引 言
现代高层建筑具有质量轻、柔度大、阻尼小等特性，使得风荷载成为影响其结构设计的控制荷载，为了降低结构的风振响应，可在结构上安装附加阻尼系统，以增加结构的能量耗散[1-2]．调谐液体阻尼器(tuned liquid damper，又称为TLD)作为一种有效的被动耗能减振装置，不仅具有造价低、结构简单、易于安装且控制性能良好等优势，还可以节省建筑空间，如结合高层建筑设计所必须的生活及消防水箱或室内游泳池等加以利用，在高层建筑风振控制中得到了广泛的应用．TLD又分为矩形TLD、圆柱形TLD(又称为TLCD)及U型TLD[3-4]，为部分充满液体(通常是水)所组成的水箱，一般置于建筑物的顶部．当建筑受到风荷载发生摇晃时，水箱内的液体也随之晃动，振动的部分能量从结构转移到TLD中，TLD再通过箱内液体在边界层的摩擦耗能而把能量耗散掉，进而达到减振作用．
由于水的黏滞性比较小，通过水箱边界层摩擦耗能所提供的阻尼比并不能满足TLD达到最佳调谐所需要的阻尼比值，因此可在水箱内部安置格栅、挡板、柱子等障碍物来提高能量耗散，进而达到增大水箱阻尼比的作用[5]．Tait [6]对内置有格栅的TLD，利用势流理论与虚功原理等方法推导了其阻尼比估算公式，并分析了液体的晃动特性；Molin等[7]分析了内置于水箱中部不同尺寸形状的格栅对水箱阻尼比的影响，并利用线性势流理论对模型进行求解；Biswal等[8]利用势流理论并结合有限元方法，研究了内置有挡板与无挡板情况下，矩形水箱受正弦激励作用时液体晃动的特性，发现有挡板的水箱更能抑制液体的晃动；Cho 等[9]对挡板的开孔率、浸没深度及位置等参数进行了研究；Nayak等[10]通过试验方法对矩形水箱中分别安置有底部垂直挡板、液面悬挂式挡板和底部浸没物块的晃动特性进行了研究，结果表明液面悬挂式挡板对水箱的阻尼比贡献最显著；Goudarzi等[11]分别推导了底部安装有两块垂直挡板和左右侧壁安装有一对水平挡板的矩形水箱线性阻尼比计算公式，同时还研究了两块垂直挡板的间距对矩形水箱阻尼比的影响，并利用振动台试验进行了验证；Love等[12]利用等效线性模型,推导了内置有多排十字立柱的矩形水箱阻尼比计算公式；钟文坤等[13]利用能量耗散原理,推导了分别内置水平挡板和垂直挡板的矩形TLD水箱估算公式．
目前大多数学者对水箱TLD系统阻尼比的理论研究基本只考虑挡板或格栅等耗能装置本身的独立性或者其简单线性叠加作用，而忽略了其对液体晃动速度的影响，即水的动力相互作用对TLD系统阻尼比的影响．水在晃动时，具有较复杂的晃动特性[14-15]，从Goudarzi等[11]得到的理论值与试验值对比情况来看，当增加挡板数量后，在挡板间距较小时，理论计算值明显大于试验测得值．显然，挡板间距较小时，挡板间的水动力相互作用对水箱系统的阻尼比影响较明显，用现有的理论往往会高估其阻尼比．
如何评估挡板间水动力相互作用对TLD阻尼比的影响，该方面的研究甚少．基于此，本文以一矩形TLD水箱系统为研究对象，假定水箱底部受到的外加激励为正弦激励，利用能量耗散原理，分别推导了底部安装有多块垂直挡板和左右侧壁对称安装有多组水平挡板的矩形水箱阻尼比估算公式；然后，通过引入速度势函数修正因子来考虑挡板间水动力相互作用的影响，对矩形水箱系统的阻尼比估算公式进行了修正；最后，结合振动台试验来验证所提出的理论计算模型的准确性．
1 基 本 理 论
1.1 流体势流理论
假定TLD系统中的水是不可压缩、无黏性及无旋运动的理想流体，基于这一假设的前提可从以下两方面考虑: 一方面是对于应用在高层建筑抗风舒适度控制(风致加速度限值控制)的TLD系统而言，由于TLD系统底部受到的建筑物顶部所施加的外部激励(位移或加速度)幅值不大[16]，在这种情况下TLD内水的运动基本是处于线性运动状态，因此可以假定矩形TLD水箱中的水是不可压缩、无旋运动的；另一方面对于实际应用工程中内置有格栅、挡板等耗能装置的TLD系统，由水的黏性所提供的阻尼往往较小，可忽略不计[6]．基于势流理论， 对于理想运动的流体， 由流体力学[17]可知， 水的速度势函数φ(x,y,z,t)满足Laplace方程：
(1)
忽略y方向，只考虑x，z两个方向的维度，如图1所示的矩形TLD水箱，水的运动还应满足如下的边界条件：
图1 二维矩形水箱
Fig. 1 A 2D rectangular TLD tank
水箱侧壁(x=0，x=L)：
(2)
水箱底部(z=-h):
(3)
对于自由液面的线性化边界层条件为
(4)
联立方程组(1)～(4)，满足上述边界条件的速度势函数和自由液面波高函数可以表示为
(5)
(6)
式中，g为重力加速度，A为第n阶模态下水箱侧壁的液面波高幅值，ωn为第n阶模态下水箱的晃动频率．
1.2 挡板的阻力计算
当水箱受到外部激励作用时，水箱水会产生晃动，根据Morison等[18]的公式，水箱内的挡板dz段所受到的阻力dF可表示为
(7)
式中，v(x,z,t)为流向挡板的入射速度，ρ为水的密度，Cd为挡板的阻力系数，可进一步表示为[17]
Cd=8.0(KC)-1/3,
(8)
KC=UT/lb,
(9)
其中，U为v(x,z,t)的最大值，T为水箱的晃荡周期，lb为挡板的高度．
2 能量耗散原理
2.1 底部安装有垂直挡板的矩形TLD水箱阻尼比分析
只考虑x，z两个方向的维度，底部安装有多块垂直挡板的矩形水箱如图2所示．假定矩形TLD水箱底部受到的外部激励为正弦激励且液体是线性运动的，只考虑水箱的一阶振动模型并忽略挡板对水箱固有频率的影响，矩形水箱的阻尼比计算公式类似推导方法参照文献[13]．
为便于计算矩形水箱的能量耗散率，假设水箱底部无外部激励时，单块挡板以速度u(x,z,t)在四周静止的液体中做周期为T的振荡运动，则单块挡板所做的功W为
(10)
若矩形TLD水箱底部垂直安装有n(n=1，2，…)块挡板，则一个振荡周期T内水箱系统的能量耗散率D等于所有挡板做的功除以T[18]，即
(11)
作用在垂直挡板上液体的相对水平速度可表示为
(12)
图2 底部安装有垂直挡板的矩形TLD水箱
Fig. 2 A rectangular TLD tank with vertical baffles
式中，A0为一阶模态下水箱侧壁的波高幅值．令z=-h，代入式(12),可得
u(x,z,t)=-Ucos(ω1t),
(13)
(14)
将式(14)代入式(8)，可将垂直挡板的阻力系数Cdvi进一步表示为
(15)
将式(12)代入式(11)中，得
v，
(16)
(17)
(18)
(19)
分别再对式(18)、(19)进一步化简，得
(20)
(21)
在水箱内，能量耗散率D等于液体动能和势能的衰减速率
即
(22)
式中，E为动能和势能的总和，对于二维的矩形水箱且液体流动是线性的，可表示为[19]
(23)
水箱第一阶晃动频率ω1的表达式为[5]
(24)
根据上述关系，可得到底部安装有垂直挡板的矩形TLD水箱线性阻尼比ξv的计算公式：
(25)
由式(25)可以看出，矩形水箱系统的阻尼比大小没有直接体现出与外激励荷载幅值、激频比的关系，而是隐含在波高幅值A0中．Tait[6]把矩形TLD水箱内晃动的液体视为弹簧-质量-阻尼体系，建立了等效线性系统，如图3所示，并利用虚功原理推导了内置有格栅的矩形TLD水箱线性阻尼比计算公式，由该方法得到的阻尼比计算公式可直接体现出阻尼比与外激励荷载幅值、激频比的关系．为方便利用，参照此方法可对式(25)做进一步变换．
图3 矩形TLD水箱等效力学模型
Fig. 3 The equivalent mechanical model for the rectangular TLD tank
该系统在一阶模态下，运动方程为
(26)
式中，
表示水箱底部外加激励的加速度，xr表示等效质量块相对于水箱的位移，其等效质量、等效刚度和等效阻尼分别表示如下[5]：
(27)
(28)
ceq=2meqω1ξeq，
(29)
其中，b为水箱宽度．对式(26)进一步化简，得
(30)
矩形水箱等效线性模型的相对水平位移幅值与侧壁液面波高幅值的关系为[6]
A0=Γx0，
(31)
式中，Γ为模态参与因子，可表示为[6]
(32)
把式(31)代入式(25)，可得到底部安装垂直挡板的矩形TLD水箱等效线性阻尼比ξveq:
ξveq=ξ0x0,
(33)
(34)
式中，x0为矩形TLD水箱对应的等效线性模型的相对水平位移幅值，可表示为[20]
(35)
其中，X0为激励位移幅值，μ=ω/ω1为激频比．
2.2 侧壁上对称安装有水平挡板的矩形TLD水箱阻尼比分析
同样地，只考虑x，z两个方向的维度，假设条件与垂直挡板的一致，侧壁对称安装有多块水平挡板的矩形TLD水箱如图4所示．
推导方法类似2.1小节，可得到与外激励荷载幅值、激频比有关的侧壁对称安装有多块水平挡板的矩形水箱阻尼比估算公式：
(36)
(37)
图4 侧壁安装水平挡板的矩形TLD水箱
Fig. 4 A rectangular TLD tank with horizontal baffles
3 考虑挡板间水动力相互作用影响矩形TLD水箱阻尼比分析
Faltinsen[19]通过对作用在挡板上液体的速度势函数进行修正，来考虑挡板间水动力相互作用对附加质量系数的影响．当水平挡板的长度小于0.15L且到水面的距离大于0.1L，垂直挡板的上边缘到液面的距离大于0.2L时，挡板对水箱固有频率的影响可以忽略不计，当超出该范围时，就需要考虑挡板对水箱固有频率的影响[19]．尽管在上述范围内可以忽略挡板对水箱固有频率的影响，即忽略由挡板引起的附加质量系数，但当两块或者更多挡板距离较近时，如图5所示，在液体晃动下，挡板间会存在强烈的水动力相互作用，进而会影响水箱的阻尼比．
基于此，本节利用类似的方法，对晃荡液体的速度势函数进行修正，来考虑挡板间水动力相互作用对矩形水箱的阻尼比产生的影响．对应的水动力学问题相当于在无限流场中流体绕过一前一后放置的两块平板，假定平面内的挡板沿x轴方向有一强迫速度V，则沿x轴的远场流速可表示为[19]
(38)
现考虑第二块挡板，该挡板本身以强迫速度V振荡，且暴露在背景水流中， 而该背景水流由前一块挡板所产生， 背景水流流速为v， 所以第二块挡板的流动问题相当于研究该挡板以V和v之差做强迫运动， 可表示为[19]
(39)
式(38)、(39)中，δ，lb分别为挡板间距和挡板高度．
图5 挡板间水动力相互示例 图6 β随δ/lb变化的函数图像
Fig. 5 A example of hydrodynamic interaction between the baffles Fig. 6 Variation of β with δ/lb
在液体晃动过程中挡板间的水动力作用是相互的，作用在第二块挡板上的液体速度会受到第一块挡板的影响，反之作用在第一块挡板上的液体速度也会受第二块挡板的影响，为此对作用在两块挡板上的液体速度同时进行修正．
考虑挡板间水动力相互作用的影响，引入速度势函数修正因子β，则作用在挡板上的液体速度势函数重新表示为
φ′(x,z,t)=φ(x,z,t)β，
(40)
(41)
速度势函数修正因子β与δ/lb的函数关系如图6所示．由图6可知，当δ≥3lb时，β的值接近于1，此时挡板间几乎不存在水动力相互作用；而0≤δ/lb<3时，挡板间的水动力相互作用对β的值影响较大，在δ/lb=0处可减小至0.5．
引入速度势函数修正因子β后，由式(8)、(9)可知，挡板间水动力相互作用对其阻力系数也存在影响，则垂直挡板与水平挡板的阻力系数可分别写为
(42)
(43)
式(42)和式(43)的波高幅值A0为理论预测值，考虑到阻力系数为实验性的经验系数，一般由试验确定，所以对于后述挡板阻力系数值，采用试验测得的波高幅值加以推算．由于试验中已存在水动力相互作用影响，可不再对式(42)和式(43)进行修正．
把式(40)代入式(5)和式(11)并重新化简，可得到考虑挡板间水动力相互作用后，矩形TLD水箱修正后的线性阻尼比估算公式．
对于底部安装有垂直挡板的矩形TLD水箱,阻尼比修正为
(44)
同理，对于侧壁上对称安装有水平挡板的矩形TLD水箱,阻尼比修正为
(45)
4 振动台试验
为了验证本文所推导的公式的准确性，利用振动台进行了一系列的试验研究，如图7所示．
(a) 垂直挡板 (b) 水平挡板
(a) The system with vertical baffles (b) The system with horizonal baffles
图7 振动台测试装置
Fig. 7 Configurations of the shaking table test system
试验中的振动台为小型电机振动台，台面尺寸为，(长)0.6 m×(宽)0.6 m；试验中的矩形TLD水箱尺寸为，(长)0.8 m×(宽)0.5 m×(高)0.6 m，该水箱由有机玻璃制作而成，厚度为1 cm；试验中的挡板也为有机玻璃制作而成，厚度为0.5 cm，高度为6 cm．振动台对水箱底部施加的激励为正弦位移激励x=Xsin(ωt)，X为位移激励幅值，激励的频率为ω=ω1．挡板间距大小可以通过调节螺母来任意控制．矩形TLD水箱自由液面的波高利用电容式数字波高仪采集，采样频率为100 Hz，波高仪放置在距水箱左侧壁1.5 cm处．
矩形TLD水箱的阻尼比可以通过自由液面波高的衰减曲线得到，对应的计算公式为[21]
(46)
式中，ui和ui+j分别为第i和第i+j周期下的波高幅值．
图8给出了试验中其中两种工况下归一化的波高η/ηmax衰减曲线．
(a) h/L=0.3， X0=1 mm，δ/L=0.4(b) h/L=0.375， X0=1 mm，δ/L=0.4
图8 归一化的自由液面波高衰减曲线
Fig. 8 Typical free vibration time histories of normalized sloshing wave heights
5 结 果 分 析
尽管与实际工程中由格栅、挡板等耗能装置所提供的阻尼相比，水自身的黏性所引起的黏滞阻尼较小，可忽略不计，但对于小缩尺比的水箱，水的黏滞阻尼影响却比较大[11]．为提高理论的估算效果，可把水的黏滞阻尼值一并计入水箱的总阻尼值中，水的黏滞阻尼比计算公式为[22]
(47)
式中，ν为水的黏度，b为水箱的宽度，αSC为水的表面光滑因子，通常取1．在以下结果对比中，理论计算的水箱阻尼比值均包含由水的黏滞性所产生的阻尼比值．
5.1 底部安装有垂直挡板的矩形TLD水箱阻尼比分析
试验中，以矩形TLD水箱底部安装有两块垂直挡板为例，分别开展了水深比h/L为0.3，激励幅值X0为0.5 mm和1 mm，挡板间距δ/L为0.05，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8的几种工况；水深比h/L为0.375，激励幅值X0为0.5 mm和1 mm，挡板间距δ/L为0.05，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7几种工况下水晃动的研究．理论与试验的对比结果如图9所示．
(a) h/L=0.3， X0=0.5 mm (b) h/L=0.3， X0=1 mm
(c) h/L=0.375， X0=0.5 mm (d) h/L=0.375， X0=1 mm
图9 随挡板间距变化的矩形TLD水箱线性阻尼比的试验值与预测值比较图(带垂直挡板)
Fig. 9 Comparison of measured and predicted linear damping ratios of rectangular TLD tanks with different spacings between vertical baffles
由图9可以看出，在δ/L≤0.2时，不考虑挡板间水动力相互作用影响即直接利用式(33)计算的阻尼比会远大于试验测得的值，在δ/L=0.05处，可达到两倍左右，而考虑挡板间水动力相互作用影响，引入速度势函数修正因子β对式(33)进行修正后，即利用式(44)计算的值与试验测得的值较接近；在δ/L>0.2时，随挡板间距变大，水动力相互作用影响也越来越小;在δ/L≥0.4后，挡板间的水动力相互作用几乎不存在，即利用式(33)和式(44)计算的值具有一致性．随两块挡板在水箱中部逐渐向水箱左右两侧移动时，即挡板间距逐渐增大，挡板间水动力相互作用影响逐渐变小，水箱的阻尼比在δ/L=0.2处达到最大值，利用式(44)计算的值与试验测得的值具有同样的趋势．
5.2 侧壁上对称安装有水平挡板的矩形TLD水箱阻尼比分析
试验中，以矩形TLD水箱侧壁对称安装有两块水平挡板为例，分别开展了水深比h/L为0.4，激励幅值X0为0.5 mm和1 mm，挡板间距δ/L为0.05，0.075，0.1，0.15，0.2，0.25几种工况下水晃动的研究．理论与试验的对比结果如图10所示．
(a) h/L=0.4， X0=0.5mm (b) h/L=0.4， X0=1 mm
图10 随挡板间距变化的矩形TLD水箱线性阻尼比的试验值与预测值比较图(带水平挡板)
Fig. 10 Comparison of measured and predicted linear damping ratios of rectangular TLD tanks with different spacings between horizontal baffles
由图10可知，水平挡板间距δ/L在0.05～0.2范围内，不考虑挡板间的水动力相互作用影响所估算的阻尼比值明显大于考虑挡板间的水动力相互作用影响所估算的值，在δ/L=0.05处，可达到40%左右，两者之间的差值随挡板间距的增大而减小；考虑挡板间的水动力相互作用影响所估算的值与试验测得的值比较接近，说明了式(45)在挡板间距较小时具有较好的估算效果．水平挡板间距δ/L在大于0.2后，考虑挡板间的水动力相互作用影响与否所估算的阻尼比值都与试验测得的值吻合得较好，说明随着水平挡板间距逐渐增大，挡板间的水动力相互作用影响越来越小．随着水平挡板间距增大，矩形TLD水箱的阻尼比也增大，但是，若水平挡板距离自由液面很近时，在水的晃动过程中将会出现砰击等非线性现象，会导致本文所推导的公式失效．
6 结 论
通过以上分析可知，对于内置有多块垂直挡板或者水平挡板的矩形TLD水箱，在挡板间距较小的情况下，挡板间的水动力相互作用对水箱阻尼比的影响较明显，不可忽视．采用现有的理论，往往会高估水箱的线性阻尼比，而本文通过引入速度势函数修正因子来考虑挡板间水动力相互作用的影响，对矩形TLD水箱的阻尼比计算公式进行修正后，得到的值与振动台试验测得的值较接近，在挡板间距较小时，能较好地估算水箱的阻尼比．
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