引 言
大气的大尺度动力学方程由Navier-Stokes方程导出的原始方程组控制,并与热力学和盐度扩散输运方程耦合．在过去的几十年里,人们从数学的角度对大气、海洋与耦合了大气和海洋的原始方程组进行了广泛的研究[1-3]．在文献[4]中，Lions、Temam和Wang引入了大尺度海洋的原始方程,证明了大尺度海洋原始方程弱解的存在性和局部时间强解的适定性．基于Lions、Temam和Wang的研究[5],许多学者继续考虑了大规模大气原始方程解的适定性[6-8]．关于大气、海洋三维黏性原始方程组强解的整体存在性、唯一性以及对于初值的连续依赖性,可见文献[9-14]．文献[15-16]研究了在气压坐标下，湿大气原始方程弱解的整体存在性．文献[17]解决了湿大气原始方程整体适定性问题,以及解的长时间行为．此外,人们还研究了带其他边界条件的大气、海洋原始方程组的整体适定性[18-20]．
显然,上述研究主要关注原始方程组在数学上的逻辑性，即方程组的适定性．我们开始注意到研究原始方程组自身稳定性的必要性．因为在模型建立、简化的过程中不可避免地会出现一些误差,这就需要研究方程组中系数的微小变化是否会引起方程组解的巨大变化．在文献中已经出现了相关研究[19-20],进而得到了三个类似结果[21-25]．
本文将继续这方面的研究工作,但是我们在方程组中考虑了水汽比的影响,这种类型的方程组称为湿大气原始方程组．本文将研究该方程组对边界参数的连续依赖性．
本文研究在Ω×∞上,如下三维大尺度湿大气原始方程组[6,26]:
∇
∇
(1)
(2)
∇
(3)
∇
(4)
∇
(5)
其中Ω为R3上的一个柱形区域,
Ω=M×(0,1),
(6)
M是R2上的一个光滑有界区域,Ω的边界记为
u=(u1,u2)表示水平速度场,u⊥=(-u2,u1),三维速度场(u1,u2,w)、温度T均为未知函数．Ro表示Rossby系数, f=2cos θ0表示Coriolis参数,未知函数q表示空气中水汽混合比,Φ是位势场,压力P满足p=(P-p0)z+p0(0<p0≤p≤P),Q1,Q2为分别给定的热源与水汽源函数．∇=(∂x,∂y)是水平梯度算子，a,b 均为大于零的常数,a≈0.618．黏性和扩散算子L1,L2,L3分别为
其中μ1,μ2是大于零的常数,分别表示水平和垂直方向的Reynolds系数,μ3,μ4,μ5,μ6均为大于零的常数,
是Laplace算子．原始方程组(1)～(5)满足的边界条件为
(7)
(8)
(9)
其中n是Γl上的单位外法向量,α,β是大于零的常数．初始条件满足
u(x,y,z,0)=u0(x,y,z), T(x,y,z,0)=T0(x,y,z), q(x,y,z,0)=q0(x,y,z)，
(10)
其中u0,T0,q0是可微函数．
为简便运算,不妨假设μ1,μ2,μ3,μ4,μ5,μ6等于1,并且记算子L=-Δ-∂2/∂z2．将式(3)在(0,z)上积分，得
w(x,y,z,t)=w(x,y,0,t)-
∇·u(x,y,s,t)ds．
由边界条件(7)和(8),可得
w(x,y,z,t)=-∇·u(x,y,s,t)ds，
(11)
以及
∇·u(x,y,s,t)ds=∇·u(x,y,s,t)ds=0．
(12)
假设Φs为等压面s=1上的未知函数．将式(2)在(0,z)上积分，得到
(13)
由式(11)～(13)，可以将原方程组(1)～(5)改写为
∇
∇(1+aq)Tds+
∇
(14)
∇
(15)
∇
(16)
系统(14)～(16)的边界条件为
(17)
(18)
(19)
初始条件为
u(x,y,z,0)=u0(x,y,z), T(x,y,z,0)=T0(x,y,z), q(x,y,z,0)=q0(x,y,z)．
(20)
1 先 验 估 计
采用文献[16]的方法(见文献[16]中式(3.9)、(3.32)、(3.37)、(3.44)),类似可得如下引理1．
引理1[16] 设Q1∈L2(Ω),Q2∈L2(Ω),(v,T,q)是方程组(14)～(20)的解,则
∇
∇
4) ‖∇
∇
∇
∇
‖∇
∇
其中ρ2(t),ρ8(t),ρ9(t),ρ10(t)是关于t的正函数．
引理2[27] 设 Ω1⊂Rm1,且Ω2⊂Rm2,其中m1和m2是正整数,函数f(ξ,η)是Ω1×Ω2上的可测函数,则
(21)
引理3[28] 设Ω是有界的凸区域,则
∇
(22)
其中δ是大于零的任意常数．
2 方程组对边界参数α,β 的连续依赖性
假设(u1,T1,q1,Φs1)和(u2,T2,q2,Φs2)是方程组(14)～(20)对应于不同边界参数α1,β1和α2,β2的两组解,记
(23)
则
满足
∇
∇
∇)u2-
∇
∇
(24)
∇
∇T2-
∇
(25)
∇
∇
(26)
边界条件为
(27)
(28)
(29)
初始条件为
(30)
定理1 假设(u1,T1,q1)和(u2,T2,q2)是方程组(14)～(20)对应于不同边界参数α1,β1和α2,β2的两组解,则对任意t>0,当α1→α2,β1→β2时,有
(u1,T1,q1)→(u2,T2,q2),
且满足如下不等式:
也即表明方程组(14)～(20)的解对边界参数的连续依赖性．
证明 将方程(24)和(25)分别与
和
在L2(Ω)中做内积,应用分部积分,由边界条件(27)～(29),计算得
∇
(31)
∇
(32)
我们用到了以下计算结果：
(33)
(34)
(35)
由Hölder、Cauchy、Minkowsky不等式与引理1,计算得
∇
∇u2‖L2(Ω)≤
∇
(36)
‖∇
1‖∇
∇
∇
∇
(37)
与式(36)和(37)的计算类似,可得
∇
∇
C‖∇
C3‖∇
∇
(38)
利用Hölder、Cauchy、Minkowsky不等式与引理1,类似式(36)～(38)，计算得
∇
∇
∇
∇
∇
∇
(39)
7‖∇
∇
(40)
∇
(41)
又因为
(42)
利用分部积分,可得
∇
(43)
将估计式(36)～(38)代入式(31),将式(39)～(42)代入式(32),并应用式(43),两式相加计算整理,得
∇
∇
∇
∇
∇
(44)
将方程(36)与
在L2(Ω)中做内积,通过分部积分,由边界条件(27)～(29),计算得
∇
(45)
类似式(36)～(38)的计算方法,可得如下估计：
∇
∇
∇
(46)
13‖∇
∇
(47)
其中
(48)
将式(46)～(48)代入式(45),得
∇
13)‖∇
∇
(49)
我们取
将式(44)、(49)相加,计算得
(50)
由Gronwall不等式,可得
其中
10,
于是定理1得证．
3 结 论
本文主要展示了如何控制水汽比、利用能量估计的办法,得到了湿大气原始方程组对黏性系数的连续依赖性．接下来,也可以继续研究湿大气原始方程组的收敛性,即当方程组的系数趋近于零时所产生的影响．据笔者所知,目前这类研究在文献中尚未出现,而且这类研究还可以向带随机力的原始方程组、海洋原始方程组、大气原始方程组以及耦合了海洋和大气的原始方程组甚至干大气原始方程组展开．我们希望本文的研究能为读者带来一定的灵感,这也是我们下一步研究的一个重点方向．
致谢 本文作者衷心感谢广东财经大学华商学院校内科研项目(2019HSDS22)对本文的资助．
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