引 言
关于梁方程全局吸引子的存在性问题已有很多研究[1-9],如Ma等[9]研究了轴向力作用下弹性梁方程
R+
(1)
在非线性边界条件
(2)
下解的长时间动力学行为．
Wang等[10]研究了含有转动惯量与结构阻尼项的梁方程
R+
(3)
在非线性边界条件
(4)
下解的存在唯一性和整体吸引子的存在性．
对于力学中梁结构所确定的无穷维动力系统的研究,很多学者讨论的都是假设梁在对称平面内的弯曲振动,如果不是这种情况,通常梁的弯曲振动将会与扭转振动结合起来[11-12]．因此本文在前人的基础上[13-14]，探究如下含有结构阻尼的弯曲与扭转耦合的梁方程组：
(5)
其中uxxtt表示转动惯量项,非线性项
是梁受到轴向力作用的结果,非线性项
是表示结构阻尼的一个耗散项,p(x),q(x)都是静载荷向量．方程中的系数c,η1,α,γ,δ,β0为常数,且c2<γ,(x,t)∈(0,l)×R+．下面考虑在非线性边界条件
(6)
和初始条件
u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), v(x,0)=v0(x), vt(x,0)=v1(x)
(7)
下的全局吸引子．
1 空间和函数假设
1.1 空间假设
假设梁方程组定义在一维空间,设Ω=(0,l),本文分析基于如下Sobolev空间：
U={u∈H1(0,l)|u(0)=0},
V={u∈H2(0,l)|u(0)=ux(l)=0},
W={u∈V∩H4(0,l)|uxx(0)=0}．
设空间H1=W×W×W×W,由边界条件(6)可知初始条件满足下式:
(8)
设空间
在H0定义如下范数：
1.2 函数假设
1) 函数fi,gi:R→R∈C1(R),并且满足fi(0)=gi(0),存在常数ki,pi,mi,ρ,r≥0(i=1,2),对∀u,v∈R,有
(9)
|fi(u)-fi(v)|≤ki(1+|u|ρ+|v|ρ)|u-v|,
(10)
(gi(u)-gi(v))(u-v)≥pi|u-v|2,
(11)
|gi(u)-gi(v)|≤mi(1+|u|r+|v|r)|u-v|,
(12)
其中
在本文中均取ρ=r=0．
2) 函数M(·),N(·)∈C1(R),M(0)=N(0)=0,均为非减函数且满足
(13)
M(s)≥N(s)≥a+bsτ， a,b>0, τ≥1, ∀s∈R+，
(14)
其中
3) 函数p(x),q(x)∈L2(0,l)．
2 整体解的存在唯一性
定理1 设空间H1和函数fi(·),gi(·),M(·),N(·)的假设条件均成立,若对于任何初值(u0,u1,v0,v1)∈H1,系统(5)～(7)上有唯一的正则解(u(x,t),v(x,t))满足
R+,W)∩C0([0,∞);V)∩C1([0,∞);U),
R+,W)∩C0([0,∞);V)∩C1([0,∞);U),
其中M1>0仅依赖于初始值p,q,不依赖t>0．
证明(近似解) 设ωj为W的基,对m∈N,令Wm=span{ω1,ω2,…,ωm},则有函数:
对∀ω∈Wm,此函数对(um(x,t),vm(x,t))是如下逼近系统的解:
(15)
(16)
(17)
且满足初始条件
事实上,上述方程组是关于时间t的m×m常微分方程组．由Peano定理知,在[0,tm]上存在一个解(um(x,t),vm(x,t)),接下来对近似解估计,把区间[0,tm]延拓到[0,T],∀T>0．
估计1 在式(15)中取
在式(16)中取
两式相加，再在区间(0,t)(t≤tm)上积分,得
(18)
1) 由函数假设条件(9)、(11)知等式左端后四项都大于0．
2) 因为c2<γ,所以
利用Young不等式得
(19)
则式(18)变为下面的不等式:
利用Gronwall引理,可得
其中M1是一个与m无关的正常数．
估计2 在式(15)中取
在式(16)中取
并取t=0,将两式相加,应用边界条件和Schwarz不等式,可得存在常数M2>0，对∀t∈[0,T]有
估计3 在式(15)中分别取t=t+ξ,t=t得新的两式,然后将两式相减后再取
同理,在式(16)中用类似方法,但此时取
最后两式相加可得,存在一个常数M3>0,使得
∀t∈[0,T]．
唯一性 假设
是系统(5)～(7)的两个解,记
在式(5)的第一个方程中分别取
得新的两式,然后将两式相减后再与wt做内积,在第二个方程中分别取
得新的两式,再将两式相减后与
做内积,最后两式相加,应用中值定理、Young不等式及估计1和3,可得存在一个常数C>0,有
根据Gronwall引理,得
所以
唯一性证毕．
因为uxx,uxxt,vxx,vxxt∈L2(0,∞;L2(0,l)),则u(x,t),v(x,t)∈C0([0,∞);V),也可得u(x,t),v(x,t)∈C1([0,∞);U)．定理1证毕．
下面根据稠密性理论,证明系统(5)在初边值(6)、(7)下弱解的存在唯一性．
定理2 设空间H0与函数fi(·),gi(·),M(·),N(·)假设条件均成立,对于任何初值(u0,u1,v0,v1)∈H0,系统(5)～(7)在H0中存在唯一只与初值有关的弱解．
证明 设(u0,u1,v0,v1)∈H0,因为H1在H0中稠,则存在
使得
在V中,
在U中,
在V中,
在U中．
对于任意一个n∈N,存在(un,vn)满足系统(5)～(7),有下列关系式成立：
(20)
(21)
(22)
对式(20)中的第一个方程与utn做内积,第二个方程与vtn做内积,两式相加,可得
‖utn‖2+‖vtn‖2+‖uxxn‖2+‖vxxn‖2+‖uxtn‖2+‖vxn‖2≤C，
(23)
其中C是一个与n∈N无关的正常数．
设(un,vn),(um,vm)是式(20)的两组解,令
N,与正则解的唯一性步骤相似,并且考虑到
的收敛性,则存在(u,v)满足un→u在C([0,T);V)强收敛,utn→ut在C([0,T);U)强收敛,vn→v在C([0,T);V)强收敛,vtn→vt在C([0,T);U)强收敛．
由上面的收敛性并取n→∞,则有
(24)
定理2证毕．
注1 由定理2可知系统(5)～(7)能在空间H0上定义一个连续半群．如果(u0,u1,v0,v1)∈H0,那么可以引入映射S(t)t≥0:(u0,u1,v0,v1)→(u(t),ut(t),v(t),vt(t)),它是H0到H0的一个映射并且满足半群性质,则S(t)是定义在H0上的连续半群．
3 全局吸引子
定义1[15] 对任何一个有界集B⊂H,存在tB=t(B)≥0满足S(t)B⊂B,∀t≥tB,则有界集B⊂H是半群S(t)的一个吸收集,定义(H,S(t))是一个耗散的动力系统．
定理3 在定理2的假设(u0,u1,v0,v1)∈H0下,系统(5)～(7)相对应的半群S(t)在空间H0上存在有界吸收集．
证明 任取一个有界集B∈H0,使初值(u0,u1,v0,v1)∈B,满足(u,ut,v,vt)=S(t)(u0,u1,v0,v1)．首先,我们给出能量等式：
(25)
基于修正能量等式
定义辅助函数
(26)
因为u(0,t)=ux(l,t)=uxx(0,t)=0,所以有
(27)
系统(5)的第一个方程与ut+εu做内积,第二个方程与vt+εv做内积,然后将所得两式相加并整理有
2ε(‖ut‖2+‖uxt‖2)-εN(‖ux‖2)
uxuxtdx+3εc(ut,vt)+
εαg1(ut(l,t))u(l,t)-εδg2(vt(l,t))v(l,t)+2γε‖vt‖2．
(28)
1) 根据条件(11)得
|αg1(ut(l,t))ut(l,t)|≥αp1|ut(l,t)|2, |δg2(vt(l,t))vt(l,t)|≥δp2|vt(l,t)|2．
2) 根据条件(9)得
(29)
3) 根据条件(12)、式(27),结合Young不等式有
(30)
4) 根据均值不等式,得
(31)
把上述估计代入式(28),得
(32)
取
当ε足够小时,可得
(33)
当k1>0充分小时,有α-6αk1l3>0,可得
当k2>0充分小时,有δ-6δk2l3>0,可得
根据条件(14)可得
(34)
又因为
所以取
当ε足够小时,
(35)
取0<ε≤min{ε1,2η1/(3(c+γ))}，当ε足够小时,
由条件(13)和(14)可得
(36)
把上述估计式(33)～(36)代入式(32)可得
(37)
在不等式(37)两边加2εL0+εl4‖p‖2+εl4‖q‖2,并且考虑到
可得
(38)
现在我们定义
依据条件(27)知
-pudx≥-l2‖p‖·‖uxx‖≥-l4‖p‖2-1/4‖uxx‖2,
-qudx≥-l4‖q‖2-1/4‖vxx‖2,
并由
可得
(39)
其中ρ0是与α,δ,c,γ有关的正常数．
根据φ(t)的定义，并利用Young不等式,得
(40)
其中C0=max{1+c,(γ+c)/γ,((1+c)l4+l2)/α,(γ+c+η1)l4/δ}．不难推出,当ε足够小时,有
(41)
结合
的定义,同时把式(41)代入式(38),得
应用Gronwall不等式有
ε(2L0+ L1+ L2+l4‖p‖2+ l4‖q‖2)(1+εC0)(1-e-t/(1+εC0))．
(42)
因为正不变集B有界,Eε(0)也有界,则存在tB>0,当tB足够大时,有
(43)
从式(39)可得,∀t>tB,有
因此
是系统的一个有界吸收集．
引理1[15] 设H是一个Banach空间,对于任何正不变有界集B⊂H,∀ε>0,∃T=T(ε,B),满足
‖S(T)x-S(T)y‖≤ε+φT(x,y), ∀x,y∈B，
这里φT:H×H→R满足对于任意序列{zn}∈B,
那么半群S(t)在H中渐近光滑．
引理2[15] 若S(t)是定义在度量空间H上的耗散的连续半群,当且仅当它在H中渐近光滑,则S(t)在H中有紧的全局吸引子．
定理4 在定理2的假设(u0,u1,v0,v1)∈H0下,系统(5)～(7)相对应的半群S(t)在H0中渐近光滑．
证明 任取一个有界集B∈H0,给定初值
设是系统(5)～(7)的弱解,那么
是下面系统的弱解:
(44)
其中
边界条件为
(45)
设能量等式
定义辅助函数
式(44)的第一个方程与wt+μw做内积,第二个方程与
做内积,将所得两式相加得
(46)
根据条件(11)得
(47)
因为N(s)≥a+bsτ(a,b>0,τ≥1),可得
N(‖ux‖2)‖wxt‖2≥(a+b‖ux‖2τ)‖wxt‖2．
接下来我们估计式(46)的右边．由前面解的存在性可得
满足估计
为了简化一些记号，定义C是一个仅依赖于集合B的正的常数．
首先,因为M(·),N(·)∈C1(R),N(0)=0,并且‖ux‖2≤C,可得M′(‖ux‖2)≤C,N(‖ux‖2)≤C,然后我们有
(48)
根据中值定理并注意到M(a2)-M(b2)≤M′(sup{a2,b2})|a+b||a-b|,N(a2)-M(b2)≤N′(sup{a2,b2})|a+b||a-b|,我们有
(49)
由条件(10)得
(50)
(51)
由条件(12)得
(52)
将估计式(47)～(52)代入式(46),整理得到
(53)
取0<μ≤min{α/3l+3,η1/2c+2γ},当μ充分小时,有
(54)
定义Fμ(t)=F(t)+μψ(t),通过类似证吸收集时的讨论,知|Fμ(t)-F(t)|=|μψ(t)|≤μC0F(t),进一步推出
(1-μC0)F(t)≤Fμ(t)≤(1+μC0)F(t)．
(55)
把式(55)代入式(54),得
其中
利用Gronwall引理,得
另一方面有
其中ρ1是一个只与系数δ,γ,β0,α,c有关的常数．
因此能找到一个只依赖于B的常数CB>0,使得
(56)
对于任意给定的ε>0,存在T,当T足够大时,有
(57)
并且定义φT:H0×H0→R为
然后由式(56)、(57),可得对任意的
有
令
是集合B中给定的序列, 因为B是有界的且是正不变的, 所以系统的解的对应序列(un(t),utn(t),vn(t),vtn(t))在H0中一致有界, 因此{un}, {vn}在C([0,∞),V)∩C1([0,∞),U)中有界．根据嵌入定理V
是紧的,则存在子序列{unk},{vnk}在
中一致强收敛：
则有
因此,半群S(t)在空间H0渐近光滑．
定理5 根据引理2、定理3和定理4，得系统所确定的半群S(t)在空间H0中有全局吸引子．
4 总 结
本文讨论具有非线性边界的耦合梁方程组的适定性和全局吸引子的存在性．首先用Galerkin方法讨论解的适定性,然后利用压缩函数方法证明算子半群在相空间的渐近光滑,得到全局吸引子的存在性．具体有以下结论:
1) 当初始值(u0,u1,v0,v1)∈V×U×V×U时,系统存在唯一的弱解;当初始值(u0,u1,v0,v1)∈W×W×W×W时,系统存在唯一的正则解．
2) 在弱解的情况下,通过证明系统存在有界吸收集和半群的渐近光滑性得到全局吸引子．
3) 从数学角度来看,本文得到系统在一定的初边界条件下存在弱解和正则解,并且系统有有限维吸引子,这与许多带有耗散结构的无穷维动力系统的有限维化结论相一致．即虽然所给系统是无穷维动力系统,但随着时间的延续,这个无穷维的动力系统具有有限维动力系统的性质．
4) 从力学角度来看,无穷维动力系统的有限维化,使得我们的解可通过“有限模态”来刻划无穷维系统,为合理的Galerkin截断提供了理论依据．另一方面证明的系统解的存在性、系统的有限维吸引子的存在性,为之后的数值计算分析也提供了理论保障,由于篇幅所限相关的数值计算结果另文讨论．
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