引 言
自从1990 年,Pecora和Carroll[1]提出了混沌同步的原理，并在电路中实现以来，混沌同步已经得到了广泛的研究．随着信息技术的飞速发展，混沌系统同步控制理论及应用的研究已经成为智能控制与通信领域的一个研究热点[2]．到目前为止，许多类型的同步被提出并加以研究，如广义同步[3]、滞后同步[4]、组合同步[5]等．学者们采用了不同种类的控制方法和技术实现这些同步类型，如自适应控制[6-11]、脉冲控制[12]、反馈控制[13-15]、主动控制[16]、滑模控制[17]等．
Zhang等[6]考虑了由自治型微分方程组给出的参数不确定混沌系统:
(1)
其中α∈Rm,β∈Rq是系统的不确定参数向量，给出了自适应同步控制器的构造方法，并证明了误差系统的渐进稳定性．Khordad等[7]将文献[6]中的方法应用到两个相同结构的Chen系统之间，仿真结果表明这两个系统可以很快实现同步．Al-Sawalha等[8]研究了这两个系统的自适应反同步问题．李钟慎等[9]在文献[8]的基础上，在驱动系统中加入了不确定项，通过在输入控制量中引入补偿项以消除不确定性的影响，实现了自适应鲁棒反同步．Al-Sawalha等[10]又研究了这两个系统的自适应组合同步问题．Mahmoud等[11]研究了当驱动系统与响应系统为复系统且结构相同时的自适应同步问题，并将同步结果应用到了保密通信中．上述这些研究针对的都是自治系统．随着工程和物理领域中越来越多的非自治混沌系统被发现，非自治系统的同步问题越来越受到人们的关注．对于一般的非自治系统，都含有强迫激励项以及时变的非线性刚度或者阻尼项，由于这些变项的存在，使得对非自治系统的同步实现比自治系统更为困难．因此，关于非自治系统的同步问题的研究尚少．
上述实现混沌系统同步的方法大多是基于Lyapunov渐近稳定性．与渐近稳定性相比，指数稳定性[18]是一种更强的稳定性．一些科学家还研究了混沌系统的指数同步问题[19-22]．
本文考虑了由非自治型微分方程组给出的参数不确定混沌系统:
其中α∈Rm,β∈Rq是系统的不确定参数向量，给出了自适应同步控制器的构造方法，并证明了误差系统的指数稳定性，且可以通过调整控制参数控制同步时间．最后以水平平台系统[23]和Mathien-Duffing系统[24]为例进行数值仿真，说明了本文给出方法的有效性．
本文给出的方法也适用于由式(1)给出的自治系统，而且不需要满足文献[6]中F(x),G(y)的有界性条件．虽然利用本文给出的方法构造出来的控制器较文献[6]给出的控制器结构复杂，但可以实现响应系统与驱动系统的指数同步，而且可以通过调整控制参数控制同步时间．
1 数学模型和系统描述
考虑如下形式的一个驱动系统
(2)
和被控响应系统
(3)
其中x,y∈Rn是系统的状态向量，α∈Rm,β∈Rq是系统的不确定参数向量， f(t,x,α),g(t,y,β)是n×1的矩阵,u∈Rn是控制输入．
设e=y-x是同步误差，则误差系统为
(4)
定义1 如果存在控制器u和正数μ,σ，使得误差e满足下式:
‖e‖≤μexp(-σt),
则称响应系统(3)与驱动系统(2)指数同步，称σ为指数收敛速率．
1.1 自适应同步控制器设计的理论基础
定理1 如果非线性控制器设计为
(5)
参数自适应律
为
(6)
则
其中k>0且为常数，即
响应系统(3)与驱动系统(2)指数同步;
自适应参数
和
分别指数收敛于α和β;
控制参数k的取值越大，误差的收敛速度越快，所需同步时间越短．
证明 将非线性控制器(5)代入系统(4)，得到如下误差系统:
(7)
记
由式(6)、(7)得到如下方程组:
(8)
取
则V通过方程组(8)的全导数为
因为
由Lyapunov指数稳定性定理(文献[18]中的定理4.10)可得
所以，响应系统(3)与驱动系统(2)指数同步，自适应参数和
分别指数收敛于α和β，控制参数k的取值越大，误差的收敛速度越快，所需同步时间越短．
1.2 系统描述
水平平台系统[23]为
(9)
其中x1,x2是状态变量，αi(i=1,2,…,5)是实常数．当α1=4/3,α2=3.776 15,α3=4.6×10-6,α4=34/3,α5=1.8时，系统(9)是混沌的，其混沌吸引子如图1所示．
图1 水平平台系统的混沌吸引子
Fig. 1 The chaotic attractor of the horizontal platform system
图2 Mathien-Duffing系统的混沌吸引子
Fig. 2 The chaotic attractor of the Mathien-Duffing system
Mathien-Duffing系统[24]为
(10)
其中y1,y2是状态变量，βi(i=1,2,…,5)是实常数．当β1=0.5,β2=1,β3=1,β4=1,β5=0.2时，系统(10)是混沌的，其混沌吸引子如图2所示．
2 两个非自治混沌系统的自适应指数同步
为了观察混沌系统(10)和混沌系统(9)之间的同步现象，设驱动系统和响应系统分别如下:
(11)
(12)
其中u1,u2是设计的两个控制函数．对于系统(11)和不加控制函数(ui(t)=0，i=1,2)的系统(12)，如果初始条件(x1(0),x2(0))≠(y1(0),y2(0))，那么两个系统的轨道会迅速地分开而变得毫不相干．但是，当应用控制函数ui(t)(i=1,2)时，这两个系统将实现指数同步．
利用定理1中的式(5)和(6)分别给出控制函数ui(t)(i=1,2)和参数自适应律:
(13)
(14)
其中
是自适应参数，i=1,2,…,5，k>0且为常数．
3 数 值 模 拟
用数值仿真验证所提出的同步控制方法的有效性．在MATLAB软件中，用四阶Runge-Kutta方法进行求解．
(a) x1, y1 (b) x2, y2
图3 驱动系统(11)与响应系统(12)状态变量的变化曲线
Fig. 3 State trajectories of drive system (11) and response system (12)
(a) e1 (b) e2
图4 同步误差e1和e2
Fig. 4 Synchronization errors e1 and e2
图5 自适应参数
和
Fig. 5 Adaptive parameters 
当未知参数α1=4/3,α2=3.776 15,α3=4.6×10-6,α4=34/3,α5=1.8和β1=0.5,β2=1,β3=1,β4=1,β5=0.2时，系统(9)和(10)是混沌的．在控制器(13)和(14)的作用下，取k=20，初值
驱动系统(11)和响应系统(12)的仿真结果如图3～5所示，其中图3、图4、图5分别反映了状态变量、同步误差和自适应参数随时间的变化．
由图3可以看出，响应系统的状态变量快速逼近驱动系统的状态变量; 由图4可以看出，各同步误差变量曲线快速收敛于零; 由图5可以看出，各自适应参数趋于其真实值．
4 结 论
本文研究了参数不确定非自治混沌系统的指数同步问题，给出了同步控制器和参数自适应律的解析式，实现了两个非自治混沌系统在参数不确定条件下的指数同步，且可以通过调整控制参数控制同步时间．计算机仿真证实了该方法的有效性．
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