引 言
功能梯度材料(functionally graded material,FGM)是一种新型的复合材料[1-3],其宏观特性在空间位置上呈梯度连续变化,进而可以避免传统层合材料中界面处容易产生应力集中的现象．但是,由于材料本身属性、制备过程及工作环境等原因,FGM内部不可避免地会存在裂纹,容易降低材料及结构的强度甚至破坏．因此,研究FGM的断裂/裂纹问题具有重要的意义．
裂纹问题自始至终都是功能梯度材料研究的热点之一．与均匀材料相比,FGM的非均匀性给裂纹问题的研究带来了复杂性．目前，对含裂纹的FGM的研究大多局限于二维问题．在数值研究方面,Eskandari[4]采用三维有限元方法对受到内压和离心力作用的含有纵向半椭圆内表面缺陷的厚壁FGM圆柱进行了分析；Nojumi等[5]采用梯度奇异单元研究了具有空间变化弹性参数的线弹性各向同性FGM的动态裂纹问题；Cheng等[6]采用边界配置法研究了压电FGM矩形板的断裂问题；Bouchikhi[7]利用ABAQUS研究了拉伸荷载作用下FGM双刃切口板的断裂问题．在解析研究方面,Cheng等[8]研究了含裂纹FGM条带的平面弹性问题,分析了几何参数及梯度参数对应力强度因子和应变能释放率的影响；薛雁等[9]通过研究含有多个共线Griffith裂纹的磁电弹性FGM板，最终导出了场强度因子和能量释放率；程站起等[10]提出了一种可以处理任意材料梯度的分层模型,并用来研究FGM涂层平面裂纹问题；刘俊俏等[11]研究了带FGM的压电底层中周期裂纹对SH波的散射,给出了标准动应力强度因子和电位移强度因子的表达式；蒋正文等[12]提出了一种施加温度场建立FGM板分层线性离散模型的方法，并进行了断裂力学分析．据笔者了解,目前对含Griffith裂纹的FGM板的三维解析研究较少．解析解能为理论模型等提供假设依据、验证各种数值解法的精确性,同时有助于更好地理解含裂纹FGM板的宏观力学行为．
在前期研究的基础上[13-16],本文进一步针对FGM板中Griffith裂纹尖端的三维应力场进行研究．基于三维弹性理论,利用England-Spencer板理论结合复变函数解法和保角变换技术获得Griffith裂纹尖端应力场的三维解析解．
1 基 本 理 论
England-Spencer板理论是一个基于三维弹性理论的各向同性功能梯度平板理论,其三维位移解答由经典薄板方程的二维解答和板厚方向坐标的函数构成，材料参数在厚度方向可以任意连续变化．该板理论采用的唯一假设就是上述三维位移场的假设．笔者将England-Spencer板理论从材料的各向异性和不同形状板的边值问题等方面做了推广[13-16]．
现考虑一个厚度为h的横观各向同性FGM无限大板,如图1所示，取板中面为xOy平面,z轴垂直于xOy平面．采用推广后的England-Spencer板理论中的如下三维位移场[14]:
(1)
式中
和
为板中面的位移分量,均为坐标x和y的函数;R0,R1,R2,T1和T2均为坐标z的函数;
(2)
当板上下表面无应力作用时,板中面位移的表达式可用4个解析函数α(ζ),β(ζ),φ(ζ),ψ(ζ)表示为
(3)
(4)
此时,应力分量表达式为
(5)
σy-σx+2iσxy=
(6)
(7)
式中κ1和κ2为常数[15]．积分式(5)～(7)可得由4个解析函数表示的内力表达式[16]．
图1 含一个椭圆孔的FGM板示意图
Fig. 1 Schematic diagram of an FGM plate with an elliptical hole
2 横观各向同性FGM无限大板中含椭圆孔的三维问题
本文从考虑含椭圆孔的FGM无限大板的三维问题分析入手,当短半轴长度趋于零时,椭圆孔口便退化为Griffith裂纹．当椭圆孔边界L为自由边界时,其边界条件可以用矩阵形式表示为[16]
(8)
式中t=x(s)+iy(s)是孔边界L上的点,x(s)和y(s)是边界点坐标,s是从L上某点开始按指定方向计算的弧长．显然,t与s是一一对应的关系,且
(9)
其中ψ是边界L的外法线n与x轴的夹角,
为板柱面上一点(x,y,z)处的应力,以及
(10)
式中a1,a2,a5,a6,a7,b1,b2,b5,b6,b7,b8为与材料有关的常数，参见附录．
式(8)的共轭式为
(11)
引入如下保角变换函数：
(12)
式中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴．
该保角变换函数将椭圆孔的外部变成单位圆γ的外部,即ζ=∞对应η=∞．用ζ=t表示孔边界L上的点,η=σ=eiθ表示单位圆γ上的点,L对应于η平面上的中心单位圆γ,θ表示γ上任一点σ与原点的连线与x轴的夹角．
将函数Φ(t)和Ψ(t)保角变换,可得
(13)
(14)
式中上标“·”表示实部; C,B,B1为与裂纹边界力和力矩有关的量,表达式为
(15)
(16)
经保角变换后,式(8)和式(11)变换为
(17)
(18)
3 三维Griffith裂纹问题
令短半轴b=0,此时椭圆孔口便退化为一个沿厚度方向贯穿板结构的长度为2a的Griffith裂纹,如图2所示．
图2 含Griffith裂纹的FGM板示意图
Fig. 2 Schematic diagram of an FGM plate with a Griffith crack
此时保角变换函数为
(19)
此时式(17)为
(20)
式中
(21)
对式(20)和式(21)求共轭,可得
(22)
(23)
将式(22)与式(20)均写成Cauchy积分的形式,分别可得
(24)
(25)
如果式(24)中Q0的Cauchy积分已知,则可求得Φ0(η),再由式(25)即可求得Ψ0(η),其中Ψ0(∞)不影响应力，故可以略去．
由式(5)～(7)可得应力分量的矩阵形式:
(26)
σy-σx+2iσxy=
(27)
(28)
4 受无穷远处荷载作用时裂纹尖端应力场
当三维Griffith裂纹受无穷远处荷载N1,N2,N12,M1,M2,M12作用时,假设Θ为荷载N1与x轴的夹角,且N2与N1垂直,此时Φ(η)和Ψ(η)的表达式为
(29)
(30)
式中
(31)
对式(19)反变换,可得
(32)
现考虑一个三维张开型裂纹,即N1=N12=0,M1=M2=M12=0,N2作用方向垂直于x轴(即Θ=0)．将式(31)和式(32)代入式(29),可得
(33)
式中
(34)
将式(10)、(31)和式(32)代入式(30)可得
(35)
式中
(36)
裂纹尖端附近的点可用极坐标表示为ζ=a+r1eiθ1,r1表示裂纹尖端(最右端)附近的圆周半径,有r1/a≪1,如图3所示．
图3 极坐标示意图
Fig. 3 Schematic diagram of the polar coordinates
将裂纹尖端附近的r1/a进行幂次展开,只保留其中随着r1的减小而增大的主项; 为了便于与已有二维解析解比较,这里特别取板中面进行分析,即令z=0,此时有
R0=R1=R2=T1=T2=0．
(37)
若材料由横观各向同性功能梯度材料退化为各向同性均匀材料,则有
(38)
式中E为弹性模量,ν为Poisson比．可得
(39)
(40)
式中N2/h表示荷载集度．
该问题的二维弹性力学解为[17]
(41)
式中q表示荷载集度．
可以发现,式(39)与式(41)1完全一致; 式(40)与式(41)2相比,式(40)多了与Poisson比ν有关的项以及
的高阶项．
5 受均匀内压作用时裂纹尖端应力场
当三维Griffith裂纹在裂纹面内受均匀荷载
和
作用时,Φ(η)和Ψ(η)的表达式为
(42)
(43)
式中
(44)
现考虑一个三维张开型裂纹,有
将式(32)和式(44)代入式(42)可得
(45)
将式(45)代入式(26),并将裂纹尖端附近的r1/a项幂次展开,只保留其中随着r1的减小而增大的主项; 令z=0,并退化至各向同性均匀材料,可得
(46)
该式与二维弹性力学解[17]完全一致．
将式(10)、(32)、(44)代入式(43)可得
(47)
将式(45)和式(47)及ζ=a+r1eiθ1代入式(27),退化后可得各向同性均匀材料板中面处的应力分量表达式为
σy-σx+2iσxy=
(48)
对应的二维弹性力学解为[17]
(49)
可以发现式(48)同样多了与Poisson比ν有关的项以及
的高阶项．
6 数 值 算 例
现考虑一个含Griffith裂纹的无限大FGM板,假设无限大板的材料参数形式为[15]
(50)
式中
为板底面处的材料参数,如表1所示．参数λ为梯度指数,反映材料的不均匀程度．显然,当λ=0时,对应均匀材料．
表1 Al2O3的弹性常数(单位：GPa)
Table 1 Elastic constants of Al2O3 (unit: GPa)
c011c012c013c033c055460.2174.7127.4509.5126.9
除非另行说明,一般取裂纹长度a=1 m,板厚
算例验证
为了进一步验证本文解答的有效性,现将本文三维解析解与已有二维解析解进行数值比较,假设仅在裂纹面受均匀内压
作用．
表2给出了均匀材料时,裂纹右尖端附近的无量纲应力σy/σ,其中
可以发现,距裂纹尖端越远,本文解答与二维解吻合较好; 当距裂纹越近时,差异会逐渐增大,这是由于本文解答中含有的高阶项的原因．
表2 Griffith裂纹内受均匀内压作用时的无量纲应力σy/σ
Table 2 Dimensionless stress σy/σ under uniform internal pressure in the Griffith crack
r1/a10-210-11101102103present solution-28.162 6-1.468 4-0.154 9-0.004 2-4.901 8×10-5-4.990 0×10-72D solution[17]-6.124 0-1.400 4-0.154 7-0.004 2-4.901 8×10-5-4.990 0×10-7
6.2 参数分析
6.2.1 Griffith裂纹在无穷远处受单向拉伸作用
图4与图5分别给出了N2作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ沿r1方向的分布情况,θ1=0,λ=5．可以看到,图4与图5中三条曲线均在r1/a=0.5附近有一个明显的拐点．当r1→0时,板底面(z=-h/2)、板中面(z=0)和板顶面(z=h/2)的应力值均急剧增大,且板顶面处应力值最大,此时,板的三个面在x方向受压应力作用,在y方向受拉应力作用．
图6和图7分别给出了N2作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ随Θ的变化．可以发现,图6与图7中的三条曲线均关于Θ=0对称,应力最大值均发在Θ=-π,0,π时,且均匀材料的应力最大值要高于功能梯度材料的应力最大值．
图8和图9分别给出了N2作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ随θ1的变化,Θ=0．可以看到,图中三条曲线均关于θ1=0对称,且均匀材料的应力峰值最大．
图4 无量纲应力σx/σ沿r1方向的分布 图5 无量纲应力σy/σ沿r1方向的分布
Fig. 4 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 5 Distribution of dimensionless stress σy/σin the r1-direction in the r1-direction
图6 无量纲应力σx/σ随Θ的变化 图7 无量纲应力σy/σ随Θ的变化
Fig. 6 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 7 Distribution of dimensionless stress σy/σwith Θwith Θ
图8 无量纲应力σx/σ随θ1的变化 图9 无量纲应力σy/σ随θ1的变化
Fig. 8 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 9 Distribution of dimensionless stress σy/σwith θ1with θ1
图10 无量纲应力σx/σ沿z方向的分布 图11 无量纲应力σy/σ沿z方向的分布
Fig. 10 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 11 Distribution of dimensionless stress σy/σin the z-direction in the z-direction
6.2.2 Griffith裂纹仅在裂纹面受均匀内压作用
图10与图11分别给出了作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ沿z方向的分布情况．当λ=0时,由于问题的对称性,该曲线关于z/h=0对称．当λ=5和λ=-5时,无量纲应力的分布呈现镜面对称关系: 当λ=-5时,在板下表面处(z=-h/2)有无量纲最大压应力(x方向)和无量纲最大拉应力(y方向); 当λ=5时,在板上表面处(z=h/2)有无量纲最大压应力(x方向)和无量纲最大拉应力(y方向)．这一现象与沿厚度方向弹性常数的变化有关．由式(50)可得,当λ=-5时,材料的弹性常数在板底面处最大,从板底至板顶逐渐减至最小; 当λ=5时,材料的弹性常数在板顶面处最大,从板顶至板底逐渐减至最小．从而说明,沿着FGM板的厚度方向,弹性常数越大处承受的应力就越大．
图12与图13分别给出了作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ沿r1方向的分布情况．可以发现,随着r1的增大,即距裂纹右尖端越远,本文所得三维解析解与二维弹性力学解吻合程度越好; 距裂纹右尖端越近,如r1=0.01a时,二者差别较明显,这是因为本文解答中含有的高阶项的原因．随着梯度因子λ逐渐增大,无量纲应力最大值均逐渐减小．另外,与预期的一致,无量纲应力均在无穷远处趋向于零．
图14与图15分别给出了作用下,无量纲应力σx/σ与σy/σ随θ1的变化．可以看出,均匀材料时,x方向的无量纲应力峰值最大; 与受单向拉伸时不同,λ=5时,y方向的无量纲应力峰值最大．
图12 无量纲应力σx/σ沿r1方向的分布 图13 无量纲应力σy/σ沿r1方向的分布
Fig. 12 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 13 Distribution of dimensionless stress σy/σin the r1-direction in the r1-direction
图14 无量纲应力σx/σ随θ1的变化 图15 无量纲应力σy/σ随θ1的变化
Fig. 14 Distribution of dimensionless stress σx/σ Fig. 15 Distribution of dimensionless stress σy/σwith θ1with θ1
7 结 论
本文利用England-Spencer板理论研究了横观各向同性FGM板中Griffith裂纹尖端的三维应力场．假定材料参数沿板厚方向可以任意连续变化,利用复变函数解法和保角变换技术，分别获得了受无穷远处荷载作用和受均匀内压时裂纹尖端应力的三维解析解．当材料退化为各向同性均匀材料时,通过与已有二维解答比较,发现本文解答还包含了二维解答没有包含的与材料Poisson比ν有关的项以及的高阶项．通过数值算例进一步讨论了材料梯度因子、荷载作用位置及加载方向等因素对Griffith裂纹尖端三维应力场的影响．结果表明,这些因素对FGM板中Griffith裂纹尖端应力场分布有重要的影响．因此,在工程应用中,可通过适当调整这些参数来缓解FGM板中裂纹尖端的应力集中现象,从而优化其宏观力学性能．
本文获得的Griffith裂纹尖端三维应力场解析解完全满足弹性理论中的平衡方程及板上下表面的边界条件,只在板柱面边界处采用Saint-Venant原理对应力条件进行了放松．根据已有分析表明[16]，在裂纹附近大约一个板厚范围内，本文解答会存在一定误差; 当远离该区域后本文获得的解析解便具有足够高的精度,可以作为基准解用于评价基于各种简化板理论或数值方法对于本文问题解答的有效性．
致谢 本文作者衷心感谢机械结构强度与振动国家重点实验室开放课题项目(SV2020-KF-13)对本文的资助．
附 录
其中
g6(z)=
c66(ξ)dξ, g7(z)=c66(ξ)ξdξ, g8(z)=c66(ξ)ξ2dξ,
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