引 言
输电导线是现代电力十分关键的部件之一，其主要功能是传递输送电力，构成输电网和配电网，其性能好坏关系到整个电网的正常运行[1]．架空输电线路覆冰中舞动现象作用突出，会使系统动力学呈现诸多非线性特征，严重时会发生失稳，因此建立非线性舞动模型并利用现代动力学理论开展研究，对提高输电导线可靠性是有重要意义的．
目前，众多学者都集中于用数值模拟手段研究覆冰输电导线的舞动，即无论是软件还是自己编程计算都是对动力方程进行差分离散，仿真不同参数水平下系统的振动响应，并进一步发现动力学行为的分岔、混沌、失稳以及防舞等[2-6]．而非线性微分方程传统近似解析方法主要是按小参数ε次幂渐进展开，如摄动法和多尺度法[7]，它们适用于弱非线性系统；而对于强非线性系统，采用增量谐波平衡法和同伦分析[8-9]等虽可以取得一定效果，但总体来说，它们的计算步骤较多，且局限性大．动力学系统对称性理论是理论物理、工程数学、现代力学等学科中更高层次的法则，对系统运动方程对称性的研究有助于揭示力学系统的内在特征和深层次规律[10-11]．力学系统的对称性和守恒量有着密切的关系，而系统的守恒量不仅具有明显的物理意义，而且它还是系统的首次积分，可以降阶约化方程[12]．然而利用对称性理论研究动力学系统都集中在一般抽象力学系统[13]，脱离具体工程应用，实用价值一直需要进一步拓展．文献[14-15]率先致力于将对称性工具运用到具体机械工程案例中，同时，国内外关于利用Noether对称性方法研究输电导线舞动非线性动力学的报道还较少．本文求解了输电导线舞动的守恒量，为导线的优化设计和防舞动控制策略提供参考．
1 输电导线舞动非线性动力学模型
由于实际结构复杂、动力学影响因素较多，所以要想建立精确的导线舞动模型是很困难的．为分析问题方便且所得到的结果又比较合理可靠，不失一般性，本文选取输电导线舞动的两自由度集总参数模型，图1是风速激励下导线的垂直方向驰振，图2是覆冰空气动力引起的输电导线扭转驰振．其中m为单位长度导线质量，c为系统总阻尼系数，k为导线的支承总刚度，J为转动惯量，v为风速，kt为扭转支承刚度，θt为扭转角，FM为空气动力扭矩，D=d+hsin θ0为迎风尺寸，d为导线直径，h为覆冰厚度，θ0为初始覆冰角度．
图1 垂直振动模型
Fig. 1 The vertical vibration model
图2 扭转振动模型
Fig. 2 The torsional vibration model
下面我们利用分析力学的方法推导出系统的振动微分方程，取系统平衡位置为坐标原点，单位长度系统的动能、势能和Lagrange函数分别如下:
(1)
其中，Sx=Scos θ0,S≈m1d2/4为偏心量，m1为单位长度覆冰质量，ky为垂向支撑刚度．
任何振动或运动系统，根据分析力学中第二类Lagrange方程[16]：
(2)
系统广义激振力为
(3)
其中，ρ为气流密度，Ct为扭转方向的阻尼，Cy和CM为垂直和扭转方向的气动系数．
将式(3)代入式(2)，并展开可得
(4)
这里需要强调，空气动力的非线性和导线大幅运动的几何非线性体现在[17]：
Cy=α1ϑ+α2ϑ2+α3ϑ3, CM=β1ϑ+β2ϑ2+β3ϑ3, ϑ
(5)
式(5)表明，气动系数Cy和CM是
的非线性函数，且系数αi,βi需要通过插值拟合得到，从而方程(4)是一个二阶非线性耦合常微分方程组．
进一步地，引进辅助变量
则系统的一阶方程组形式为
(6)
式(6)就是两自由度输电导线舞动的正则方程，该方程易于用于各类控制器设计与仿真．
2 舞动方程的Noether对称性
输电导线舞动系统Hamilton作用量的形式为
(7)
取时间和坐标的无限小变换：
(8)
其中，ξ0,ξs为无限小生成函数．
系统的广义准Noether对称性是指在变换(8)下作用量(7)的全变分满足
(9)
其中，
为规范函数．
根据全变分与等时变分的关系：
将式(9)展开可得
(10)
这就是导线舞振Noether对称性决定的生成元ξ0,ξ1,ξ2满足的判据方程．
显然，方程(10)有两组解分别为
(11)
式(11)就是导线舞动方程允许的Noether对称生成元．
3 导线舞动特性的守恒量与保结构算法
Noether对称性可直接导致Noether型守恒量，再结合初始条件，可以解出原输电导线舞动的位移响应．导线舞动的Noether守恒量形式为
(12)
将式(11)中的第一组生成元代入式(12)得到平庸守恒量．将式(11)中的第二组生成元代入式(12)得到的守恒量为
(13)
式(13)代表了输电导线气固耦合自激振动的守恒量．
对于式(6)我们考虑保守恒律(13)的坐标增量离散梯度数值算法如下[18]：
(14)
其中，τ为步长，
4 算 例 仿 真
以某省单分裂输电线为研究对象，单导线导线型号LGJQ-400，导线参数示于表1中．
表1 线路参数
Table 1 Parameters of the line
parameterline diameter d/minitial icing angle θ0/radunit icing mass m1/(kg/m)unit line mass m/(kg/m)torsional damping ratio ξtvalue0.028π/40.142 420.06parameterlateral damping ratio ξxtranslation stiffness kz/(N/m)torsional stiffness kt/(N·m2/rad)unit moment of inertia I1/(kg·m2/m)incoming wind speed V/(m/s)value0.041.33×1071010.005 712
系统舞动响应初始全状态向量为z(0)=[0.004,0,0,0]T,步长h分别取0.005 s和0.01 s，总步数时长为10 s，按式(14)保能量算法仿真得到输电导线舞动垂向和扭转响应时程曲线如图3和图4所示．
图3和图4表明保守恒量算法在求解覆冰输电导线舞动方程时，对于不同积分步长垂向和扭转响应是一致的，因此保守恒量数值算法具有很好的稳定性．
考虑算法长时间的行为，当时间运行100 s时，系统的守恒量IN(z)的函数值如图5所示．从图中可以看出，给出的系统的守恒量IN的函数值在1处附近保持常量，因此用离散梯度构造高精度的保守恒量数值方法随着时间的增长，不会引入人为耗散，具有较好跟踪能力．
图3 垂向振动
Fig. 3 The vertical vibration
图4 扭转角
Fig. 4 The torsion angle
图5 保守恒量算法下IN的函数值
Fig. 5 Function value INunder conserved quantity algorithm
5 结 束 语
本文应用Noether对称分析方法研究了覆冰输电导线气固耦合自激振动系统，得到了系统双向舞动的守恒量，并基于守恒量构造保结构数值算法，所得主要结论如下：
1) 导线舞动垂向和扭转集总参数的Lagrange方程是二阶非线性耦合常微分方程组，该模型适用于解释各种类型的舞动现象;
2) 通过系统Hamilton作用量不变性给出的Noether对称性判据方程具有开放性解，相应Noether型守恒量是动力学响应的一个首次积分，也是非保守输电导线舞动机械能守恒定律的的一个扩充;
3) 基于离散梯度保守恒量动力学方程数值解法可对不同步长稳定，系统能量偏差不扩散，系统长时间仿真过程不失真．
可以看到，对称性和守恒量方法易于标准化，随着符号软件技术的引用，上述求解过程将十分高效，不仅可以得到系统动态响应的首次积分，同时这也为数值高效精确仿真计算奠定基础．本文的研究方法可进一步推广到包含复杂边界约束条件(非理想)下的输电导线风振中．
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