分数阶线性时滞微分系统的有限时间稳定性*

田洪乔, 张志信, 蒋 威

(安徽大学 数学科学学院, 合肥 230601)

摘要: 该文研究了含有时滞的分数阶微分系统的有限时间稳定性问题首先通过构造新的Lyapunov函数, 利用线性矩阵不等式给出线性分数阶时滞微分系统的有限时间稳定性条件其次,在状态反馈控制器的作用下,给出分数阶时滞微分闭环系统的有限时间稳定条件,同时给出了控制器的设计方法最后,通过两个例子来说明所得理论结果的有效性

关 键 词: 分数阶; 时滞; 有限时间稳定; Lyapunov函数; 线性矩阵不等式

引 言

随着分数阶微积分理论的发展,学者们发现分数阶微积分有很好的遗传特性,这使得分数阶微分系统比传统的整数阶微分系统更能精确描述某些系统的动力学行为目前,分数阶微分系统已经在流体力学、控制理论和生物工程等领域[1-7]出现了具体应用,这引起了国内外学者的广泛关注

在研究系统时,系统是否稳定是首要考虑的问题,所以系统的稳定性问题一直是分数阶微分系统的重要课题之一,是学者们研究的重要对象,目前在分数阶微分系统稳定性方面已经有了丰富的成果在经典控制理论研究过程中,学者们普遍关注的是Lyapunov稳定性,而在实际应用中,通常只考虑在有限时间间隔内系统状态的变化有限时间稳定性的概念最早起源于1950年,自从Peter Dorato在1960年提出短时间稳定概念并应用于系统后,在接下来的五六十年里,科学家们对有限时间稳定性的研究付出了巨大的努力,并取得了丰富的成果,其中分数阶时滞系统的有限时间稳定性研究也取得了相关成果如文献[8-9]研究了一类特殊的线性(非)自治分数阶时滞系统,在使系统轨迹保持在先验给定集合内的充分条件下运用广义Gronwall不等式和矩阵不等式的方法验证了系统的有限时间稳定问题文献[10]利用“经典”Bellman-Gronwall不等式和一个合适的“分数阶”不等式代替广义的Gronwall不等式,导出了时变时滞的(非)齐次分数阶系统新的稳定性准则而文献[11-12]则分别利用分数阶广义Gronwall不等式方法研究了分数阶非线性时变时滞微分系统和含有有界扰动下的分数阶非线性时滞微分系统的有限时间稳定性问题2017年,基于常数变易法,Li和Wang利用带参数的时滞Mittag-Leffler型矩阵函数给出了线性非齐次分数阶时滞微分方程解的显式公式,利用时滞Mittag-Leffler型矩阵取得了保证分数阶时滞系统的有限时间稳定性[13-14]的充分性条件对于分数阶神经网络的有限时间稳定性问题,目前主要利用收缩映射原理、迭代方法、Hölder不等式等方法得到有限时间稳定性条件[15-16]针对分数阶系统有限时间内不稳定性问题,由Caputo或Riemann-Liouville定义描述的分数阶非线性系统,只要全局存在对应于初值问题的连续解,任何平衡点都不能是有限时间稳定的[17-18]此外,在分数阶有限时间稳定性应用方面,分数阶微分系统的有限时间稳定性已经应用到基于忆阻器的分数阶模糊细胞神经网络[19]中并提出了基于新型分数阶PID控制器的导航律问题[20]

文献[7]通过构造Lyapunov函数,利用线性矩阵不等式得到整数阶线性系统

的有限时间稳定性问题,其中A(p)∈Rn×n,B(p)∈Rn×m,G(p)∈Rn×l受文献[7]及以上文献的启发,本文利用线性矩阵不等式的方法研究如下分数阶线性时滞微分系统的有限时间稳定性问题:

(1)

其中xRn,A,BRn×n,τ>0表示时滞,T>0, 初始函数Φ(t):[-τ,0]→Rn是连续向量函数,且0<α<1

本文研究的分数阶微分系统含有时滞因素,结合线性矩阵不等式方法,得到了关于该系统的有限时间稳定的最新结论同时,给出了通过状态反馈控制,使得系统能有限时间稳定的充分性条件

1 准 备 知 识

下面介绍分数阶积分、Caputo导数以及有限时间稳定的定义等基本概念另外在本文中,分数阶积分和微分的下限都是从0开始的

定义1[1] 连续函数f(t)的α阶分数阶积分定义为

其中n-1<α< n,nN+,Γ(·)是Gamma函数

定义2[1] 连续函数f(t)的α阶分数阶Caputo导数定义为

其中n-1<α< n,nN+,Γ(·)是Gamma函数

注1 在本文中,分别用Iα,Dα表示分数阶积和Caputo导数

定义3[2] 具有一个参数的Mittag-Leffler函数和具有两个参数的Mittag-Leffler函数分别定义如下:

其中 α>0, β>0, zC.

注2β=1时,有Eα(z)=Eα,1(z); 当α=β=1时,有

定义4[7] 考虑分数阶线性常系数微分系统

Dαx(t)=Ax(t), t∈[0,T],

如果以下条件成立:

xT(0)Rx(0)≤c1xT(t)Rx(t)<c2, t∈[0,T],

其中c1,c2,T是正实数,c2>c1,ARn×n,R是正定矩阵则称系统(1)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

引理1[1] 由分数阶积分和Caputo导数的定义可得

特别地,当0<α<1时,Iα{Dαx(t)}=x(t)-x(0)

引理2[3]α∈(0,1),x(t)∈Rn是连续可微函数,那么对于任意时刻t≥0,下面的不等式成立:

其中PRn×n是对称正定矩阵

引理3[21]u,vRn,k>0,则

注3 A>0(A<0) 表示矩阵A正定(负定)

2 主 要 结 果

定理1 若存在常数γ>0, μ>0, 矩阵Q>0, R>0, QRn×n, RRn×n,满足以下条件:

这里

则系统(1)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

证明V(t,x)=xT(t)Px(t),因为P是对称正定的,所以存在可逆矩阵W,使得P=WTW根据引理2,有

DαV(t,x)≤2xT(t)PDαx(t)≤2xT(t)P(Ax(t)+Bx(t-τ))≤

2xT(t)PAx(t)+2xT(t)PBx(t-τ)≤

2xT(t)PAx(t)+2xT(t)PBW-1Wx(t-τ)

再由引理3得到,存在μ>0,使得

DαV(t,x)≤2xT(t)PAx(t)+

因为x(t)是系统(1)的解, 当x(t)≤x(t+θ), θ∈[-τ,0]时,系统(1)在有限时间内是稳定的因此我们只需讨论当x(t)≥x(t+θ), θ∈[-τ,0]时,系统是不是有限时间稳定的因为P是正定对称矩阵,x(t)≥x(t+θ),θ∈[-τ,0],所以有xT(t-τ)Px(t-τ)≤xT(t)Px(t),则

DαV(t,x)≤xT(t)(PA+ATP)x(t)+

γxT(t)Px(t)=γV(t,x),

DαV(t,x)≤γV(t,x), t∈[0,T]

(2)

则对于不等式(2)存在一个非负函数M(t)满足

DαV(t,x)+M(t)=γV(t,x),

(3)

对式(3)进行Laplace变换,由引理1得到

sαV(x(s))-sα-1V(x(0))+M(s)=γV(x(s)),

上式等价于

V(x(s))=(sα-γ)-1[sα-1V(x(0))-M(s)]

(4)

再对式(4)进行反Laplace变换,得到

V(x(t))=V(x(0))Eα(γtα)-M(τ)[(t-τ)α-1Eα,α(γ(t-τ)α)]dτ

因为(t-τ)α-1Eα,α(γ(t-τ)α)都是非负函数,所以V(x(t))≤Eα(γtα)V(x(0))

xT(t)Px(t)≤Eα(γTα)xT(0)Px(0)

又因为P=R1/2QR1/2,所以

xT(t)R1/2QR1/2x(t)≤Eα(γTα)xT(0)R1/2QR1/2x(0),

λmin(Q)xT(t)Rx(t)≤λmax(Q)Eα(γTα)xT(0)Rx(0)

再由定理1xT(0)Rx(0)≤c1,得到

xT(t)Rx(t)<c2, ∀t∈[0,T]

即系统(1)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

推论1 对于分数阶微分系统(1),若存在常数γ>0,μ>0,Q>0,QRn×n,满足以下条件:

这里P是正定的,P-1=R1/2QR1/2,T>0,则系统(1)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

证明 对推论1左右均乘P-1,则有

V(t,x)=xT(t)P-1x(t),因为P-1是对称正定的,所以存在可逆矩阵W,使得P-1=WTW根据引理可知

DαV(t,x)≤

2xT(t)P-1Dαx(t)≤

2xT(t)P-1(Ax(t)+Bx(t-τ))≤

2xT(t)P-1Ax(t)+2xT(t)P-1Bx(t-τ)≤

2xT(t)P-1Ax(t)+2xT(t)P-1BW-1Wx(t-τ)≤

μxT(t-τ)WTWx(t-τ),

又因为P-1是正定对称矩阵,由定理1的证明过程可知当x(t)≥x(t+θ),θ∈[-τ,0]时,有

xT(t-τ)P-1x(t-τ)≤xT(t)P-1x(t)

因此

DαV(t,x)≤

γxT(t)P-1x(t)≤γV(t,x),

DαV(t,x)≤γV(t,x), t∈[0,T]

再根据定理1的证明,能得到xT(t)Rx(t)<c2 ,∀t∈[0,T]即可证明推论1中系统(1)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

下面考虑分数阶线性时滞微分系统在反馈控制器作用下系统的有限时间稳定性问题,对于如下系统:

(5)

设计状态反馈控制器u(t)=Kx(t),使得分数阶闭环微分系统

(6)

关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的,其中xRn,A,BRn×n,CRn×l,τ>0表示时滞, 初始函数Φ(t):[-τ,0]→Rn是连续向量函数,T>0,AD=A+CK,KRl×n,且0<α<1

定理2 对于给定的分数阶微分系统(5),如果存在常数γ>0,μ>0,Q>0,QRn×n和矩阵LRl×n,满足以下条件:

其中P是正定矩阵,P-1=R1/2QR1/2,T>0

则系统(5)在反馈控制器

u(t)=Kx(t)=LP-1x(t)

作用下关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

证明 应用状态反馈控制器u(t)=Kx(t)=LP-1x(t)于式(5), 得到分数阶闭环微分系统为

(7)

定理2等价于

D=A+CLP-1,即满足

再根据定理1和推论1的证明过程可得结论,即分数阶微分系统(5)关于(c1,c2,T,R)是有限时间稳定的

3 具 体 例 子

例1 考虑如下分数阶微分系统:

(8)

其中是单位矩阵,时滞τ=1

因为P是正定对称的,所以

给定c1=0.02, c2=0.036, T=5, R=I我们取V(t,x)=xT(t)Px(t),则当|x(t)|≥|x(t+θ)|,θ∈[-τ,0]时,把P代入,有

θ∈[-τ,0], t∈[0,T]

γ=0.2,μ=4时,则Eα(γTα)=E0.5(0.2×50.5)≈1.799 0,cond(Q)=1,xT(t)Rx(t)在T=5内都是小于c2=0.036

验证定理1的条件如下:

其特征值为-0.4,-0.4,所以矩阵为负定

验证定理1的条件如下:

图1也验证了结论是正确的即给定的分数阶微分系统(8)关于c1=0.02,c2=0.036,T=5,R=I是有限时间稳定的

图1 系统(8)的xT(t)Rx(t)轨迹
Fig. 1 The trajectory of xT(t)Rx(t) for system(8)

例2 在状态反馈器的控制下,考虑分数阶微分系统:

(9)

其中是单位矩阵,时滞τ=1

根据P-1计算出

设计状态反馈控制器为u(t)=Kx(t)=LP-1x(t),取

K=(2 -2)

γ=0.2,μ=3时,给定c1=0.02,c2=0.045,T=4,R=I,则Eα(γTα)=E0.98(0.2×40.98)≈2.203 7,cond(Q)=1图2是系统(9)不加反馈控制器时方程的解,在T=4时,xT(t)Rx(t)数值大于c2=0.045,所以系统不是有限时间稳定的图3是系统(9)加上反馈控制器后方程的解,xT(t)Rx(t)数值在T≤4内都小于c2=0.045

图2 系统(9)的xT(t)Rx(t)轨迹图3 系统(9)在反馈控制器下的xT(t)Rx(t)轨迹
Fig. 2 The trajectory of xT(t)Rx(t) for system(9)Fig. 3 The trajectory of xT(t)Rx(t) for system(9) under the state feedback controller

验证定理2的条件如下:

其特征值为-3.997 5,-0.035 9,所以矩阵为负定

验证定理2的条件如下:

即系统(9)是有限时间稳定的

4 结 论

本文主要研究了分数阶线性时滞微分系统的有限时间稳定性问题和其反馈控制闭环系统的有限时间稳定性问题通过构造适用于分数阶计算的Lyapunov函数,利用线性矩阵不等式和分析技巧讨论了含有时滞的分数阶微分系统有限时间内稳定的充分性条件,同时给出了构造反馈控制器的方法,解决了该系统的有限时间稳定性问题我们针对含有时滞的分数阶微分系统的有限时间稳定性问题取得的结论是最新的相对于文献[7]所讨论的不含时滞的整数阶微分系统,本文研究的是含有时滞的分数阶微分系统,给出了分数阶时滞微分系统的有限时间稳定性结论,推广了现有结果目前,针对分数阶含有时滞的微分系统的有限时间稳定性问题主要基于Gronwall不等式和Hölder不等式取得结果,而本文主要利用线性矩阵不等式和分析方法,是一种新的尝试在后续研究过程中,我们将进一步寻找解决含有时滞因素的分数阶微分系统的有限时间稳定性的处理方法,揭示时滞对系统稳定性的影响

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Finite-Time Stability of Fractional-Order Linear Differential Systems With Delays

TIAN Hongqiao, ZHANG Zhixin, JIANG Wei

(School of Mathematical Sciences, Anhui University,Hefei 230601, P.R.China)

Abstract: The finite-time stability of fractional-order linear differential systems with time delays was studied. Firstly, with a new Lyapunov function and the linear matrix inequality, some sufficient conditions for the finite-time stability of fractional linear differential systems with time delays were derived. Then, under the action of a state feedback controller, some conditions for the finite-time stability of fractional differential closed-loop systems with time delays were given, and the design method for the controller was given. In the end, the effectiveness of the theoretical results was illustrated with two examples.

Key words: fractional order; time delay; finite-time stability; Lyapunov function; linear matrix inequality

*收稿日期: 2019-12-03;

修订日期:2020-06-22

基金项目: 国家自然科学基金(11471015;61272530;11371027);安徽省自然科学基金(1608085MA12;2008085QA19)

作者简介:

田洪乔(1995—),女,硕士生(E-mail: 784043860@qq.com);

张志信(1976—),男,副教授,硕士生导师(通讯作者. E-mail: zhang_zhi_x@sina.com);

蒋威(1959—),男,教授,博士生导师(E-mail: jiangwei@ahu.edu.cn).

引用格式: 田洪乔, 张志信, 蒋威. 分数阶线性时滞微分系统的有限时间稳定性[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(8): 921-930.

中图分类号: O175.15

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400365

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11471015;61272530;11371027)