引 言
近年来，对于具有年龄结构的单种群人口动力学模型的研究已经取得了很大的进展．其中，为了描述具有时滞和年龄结构的单种群人口动力学行为，Weng等[1]提出并研究了如下的时滞格微分系统:
(1)
其中j∈Z,t>0,a∈(0,τ)；vj(t,a)表示种群在位置j∈Z，时刻t≥0和年龄a≥0的密度；uj(t)表示成年种群的密度；
与μ(a)分别表示年龄为a的未成年种群的扩散率和死亡率；D表示成年种群的扩散率；d(u)和b(u)分别表示成年种群的死亡率和出生率；vj(t,τ)表示年龄为成熟年龄τ的成年种群的密度．
由于自然环境的复杂性，介质一般不是均匀的，因此Wu和Hsu[2]将空间周期考虑到系统(1)中，得到下面的周期系统：
(2)
其中j∈Z,t>0,a∈(0,τ)．与系统(1)相比，系统(2)中成年种群的出生率bj(·)、死亡率dj(·)以及扩散率Dj依赖于空间．通过沿着特征线积分，并使用离散的Fourier变换，系统(2)可以简化为
其中
Δ[uj(t)]
Dj+1uj+1(t)+Djuj-1(t)-(Dj+1+Dj)uj(t),
ν
2e-2α
cos(ls)e2αcos sds．
文献[2]进一步研究了如下更一般的，具有时滞和全局交互作用的空间周期格动力系统：
(3)
但文献[2]仅研究了系统(3)的包括渐近传播速度与连接不稳定平衡态0和稳定平衡态β={β(j)}j∈Z的脉冲波前解在内的传播现象．除此之外，行波之间的交互作用(见文献[3-5])也是一个值得研究的重要问题．它可以由定义在整个时间t∈R和整个空间点的所谓的front-like整体解来描述．从动力学的观点来看，这样的整体解可以在动力学中表现出新的特征行为．近年来，有很多关于整体解(其行为是两个波前解的融合或分离)的研究．例如，对于反应扩散方程的整体解可参见文献[6-11]；具有时滞的反应扩散方程的整体解可参见文献[12-13]；具有非局部交互作用的时滞格微分方程的整体解可参见文献[14-15]；对于非局部扩散方程的整体解可参见文献[16]；具有扰动时滞的CNN模型的整体解可参见文献[17]；对于反应扩散系统的整体解可参见文献[18-20];以及周期格动力系统的整体解可参见文献[21]．然而，到目前为止，关于系统(3)的整体解的研究仍没有任何结果，本文将解决这个问题．
为了研究系统(3)的整体解的存在性及其一些定性性质，建立如下假定:
(H1)J(k)≥0, J(0)>0, J(-k)=J(k), k∈Z; ∑k∈ZJ(k)=1以及∑k∈ZJ(k)eλk<∞, λ≥0．
(H2)(周期性)存在N∈N使得Dj=Dj+N>0, fj(·,·)=fj+N(·,·)以及Sj(·)=Sj+N(·),其中
(H3)(单稳性)fj(0,0)=Sj(0)=0,
而且存在常数K>0使得
(H4)(单调性)对任意的u∈[0,K],v∈[0,SK], j∈Z,有∂2 fj(u,v)≥0,S′j(u)≥0,其中SKmaxj∈Z Sj(K)．
(H5)(次齐次性)对任意的γ∈(0,1),u,v∈(0,K], j∈Z,有
本文主要是通过混合不同方向的波前解与连接0和β的空间周期解来构造front-like整体解．受Wu和Hsu[2]的启发，利用单调迭代技术并结合上-下解方法得到系统(3)的空间周期解的存在性以及分别具有波速
和
的左向和右向波前解的渐近行为．于是，基于系统(3)建立的各种比较原理以及相关的线性系统，可以得到整体解的存在性和一些定性的性质(见后文定理1～3)．这类整体解类似于从j轴左侧(右侧)传播的左(右)向波前解，或者当t→-∞时从j轴两侧传播的左向波前解和右向波前解，而且当t→+∞时收敛到唯一的正平衡态β．从生物学的角度来看，上述结论提供了一些新的物种入侵方式．
1 预 备 知 识
为了本文的完整性和读者的方便，在本节中，首先回顾并总结了Wu和Hsu[2]关于系统(3)解的一般性结论(引理1～4)．然后，建立了两个引理(引理5、6)，将用于构造front-like整体解．
定义1 若函数u(t)={uj(t)}j∈Z满足
uj(t)≥(≤)e-wjtuj(0)+
e-wj(t-s)F[u](s, j)ds, t∈[0,T), j∈Z,
其中
wjDj+1+Dj+L1,
L1max{|∂1 fj(u,v)||j∈Z,u∈[0,K],v∈[0,SK]}, T>0,
F[u](t, j)Dj+1uj+1(t)+Djuj-1(t)+L1uj(t)+
则称函数u(t)是系统(3)的一个上(下)解．
首先研究系统(3)对应的初值问题:
(4)
引理1 假设条件(H1)～(H4)成立．
(存在性)对任意的函数φ={φj(t)}j∈Z,φj∈C([-τ,0],[0,K])，初值问题(4)在[0,+∞)内存在唯一的解u(t;φ)={uj(t;φ)}j∈Z，且满足uj(s)=φj(s),uj∈C1([0,+∞),[0,K]), j∈Z．
(比较原理)假设
以及
分别是系统(4)在[0,+∞)内的上解和下解，且满足
则有
进一步地，若u+(0)≢u-(0)，则有
(最终强正性)对任意的函数φ={φj(t)}j∈Z,φj∈C([-τ,0],[0,K])，若φ≢0，则有uj(t;φ)>0,t>τ, j∈Z．
引理2 假设条件(H1)～(H4)成立．设
且对所有的s∈[-τ,0],t>0, j∈Z，满足
则有
另外，当对于任意的θ∈[-τ,0], j∈Z有φj(θ)=φj+N(θ)时，考虑初值问题(4)在0处线性化后得到的特征值问题:
(5)
可以确定特征值问题(5)主特征值的存在性及其符号．
引理3 假设条件(H1)～(H4)成立，则系统(5)相应于严格正的特征函数
存在一个主特征值λ*，其中
而且对任意的τ>0有λ*>0．
为了满足后续定理的需要，再建立以下两个假定．
(H5)′ 以下条件中至少有一个成立:
(a)Sj(·)=S0(·), j∈Z;
(b)J(0)=1,J(j)=0, j≠0;
(c)∂1 fj(0,0)+∂2 fj(0,0)J(0)S′j(0)>0, j∈Z．
(H6)Sj(u)是[0,K]上的凹函数，且对任意的p∈N, j∈Z有
其中al∈[0,K],bl∈[0,SK],L1和Sk分别是定义1和假设(H4)中所定义的常数．
引理4 假设条件(H1)～(H5)和(H5)′成立．
对任意的
系统(3)存在一个连接0和β的右向波前解
且对任意的ξ∈R, j∈Z有
对任意的
系统(3)存在一个连接0和β的左向波前解
且对任意的ξ∈R, j∈Z有
接下来，建立两个将在构造front-like整体解时用到的引理(引理5、6)．其中，引理5给出了系统(3)解的先验估计，引理6是关于系统(3)解的新的比较原理．
引理5 假设条件(H1)～(H4)成立．令u(t;φ)={uj(t;φ)}j∈Z是初值问题(4)的解，其中初值函数φ={φj(t)}j∈Z满足φj∈C([-τ,0],[0,K])，于是存在不依赖于φ的正常数M，使得对所有的t>2τ, j∈Z，有
|u′j(t;φ)|≤M, |u″j(t;φ)|≤M．
引理6 假设条件(H1)～(H4)和(H6)成立．令ul(t)={ul, j(t)}j∈Z和u(t)={uj(t)}j∈Z分别是以ul, j(s)=φl, j(s)和uj(s)=φj(s)为初值的初值问题(4)的解，其中s∈[-τ,0], l=1,2,…,p,p∈N, j∈Z．若
s∈[-τ,0], j∈Z,
则对任意的t≥0, j∈Z，有
0≤uj(t)≤Zj(t)
证明 由引理1中可知，对任意的t≥0,l=1,2，…,p, j∈Z 有0≤ul, j(t)≤K．再利用假设(H3)、(H4), 直接计算可得
e-wjtZj(0)+e-wj(t-s)F[Z](s, j)≤
e-wjtK+
e-wj(t-s)wjKds≤K, (j,t)∈Z×(0,∞)．
(6)
根据函数Sj(u)在[0,K]上的凹性并利用数学归纳法，可得
Sj(min{K,σ1+σ2+…+σp})≤
Sj(σ1)+Sj(σ2)+…+Sj(σp), σi∈[0,K], i=1,2,…,p, j∈Z．
因为对任意的u∈[0,K], j∈Z有S′j(u)≥0，则
Sj(min{K,σ1+σ2+…+σp})≤
min{Sj(K),Sj(σ1)+Sj(σ2)+…+Sj(σp)}, j∈Z．
(7)
于是, 由式(7)和假设(H6)可得
F[Z](t, j)Dj+1Zj+1(t)+DjZj-1(t)+
另外
ul, j(t)=e-wjtul, j(0)+e-wj(t-s)F[ul](s, j)ds, l=1,2,…,p, j∈Z．
因此
e-wjtZj(0)+e-wj(t-s)F[Z](s, j)ds≤
(8)
所以，由式(6)和(8)可以得到
Zj(t)≥e-wjtZj(0)+e-wj(t-s)F[Z](s, j)ds, (j,t)∈Z×(0,∞)．
即Z(t)是系统(3)的上解．注意到，对任意的s∈[-τ,0], j∈Z有uj(s)=φj(s)≤Zj(s)．于是，根据引理1中可知,0≤uj(t)≤Zj(t)对所有的t≥0, j∈Z成立．证毕．
□
2 Front-like整体解的存在性
本节主要研究了系统(3)front-like整体解的存在性．首先，建立了连接0和β的空间周期解的存在性及其渐近行为；其次，将右向、左向波前解与空间周期解相融合，构造出front-like整体解；最后，给出整体解的一些定性性质．
定义2 令N∈N,ζ,ζ0∈RN．如果在任意的紧集S⊂Z×R内，当ζ→ζ0时，函数列Uζ; j(t)与U′ζ; j(t)分别一致收敛到Uζ0; j(t)与U′ζ0; j(t)，则称函数Uζ(t)={Uζ; j(t)}j∈Z在拓扑T意义下收敛到Uζ0(t)={Uζ0; j(t)}j∈Z．
2.1 空间周期解的存在性
考虑系统(3)的连接0和β的空间周期解：
引理7 假设条件(H1)～(H5)成立，则系统(3)存在一个空间周期解Γ(t)={Γj(t)}j∈Z满足
Γj(t)=Γj-N(t),(j,t)∈Z×R;
Γj(-∞)=0,Γj(+∞)=βj, j∈Z；
以及
其中
和λ*如引理3中所定义．
证明 类似于引理4(文献[2]中定理4.4)的证明，通过使用单调迭代技术以及上-下解方法即可证得结论，本文从略．
□
2.2 整体解的存在性
令
和
分别为系统(3)具有正的波速
和
的右向、左向波前解．对任意给定的m∈N,h1,h2,h3∈R以及χ1, χ2, χ∈{0,1}满足χ1+χ2+χ≥2，记
其中θ∈[-m-τ,-m], t>-m, j∈Z．假设
是以下初值问题的唯一解:
(9)
于是，根据引理1可知，
对所有的t>-m, j∈Z成立．为了得到Um(t)的上估计值，还需要建立假定
(H7)S′j(u)≤S′j(0),∂i fj(u,v)≤∂i fj(0,0), u∈[0,K],v∈[0,SK], j∈Z,i=1,2．
为了表述方便，引入以下几个记号：
Π(j,t)
Π1(j,t)
Π2(j,t)
Π3(j,t)
min{βj,Π1(j,t),Π2(j,t),Π3(j,t)}．
引理8 假设条件(H1)～(H5)和(H5)′成立，Um(t)是初值问题(9)的解，则当假设(H6)成立时，
当
且假设(H7)成立时，
证明 结论的第一部分可以由引理6直接得到．下面证明结论的第二部分．注意到
则只需要证明对于任意的t∈R, j∈Z,i=1,2，3有
定义函数
其中
则对任意的t∈R, j∈Z有
利用假设(H7)可得
对所有的t>-m, j∈Z成立．再定义函数V(t)={Vj(t)}j∈Z，其中
Vj(t)
直接计算，可知函数Vj(t)满足线性方程
t>-m, j∈Z．
另一方面，由引理4和引理7可得
s∈[-m-τ,-m], j∈Z．
因此, 再根据引理2可知，
即
对所有的t∈R, j∈Z成立．类似地，可以证明
证毕．
□
下面给出系统(3)整体解的存在性结论．
定理1 假设条件(H1)～(H5)和(H5)′成立．任意给定
以及χ1, χ2, χ∈{0,1}满足χ1+χ2+χ≥2，则系统(3)存在整体解Uζ(t)={Uζ; j}j∈Z满足
其中ζ=ζχ1, χ2, χ(χ1c1, χ1h1, χ2c2, χ2h2, χh3)．另外，
当假设(H6)成立时，
当
且假设(H7)成立时，
证明 由于Um(t)是初值问题(9)的解，再结合引理1，可得
根据解的先验估计式(引理5)和对角化方法，可知函数列{Um(t)}m∈N存在子列{Uml(t)}l∈N，使得当l→+∞时，Uml(t)在拓扑T意义下收敛到函数Uζ(t)={Uζ; j(t)}j∈Z．因为对任意的t>-m, 有Um(t)≤Um+1(t)．于是有
根据极限函数的唯一性，当m→+∞时，Um(t)在拓扑T意义下收敛到函数Uζ(t)．易见，Uζ(t)是系统(3)的整体解．故，再由引理8可以得到定理1的结论、．证毕．
□
2.3 整体解的定性性质
在这一小节中，将研究整体解的定性性质．如单调性、函数Uζ(t)分别关于变量j,t和参数h1,h2,h3的极限等．
对任意的N∈Z,γ∈R定义区域
如下：
Z×[γ,∞),
Z×(-∞,γ]．
定理2 假设定理1中的所有条件都成立．令Uζ(t)={Uζ; j}j∈Z为定理1中所定义的系统(3)的整体解，则有
0<Uζ; j(t)<βj, U′ζ; j(t)>0,(j,t)∈Z×R．
对于任意的M∈N，
对于任意的a∈R，当χ1=1时，limj→-∞supt≥a|Uζ; j(t)-βj|=0；当χ2=1时，limj→+∞supt≥a|Uζ; j(t)-βj|=0．
假设条件(H6)成立或者且条件(H7)成立，则
对任意的t∈R, j∈Z, Uζ; j(t)为关于hl(l=1,2,3)单调递增的函数．
对任意的N∈Z,γ∈R，当hl→+∞(l=1,2,3)时，Uζ; j(t)在拓扑T意义下和在
上一致收敛到βj．
如果且条件(H7)成立，则存在Dj≥Cj>0(j∈Z)使得
Cjeλ0t≤Uζ; j(t)≤Djeλ0t, t≪-1,
其中 λ0
证明 利用已有结论易证性质～，本文从略．下证性质．
根据假设条件以及定理1，可得
于是，再由波前解和空间周期解的渐近行为(引理4和引理7)可知性质成立．证毕．
□
注1 从上述定理2中的性质
与性质
可以看出，整体解类似于一个从j轴左侧(右侧)传播的左(右)向波前解，或者当t→-∞时，从j轴两侧传播的左向波前解与右向波前解，并且当t→+∞时，收敛到唯一的正平衡态β．从生物学的角度来看，上述结论提供了一些新的物种入侵方式．
此外, 还有如下的性质．
定理3 假设定理1中的所有条件以及假设(H7)成立．设
则有
对任意的N∈Z,γ∈R，
当hi→-∞(i=1,2,3)时，以上收敛是指在拓扑T意义下和在
上一致收敛．
对任意的N∈Z,γ∈R，
当hi→-∞(i=2,3)时，以上收敛是指在拓扑T意义下和在上一致收敛．
对任意的N∈Z,γ∈R，
当hi→-∞(i=1,3)时，以上收敛是指在拓扑T意义下和在上一致收敛．
对任意的N∈Z,γ∈R，
当hi→-∞(i=1,2)时，以上收敛是指在拓扑T意义下和在上一致收敛．
对任意的
存在依赖于
的点(j0,t0)∈Z×R，使得
对所有的(j,t)∈Z×R成立，当且仅当
其中
证明 以第三种情况为例进行证明，其他两种情况可类似证得．已知Um(t)是初值问题(9)的唯一解．当(χ1, χ2, χ)=(1,1,1)时，分别用
和
表示
和
当(χ1, χ2, χ)=(1,1,0)时，分别用
和
表示和
令
显然，对任意的t>-m, j∈Z，有
再根据假设(H7)可得
记
于是，由引理7可知
而且
满足
因此，再根据引理2可得
因为
则
这说明对任意的N∈Z,γ∈R，当h3→-∞时，Uζ1,1,1; j(t)在
上一致收敛到Uζ1,1,0; j(t)．于是，对任意序列
满足
函数列
这里，
在拓扑T意义下收敛到系统(3)的一个解(通过抽取某个子列)，即Uζ1,1,0(t)．由于极限函数不依赖于序列的选取，于是当h3→-∞时，函数列Uζ1,1,1(t)在拓扑T意义下收敛到Uζ1,1,0(t)．即性质成立．类似地可证得性质～，类似于文献[15]中定理 2.4的证明，可知性质成立，本文从略．证毕．
□
3 总 结
本文研究单个物种在周期性斑块环境下成熟种群增长模型的front-like整体解，是对Wu和Hsu[2]关于该模型空间动力学研究的进一步延伸．本文主要通过混合不同方向的波前解与连接0和β的空间周期解来构造front-like整体解．首先，利用单调迭代技术并结合上-下解方法得到系统(3)的空间周期解的存在性以及左向和右向波前解的渐近行为．进而，基于系统(3)建立的各种比较原理以及相关的线性系统，可以得到整体解的存在性和一些定性性质．根据这些性质可以看出，这类整体解类似于从j轴左侧(右侧)传播的左(右)向波前解，或者当t→-∞时从j轴两侧传播的左向波前解和右向波前解，而且当t→+∞时收敛到唯一的正平衡态β．从生物学的角度来看，这为我们提供了一些新的物种入侵方式．
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