一类时间周期的时滞竞争系统行波解的存在性*

谷雨萌, 黄明迪

(西安电子科技大学 数学与统计学院, 西安 710071)

摘要: 该文研究了一类时间周期的时滞Lotka-Volterra竞争系统的行波解首先, 通过构造适当的上、下解, 结合单调迭代的方法证明了当c<c*时, 存在连接两个半正周期平衡点的行波解, 并且利用比较原理得到了周期行波解关于z的单调性其次, 通过单调性证明了行波解在正、负无穷远处的渐近行为最后, 证明了当c=c*时周期行波解的存在性

关 键 词: 扩散竞争系统; 时滞模型; 周期行波解; 渐近行为

引 言

Lotka-Volterra模型是一类被数学家和生态学家广泛关注的生态模型,尤其是考虑到扩散对生物种群的影响, 近年来, 很多学者对含扩散项的Lotka-Volterra竞争模型进行了有益的探索, 得到了十分丰富的结论例如, Gardner[1]和Conley等[2]研究了经典的Lotka-Volterra反应扩散系统:

(1)

系统(1)有4个平衡点, 分别是

Gardner[1]和Conley等[2]分别利用度理论和Conley指标法得到了连接E1E2的行波解的存在性文献[3-4]利用相平面分析法得到了连接E0E*的行波解的存在性关于Lotka-Volterra竞争模型的更多结论可参看文献[5-8]等

考虑到环境和生物现象常随时间而产生周期性的变化, 例如温度和物种出生率会随季节周期改变Zhao和Ruan[9]研究了具有时间周期的Lotka-Volterra扩散-竞争模型:

(2)

其中ri(t),ai(t),bi(t),i=1,2是以时间T为周期的连续函数在一定的假设下, Zhao和Ruan[9]得到了连接两个半正周期平衡点的行波解的存在性、唯一性、单调性和渐近稳定性

另一方面, 由于妊娠、孵化和成熟等方面的影响, 时间滞后往往是不可避免的Li等[10]研究了具有时滞的Lotka-Volterra扩散-竞争模型:

(3)

Li等[10]利用上、下解方法证明了行波解的存在性并且,利用双边Laplace变换得到了行波解在正、负无穷远处的渐近行为, 利用比较原理和滑动法得到了行波解的单调性和唯一性关于其他时滞Lotka-Volterra模型的研究, 可参看文献[11-15]

然而在现实生活中, 时间周期性与时间滞后通常是并存的故综合考虑两类因素, 本文研究如下时间周期的时滞Lotka-Volterra竞争系统:

(4)

其中u(t,x)和v(t,x)表示两个竞争物种在tR+,xR的密度, τ1>0,τ2>0, 函数ri, aibi满足以下假设:

(H1) 对于某个0<θ<1,ri,ai,bi∈Cθ(R,R),ri(t+T)=ri(t),ai(t+T)=ai(t),bi(t+T)=bi(t),且

本文研究系统(4)具有以下形式的时间周期行波解:

满足

其中c是常数, 称之为波速(u+(t),v+(t))和(u-(t),v-(t))是相应kinetic系统

(5)

的周期解

(H2) 系统(5)仅存在3个非负周期平衡解(0,0),(p(t),0)和(0,q(t)),且(p(t),0)是渐近稳定的

本文研究满足

的时间周期行波解

(6)

hτh(t-τ,z+), Uτ(U1,τ,U2,τ)(U1(t-τ,z+),U2(t-τ,z+))

将式(6)代入式(4)得到

(7)

其中

f1(t,U,Uτ1)=U1[a1(t)p(t-τ1)(1-U1,τ1)-b1(t)q(t-τ1)(1-U2,τ1)],

f2(t,U,Uτ2)=(1-U2)[a2(t)p(t-τ2)U1,τ2-b2(t)q(t-τ2)U2,τ2]

并有

相较于Lotka-Volterra竞争系统行波解的已有结论[2,9-10], 系统(4)具有时间周期与时间滞后的同时作用, 这为研究带来了新的困难本文致力于系统(4)的周期行波解的研究, 首先, 在一定条件下, 通过构造适当的上下解, 结合单调迭代方法得到了当c<c*时, 周期行波解的存在性; 进一步地, 通过比较原理证明了行波解关于z的单调性以及渐近行为; 最后, 证明了当c=c*时, 临界波的存在性

1 准 备 知 识

定义1 如果uRn并且vRn, 那么u<v(或者vu)可以被理解为对于每一个i, ui<vi(或者uivi)其他的关系,例如“max”“min”“sup”和“inf”都可以这样理解

定义2 I×ΓR×R, 向量函数w=(w1,w2,…,wn)∈C1,2(I×Γ,Rn)被称为

(8)

的正则上解, 当且仅当

其中di,ci∈Cθ(Γ,R), fi∈Cθ,1(I×Rn,R),0<θ<1类似地, 当不等号反号时,可定义正则下解

定义3 若存在式(8)的正则上解w1,w2,…,wk使得v=min{w1,w2,…,wk}, 则称v=min{w1,w2,…,wk}是式(8)的非正则上解类似地, 若存在式(8)的正则下解v1,v2,…,vk使得v=max{v1,v2,…,vk}, 则称v是式(8)的非正则下解

2 周期行波解的存在性

2.1 上、下解的构造

假设(H1)和(H2)成立

k0

φ(t)

显然

进一步假设

(H3) a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)≥a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)≥0,

(H4) φ(t)≥1,∀t∈[0,T], 且maxt∈[0,T]φ(t)≤e2k0τ2

固定c<c*定义以下函数:

w(t,z)(t)eλcz, w1(w(t,z),w(t,z)), w2(1,1),

min{w1,w2}=min{(w,w),(1,1)},

(max{δeλczφ(t)(1-eεz),0},0),

其中m≥0为任意常数,

λc

ϑ-[(λc+ε)2+c(λc+ε)+k0],

以及δ∈(0,Λϑ)均为正常数, 这里

Λϑ

引理1 假设(H1)~(H4)成立, 则对任意

满足

(9)

是式(7)的非正则上解

证明

A+

当(t,z)∈A+时,显然满足不等式组(9)当(t,z)∈A-时, 下面验证w1满足式(9)的第一个不等式:

wzz+cwz-wt+w[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]=

c(t)eλcz+(t)eλcz[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]=

下证w1满足式(9)的第二个不等式

根据假设(H4),有maxtR φ(t)≤e2k0τ2φ(t)故对于任意tR,φ(t-τ2)e-2k0τ2φ(t)另一方面,注意到关于c是单调递增的, 那么ecτ2也关于c单调递增, 所以ecτ2-2k0τ2

φ(t-τ2)ecτ2φ(t-τ2)e-2k0τ2φ(t)

又因为此时0<(t)eλcz<1, 所以(1-(t)eλcz)φ(t-τ2)ecτ2φ(t)不等式两边同乘meλcz,得(1-(t)eλcz)(t-τ2)eλc(z+2)(t)eλcz,也就是

(1-w(t,z))wτ2w(t,z)

所以根据假设(H3)、(H4)及φ′(t)的定义, 可得

wzz+cwz-wt+(1-w)[a2(t)p(t-τ2)wτ2-b2(t)q(t-τ2)wτ2]=

wzz+cwz-wt+(1-w)wτ2[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]≤

wzz+cwz-wt+w[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]=

[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]w

综上,是式(7)的一对非正则上解证明完毕

引理2 假设(H1)~(H4)成立, 则对任意满足

(10)

是式(7)的非正则下解

证明z>0时,显然满足式(10)z<0时,下面证明满足式(10)的第一个不等式:

δeλcz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)(1-eεz)-

a1(t)p(t-τ1)δeλc(z+1)φ(t-τ1)(1-eε(z+1))φ(t)(1-eεz)-

δeλcz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)-k0φ(t)-φ′(t)-

eεz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)+

(λc+ε)2+(c+ε)φ-φ′(t)}-

δeλc(z+1)φ(t)(1-eεz)a1(t)p(t-τ1)φ(t-τ1)[1-eε(z+1)]}=

δeλczφ(t)eεz-

δeλc(z+1)φ(t)φ(t-τ1)a1(t)p(t-τ1)(1-eεz(1-eε(z+1)))}≥

ϑ

δeλc zϑφ(t)(eεz-eλc(z+1)) ≥0

再证明满足式(10)的第二个不等式:

综上, 函数是式(7)的一对非正则下解证明完毕

2.2 周期行波解

定理1 假设(H1)~(H4)成立则对任意的 系统式(7)存在周期行波解 且对所有

证明满足

(11)

其中K是一个正常数,且

Un是式(11)的一个适度解, 可由下式给出:

其中G(t)是由线性算子A: D(A)→Cb(R)生成的解析半群(参看文献[16]),A定义为

根据文献[16]中的定理5.1.3、5.1.4, 对任意∈(0,T), 存在α∈(0,1)使得

[,TR),

并且U1在[0,TR上满足式(11)的第一个方程, 因此当n≥2, 对任意满足式(11)

下面证明对所有(t,z)∈[0,TR, 有

L

vr+Nt)eμt,

其中=(1+c)2, μ>1, N>2是固定常数, 使得对任意tR, 2(1+c|z|)-μ(z2+)-N<0显然L>0.当|z|≤r时, 注意到U0(0,z)=U1(T,z), vr(0,z)>0.另外, 对任意t∈[0,T],vr>0.事实上, 对所有(t,z)∈[0,T]×[-r,r], 有vr0.否则, 存在点(t*,z*)∈[0,T]×(-r,r)和至少一个vr的分量使得

因为是式(7)的非正则上解, 不失一般性, 假设或2

+Nt)eμt

通过直接计算, 可得

另外, 显然 且对所有(t,z)∈[0,t*]×[-r,r], 有所以

因此

这是矛盾的, 故对所有(t,z)∈[0,T]×[-r,r], 有vr>0.又因为当r→+∞时, vr上一致地收敛到 所以同时, 根据比较原理,U10.注意到对所有 所以对任意t∈[0,T], 有根据m≥1的任意性, 可选取m充分大, 使得对所有(t,z)∈R×R, 有所以

通过与前面类似的讨论得: 对所有类似地, 对所有(t,x)∈[0,TR, 当n≥1有

因此, 序列{Un}是一致有界的进一步地, 根据文献[16]中的定理5.1.2~5.1.4 可得, 对于n≥2,

其中C,Mα∈(0,1)是确定的正常数, 且α依赖于C 这里γ∈(0,1)根据Arzela-Ascoli引理, 存在{Un}的子列(依然记作{Un})在中收敛到一函数, 记作Uc显然对任意(t,x)∈[0,TRUc满足式(7)因为Un+1(0,z)=Un(T,z), 所以Uc(0,z)=Uc(T,z)另外,

对等式两边同时取极限, 得

因此, Uc满足周期边界条件, 从而是式(7)的一个光滑周期解本定理证毕

定理2 假设(H1)~(H4)成立

证明 显然, 对任意sR, Un+1(t,z+s)满足式(7), 并且其初值为Un+1(0,z+s)=Un(T,z+s)又因为对任意s>0, 有 根据比较原理, 对任意s≥0,有

Un+1(t,z+s)≥Un+1(t,z)

利用Helly定理, 存在{Un}的一个子列(仍记作{Un})使得

因此,Uc(t,·)是非减的又因为Uc(t,z)和Uc(t,z+s)都满足式(7), 且

所以由比较原理得,或者但因为所以固定t不恒为常数这就证明了

根据由所得的单调性, 对于任意存在

另外, 由关于t的正则性及其在[0,T]上的紧性可知, 当z→±∞时,关于tR一致收敛到根据的定义易知

因此由夹逼原理得

下证一方面, 根据Barbalat引理,

因此,满足

(12)

根据假设(H2),式(12)有且仅有3个非负周期解(1,1),(0,0)和(0,1)另一方面, 因为任意z∈(-∞,0), 所以 又因为关于z是严格单调递增的, 故因此证毕

定理3 假设(H1)~(H4)成立则当c=c*时, 系统式(7)存在周期行波解 并满足 且limz→+∞Uc*=(1,1)

证明Uc 是系统式(7)在c<c*时的周期行波解因为一致有界, 所以根据抛物估计可得, 当c∈[c*-1,c*)时,一致地有

令{cn}是[c*-1,c*)中数列, 并当n→∞时有cnc*,根据Arzela-Ascoli引理, 必存在{Ucn}的子列(为简便还记作{Ucn})在的意义下收敛, 极限记作在系统式(7)中取极限, 即得当c=c*Uc*满足系统(7)另外根据Helly定理, 有

(13)

根据Ucn的周期性有Uc*(t+T,·)=Uc*(t,·),另外显然因为对任意s>0, Uc*(t,z+s)也是式(7)的解, 根据最大值原理,

又因为对任意的n, 有limz→-∞Uc=(0,0), limz→+∞Uc=(1,1), 再根据式(13)和周期性可知, 存在N>0使得对任意的(t,z)∈R×(-∞,-N)有Uc*<(1/3,1/3), 对任意的(t,z)∈R×(N,∞)有Uc*>(2/3,2/3), 因此必然有由此易得

证毕

3 总 结

本文致力于研究一类时间周期的时滞Lotka-Volterra竞争模型的行波解c<c*时, 通过构造合适的上、下解, 结合单调迭代方法得到了行波解的存在性然后, 利用比较原理证明了行波解的单调性进而, 证明了行波解的渐近行为最后, 证明了当c=c*时, 周期行波解的存在性

相较于Lotka-Volterra竞争系统行波解的已有结论, 如文献[2,9-10]等, 本文考虑了时间周期和时间滞后的同时作用, 这为研究带来了新的困难, 比如缺乏周期平衡点存在性的结论, 以及上下解的构造要更加复杂需要说明的是, 本文中假设(H2)和(H4)的给出是技术性的, 或许是可以弱化的笔者的下一步工作是研究系统(4)正平衡点不存在的条件, 以及系统(4)周期行波解的唯一性和渐近稳定性

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Existence of Periodic Traveling Waves for Time-Periodic Lotka-Volterra Competition Systems With Delay

GU Yumeng, HUANG Mingdi

(School of Mathematics and Statistics, Xidian University,Xian 710071, P.R.China)

Abstract: A time-periodic reaction-diffusion Lotka-Volterra competition model with delay was considered. Under certain conditions, with the method of super- and sub-solutions and monotone iterations, the existence of time-periodic traveling waves connecting 2 semi-trivial periodic solutions of the corresponding kinetic system was proved with wave speed c<c*. Furthermore, the traveling wave solutions for c<c* were proved to be monotone with the comparison principle, and the asymptotic behaviors of traveling wave solutions were obtained at minus/plus infinity. Finally, the existence of traveling wave solutions was proved at wave speed c=c*.

Key words: diffusive competition system; delayed model; periodic traveling wave; asymptotic behavior

*收稿日期: 2019-09-16; 修订日期:2020-01-01

基金项目: 陕西省杰出青年科学基金(2020JC-24)

作者简介: 谷雨萌(1994—),女,硕士生(E-mail: 568245175@qq.com);黄明迪(1994—),男,博士生(通讯作者. E-mail: xd_mdhuang@163.com).

引用格式: 谷雨萌, 黄明迪. 一类时间周期的时滞竞争系统行波解的存在性[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(6): 658-668.

中图分类号: O175.14

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400275