分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解*

徐建中1, 莫嘉琪2

(1. 亳州学院 电子与信息工程系, 安徽 亳州 236800;2. 安徽师范大学 数学与统计学院, 安徽 芜湖 241003)

摘要: 研究了一类高阶非线性分数阶扰动微分模型在适当的条件下,首先利用扰动方法求出了原问题的外部解,然后用伸长变量、合成展开和幂级数理论构造出解的第一、第二边界层校正项,并得到了解的形式渐近展开式最后利用微分不等式理论,研究了问题解的渐近性态,并证明了问题解渐近估计式的一致有效性

关 键 词: 边界层; 分数阶微分模型; 扰动

引 言

分数阶导数理论是整数阶导数概念的延伸它有广泛而特殊的意义,许多自然现象与分数阶导数有关譬如在复杂的沙尘流、潜流和导热等现象中,用通常的导数概念不能恰当地描述,用分数阶导数就能加以表述[1]但是分数阶导数非线性微分-积分方程的求解比较困难本文用奇异扰动理论和方法来构造一类两参数分数阶导数高阶非线性微分-积分方程的渐近解,并用微分不等式理论得到解一致有效的渐近性态的估计

非线性奇异扰动问题是数学界十分重视的研究对象[2-4]近年来许多近似方法不断被进一步深入地研究,其中包括匹配展开法、边界层法以及多重尺度法等,许多科学工作者,例如Martinez等[5]、Tian等[6]、Kellogg等[7]、Samusenko[8]和Skrynnikov[9]都做了很多的成果利用微分不等式、广义变分原理和泛函分析等方法,莫嘉琪和徐建中等也研讨了一些非线性奇扰动问题[10-24]本文是用特殊的方法构造一类两参数奇异扰动分数阶非线性微分方程的渐近解,并证明了解的渐近展开式的一致有效性

考虑以下一类分数阶双参数高阶非线性微分方程奇异扰动两点边值问题:

(1)

(2)

(3)

其中ε,μ为两个正的小参数,α<1为正数,n≥2为整数,a,b为常数,y(x)的α阶分数阶导数,它定义为

这里Γ是Gamma函数

首先假设:

[H2] f(x, y, ε, μ), A(ε, μ)和B(ε, μ)在对应的自变量在其定义范围内为充分光滑的函数;

[H3] min(fε, fμ)≥0, fy≤-c<0,其中c为正常数

1 微分不等式理论

定义两个光滑函数分别满足不等式:

我们称分别为问题(1)~(3)的上解和下解

现有如下定理

定理1 在假设[H1]~[H3]下,分别为分数阶双参数高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的上解和下解,这时边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),且成立

证明 首先按以下迭代关系式构造一个序列{yk}:

(4)

(5)

(6)

分别设为零次函数,可依次得到因此,可得两个函数列现讨论其收敛性态

由假设[H1]~[H3]和式(4)~(6),有

于是由极值原理得到

于是

于是有

类似地,有

同样可得

由上述结果和Arzela定理,两参数分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),并成立不等式:定理1证毕

2 奇异扰动问题的外部解

奇异扰动边值问题(1)~(3)的退化方程为

f(x,y,0,0)=0

(7)

现构造分数阶两参数奇异扰动边值问题(1)~(3)的外部解Y

(8)

由假设[H1]~[H3]知,方程(7)有解Y00(x),将式(8)代入方程

(9)

将式(9)按εαμα的幂展开,合并εαrμαs同次幂的系数并分别令其为0,有

r,s=0,1,…, r+s≠0,

其中Frs,r,s为依次已知的函数,其结构从略由上式得

(10)

上面和以下出现负下标的项均设其为0将由式(10)得到的Yrs(x)(r,s=0,1,…)代入式(8),便得到原问题的外部解Y(x,ε,μ)但它未必满足边界条件(2)和(3),故需在边界附近构造边界层校正项

3 第一边界层校正项

由扰动理论知,两参数奇异扰动边值问题(1)~(3)的解在x=b附近有边界层为此先在x=b附近构造第一边界层校正项W设边值问题(1)~(3)的解为

yY(x,ε,μ)+W(τ,σ,μ),

(11)

其中为伸长变量[2-4],且设

(12)

将式(7)、(11)和(12)代入式(1)、(3),按σαμα的幂展开非线性项,合并σαrμαs同次幂的系数,并令其为0,得到

(13)

W00(0,σ,μ)=h0(0,0),

(14)

(15)

Wrs(0)=hrs-Yrs(b), r,s=0,1,…, r+s≠0,

(16)

其中Grs为依次已知的函数,其结构也从略

由分数阶微分方程(13),有

[(b-t)-αW00(t)-Γ(1-α)f(0,Y00+W00,0,0)]dt=C00

(17)

其中C00为任意常数再由Volterra积分方程(17)和边界条件(14),可得到解W00

由分数阶微分方程(15),有

(18)

其中Crs为任意常数再由Volterra积分方程(18)和边界条件(16),可依次得到解Wrs,r,s=0,1,…,r+s≠0

将得到的Wrs(τ),r,s=0,1,2,…代入式(12),便得到边值问题(1)~(3)的解y的第一边界层校正项W(τ,σ,μ)

但由式(11)得到的y=Y+W未必满足在x=a处的边界条件(2),故尚需在边界x=a附近构造第二边界层校正项Z

4 第二边界层校正项

由奇异扰动理论,设边值问题(1)~(3)的解为

yY(x,ε,μ)+W(τ,σ,μ)+Z(ξ,σ,μ),

(19)

其中ξ=(x-a)/σ为伸长变量,且设

(20)

将式(7)、(11)、(12)、(19)和(20)代入式(1)、(3),按σαμα的幂展开非线性项,合并σαrμαs同次幂的系数,并令其为0,得到

(21)

(22)

(23)

r,s=0,1,…, r+s≠0, i=1,2,…,n-1,

(24)

其中

为依次已知的函数,其结构也从略

同样,由分数阶线性微分方程初值问题(21)~(24),可以依次得到解Zirs,r,s=0,1,…,i=0,1,…

将得到的Zirs(ξ),r,s=0,1,2,…,i=0,1,…代入式(19),便得到原边值问题(1)~(3)的解y的第二边界层校正项Z(ξ,σ,μ)

由假设limμ→0(ε/μ)=0可知,两参数分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的解的第二边界层的厚度σ=ε/μ比第一边界层的厚度μ更薄构成边界邻域内的“层中层”现象

由上述对问题解的构造,我们便得到了分数阶奇异扰动高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的解的渐近展开式:

(25)

5 渐近解的一致有效性

现证上述关于小参数ε,μ的渐近展开式(25)的一致有效性

定理2 在假设[H1]~[H3]下,奇异扰动分数阶高阶非线性奇扰动微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y,在x∈[a,b]上具有关于两个小参数ε,μ一致有效的渐近展开式(25)

证明 首先构造辅助函数

(26)

(27)

其中ζ=max(σα(m+1)μαn,σαmμα(n+1)),m,n为任意的确定的正整数,而为足够大的正常数,它将在下面选定

显然

(28)

(29)

(30)

现证

(31)

(32)

事实上由假设[H1]~[H3],对于足够小的ε,μ,存在一个正常数M,使得

f(x,Y00,0,0)+

选取这时不等式(32)成立类似地,我们能证明不等式(31)由式分别为问题(1)~(3)的上解和下解由定理1,奇扰动分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),并成立再由式(26)、(27),关于两个小参数ε,μ一致有效的渐近展开式(25)成立定理2证毕

6 结 论

当前,对奇异摄动非线性方程定解问题,改进了很多渐近求解的解析方法本文讨论了一类分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解,利用近代微分不等式等理论和方法,得到了所讨论的问题渐近解的解析表示式,并证明了其解的一致有效性本文所述的内容、思路和方法清楚明了,并能由得到的渐近解表示式,继续施行微分积分等解析运算,进一步得到其他相关物理量的渐近表示式,而这是运用一般单纯的数值模拟方法的计算所不及的因此,本文对一类分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解的研讨,具有较大的应用前景

致谢 本文作者衷心感谢亳州学院教学研究重点项目(2018zdjy01)、亳州学院自然科学研究重点项目(BYZ2018B03)对本文的资助

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Asymptotic Solution for Fractional-Order 2-Parameter High-Order Nonlinear Perturbed Models

XU Jianzhong1, MO Jiaqi2

(1. Department of Electronics and Information Engineering, Bozhou University, Bozhou, Anhui 236800, P.R.China;2. School of Mathematics & Statistics, Anhui Normal University, Wuhu, Anhui 241003, P.R.China)

Abstract: A class of nonlinear fractional-order perturbed higher-order differential models was considered. Firstly, under suitable conditions, the outer solution to the original problem was obtained with the perturbation method. Then by means of the stretched variable, the composite expansion method and the theory of power series, the first and second boundary layer correction terms were constructed and the formal asymptotic expansion was obtained. Finally, with the theory of differential inequalities the asymptotic behavior of the solution to the problem was studied and the uniform validity of the asymptotic estimate expression was proved.

Key words: boundary layer; fractional-order differential model; perturbation

*收稿日期: 2019-08-13; 修订日期:2019-08-27

基金项目: 国家自然科学基金(41275062);安徽省教育厅自然科学重点基金( KJ2019A1303);安徽省高校优秀青年人才支持计划项目(gxyq2018116)

作者简介: 徐建中(1979—), 男, 副教授,硕士(E-mail: xujianzhongok@163.com);莫嘉琪(1937—),男,教授(通讯作者. E-mail: mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn).

引用格式: 徐建中, 莫嘉琪. 分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(6): 679-686.

中图分类号: O175.29

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400238

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(41275062)