引 言
梁结构广泛应用于建筑、航空航天和机械等工程领域．梁结构的振动问题是经典问题，多年来相关学者进行了大量的研究．Zhang等[1]使用变量分离结合传递矩阵方法导出梁的特征方程,阐述了具有不等跨度、可变横截面以及不连续性的任意性梁的几何特征．刘鹏等[2]采用样条有限点法，研究了变截面Bernoulli-Euler 梁的振动特性．田耀宗等[3]针对一端可看作固定约束的轴向运动悬臂梁，基于连续体的模态叠加法推导了轴向运动梁动力响应的计算公式，并做实例计算．对三种常见类型梁(Euler梁、Rayleigh梁、Timoshenko梁)的多跨结构的自由振动问题，刘向尧等[4]建立了动力学模型并应用参数变易法分析，推导出梁振动的频率方程．这些研究大多是对等截面梁或者是截面尺寸有线性变化的梁进行研究．
对于截面尺寸突然变化的连续多段梁结构的研究已有多种解析方法，如李顺才等[5]利用分离变量法假设梁的一种解析模态解，然后利用连续性条件和边界条件求解得到了阶梯梁的频率方程．李道奎等[6]通过分布传递函数和Laplace变换的方法，得到了任意分段常轴压阶梯梁的自由振动的统一封闭解析解．Farghaly等[7]研究了轴向受载的多跨阶梯Timoshenko梁在一般端部约束条件下的振动特性，基于梁微分方程的解析解建立了频率方程的整体系数矩阵，并根据相关公式进行了参数分析．Li[8]引入旋转弹簧模拟梁中的裂纹并得到多段梁振动模型，根据梁弯曲的基本解给出相邻段梁挠度的递推关系式，并利用两端边界条件对应线性齐次方程组有解的条件，解决了系统的振动问题．
综合研究现状知，大多数研究仅限于经典的边界条件或者某些特定的弹性边界，缺乏一种通用的方法来适应各种任意弹性边界条件．为研究任意边界条件下连续多段梁的自由振动问题，笔者建立了多段组合梁的一种简洁、规范的数值方法．具体思路如下：采用谱几何法[9-10]构造各段梁的位移函数，并建立全段梁的Lagrange函数，应用Hamilton原理把多段梁的振动问题化为标准矩阵特征值形式，得到各阶频率和振型．其中所用位移的谱几何级数是在传统Fourier级数基础上增加四项辅助正弦函数[10-14]，使得梁在边界处的转角、弯矩等值可不等于零，从而使得位移函数适用于含弹性约束的梁结构的自由振动问题．
1 连续多段梁振动的计算模型
1.1 几何模型
图1是分析任意边界条件下连续多段梁振动特性模型图，总长为L的梁被分为m段，第p段的长度为Lp，梁左、右两端分别设置线弹簧和旋转弹簧，左、右两端边界线弹簧的刚度分别为k1和k2，左、右两端旋转弹簧的刚度分别为K1和K2．第p段与p+1段梁之间设置虚拟耦合线弹簧和旋转弹簧，其刚度kp，p+1和Kp,p+1均为无穷大．
图1 任意边界条件下连续多段梁模型
Fig. 1 The model for a continuous multi-segment beam under arbitrary boundary conditions
1.2 位移函数的谱几何法表示
对于多段梁结构，因为梁的振动方程为四阶微分方程，长度为L梁的位移函数w(x)要满足三阶连续可导并且四阶导数存在，即w(x)∈C3．数学上来说，位移函数w(x)可视为定义在区间[-L,L]上偶函数的一部分，如图2(a)所示，这个偶函数的经典Fourier级数展开只包含余弦项，并且Fourier余弦级数能够在区间[0,L]的任一点准确收敛到函数w(x)．然而位移函数的导数w′(x)是区间[-L,L]上的奇函数，会在端点处发生跳跃．因此，w′(x)的Fourier级数展开会因为相应端点处的不连续而存在收敛性问题．
为了解决这个问题，Li[11]将位移函数表示为主函数和辅助函数相加的形式：
(1)
式中，主函数
(2)
其中，Aj为常系数，λj=jπ/L．而对于主函数
在区间[0,L]上两端连续且斜率为零，如图2(b)所示，可以看出这个函数在整个自变量区间内准确地收敛为该函数本身．为解决导数函数的不连续问题，相关的辅助函数p(x)需满足
p′(x)|x=0=w′(x)|x=0, p′(x)|x=L=w′(x)|x=L,
(3)
p‴(x)|x=0=w‴(x)|x=0, p‴(x)|x=L=w‴(x)|x=L ．
(4)
图2 位移函数在端点处的潜在不连续及解决方法
Fig. 2 Potential discontinuity of the displacement function at the endpoint and the solution way
引入p(x)可完全解决函数一阶、二阶或是三阶导数中可能存在的导数不连续的问题，并使函数w(x)在整个定义的区间内至少三阶导数可导，并且第四阶导数存在，从而完全满足梁结构内位移容许函数的需求．
当辅助函数是三角函数时，对应的改进Fourier级数可称为谱几何级数[10]．故笔者对第p段梁挠度采用如下谱几何形式：
(5)
其中Ap，j为待定常数，λp, j=jπ/Lp．相应地，设自由振动时第p段梁的挠度随时间的变化函数为
wp(x,t)=wp(x)sin(ωt),
(6)
式中，ω为圆频率，x∈[L1+L2+…+Lp-1,L1+L2+…+Lp]．
1.3 自振频率的求解
对于图1所示的任意边界条件下连续多段梁结构，存在如下两部分势能：
(7)
(8)
式中，wp为第p段梁的挠度函数，Vs为任意边界条件下连续多段梁结构应变能，Vb为边界处模拟弹簧弹性势能，Ep,Ip分别为第p段梁的弹性模量和截面惯性矩．
不考虑约束弹簧的质量，连续多段梁的动能为
(9)
式中，S(x)为梁坐标x处的横截面面积，ρ(x)为x处的质量密度，ω是多段梁作简谐振动时的频率．
为保证相邻段梁位移及转角的连续性，在图1中第p与p+1段梁之间耦合处引入竖向弹簧和旋转弹簧，且其刚度均为无穷大，对应的弹性势能Vc1，Vc2分别如下：
(10)
(11)
连续多段梁结构的Lagrange函数定义为
L=V-T,
(12)
式中，V表示连续多段梁结构的总势能最大值，V=Vs+Vb+Vc1+Vc2，Tmax表示结构的总动能最大值．
将式(5)～(12)代入Lagrange函数中，应用Hamilton原理令δL=0,得
(13)
其中Ap, j为式(5)中的系数．
实际计算中，式(5)位移级数中j的最大值取为自然数q，其具体取值可见后文．由式(13)化简得到m×(q+5)个线性方程组，矩阵化得
(K-ω2M)A=0，
(14)
式中，K为刚度矩阵，M为质量阵，ω是圆频率，A是式(5)中改进Fourier级数中未知系数组成的列矩阵，即
A=[A1,-4,A1,-3,…,A1,,…,Am,-4,Am,-3,…,Am,q]T．
(15)
矩形M的分块形式如下：
(16)
其中Mp表示对应于第p段梁动能项的质量矩阵．式(14)中含有对应于第p与p+1段(p=2,3,…, m-1)耦合弹簧能量的刚度矩阵，用
表示，为方便分块表示，令
其中下标Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ表示各子块．
式(14)中矩形K的分块形式如下:
(17)
式中，Ksp表示对应于第p段梁应变能项的刚度矩阵;Kb1,Kbm分别表示对应于第一段和第m段梁边界处弹性势能项的刚度矩阵．
式(14)有非零解的条件是
|K-ω2M|=0．
(18)
求解该矩阵特征值问题，可得特征值和特征向量．其中特征值对应于连续多段梁结构的自振频率．而将各阶特征向量代入式(5)中，可得连续多段梁的模态．
2 数值计算与分析
位移级数式(5)只能取有限项计算，经验证，当j的最大值q至少取5时，所得的一阶自振频率具有良好的精度；为保证精度，以下算例中q取值均为10．具体计算时，多段梁中设置的所有耦合弹簧刚度kp，p+1,Kp,p+1均取1012EImax(EImax表示各段梁弯曲刚度的最大值)．端部约束中的无穷大弹簧刚度值取1012EImax，如简支边界时，线弹簧刚度值取1012EImax，旋转弹簧刚度值取0；而线弹簧和旋转弹簧刚度值取有限值时，可模拟弹性约束边界条件．
在以下叙述中，简支边界记为P，自由边界记为F，固定边界记为C．
2.1 双段圆截面梁的振动特性分析
算例1 以双段悬臂梁的自由振动来验证本文方法的正确性．截面为圆截面，L=150 mm，E1=E2=210 GPa，ρ1=ρ2=7 800 kg/m3．第一段圆截面的直径d1=40 mm，第二段圆截面的直径d2分别取20，30，35 mm．当两段梁长度比L1/L2取不同值时，本文将所得一阶频率与解析法的结果进行对比．表1～3中解析法的结果均按文献[5]的步骤，由笔者重新计算得到．其中，括号内数值为本文与解析法[8]数据比较的误差，且后文表2和表3中的误差定义相同．由表1可知，悬臂边界条件下多段梁的一阶自振频率随着L1/L2的减小而不断增大，但当L1/L2达到一定值后，双段梁的自振频率随L1/L2的减小而减小．
图3 双段悬臂梁示意图
Fig. 3 Schematic diagram of a 2-segment cantilever beam
算例2 双段悬臂梁L1=117 mm，L2=33 mm，E1=E2=210 GPa，ρ1=ρ2=7 800 kg/m3．第一段梁的圆截面直径d1=40 mm，改变d1和d2比值，本文方法所得的一阶频率值与解析法结果[5]进行对比，数据完全吻合．由表2可知，悬臂边界条件下双段梁的一阶自振频率随着d1/d2的减小而不断减小．
表1 C-F边界下双段梁的一阶自振频率随L1/L2的变化
Table 1 The 1st natural frequencies of a 2-segment cantilever beam with variations of L1/L2
d2/mmitemL1/L283.521.751.2510.50.220analytical solutionω/(rad/s)9 574.6111 217.212 654.713 055.712 584.211 691.98 198.115 656.26this paperω/(rad/s)9 568.011 220.812 656.912 860.312 588.911 694.18 199.355 656.58error δ/%-0.070.030.02-1.51.50.020.020.0130analytical solutionω/(rad/s)8 876.489 556.3410 044.810 125.610 191.110 090.89 109.157 580.81this paperω/(rad/s)8 886.369 560.5310 049.810 132.210 194.910 094.69 111.477 581.9error δ/%0.110.040.050.070.040.040.030.0135analytical solutionω/(rad/s)8 494.578 796.668 994.529 027.129 062.289 038.48 707.978 015.87this paperω/(rad/s)8 518.438 808.719 002.269 035.019 069.379 043.328 711.38 017.29error δ/%0.280.140.090.090.080.050.040.01
表2 C-F边界下双段梁的一阶自振频率随d1/d2的变化
Table 2 The 1st natural frequencies of a 2-segment cantilever beam with variations of d1/d2
itemd1/d287654321analytical solutionω/(rad/s)13 088.013 048.912 981.112 864.712 653.012 222.511 184.08 108.31this paper ω/(rad/s)13 092.413 057.112 979.712 869.512 654.712 219.011 184.58 125.35error δ/%0.030.06-0.010.040.01-0.0300.21
算例3 悬臂边界的圆截面双段梁，L1=117 mm，L2=33 mm,ρ1=ρ2=7 800 kg/m3，两段梁的圆截面直径分别为d1=40 mm，d2=38 mm．当弯曲刚度比E1I1/(E2I2)改变时，本文所得一阶自振频率见表3，与解析法结果[5]对比可知，频率误差小于0.13%．且发现双段悬臂梁的自振频率随着E1I1/(E2I2)的减小而不断增大．
表3 C-F边界下双段梁的一阶自振频率随E1I1/(E2I2)的变化
Table 3 The 1st natural frequencies of a 2-segment cantilever beam with variations of E1I1/(E2I2)
E1/GPaE2/GPaE1I1/(E2I2)ω/(rad/s)analytical solutionthis papererror δ/%127702.2276 508.146 513.200.082061202.1088 289.248 296.170.08108681.9496 002.426 007.260.081451031.7296 955.796 962.050.092061731.4628 291.848 302.740.13
2.2 多段梁的振动特性分析
算例4 两端固定的三段梁结构，参数选取如下：L1=L3=247.6 mm,L2=508 mm，各段截面均为矩形，宽度分别为b1=b3=38.2 mm,b2=25.7 mm，高度分别为h1=h2=h3=3.6 mm,材料系数为E1=E2=E3=26.3 GPa，ρ1=ρ2=ρ3=1 800 kg/m3(上述各参数下标1,2,3分别对应于图示梁的左、中、右段)．
本文所得该三段梁的前五阶自振频率见表4．与文献[15]比较后发现这些自振频率的误差均在较小范围内．根据计算结果，绘出该连续三段梁结构的第一、二阶模态图如图5、6所示．由模态图可直观地得出三段梁在段与段连接处的位移函数及其一阶导数均连续．
图4 某两端固定的三段梁示意图
Fig. 4 Schematic diagram of a 3-segment beam with 2 ends clamped
表4 C-C边界下某三段梁的自振频率
Table 4 Natural frequencies of the 3-segment beam with clamped-clamped boundary conditions
frequencyω/Hzref. [15]this papererror δ/%ω116.1316.11-0.12ω241.1041.00-0.24ω378.6878.680ω4130.55130.550ω5195.01195.010
图5 两端固定的三段梁的一阶模态图 图6 两端固定的三段梁的二阶模态图
Fig. 5 The 1st-order modal shape of the 3-segment Fig. 6 The 2nd-order modal shape of the 3-segment beam with 2 ends clamped beam with 2 ends clamped
3 结 语
基于谱几何法和Hamilton原理，假设各段梁挠度的谱几何形式，利用矩阵特征值问题研究了任意边界条件下连续多段梁的振动特性．所提方法具有规范性和高效性．算例结果验证了方法的计算误差较小，本文理论为工程中连续多段梁的振动特性分析提供了良好的参考价值．
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