分数阶导数理论是整数阶导数概念的延伸.它有广泛而特殊的意义,许多自然现象与分数阶导数有关.譬如在复杂的沙尘流、潜流和导热等现象中,用通常的导数概念不能恰当地描述,用分数阶导数就能加以表述[1].但是分数阶导数非线性微分-积分方程的求解比较困难.本文用奇异扰动理论和方法来构造一类两参数分数阶导数高阶非线性微分-积分方程的渐近解,并用微分不等式理论得到解一致有效的渐近性态的估计.
非线性奇异扰动问题是数学界十分重视的研究对象[2-4].近年来许多近似方法不断被进一步深入地研究,其中包括匹配展开法、边界层法以及多重尺度法等,许多科学工作者,例如Martinez等[5]、Tian等[6]、Kellogg等[7]、Samusenko[8]和Skrynnikov[9]都做了很多的成果.利用微分不等式、广义变分原理和泛函分析等方法,莫嘉琪和徐建中等也研讨了一些非线性奇扰动问题[10-24].本文是用特殊的方法构造一类两参数奇异扰动分数阶非线性微分方程的渐近解,并证明了解的渐近展开式的一致有效性.
考虑以下一类分数阶双参数高阶非线性微分方程奇异扰动两点边值问题:
(1)
(2)
(3)
其中ε,μ为两个正的小参数,α<1为正数,n≥2为整数,a,b为常数,为y(x)的α阶分数阶导数,它定义为
这里Γ是Gamma函数.
首先假设:
[H2] f(x, y, ε, μ), A(ε, μ)和B(ε, μ)在对应的自变量在其定义范围内为充分光滑的函数;
[H3] min(fε, fμ)≥0, fy≤-c<0,其中c为正常数.
定义两个光滑函数和设分别满足不等式:
我们称和分别为问题(1)~(3)的上解和下解.
现有如下定理.
定理1 在假设[H1]~[H3]下,和分别为分数阶双参数高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的上解和下解,这时边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),且成立.
证明 首先按以下迭代关系式构造一个序列{yk}:
(4)
(5)
(6)
分别设和为零次函数,可依次得到和因此,可得两个函数列和现讨论其收敛性态.
设由假设[H1]~[H3]和式(4)~(6),有
于是由极值原理得到即
若设有
于是即
于是有
类似地,有
同样可得
由上述结果和Arzela定理,两参数分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),并成立不等式:定理1证毕.
奇异扰动边值问题(1)~(3)的退化方程为
f(x,y,0,0)=0.
(7)
现构造分数阶两参数奇异扰动边值问题(1)~(3)的外部解Y.令
(8)
由假设[H1]~[H3]知,方程(7)有解Y00(x),将式(8)代入方程
(9)
将式(9)按εαμα的幂展开,合并εαrμαs同次幂的系数并分别令其为0,有
r,s=0,1,…, r+s≠0,
其中Frs,r,s为依次已知的函数,其结构从略.由上式得
(10)
上面和以下出现负下标的项均设其为0.将由式(10)得到的Yrs(x)(r,s=0,1,…)代入式(8),便得到原问题的外部解Y(x,ε,μ).但它未必满足边界条件(2)和(3),故需在边界附近构造边界层校正项.
由扰动理论知,两参数奇异扰动边值问题(1)~(3)的解在x=b附近有边界层.为此先在x=b附近构造第一边界层校正项W.设边值问题(1)~(3)的解为
y~Y(x,ε,μ)+W(τ,σ,μ),
(11)
其中为伸长变量[2-4],且设
(12)
将式(7)、(11)和(12)代入式(1)、(3),按σαμα的幂展开非线性项,合并σαrμαs同次幂的系数,并令其为0,得到
(13)
W00(0,σ,μ)=h0(0,0),
(14)
(15)
Wrs(0)=hrs-Yrs(b), r,s=0,1,…, r+s≠0,
(16)
其中Grs为依次已知的函数,其结构也从略.
由分数阶微分方程(13),有
[(b-t)-αW00(t)-Γ(1-α)f(0,Y00+W00,0,0)]dt=C00,
(17)
其中C00为任意常数.再由Volterra积分方程(17)和边界条件(14),可得到解W00.
由分数阶微分方程(15),有
(18)
其中Crs为任意常数.再由Volterra积分方程(18)和边界条件(16),可依次得到解Wrs,r,s=0,1,…,r+s≠0.
将得到的Wrs(τ),r,s=0,1,2,…代入式(12),便得到边值问题(1)~(3)的解y的第一边界层校正项W(τ,σ,μ).
但由式(11)得到的y=Y+W未必满足在x=a处的边界条件(2),故尚需在边界x=a附近构造第二边界层校正项Z.
由奇异扰动理论,设边值问题(1)~(3)的解为
y~Y(x,ε,μ)+W(τ,σ,μ)+Z(ξ,σ,μ),
(19)
其中ξ=(x-a)/σ为伸长变量,且设
(20)
将式(7)、(11)、(12)、(19)和(20)代入式(1)、(3),按σαμα的幂展开非线性项,合并σαrμαs同次幂的系数,并令其为0,得到
(21)
(22)
(23)
r,s=0,1,…, r+s≠0, i=1,2,…,n-1,
(24)
其中
而为依次已知的函数,其结构也从略.
同样,由分数阶线性微分方程初值问题(21)~(24),可以依次得到解Zirs,r,s=0,1,…,i=0,1,….
将得到的Zirs(ξ),r,s=0,1,2,…,i=0,1,…代入式(19),便得到原边值问题(1)~(3)的解y的第二边界层校正项Z(ξ,σ,μ).
由假设limμ→0(ε/μ)=0可知,两参数分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的解的第二边界层的厚度σ=ε/μ比第一边界层的厚度μ更薄.构成边界邻域内的“层中层”现象.
由上述对问题解的构造,我们便得到了分数阶奇异扰动高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)的解的渐近展开式:
(25)
现证上述关于小参数ε,μ的渐近展开式(25)的一致有效性.
定理2 在假设[H1]~[H3]下,奇异扰动分数阶高阶非线性奇扰动微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y,在x∈[a,b]上具有关于两个小参数ε,μ一致有效的渐近展开式(25).
证明 首先构造辅助函数
(26)
(27)
其中ζ=max(σα(m+1)μαn,σαmμα(n+1)),m,n为任意的确定的正整数,而为足够大的正常数,它将在下面选定.
显然
(28)
(29)
(30)
现证
(31)
(32)
事实上由假设[H1]~[H3],对于足够小的ε,μ,存在一个正常数M,使得
f(x,Y00,0,0)+
选取这时不等式(32)成立.类似地,我们能证明不等式(31).由式和分别为问题(1)~(3)的上解和下解.由定理1,奇扰动分数阶高阶非线性微分方程边值问题(1)~(3)存在一个解y(x,ε,μ),并成立再由式(26)、(27),关于两个小参数ε,μ一致有效的渐近展开式(25)成立.定理2证毕.
当前,对奇异摄动非线性方程定解问题,改进了很多渐近求解的解析方法.本文讨论了一类分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解,利用近代微分不等式等理论和方法,得到了所讨论的问题渐近解的解析表示式,并证明了其解的一致有效性.本文所述的内容、思路和方法清楚明了,并能由得到的渐近解表示式,继续施行微分积分等解析运算,进一步得到其他相关物理量的渐近表示式,而这是运用一般单纯的数值模拟方法的计算所不及的.因此,本文对一类分数阶双参数高阶非线性扰动模型的渐近解的研讨,具有较大的应用前景.
致谢 本文作者衷心感谢亳州学院教学研究重点项目(2018zdjy01)、亳州学院自然科学研究重点项目(BYZ2018B03)对本文的资助.
[1] DELBOSCO D. Existence and uniqueness for nonlinear fractional differential equation[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, 204(2): 609-625.
[2] DE JAGER E M, JIANG Furu. The Theory of Singular Perturbation[M]. Amsterdam: North-Holland Publishing Co, 1996.
[3] BARBU L, MOROSANU G. Singularly Perturbed Boundary-Value Problems[M]. Basel: Birkhauserm Verlag AG, 2007.
[4] CHANG K W, HOWES F A. Nonlinear Singular Perturbation Phenomena: Theory and Applications[M]. New York: Springer-Verlag, 1984.
[5] MARTINEZ S, WOLANSKI N. A singular perturbation problem for a quasi-linear operator satisfying the natural condition of Lieberman[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2009, 41(1): 318-359.
[6] TIAN C, ZHU P. Existence and asymptotic behavior of solutions for quasilinear parabolic systems[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2012, 121(1): 157-173.
[7] KELLOGG R B, KOPTEVA N. A singularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem in a polygonal domain[J]. Journal of Differential Equations, 2010, 248(1): 184-208.
[8] SAMUSENKO P F. Asymptotic integration of degenerate singularly perturbed systems of parabolic partial differential equations[J]. Journal of Mathematical Sciences, 2013, 189(5): 834-847.
[9] SKRYNNIKOV Y. Solving initial value problem by matching asymptotic expansions[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2012, 72(1): 405-416.
[10] MO J Q, CHEN X F. Homotopic mapping method of solitary wave solutions for generalized complex Burgers equation[J]. Chinese Physics B, 2010, 19(10): 100203.
[11] MO J Q, LIN W T. A class of nonlinear singularly perturbed problems for reaction diffusion equations with boundary perturbation[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2006, 22(1): 27-32.
[12] MO J Q. A class of singularly perturbed differential-difference reaction diffusion equation[J]. Advances in Mathematics, 2009, 38(2): 227-231.
[13] MOJ Q. Homotopic mapping solving method for gain fluency of a laser pulse amplifier[J]. Science in China, 2009, 52(7): 1007-1010.
[14] MO J Q, LIN W T. Asymptotic solution of activator inhibitor systems for nonlinear reaction diffusion equations[J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2008, 21(1): 119-128.
[15] MO J Q. Approximate solution of homotopic mapping to solitary wave for generalized nonlinear KdV system[J]. Chinese Physics Letters, 2009, 26(1): 010204.
[16] MO J Q. Singularly perturbed reaction diffusion problem for nonlinear boundary condition with two parameters[J]. Chinese Physics Letters, 2010, 19(1): 010203-010204.
[17] MO J Q, LIN W T. Generalized variation iteration solution of an atmosphere-ocean oscillator model for global climate[J]. Journal of Systems Science & Complexity, 2011, 24(2): 271-276.
[18] 莫嘉琪, 林万涛, 杜增吉. 双参数非线性高阶椭圆型方程的奇扰动解[J]. 系统科学与数学, 2013, 33(2): 217-221.(MO Jiaqi, LIN Wantao, DU Zengji. A singularly perturbed solution for nonlinear higher order elliptic equations with two parameters[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2013, 33(2): 217-221.(in Chinese))
[19] XU J Z, ZHOU Z F. Existence and uniqueness of anti-periodic solutions for a kind of nonlinear nth-order differential equation with multiple deviating arguments[J]. Ann Diff Eqn, 2012, 28(1): 105-114.
[20] XU J Z, MO J Q. The solution of disturbed time delay wind field system of ocean[J]. Acta Sci Natur Univ Nankaiensis, 2019, 52(1): 59-67.
[21] 徐建中, 莫嘉琪. 一类流行性病毒传播的非线性动力学系统[J]. 南京理工大学学报, 2019, 43(3): 286-291.(XU Jianzhong, MO Jiaqi. A class of nonlinear dynamic system of human groups for epidemic virus transmission[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2019, 43(3): 286-291.(in Chinese))
[22] 徐建中, 莫嘉琪. Fermi气体光晶格奇摄动模型的渐近解[J]. 吉林大学学报, 2018, 56(6): 1-6.(XU Jiazhong, MO Jiaqi. Asymptotic solution of singular perturbation model for the Fermi gases optical lattices[J]. Journal of Jilin University, 2018, 56(6): 1-6.(in Chinese))
[23] 冯依虎, 陈怀军, 莫嘉琪. 一类非线性奇异摄动自治微分系统的渐近解[J]. 应用数学和力学, 2018, 39(3): 355-363.(FENG Yihu, CHEN Huaijun, MO Jiaqi. Asymptotic solution to a class of nonlinear singular perturbation autonomic differential system[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2018, 39(3): 355-363.(in Chinese))
[24] 史娟荣, 朱敏, 莫嘉琪. 一类Fermi气体光晶格非线性轨线模型[J]. 应用数学和力学, 2017, 38(4): 477-485.(SHI Juanrong, ZHU Ming, MO Jiaqi. Study on path curves of a class of Fermi gases in optical lattices with nonlinear mechanism[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2017, 38(4): 477-485.(in Chinese))