(7)
特别地，有紧嵌入：
对t∈R及0≤σ≤2，引入时间依赖空间
对应的时间依赖范数为
(8)
当σ=0时，通常记Ht=H2×H，对应的范数为
有紧嵌入Hσ+1⊂Hσ，当0≤σ≤2时，有下面的紧嵌入
引理1[2] 对于任意的0<v<1和常数c1，c2≥0，则有下面不等式：
(9)
(10)
其中
F(u)=
f(y)dy．
(11)
2 结论与证明
2.1 先验估计
由标准的Galerkin方法可以得知，方程(1)的解u是存在的，并且它的解满足在任意区间[τ,t]上有
u∈C([τ,t],H2)，ut∈C([τ,t],L2)．
因此，可以定义下面的过程族：
U(t,τ):Ht→Hτ，U(t,τ)z(τ)={u(t),ut(t)}，
其中z(τ)∈Hτ，u是方程(1)的唯一解．
引理2 设条件(2)～(6)成立，方程(1)生成过程族U(t,τ):Ht→Hτ，t≥τ∈R，满足性质：对每个初值zi(τ)∈Hτ，并且有‖zi(τ)‖Hτ≤R1，i=1,2，成立．
‖U(t,τ)z1(τ)-U(t,τ)z2(τ)‖Hτ≤
eK(t-τ)‖z1(τ)-z2(τ)‖Hτ, ∀t≥τ，
(12)
这里的常数K=K(R)>0．
在证明引理2之前，先来证明以下结论．
引理3 设条件(2)～(6)成立，对z(τ)∈Hτ，记U(t,τ)z(τ)是问题(1)对于初始时刻τ和初始值z(τ)的解，则存在常数K≥0，使得
‖U(t,τ)z(τ)‖Ht≤K, ∀τ≤t．
(13)
证明 把ut+δu与式(1)在L2中做内积，有
δ(f(u),u)-δε′(ut,u)=δ(g,u)．
对等式两边整理得
2δ(f(u),u)-2δε′(ut,u)=2δ(g,u)．
又令
并由Hölder、Young和Poincaré不等式，有
其中σ=δ/2，这里记
2δε(t)(ut,u)+2(F(u),1)-2(g,u)．
(14)
由式(9)、(10)及Hölder、Young和Poincaré不等式，得
(15)
其中
并且有
(16)
其中
则
(17)
由上式可得
(18)
再对上式在t-τ到t上积分得
(19)
结合式(17)～(19)，上式化为
C2e-στ
e-σt‖g(s)‖2ds+C3(1-e-στ)+C,
其中
令
(20)
令B0=∪t≥τU(t,τ)B1，其中
是有界吸收集，则B0也是过程族{U(t,τ)}的有界吸收集．
引理2的证明 为方便起见，我们取z1(τ),z2(τ)∈Hτ,且有‖zi(τ)‖Hτ≤R1,i=1,2．设常数C>0是与R1相关的，由引理3中的能量估计可有下面不等式:
‖U(t,τ)zi(τ)‖Ht≤C．
(21)
定义{ui(t),∂tui(t)}=U(t,τ)zi(τ)，令
则两个解的差关于初值
满足方程
(22)
用
与上式做内积得
由Hölder和Young不等式，利用嵌入
把上式代入式(18)得
(23)
再利用Gronwall引理，可得
(24)
常数C≥0，且与R1有关．
引理4 设条件(2)～(6)成立，则存在R0>0使得B={Bt(R0)}是过程族{U(t,τ)}的时间依赖吸收集．且M0≥R0，有
2.2 时间依赖全局吸引子的存在性
定理1[2] 如果U(t,τ)是渐近紧的，则存在唯一的时间依赖全局吸引子．
2.2.1 算子分解
把f分解为f=f0+f1，其中f0,f1∈C2(R)，且有k≥0满足
|f′1(u)|≤k, ∀u∈R，
(25)
|f′0(u)|≤k(1+
), ∀u∈R，
(26)
f0(0)=f′0(0)=0，
(27)
f0(u)u≥0， ∀u∈R．
(28)
由引理4知B={Bt(R0)}t∈R是一个时间依赖吸收集，则对于任意的z(τ)∈Bτ(R0),U(t,τ)z(τ)可分解为
U(t,τ)z(τ)={u(t),ut(t)}=U0(t,τ)z(τ)+U1(t,τ)z(τ),
其中
U0(t,τ)z(τ)={v(t),vt(t)}，U1(t,τ)z(τ)={w(t),wt(t)}
为
(29)
(30)
的解．
引理5 存在δ=δ(B)>0，使
‖U0(t,τ)z(τ)‖Ht≤Ce-δ(t-δ)， ∀t≥τ．
证明 在这里有
‖U0(t,τ)z(τ)‖Ht≤C．
(31)
用2(vt+δv)与式(29)做内积，得
在这里定义泛函
其中
F0(s)=
f0(y)dy，
因此有
由Hölder和Young不等式得到
由条件(28)可得
利用Gronwall引理，上面引理得证．
由以上证明估计下面结论：
引理6 存在M=M(B)>0，有
引理6的结论在文献[7-8]中已得到证明，可知U1(t,τ)z(τ)在空间
中是有界的．
2.3 吸引子的正则性
定理2 若条件(2)～(6)成立，则方程(1)的时间依赖吸引子{At}t∈R在
中有界，且与时间t无关．
在这里把U(t,τ)z(τ)分解为U3(t,τ)z(τ)和U4(t,τ)z(τ)，即
U(t,τ)z(τ)=z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s))=U3(t,τ)z(τ)+U4(t,τ)z(τ)，
U3(t,τ)z(τ)={v(t),vt(t)}，U4(t,τ)z(τ)={w(t),wt(t)}．
由此，得
(32)
和
(33)
由引理5，有
‖U3(t,τ)z(τ)‖Ht≤Ce-δ(t-τ), ∀t≥τ．
(34)
引理7 有常数M1=M1(H)，使得
证明 在这里用2Awt+2δAw与式(33)做内积，得
2(α-δε(t))‖w‖2+2(f,Aw)-2(g,Aw)]-
2λδ‖w‖2+2δ(f0(w),w)=2δ(g,Aw)．
方便起见，令
2(α-δε(t))‖w‖2+2(f,Aw)-2(g,Aw)+C,
当δ足够小时，则会有
(35)
由上面式子可得
这里C>0是与At在
中的相关界常数．
因此有
-2(f(u),Awt)-2δ(f(u),Aw)≤
故
由Gronwall引理，从式(35)知
一致有界．
定理2的证明 令
由不等式(32)和引理7，对t∈R，有
这里
H是不变的，则
因此，
即得到At在
中是有界的，且与时间t∈R无关．
3 结 论
设Ω⊂R2是具有光滑边界∂Ω的有界区域，在方程(1)中ε(t)是关于t的函数，α>0是黏性阻尼系数，λ>0，g(x)∈L2(Ω)，ε(t)和f(u)分别满足条件1)和2)，则过程族{U(t,τ)}在空间H中有渐近紧性，从而得到梁方程时间依赖全局吸引子存在且满足正则性．梁方程是偏微分方程中重要的方程之一，一般描述了梁的波动或弯曲情况．对梁方程吸引子的研究，是用数学方法准确地描述梁运动情况和物理规律，具有一定的理论价值和实际意义．本文研究了关于时间t的函数ε(t)在自治系统梁方程解的渐近性态，得到了梁方程时间依赖全局吸引子的存在性和正则性，后续可以在非自治系统建立研究时间依赖动力系统的框架，得到其他时间依赖吸引子的成果．
致谢 本文作者衷心感谢延安大学研究生教育创新计划项目(YCX201906)对本文的资助．
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