引 言
自然科学中的众多学科提出了大量有关时滞动力学的问题，如控制理论、神经网络、流体力学等[1-3]．各种工程系统出现时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统的时滞动力学系统[4]．这些学科的发展迫切需要时滞微分系统的理论基础作为支撑．因此具有时滞的微分系统有非常重要的研究价值．
由于反馈延时、输送延时等时滞现象，容易导致系统不稳定．系统的稳定是确保其正常运行和工作的必备前提条件，所以时滞系统的稳定性研究一直深受广大学者的关注．自从Burton第一次将不动点定理应用到微分系统的稳定性中，科学家们纷纷投入到稳定性理论的研究，并取得一系列的研究成果[5-11]．文献[12]通过Banach不动点定理分析了具有时滞的Volterra积分微分系统零解的稳定性：
x′(t)=
a(t,s)g(x(s))ds．
(1)
系统(1)的特殊形式已有大量的研究成果．如τ(t)=τ为常时滞，g(x(s))=x(s)时，Brownell和Ergen[13-14]模拟了循环燃料核反应堆产生的功率和反应堆温度之间的关系；文献[15]分析了变时滞τ(t)=τ为常时滞的特殊形式．
文献[16]在时滞函数gi(t)存在反函数的条件下，采用Banach不动点定理得到了多变时滞微分系统零解的稳定性：
(2)
其中t→∞时，gi(t)→∞，建立了在种群生态学、物理学等实际问题中具有多变时滞非线性微分系统稳定性的数学模型．当n=1和n=2，g1(t)=t时，文献[17-18]分别研究了系统(2)特殊形式零解的稳定性．
2019年，文献[19]通过Banach不动点定理分析了多变时滞Volterra系统稳定性，并改进了文献[16-18]的结论．当t≥0时，
(3)
其初始条件为x0=ψ(t)∈C([m(0),0],R)．函数q(s,t,x(s))∈C(R+×R+×R+,R)，τ0(t),ai(t),gi(t)∈C(R+,R)，且τ0(t),gi(t)≤t，满足t→∞时，τ0(t),gi(t)→∞，i=1,2,…,n．其中
受上述文献的启发，本文继续利用Banach不动点定理，研究系统(3)零解的稳定性．由于分析技巧的不同，所得结果改进了文献[16-19]的结论，为多变时滞Volterra微分系统的研究提供了一种新思路、新方法．
1 引 理
假设函数q是局部Lipschitz连续函数，即存在连续可积函数B(t,s)，0≤s≤t，满足|B(t,s)|有界，使得对∀x,y∈R，有
|q(s,t,x)-q(s,t,y)|≤B(t,s)|x-y|．
(4)
下面给出文献[19]的结论．
引理1[19] 设函数q满足条件(4)，gi(t)可微，且存在α∈(0,1)以及连续函数hi(t):[0,∞)→R，i=1,2,…,n，使得当t≥0时，
则系统(3)的零解渐近稳定的充要条件是
2 主 要 结 果
通过对系统(3)进行适当的变换，再构造合适的算子继续采用Banach不动点定理分析系统(3)零解的稳定性．
定理1 设q满足条件(4)，τ0(t),gi(t)可微，且存在g0(t)∈C1(R+,R)，使得t→∞时，g0(t)→∞，以及α∈(0,1)，连续函数hi(t):[0,∞)→R，i=1,2,…,n，使得当t≥0时，
则系统(3)的零解渐近稳定的充要条件是
比较引理1和定理1，可以发现：引理1中要求
而定理1对
没有要求．同时在定理1中通过引入新函数g0，对系统1进行重新变换，很大程度上改进了引理1的结论．详见定理1的证明和范例说明．
定理1的证明 对固定的ψ∈C([m(0),0],R)，定义集合
Sψ={x∈C([m(0),∞),R):t→∞,x(t)→0, x(t)=ψ(t),t∈[m(0),0]},
其范数‖x(t)‖=supt≥m(0)|x(t)|，则Sψ是一个完备度量空间．
当t≥0时，系统(3)可重新表示为
(5)
定义算子P:Sψ→Sψ如下：
当t∈[m(0),0]时，(Pφ)(t)=ψ(t);
当t≥0时，
(6)
1) 由于ai,gi,hi,q,g0是连续的，结合条件易证，P在[0,∞)上连续．
2) 下证P(S)⊂S．
当t→∞时，显然|I1|→0．又因为当t→∞时，有‖φ(t)‖→0且gi(t)→∞．所以对任意ε>0，存在T1>0,使得当s≥T1时，包含|φ(s)|<ε和|φ(gj(s))|<ε, j=1,2,…,n．因此当t→∞时，显然|I2|→0．
同时，由条件有
由条件和
知，存在T2≥T1，使得当t≥T2时，有
因此，|I3|<ε+αε<2ε．当t→∞时，|I3|→0．类似地，可以证明式(6)中其他的项Ij→0, j=4,5,6．
这样就证明了P(S)⊂S．
3) 最后证明P是压缩的．
由条件易知，对任意φ,φ∈S以及t≥0，有
|(Pφ)(t)-(Pφ)(t)|≤
(7)
由式(7)可得，P是压缩的．由压缩映射原理可得，P在空间S上存在唯一不动点x(t)，它是系统(3)的解，而且x(t)满足：当t∈[m(0),0]，x(t)=ψ；当t→∞时，x(t,0,ψ)→0．
为了进一步证明渐近稳定性，还需要证明系统(3)的零解是稳定的．假设对任意给定的ε>0，选择δ>0(ε<δ)满足
其中
设x(t)=x(t,0,ψ)是系统(3)的解，且满足‖ψ‖<δ，则x(t)=(Px)(t)．可以证明t≥t0时，有|x(t)|<ε．
实际上，当s∈[m(0),0]时，有|x(s)|<ε．假设存在t*>0，使得x(t*)=ε，且当m(0)≤s<t*，|x(s)|<ε，则有
(8)
这与t*的定义相矛盾．从而证明，当条件成立时，系统(3)的零解是渐近稳定的．接下来证明必要性．
反证法 假设系统(3)的零解渐近稳定但如果条件不成立，由条件可得，存在l∈R和序列{tn}，tn→∞(n→∞)，有limn→∞
H(u)du=l．不妨选取正常数J，满足
-J≤H(u)du≤J， n≥1．
对所有s≥0，定义
F(s)
由条件可得
从而
即序列
有界．因此，存在收敛子列．假设存在γ∈R+，使得
选择足够大的正整数m和 δ0>0，满足2δ0KeJ+α≤1，使得对任意n≥m，有
考虑系统(3)的解x(t)=x(t,tm,ψ)，满足
ψ(tm)=δ0， ψ(s)≤δ0， s≤tm，
假设|x(t)|≤1，t≥tm．选择适当的ψ使得
由式(6)和x(t)=(Px)(t)，对n≥m，得
(9)
另一方面，因为系统(3)的零解渐近稳定，所以当t→∞时，x(t)=x(t,tm,ψ)→0．因为当n→∞，tn-τj(tn)→∞．又由条件知，当n→∞，有
这与式(9)矛盾．所以条件是系统(3)零解渐近稳定的必要条件．证毕．
3 实 例
例1 考虑一类多变时滞Volterra微分系统：
(10)
证明 在定理1中选取
则
通过简单计算得，当t≥0时，
经计算，定理1中的α=0.000 5+0+0.02+0.000 5+0.694=0.715<1．因此，由定理1可得系统(10)的零解渐近稳定．图1证实了对于任意初始点，系统(10)的x(t)轨迹随时间的变化趋于稳定，其中初始点产生自MATLAB中rand命令．
(a) 初始值x=0.96 (b) 初始值x=0.82
(a) Initial value x=0.96 (b) Initial value x=0.82
图1 系统(10)的x(t)轨迹
Fig. 1 Trajectory solution x(t) of system (10)
事实上，在例1中通过计算得
不满足引理1的条件，所以由引理1不能得到系统(10)的零解渐近稳定．
4 结 论
1) 本文通过引入新函数g0，将系统(3)进行重新变换为二重级数，再引入合适的函数hi(t),i=1,2,…,n构造算子，相比已有的研究更加灵活．
2) 从例1可以得到，所得的结论推广和改进了文献[16-19]的结论．为多变时滞Volterra系统零解的稳定性研究提供了一种新的方法和思路．
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