不确定时滞摄动滤波误差动态系统的稳定性分析*

孙凤琪

(吉林师范大学 数学学院, 吉林 四平 136000)

摘要: 基于Lyapunov稳定性理论、线性矩阵不等式方法、时滞分段分析方法、自由权矩阵方法、矩阵分析方法等,该文在前期滤波器设计理论基础上,进一步研究了含有不确定性结构的时变时滞奇异摄动滤波误差动态系统的稳定性分析问题通过构造新的Lyapunov泛函,引用新的交叉项界定法并根据系统特性,推出了时滞依赖和时滞独立两种情形下新的滤波误差动态系统稳定性判别条件最后,给出数值样例表明该文所得结果的有效性和可行性

关 键 词: 滤波误差动态系统; 线性矩阵不等式(LMI); 时滞系统; 时滞依赖; 时滞独立; 不确定系统; 滤波器设计; Lyapunov-Krasovskii泛函

引 言

考虑由以下状态方程描述的不确定性时滞奇异摄动控制系统:

(1)

其中w(t)∈Rm是噪声信号(包括过程和测量噪声),z(t)∈Rp是待估计的信号向量,y(t)∈Rr是测量输出,其他条件与文献[1]相同

对给定的常数γ>0,要求设计一个渐近稳定的线性滤波器:

(2)

其中为滤波器状态,为估计向量,矩阵AfBfCf是待设计的滤波器参数

记误差状态为定义则滤波误差动态方程为

(3)

其中

本文是在文献[1]理论基础上的后续理论研究对于滤波器存在状态下的滤波误差动态系统(3)进行稳定性分析在选取新的Lyapunov泛函,基于Lyapunov稳定性理论基础上,推出保守性更小的新的稳定性判据,增大稳定上界

引理1[2] 对任意适当维数的向量a,b和矩阵X,N,P,R,其中NR是对称的,若

引理2[3] 如果存在对称阵Zi(i=1,2,3,4,5),且满足以下LMIs:

1) Z1>0;

其中

(4)

引理3[3] 给定适当维数的矩阵YDE,其中Y是对称阵,不确定函数F(t)有FT(t)F(t)≤I,所以

Y+EF(t)D+DTFT(t)ET<0

的充要条件是,存在一个常量η>0,使得

Y+ηEET+η-1DTD<0.

1 滤波误差动态系统的稳定性分析

1.1 时滞依赖的稳定性判据

定理1 给定正数系统(3)对是渐近稳定的若存在对称正定阵Q>0M>0以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且对于满足条件所具有的不确定性F(t),下列LMIs条件是可行的:

Z1>0

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

这里ΔAd=DdF(t)Ed,“*”代表对称位置处矩阵的转置,后同

证明 定义一个二次Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函如下:

(10)

其中QM为对称正定矩阵,即Q>0M>0.

由引理2以及线性矩阵不等式(5)~(7),有

(11)

这样就为正定的L-K泛函

沿着系统(3)的任意轨迹进行微分,得

(12)

其中

因此

(13)

其中

G(ε)=

(14)

由Schur补引理[4-6],G(ε)<0等价于

(15)

由式(8)和(9)知,则由引理2得G(ε)<0,故再根据Lyapunov稳定性理论[7-9],知系统(3)渐近稳定,证毕

定理1给出的稳定性条件,为解出其中的参数变量,应该消除式(15)中的不确定函数F(t),由引理3,存在一个常数γ>0,使得

由Schur补引理,得

<0.

(16)

再把式(16)左右两边分别乘以对角阵diag{I I I I I γI},得到

<0.

(17)

矩阵不等式(17)对于变量γ,Q,M,Z(ε)是线性的,即得到定理2

定理2 给定正数系统(3)对渐近稳定若存在对称正定阵Q>0M>0,常量γ>0,矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

(18)

其中

(19)

1.2 时滞独立的稳定性判据

定理3 给定正数系统(3)对是渐近稳定的若存在对称正定阵Q>0,适当维数的矩阵P,对称阵N,R以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且对于满足条件所具有的不确定性F(t),在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

(20)

(21)

证明 定义如下L-K泛函:

(22)

其中Q为对称正定矩阵,即Q>0.

沿着系统(3)的任意轨迹进行微分,得

其中

G(ε)=

(23)

再由式(20)和(21)知,G(ε)<0,故可知所以可以进一步确定系统(3)是渐近稳定的,证毕

定理3给出的稳定性条件,为解出其中的参数变量,应该消除式(23)中的不确定函数F(t),类似于定理1,得

<0.

(24)

矩阵不等式(24)对于变量γQZ(ε),NPR是线性的,则得定理4

定理4 给定正数系统(3)对是渐近稳定的若存在对称正定阵Q>0,适当维数的矩阵P,对称阵N,R以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

<0,

<0.

2 推 论

控制系统(3)去掉不确定性,则变为如下奇异摄动时滞滤波动态系统:

(25)

其中系数矩阵条件与系统(3)相同

由定理3的稳定性判据可推出如下推论,证略

推论1 给定正数系统(25)对是渐近稳定的若存在对称正定阵Q>0M>0以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

其中

控制系统(3)去掉不确定性变为时滞奇异摄动系统(25),由定理4的稳定性判据可得出如下的推论

推论2 给定正数系统(25)对是渐近稳定的,若存在对称正定阵Q>0,适当维数的矩阵P,对称阵N,R以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

在定理4中,把对称阵N替换为单位阵I或任意适当维数的矩阵P,分别得到如下结果

推论3 给定正数系统(3)对是渐近稳定的,若存在对称正定阵Q>0,适当维数的矩阵P,对称阵R以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

<0

<0.

推论4 给定正数系统(3)对是渐近稳定的若存在对称正定阵Q>0,对称阵N,R以及矩阵Zi(i=1,2,3,4,5)且在满足条件(5)~(7)的同时,下列LMIs条件是可行的:

<0

<0.

推论3和推论4是利用定理4中的保守性来换取结论中的方便性和优越性

以上推论是在定理3的基础上进一步简化,得到相应的不含有不确定性的时滞系统,对于本文方法上的相应结论,具有一定的理论补充性去掉系统(3)中的不确定性函数F(t),则此系统可转变为不含不确定性的时变时滞奇异摄动系统(25),由本文得到的时滞依赖和时滞独立的稳定性判据分别推出推论1和推论2由定理4结论中的保守性得出推论3和推论4

3 样 例

考虑以下时变时滞奇异摄动filter误差动态控制系统:

这里

F(t)=1, d(t)=0.5, τ=1, μ=0.5,

初始条件求解定理2中的LMIs,得

以上的样例表明, 本文所得定理结论是有效可行的, 并且与现有文献相比, 不仅给出了比较大的摄动上界0.3, 而且指出在0~0.3的整个区间范围内, 闭环误差动态系统能够渐近稳定这与只在某一摄动点ε0或者在不明确摄动上界稳定性分析理论相比[10-13], 具有一定的优越性和可控性

4 结 语

时变时滞奇异摄动不确定控制系统的滤波器设计与稳定性分析,经过众多学者共同的努力[14-15]和本文在此方面的进一步完善补充,已经形成了比较系统的理论体系本文针对前期不确定性时滞奇异摄动控制系统,研究了其滤波器设计问题之后的滤波误差动态系统的稳定性分析,在一定的条件下,给出了系统渐近稳定的充分性判定定理和摄动参数所在的稳定区间,以及具体的稳定化摄动参数上界,形成了系统化的、比较完备的理论体系鲁棒稳定性分析与设计,是一项有意义的研究工作

本文所提的方法不需要对系统降阶和分解,可直接推广到控制系统理论其他类型系统中,如离散系统、非标准系统问题等[15-16]也同样适用,可以为相关控制理论提供研究参考[17-19]

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Stability Analysis of Uncertain Singularly Perturbed Filter Error Dynamic Systems With Time Delays

SUN Fengqi

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping, Jilin 136000, P.R.China)

Abstract: With the Lyapunov stability theory, the linear matrix inequality method, the time delay piecewise analysis method, the matrix analysis method and the free weight matrix method, the stability of singularly perturbed filter error dynamic systems with time-varying delays and uncertain structures was studied on the basis of the previous filter design theory. Through construction of a new Lyapunov function, with a new cross-term definition method and according to the system characteristics, a new criterion for stability of filter error dynamic systems in 2 cases of time delay dependence and time delay independence was derived. Finally, the selected numerical example illustrates the effectiveness and feasibility of the obtained results.

Key words: filter error dynamic system; linear matrix inequality (LMI); time-delay system; delay-dependent; delay-independent; uncertain system; filter design; Lyapunov-Krasovskii functional

中图分类号: O231.2

文献标志码:A

*收稿日期: 2019-12-09;

修订日期:2020-06-17

基金项目: 国家自然科学基金(61741318)

作者简介: 孙凤琪(1968—),女,教授,博士,硕士生导师(E-mail: 1092748497@qq.com).

引用格式: 孙凤琪. 不确定时滞摄动滤波误差动态系统的稳定性分析[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(8): 899-911.

DOI: 10.21656/1000-0887.400368

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(61741318)