基于Udwadia-Kalaba方法的并联机器人鲁棒伺服约束控制*

韩 江1, 汪 鹏1, 董方方1,夏 链1, 赵晓敏2

(1. 合肥工业大学 机械工程学院, 合肥 230009;2. 合肥工业大学 汽车与交通工程学院, 合肥 230009)

摘要: 针对2自由度冗余驱动并联机器人轨迹跟踪控制问题,提出了一种基于Udwadia-Kalaba方程的鲁棒伺服控制方法在负载、外部干扰以及制造误差的影响下,无法得到机器人精确、完整的运动模型,导致机器人控制性能变差为解决这类不确定性带来的影响,提出了一种鲁棒控制方法该方法通过保证系统的一致有界性和一致最终有界性,使系统能够精确跟踪理想约束轨迹此外,该方法采用Udwadia-Kalaba方程,求解控制过程中满足系统理想约束所需要的约束力Udwadia-Kalaba方程不需要Lagrange乘子或伪广义速度等辅助变量,可以同时处理完整约束和非完整约束,且可以获得满足轨迹约束的约束力解析解利用Lyapunov函数对该鲁棒控制方法的稳定性进行了理论证明,并且通过仿真实验,验证了该鲁棒控制方法能够在非理想条件下实现给定轨迹的高精度跟踪控制

关 键 词: Udwadia-Kalaba方法; 鲁棒控制; 不确定性; 并联机器人; 约束控制

引 言

并联机器人是由动平台(或称为末端)和静平台(或称为支架)以及连接着它们的若干运动分支(或称为腿)组成的机械系统,具有动力性能好、承载能力强、精度高及刚度大等优点,目前在工业、医疗和航空等领域上得到了广泛应用并联机器人在实际应用中有自己的优势,但由于并联机器人结构之间的耦合关系十分复杂,通常是一个多参数耦合及高度非线性的复杂系统,这使得对并联机器人实现精确控制十分困难现有的控制方法大致有基于模型的控制方法、反馈控制法、PID控制方法、自适应控制法、鲁棒控制方法以及神经网络控制和模糊控制孟瞾[1]采用基于模型的机器人控制系统的开发方法,建立了针对机器人控制系统的元模型和领域模型郭盛等[2]为了对结构复杂的并联构型手控器进行力反馈操作,提出了一种基于虚拟仿真的动力学建模与控制方法,完成了根据碰撞信号在碰撞模拟的控制策略下生成准确的反馈力数据,很好地实现了力反馈控制效果苏玉鑫等[3]基于机器人关节位置测量,采用分散控制策略和非线性 PID控制算法,实现了6自由度并联机器人的高精度轨迹跟踪控制常青等[4]提出了一种四足机器人坡面运动自适应控制算法, 提高了机器人的运动稳定性郭伟斌等[5]针对机器视觉导航的除草机器人,对导航角和导航距这两个参数选择隶属函数,提出了一种模糊控制方法引导除草机器人沿着农作物行自动行走,验证了模糊控制方法对该机器人有较高的控制精度孔令文等[6]针对未知环境中六足机器人的自主导航问题,设计了一种基于模糊神经网络的自主导航闭环控制算法,并依据该算法设计了六足机器人的导航控制系统Yu等[7]针对2自由度并联机器人提出了一种基于Udwadia-Kalaba方程的轨迹跟踪控制方法,该方法将理想轨迹以约束的形式引入,并且可以同时处理完整约束和非完整约束,但这种方法对初始状态要求较为苛刻并联机器人常为一个复杂的不确定系统,常规的控制方法对并联机器人系统参数的不确定不具备鲁棒性,且应对负载变化导致的动力学特性的改变以及外部干扰的能力不强,因此常规的控制方法难以达到预期的效果

针对上述问题,本文提出了一种鲁棒控制方法该方法通过保证系统的一致有界性和一致最终有界性,使系统能够精确跟踪理想约束轨迹该鲁棒控制方法需要对满足理想约束轨迹所需要的约束力进行求解约束力的求解可以利用静力平衡方程和虚功原理等方法此外彭慧莲等[8]采用直角坐标和建立约束方程的局部方法,给出了一种求解多体系统约束力的方法利用第一类Lagrange方程建立多体系统的动力学方程时,系统的约束力是与Lagrange乘子有关的函数冯志友等[9]运用Newton-Euler法建立了该机构的逆动力学方程,在给定动平台的运动规律和外力后,通过动力学方程求解得出所需驱动力和约束力矩但这些方法都无法得到约束力的解析解本文通过Udwadia-Kalaba[10]方程,得到了满足系统理想约束所需要的约束力Udwadia-Kalaba方法不需要借助额外辅助变量,最为显著的优点是得到的约束力是解析解的表达式在实际情况中,由于模型的不确定性和初始约束状态不满足,使得单纯的基于Udwadia-Kalaba方法的伺服约束控制结果出现发散现象[11],无法实现期望的轨迹跟踪控制为了解决这类初始状态不满足以及模型不精确问题,本文在并联机器人系统中引入不确定性,提出了一种鲁棒控制器该控制方法保证系统的一致有界性和一致最终有界性,并且通过理论证明和仿真验证的方式,说明了该鲁棒控制方法的稳定性和有效性

1 并联机器人系统及约束力模型

一个2自由度冗余驱动并联机器人如图1所示,其由3个子系统组成,单个子系统如图2所示每个子系统的一端通过旋转关节固定在支座上,3个支座上的旋转关节由3个电机提供驱动力矩,另一端则连接在一个末端执行器上

图1 平面2自由度冗余驱动并联机器人

Fig. 1 A planar 2-DOF redundant-drive parallel robot

图2 子系统i

Fig. 2 Subsystem i

一般机械系统的动力学方程可以写成如下形式[12]

(1)

其中tR是时间变量, qRn为系统状态变量,是对应的速度向量,是对应的加速度向量,τRn是系统控制输入,M(q,t)代表质量/惯量矩阵,代表离心力/科氏力矩阵,G(q,t)代表重力矩G(q,t)具有适当的维数,并且假设M(·),C(·)和G(·)都是连续的

针对本文的研究对象——2自由度冗余驱动并联机器人来说,由于系统水平,所以重力势能始终不变根据式(1)可写出2自由度冗余驱动并联机器人的动力学方程,进一步将2自由度冗余驱动并联机器人的动力学方程改写成如下无约束形式[7]

(2)

其中,选取的状态变量q=[qa1,qb1,xa1,ya1,qa2,qb2,xa2,ya2,qa3,qb3,xa3,ya3]T,系数矩阵MC的定义及表达式参见附录A假设式(2)的系统存在m个约束(mn),即

(3)

其中l=1,2,3,…,m上述约束被看做是一阶形式,将一阶形式的约束写成如下矩阵:

(4)

其中A(q,t)为m×n阶矩阵(mn),c(q,t)为m×1阶列向量将一阶形式的约束对时间求一次导,可得

(5)

其中

在式(5)中,我们将二阶项放在等式左边,其余移项到等式右边,并设

(6)

联立式(5)和式(6),并写成矩阵形式:

(7)

其中A(q,t)为m×n阶矩阵,m×1阶列向量假设对于每一个(q,t)∈Rn×R,M(q,t)>0.根据Udwadia-Kalaba方法,系统模型(2)要满足约束(7)需要额外的约束力Qc

(8)

其中“+”为广义逆矩阵,该约束力服从d’Alember原理的Lagrange形式,且约束力为解析解,同时基于与“非约束系统”相同的系统状态变量

2 鲁棒控制器设计

2自由度冗余驱动并联机器人是一个相对复杂的多输入多输出非线性系统,其控制是十分复杂的由于测量和建模的不精确,再加上负载的变化以及外部扰动的影响,实际上无法得到机器人精确、完整的运动模型,所以我们在机器人动力学模型中引入不确定性概念包含不确定性的系统模型,可以用下面的方程(9)来描述:

(9)

其中σΣRp是不确定参数,Σ是紧凑且有界的, 代表着σ可能的边界

假设1 对于每一个(q,t)∈Rn×R,σΣ,都有M(q,σ,t)>0.

假设2 惯性矩阵M(q,σ)是一致正定的,而且存在常量使得

由于本文引入了不确定性,故可以将M(·),C(·)做如下分解:

(10)

式中表示已确定的部分,ΔM和ΔC则代表不确定性部分为表达方便,令

(11)

根据式(11)可得ΔD(q,σ)=D(q)E(q,σ)

假设3 存在一个常量ρE>-1(可能未知),使得对于所有的(q,t)∈Rn×R,都有

(12)

常量ρE一般是未知的,因为不确定性边界是未知的如果特殊情况下没有不确定度,那么(无不确定性),E=0,W=0,在这种情况下我们可以选择ρE=0

假设4 对于给定的PRm×m,P>0

Ψ(q,t)=PA(q,t)D(q,t)D(q,t)AT(q,t)P,

(13)

存在一个常数使得

(14)

矩阵Ψ(q,t)被认为是一致正定的,因此其最小特征值的下界为正

由于模型的不确定性,理想的约束力无法实现期望约束轨迹,即同时初始时刻t=t0时,系统有可能不满足理想约束,即β0.为了在非理想条件下使并联机器人实现理想轨迹,本文提出了如下控制器设计:

(15)

根据式(9),令

(16)

即为计算出的理想约束力在有确定性的情况下,可以使控制系统稳定和收敛:

(17)

考虑系统不确定性,为实现理想轨迹,令

(18)

式中

其中,满足所示自适应律当系统参数满足时,的大小随改变,但当过小时,的大小不至于变得无法控制

对于任意的函数定义如下:

(19)

通过选择合适的参数κ,ε>0,根据式(15)~(18),可以得到系统输入力矩τ在假设1~4的前提下,系统(3)在控制输入力矩τ的作用下,可以使得满足一致有界性和一致最终有界性

定理1 一致有界性:对于任意的r>0,有d(r)<∞使得如果β(·)是任意解,对于‖β(t0)‖≤r所有的tt0,都有‖β(t)‖≤d(r)

一致最终有界性:对于任意的r>0,其中‖β(t0)‖≤r,存在使得对于任意的并且成立,其中

3 控制器稳定性分析

稳定性分析采用Lyapunov方法,选取合适的Lyapunov函数V(β):

V(β)=βT

(20)

证明V(β)为合法的Lyapunov函数根据假设4可知,P为给定正定矩阵,设其最大特征值和最小特征值分别为λPmax,λPminλPmaxλPmin>0,故

λPminβ2V(β)≤λPmaxβ2

(21)

对于控制系统期望的相应轨迹β和系统存在的不确定度σ(t),V(β)的一阶导数如下:

(22)

联立式(11)和式(22),可得

(23)

根据式(8)可知

(24)

联立式(23)和式(24)可得

(25)

(26)

式(25)可以拆分为3部分,根据式(19)可得

(27)

根据式(17),将p12内参数全部展开可得

(28)

式中η=DAT由于ΔD=DE,根据式(18)可得

2(DATρ)T(I+E)(-γμ)=-2γμTμ-2γμT

-2γμ2-γμTλmin(E+ET)μ≤-2γ(1+ρE)‖μ2

(29)

时,

(30)

时,

(31)

联立式(25)~(30)可得,当时,

(32)

因为所以

(33)

联立式(31)~(32)可得

(34)

时,

(35)

则对于所有的ε>0都有

(36)

在假设1~4的前提下,选择合适的ερP,使得

(37)

V为合法的Lyapunov函数根据文献[13]的一致有界性,d(r)表示如下:

(38)

此外,一致最终有界性表示如下:

(39)

给定任意满足

(40)

根据式(38)、(39)可知,决定了一致最终有界性的半径,在选定了矩阵P后,当R→0时因此在ε→0时所以系统是稳定的

上述证明,利用合理的Lyapunov函数从理论上推导了所提控制器的稳定性同时保证了系统的一致有界性和一致最终有界性

4 数值仿真分析

本节通过MATLAB数值模拟的方法来验证所提出的鲁棒控制方法的有效性当然,单个子系统的一些动力学参数,例如连杆长度、连杆质量、质心位置、连杆相对质心的惯性矩等都是已知的,如表1所示

表1 连杆的动力学参数

Table 1 Link dynamics parameters

lengthL/mdistance from the barycenter to the rotating joint r/mmassm/kgmoment of inertia relative to the barycenter I/(kg·m2)La10.2440.115 01.252 50.012 4Lb10.2440.162 11.077 10.009 8La20.2440.065 71.366 30.012 2Lb20.2440.109 60.413 20.003 6La30.2440.065 71.366 30.012 2Lb30.2440.109 60.413 20.003 6

另外,还需要知道每个子系统各个连杆之间的初始角度值和三个基座的位置坐标,在这里我们假设速度/角速度和加速度/角加速度在初始时刻为0,并选择合适的机器人初始位置/角度状态变量q0=[1.301 5,2.175 2,0,0.25,2.910 5,1.459 3,0.43,0,2.981 0,1.877 6,0.426 9,0.500 5]T系统模型(2)的参数根据文献[14]可得

我们期望末端执行器Ex坐标和y坐标分别为时间t的函数fx(t)和fy(t),设理想的轨迹为fx(t)=xe1+0.01cos(t), fy(t)=ye1-0.01sin(t),其中理想x坐标变化曲线为余弦函数,理想y坐标变化曲线为正弦函数,合成理想的末端运动轨迹为平面内的圆根据式(7)可得约束方程为

(41)

其中

A1(q,t)=

(xe1,ye1)是选取的初始基准点的位置坐标,根据初始位置而定,为常数

在上述参数条件下,虽然初始条件没有完全符合理想约束,例如初始基座位置和初始连杆角度都不一定完全精确,同时加速度/角加速度在初始时刻也不一定都为0但所提鲁棒控制方法对这类初始状态不确定的情况有一定鲁棒性和适应性利用MATLAB数值模拟,比较利用所提鲁棒控制方法和常规PID控制方法的控制效果,以下为仿真验证结果

图3为机器人末端的x轴坐标轨迹从约束fx(t)=xe1+0.01cos(t)可知, 末端期望x轴轨迹为余弦函数图4为机器人末端的y轴坐标轨迹从约束fy(t)=ye1-0.01sin(t)可知,末端期望y轴轨迹为正弦函数从仿真结果可以看出,传统PID控制与理想轨迹有一定偏差,而所提的鲁棒控制则基本完全和理想轨迹重合,具有很好的鲁棒性,在非理想初始条件下,也能实现对理想轨迹的准确跟踪

按照给定理想轨迹约束,合成的实际轨迹为平面内的圆形图5为实际末端轨迹,从图5可以明显看出,本文所提鲁棒控制与传统PID控制相比有更佳的控制性能传统PID控制轨迹跟踪性能较弱,而鲁棒控制则能够较为精确地跟踪理想约束轨迹

图3 x轴坐标轨迹图

Fig. 3 The x-axis coordinate trajectory

图4 y轴坐标轨迹图

Fig. 4 The y-axis coordinate trajectory

图5 末端执行器轨迹图

Fig. 5 The trajectory of the end effector

图6 轨迹跟踪误差图

Fig. 6 The trajectory tracking error

表2为鲁棒控制器的跟踪误差与传统PID控制器的跟踪误差数据,图6为鲁棒控制器的跟踪误差与传统PID控制器的跟踪误差对比图从表2和图6左侧坐标轴可以看出,鲁棒控制器的跟踪误差最大不超过8.4×10-6 m,具有良好的轨迹跟踪性能从表2和图6右侧坐标轴可以看出,传统PID控制器的跟踪误差最大已经达到3.71×10-4 m,可知PID控制的轨迹跟踪性能相比鲁棒控制较弱

表2 鲁棒控制与PID控制下的跟踪误差对比

Table 2 The comparison of tracking errors under the proposed robust control and the PID control

tracking error of the x-axisMINAVGMAXtracking error of the y-axisMINAVGMAXtracking error of the end effectorMINAVGMAXrobust control Δfr/m06.28×10-68.15×10-601.5×10-61.95×10-607.98×10-68.37×10-6PID control ΔfPID/m08×10-67.7×10-508.8×10-53.71×10-401.57×10-43.71×10-4

综上仿真结果可知,本文提出的鲁棒控制,可以有效地在非理想初始条件下,准确地跟踪理想轨迹

5 结 论

由于机器人测量和建模的不精确,再加上负载的变化以及外部扰动的影响,实际上无法得到机器人精确、完整的运动模型对于这样一个复杂的不确定系统,常规的控制方法对并联机器人系统参数的不确定不具备鲁棒性,且应对负载变化导致的动力学特性的改变以及外部干扰的能力不强,因此常规的控制方法难以达到预期的效果为解决这类问题,本文在并联机器人系统中引入不确定性,将系统拆分为已知部分和不确定部分,并且提出一种鲁棒伺服约束控制为解决鲁棒控制中约束力求解问题,采用Udwadia-Kalaba 方法得到系统约束力解析解通过理论证明和仿真验证的方式,说明了该鲁棒控制方法的稳定性和有效性同时,对比传统PID控制,本文所提鲁棒控制具有较好的控制性能,轨迹跟踪能力更强,具有较好的鲁棒性综上所述,使用本文所提出的鲁棒约束控制方法,在非理想条件下,能够实现给定轨迹的高精度跟踪控制,具有良好的控制性能

附 录 A

文中并联机器人状态变量选为q=[qa1,qb1,xa1,ya1,qa2,qb2,xa2,ya2,qa3,qb3,xa3,ya3]T,向量中各组成元素及并联机器人基本参数如表A1所示

表A1 第i个子系统的参数(i=1, 2, 3)

Table A1 Parameters of the i-th subsystem (i=1, 2, 3)

parameter nameactual physical meaningxai,yaix-axis and y-axis coordinates of point Aixmai,ymaix-axis and y-axis coordinates of centroid Caixmbi,ymbix-axis and y-axis coordinates of centroid Cbiqaiangle of connecting rod AiBi with respect to the horizontal lineqbiangle of connecting rod BiEi with respect to the horizontal lineraibarycenter Cai relative to active joint Airbibarycenter Cbi relative to active joint BiLlength of link AiBimai, mbimasses of links AiBi, BiEiIai, Ibimoments of inertia of links AiBi, BiEi relative to the barycenter

并联机器人的动力学方程为

(A1)

式(A1)中i(i=1,2,3)表示第i个子系统,第i个机械臂子系统的运动方程的矩阵形式如下:

(A2)

(A3)

其中

Mi13=Mi31=-[(mairai+mbiL)sin qai+mbirbisin(qai+qbi)],

Mi14=Mi41=(mairai+mbiL)cos qai+mbirbicos(qai+qbi),

Mi23=Mi32=-mbirbisin(qai+qbi),

Mi24=Mi42=-mbirbicos(qai+qbi),

Mi33=Mi44=mai+mbi

Mi34=Mi43=0,

Ci13=Ci14=Ci22=Ci23=Ci24=Ci33=Ci34=Ci43=Ci44=0

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Robust Servo Constrained Control of Parallel Robots Based on the Udwadia-Kalaba Method

HAN Jiang1, WANG Peng1, DONG Fangfang1,XIA Lian1, ZHAO Xiaomin2

(1. School of Mechanical EngineeringHefei University of Technology, Hefei 230009, P.R.China;2. School of Automobile and Transportation EngineeringHefei University of Technology, Hefei 230009, P.R.China)

Abstract: For the trajectory tracking control problems of 2-DOF redundant drive parallel robots, a robust servo control method based on the Udwadia-Kalaba equation was proposed. Under the influences of load, external interference and manufacturing errors, it is impossible to obtain the accurate and complete motion model for the robot, and the control performance of the robot is poor. To solve the impacts of this type of uncertainty, a robust control method was proposed to enable the system to accurately track the ideal trajectory, and ensure the uniform boundedness and the uniform ultimate boundedness of the overall system. In addition, the Udwadia-Kalaba equation was used to solve the constraint force required by the system to meet the ideal constraint in the control process. The Udwadia-Kalaba equation does not require auxiliary variables such as Lagrangian multipliers or pseudo-generalized velocities, and can handle both complete and incomplete constraints, with analytical solutions of constraint forces satisfying the trajectory obtained. The stability of this robust control method was proved theoretically with the Lyapunov function. Simulation experiments show that, the proposed robust control method can achieve high-precision tracking control along a given trajectory under non-ideal conditions.

Key words: Udwadia-Kalaba method; robust control; uncertainty; parallel robot; constrained control

中图分类号: TH113; TP242

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.410197

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887 http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2020-07-01; 修订日期:2021-01-14

基金项目: 国家重点研发计划(2018YFB1308400);国家自然科学基金(51905140);安徽省高校协同创新项目(GXXT-2019-031)

作者简介: 韩江(1963—),男,教授,博士,博士生导师(E-mail: jianghan@hfut.edu.cn);董方方(1988—),男,副教授,硕士生导师(通讯作者. E-mail: fangfangdong@hfut.edu.cn).

引用格式: 韩江, 汪鹏, 董方方, 夏链, 赵晓敏. 基于Udwadia-Kalaba方法的并联机器人鲁棒伺服约束控制[J]. 应用数学和力学, 2021, 42(3): 264-274.