陈 望, 周志昂
(重庆理工大学 理学院, 重庆 400054)
(我刊编委杨新民推荐)
摘要 : 在局部凸空间中,研究了带约束集值向量均衡问题的最优性条件 . 首先,利用改进集引进了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解和 E -超有效解的概念 . 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 . 最后,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了带约束集值向量均衡问题的 E -超有效解的必要性条件 .
关 键 词 : 改进集; 邻近 E -次似凸; E -Henig真有效解; E -超有效解; 最优性条件
本文中,假设 X 为线性空间, Y 和 Z 为局部凸空间 . 设 A ⊂ X 非空, F : A × A → Y 为向量值函数 . 向量均衡问题(VEP)的一般模型为:找出 x ∈ A ,使得
F ( x , y )∉- B , ∀ y ∈ A ,
其中, B ∪0为 Y 中的点凸锥 . 针对VEP,一些学者给出了不同形式的解,如:有效解、弱有效解、超有效解、Benson 真有效解、Henig真有效解、全局真有效解、 f -有效解等(见文献[1-8]) . 龚循华和乐华明 [1] 及Capătă [2] 分别研究了VEP的有效解和强解及真有效解的存在性 . Gong [3] 及Long和Peng [4] 分别研究了VEP真有效解集和弱有效解集的连通性 . 在锥凸与锥似凸的假设下,Gong(龚循华)等 [5-6] 建立了带约束的VEP的不同类型解的最优性条件 . 在广义锥次似凸的假设下,Qiu [7] 获得了带约束的VEP的全局真有效解的充分必要条件,改善了文献[5]的相关结果 . 在赋范空间中,Ma和Gong [8] 建立了基于切上导数和径向上导数的VEP的弱有效解、全局真有效解和Henig真有效解的最优性条件 . 另一方面,向量优化问题作为向量均衡问题的特例,一些学者 [9-12] 利用改进集对向量优化问题的解的统一性进行了研究 . 最近,Chen等 [13] 给出了基于改进集的向量均衡问题的 E -有效解、 E -弱有效解和 E -Benson真有效解的概念,并且研究了其线性标量化 . 在邻近 E -次似凸的假设下,宋宁宁和仇秋生 [14] 获得了带约束向量均衡问题的 E -有效解和 E -弱有效解的最优性条件 . 文献[13]提出了一个有趣的问题: 如何利用改进集引进向量均衡问题的全局真有效解、 Henig真有效解和超有效解, 进而研究其标量化结果 .
受上述文献启发,在局部凸空间中,研究了带约束集值向量均衡问题(简写为CSVEP)的真有效解的最优性条件 . 首先,利用改进集给出了CSVEP的 E -超有效解与 E -Henig真有效解的概念,并讨论了它们之间的关系 . 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 . 最后,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了CSVEP的 E -超有效解的必要性条件 .
本文中, Y * 和 Z * 分别表示 Y 和 Z 的拓扑对偶空间,0表示每个空间的零元 . 设 K 是 X 中的非空子集, K 的拓扑内部和闭包分别记为int K 与cl K , K 的锥包定义为
cone K tk | t ≥0, k ∈ K .
设 C ⊂ Y , D ⊂ Z 分别为点凸锥,int C ≠∅,int D ≠∅ . 记
C * φ ∈ Y * | φ ( y )≥0,∀ y ∈ C ,
C # φ ∈ Y * | φ ( y )>0,∀ y ∈ C\ 0 .
N(0)⊂ Y 为所有凸零邻域构成的集合 . 非空凸子集 Θ ⊂ Y 称为 C 的基, 若 C =cone Θ , 0∉cl Θ . 记 Θ st φ ∈ Y * |∃ t >0使得 φ ( θ )≥ t ,∀ θ ∈ Θ . 既然0∉cl Θ ,因此存在 φ ∈ Y * \ 0,使得 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ > φ (0)=0 . 记 V Θ x ∈ Y || φ ( x )|< r /2 . 显然,对任意满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0), C U ( Θ ) cone( Θ + U )是点凸锥 .
设 Q 为 Y 中的非空子集, Q 在 y ∈ Q 的支撑泛函定义为
σ Q ( φ )=sup y ∈ Q φ ( y ), ∀ φ ∈ Y * .
引理1 [15] 设 φ ∈ Y * \ 0,则 φ ∈ Θ st 当且仅当存在 U ∈N(0),使得
φ ( u - θ )≤0, ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ .
引理2 [16] 对任意的满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),( C U ( Θ )) * \ 0⊂ Θ st ; 对任意 φ ∈ Θ st ,存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0 .
定义1 [17] 设 E ⊂ Y 为任意的非空子集 . E 称为关于 C 的改进集,如果0∉ E , E + C = E . 记T Y 为 Y 中所有改进集构成的集合 .
定义2 [9] 设 E ∈T Y , F : A Y 是一集值映射 . 称 F 在 A 上是邻近 E -次似凸, 如果cl cone( F ( A )+ E )是凸集 .
注1 文献[9]指出当int C ⊂ E ⊂ C\ 0, C 是 Y 中的闭点凸锥时,邻近 C -次似凸映射和邻近 E -次似凸映射一致 .
定义3 [18] x ∈ A 称为VEP的 C -超有效解,如果对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得
cone( F ( x , A )+ C )∩( U - C )⊂ V .
定义4 [18] x ∈ A 称为VEP的 C -Henig真有效解,如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得
cone( F ( x , A )+ C )∩( U - Θ )=∅ .
下面将引进一类新的均衡问题,并利用改进集给出其 E -超有效解和 E -Henig真有效解的概念 . 本文总假设 E ∈T Y . 设 A ⊂ X 非空, F : A × A Y 和 G : A Z 为集值映射 . 考虑CSVEP:找出 x ∈ S ,使得
F ( x , y )∩(- B )=∅, ∀ y ∈ S ,
其中, B ∪0为 Y 中的点凸锥, S x ∈ A | G ( x )∩- D ≠∅ .
记
μ ( F ( x , y ))= μ ( a )| a ∈ F ( x , y ),
下面给出CSVEP的 C -超有效解与 E -超有效解的概念 .
定义5 x ∈ S 称为CSVEP的 C -超有效解, 如果对任意的 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0), 使得
cl cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V , ∀ y ∈ S .
注2 由文献[11]中的注2.3与文献[19]的定义2.2知: x ∈ S 称为CSVEP的 C -超有效解,如果对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V ,∀ y ∈ S . 因此,当 F 为向量值映射,CSVEP无约束时,定义5与定义3一致 .
定义6 x ∈ S 称为CSVEP的 E -超有效解, 如果对任意的 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0), 使得
cl cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V , ∀ y ∈ S .
记CSVEP的全体 E -超有效解为 易知,
⟺ cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - C )⊂ V .
注3 当 E = C\ 0时,定义6就退化为定义5 . 然而,下面的例子表明定义6不蕴含定义5,因此,定义6是定义5的真推广 .
例1 设 X = Y = Z = R 2 , A =[0,1]×[0,1], C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 ≥0, c 2 ≤0, D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≥0, E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 ≥0.5, e 2 ≤-0.5 . 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为
F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 ]×[0, x 2 + y 1 ],
G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[- x 2 ,0] .
显然, E ∈T Y 且可行集 S = A . 取 对任意的 V ∈N(0),存在 使得
⊂ V ,
其中, r 是任意充分小的正实数 . 因此, 是CSVEP的 E -超有效解 . 然而,存在 对任意的 U ∈N(0),使得 V ′,这表明 不是CSVEP的 C -超有效解 .
注 当且仅当对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V ,∀ y ∈ S .
下面给出CSVEP的Henig真有效解, C -Henig真有效解和 E -Henig真有效解 .
定义7 x ∈ S 称为CSVEP的Henig真有效解,如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0), 使得
cl cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅ .
记CSVEP的全体Henig真有效解为 V He ( F , S ) .
注5 由文献[20]的引理1知,CSVEP的Henig真有效解又可以表述为:存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅ . 因此,当 F 为向量值映射,CSVEP无约束时,定义7与定义4一致 .
定义8 x ∈ S 称为CSVEP的 C -Henig真有效解, 如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0), 使得
cl cone( F ( x , S )+ C )∩( U - Θ )=∅ .
记CSVEP的全体 C -Henig真有效解为
类似于文献[18]的命题3,有如下命题 .
命题1 设 Θ 是 C 的基,则
定义9 x ∈ S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解, 如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0), 使得
cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅ .
将CSVEP的全体 E -Henig真有效解记为
注6 当 E = C\ 0时,定义9就退化为定义8 . 然而,下面的例子表明定义9不蕴含定义8,因此,定义9是定义8的真推广 .
例2 设 对任意的 x , y ∈ A ,集值映射 F : A × A Y 定义为
F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x |,| y |]×[ y ,0],
并且设可行集 S A . 显然, E ∈T Y . 取 则 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ =1, V Θ = z ∈ Y | | φ ( z )|<1/2 . 容易验证, 对任意满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0), cl ∅ . 因此, ∉ 另一方面,对上述的 V Θ ,存在满足 U ⊂ V Θ 的 使得cl ∅ . 因此,
注 当且仅当存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得
cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅ .
命题2 如果 C 有基 Θ ,则 ⊂
证明 由于 Θ 是 C 的基,则存在 V ∈N(0),使得
(- Θ )∩2 V =∅ .
(1)
假设 则对上述 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0),使得
⊂ V .
由于 Y 是局部凸空间,可以要求上述 U ⊂ V ∩ V Θ . 由式(1)得,( U - Θ )∩ V =∅ . 注意 ⊂( U - Θ )∩ V . 因此
∅ .
□
注8 下面的例子表明 ⊂ 不成立 .
例 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为
F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x 1 |,| y 1 |]×[- y 2 ,0],
G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[-| x 1 |,0]×0 .
显然, E ∈T Y ,可行集 S = A , Θ 是 C 的基 . 取 容易验证, 存在 对任意的 U ∈N(0), 使得 V ′ . 因此, ∉ 另一方面,取 φ =(1/3,1)∈ Y * \ 0,则 r =inf φ ( θ )| θ ∈ Θ =2/3, V Θ = z ∈ Y | | φ ( z )|<1/3 . 从而存在满足 U ⊂ V Θ 的 使得 ∅ . 因此,
注9 在赋范空间中,文献[21]提出了严有效点的概念并获得了其等价描述(见文献[21]的定义1) . 对于Henig真有效点,Zheng [19] 将这种概念推广到了局部凸空间(见文献[19]的定义2.1) . 而文献[19]的定理1指出在局部凸空间中严有效点实质上就是Henig真有效点 . 此外,文献[22]给出了Henig真有效点的几种等价性刻画 . 鉴于此,由文献[22]中定理3.1和文献[20]中定理1可以获得CSVEP的 E -Henig真有效解的另一种等价刻画,即: x ∈ S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解,如果存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得( F ( x , S )+ E )∩(-int C V ( Θ ))=∅ .
定理1 假设以下条件成立:
有基 Θ ;
存在 x 0 ∈ S ,使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅;
在 A 上是邻近( E × D )-次似凸 .
则 当且仅当存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得
(2)
证明 “必要性”
设 则存在满足 U ⊂ V Θ 的 U ∈N(0),使得
∅ .
(3)
令 ∀ y ∈ A . 我们断言
(cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅ .
(4)
若不然,则存在 使得
(5)
和
(6)
由 D 是点凸锥知, D +int D ⊂int D ⊂ D . 再由式(6)知, z * ∈- D ,从而 由式(5)知,
∅,
这与式(3)矛盾 . 因此,式(4)成立 .
因为 U - Θ 与int D 是开集,所以由式(4)知
(cl cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅ .
(7)
由条件 和定义2知,cl cone( H ( A )+ E × D )是凸集 . 由凸集分离定理知:存在( φ , ψ )∈ Y * × Z * \ (0,0),使得
( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))> φ ( U - Θ )+ ψ (-int D ) .
(8)
由cl cone( H ( A )+ E × D )为凸锥及式(8)可得,( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))≥0 . 显然,( φ , ψ )( H ( A )+ E × D )≥0 . 又因为0∈ D ,所以
φ ( α 1 + e )+ ψ ( α 2 )≥0,
∀ y ∈ A , ∀ ∀ α 2 ∈ G ( y ), ∀ e ∈ E .
(9)
因此
下证 φ ∈ Θ st 且 ψ ∈ D * .
首先证 ψ ∈ D * . 由(0,0)∈cl cone( H ( A )+ E × D )和式(8),有
φ ( U - Θ )+ ψ (-int D )<0 .
(10)
由式(10),可得
ψ ( td )> φ ( u - θ ), ∀ t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ ,
(11)
因此
∀ t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ .
(12)
在式(12)中,令 t →∞,得
ψ ( d )≥0, ∀ d ∈int D .
(13)
由 D 是凸锥且int D ≠∅,所以 D ⊂cl D =cl(int D ) . 因此,由式(13) 可知 ψ ∈ D * .
现证 φ ∈ Θ st . 在式(11)中,令 t →0,得
φ ( u - θ )≤0, ∀ u ∈ U , ∀ θ ∈ Θ .
(14)
由式(14)和引理1知, φ ∈ Θ st .
“充分性”
设 ∉ 由注9知,对任意满足 U ⊂ C U ( Θ ) 的 U ∈N(0),使得 ∅,即存在 y U ∈ S ,使得
∅ .
(15)
既然 φ ∈ Θ st ,由引理2,对上述 U ,使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0 . 由式(15)知,存在 使得 和 a + e ∈-int C U ( Θ ) . 又因为 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0,所以 φ ( a + e )<0,即
(16)
由 y U ∈ S 与 ψ ∈ D * ,存在 z ∈ G ( y U )∩(- D ),使得
ψ ( z )≤0 .
(17)
由式(16)和式(17)可得 φ ( a )+ ψ ( z )< σ - E ( φ ),与式(2)矛盾 . 故
□
定理2 假设以下条件成立:
有基 Θ ;
存在 x 0 ∈ S ,使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅;
在 A 上是邻近( E × D )-次似凸 .
如果 则存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得
证明 由命题2和定理1的必要性易证 .
□
下面通过例子验证定理2 .
例4 在例1中, 令 Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 - θ 2 =1, θ 1 ≥0, θ 2 ≤0, 则知 定理2的条件 ~ 成立 . 取 φ =(1,-1)∈ Θ st , ψ =(-2,1)∈ D * . 经计算可知
注10 如果定理2的条件 ~ 成立,存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得
则不能得到 是CSVEP的 E -超有效解 . 下面通过例子说明此情形 .
例5 设 X = Y = Z = R 2 , A =[0,1]×[-1,0], C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 >0, c 2 ∈ R ∪(0,0), D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≤0, Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 =1, θ 2 ∈ R , E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 >0.5, e 2 ∈ R ∪(0.5,0) . 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y 和 G : A Z 分别定义为
F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 + y 1 ]×[ x 2 ,0],
G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[0,| x 2 |+1] .
显然, E ∈T Y ,可行集 S = A ,定理2的所有条件成立 . 取 通过直接计算可得
因此,式(2)成立 . 然而,存在 对任意的 U ∈N(0),使得 V ′ . 因此, ∉
本文研究了CSVEP的最优性条件 . 首先,利用改进集引进了CSVEP的 E -超有效解和 E -Henig真有效解,并讨论了它们之间的关系 . 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,分别建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件和 E -超有效解的必要性条件 . 最后,给出了例子进行说明我们获得的结果 . 如何进一步研究基于改进集的CSVEP的解集的连通性是值得进一步研究的课题 .
致谢 本文作者衷心感谢重庆理工大学研究生创新项目(ycx2018256)对本文的资助 .
参考文献 ( References ):
[1] 龚循华, 乐华明. 向量均衡问题有效解与强解的存在性[J]. 南昌大学学报(理科版), 2008, 32 (1): 1-5.(GONG Xunhua, YUE Huaming. Existence of efficient solutions and strong solutions for vector equilibrium problems[J]. Journal of Nanchang University ( Natural Science ), 2008, 32 (1): 1-5.(in Chinese))
[2] CAP T A. Existence results for proper efficient solutions of vector equilibrium problems and applications[J]. Journal of Global Optimization , 2011, 51 (4): 657-675.
[3] GONG X H. Connectedness of the solution sets and scalarization for vector equilibrium problems[J]. Journal of Optimization Theory and Applications , 2007, 133 (2): 151-161.
[4] LONG X J, PENG J W. Connectedness and compactness of weak efficient solutions for vector equilibrium problems[J]. Bulletin of the Korean Mathematical Society , 2011, 48 (6): 1225-1233.
[5] GONG X H. Optimality conditions for vector equilibrium problems[J]. Journal of Mathematics Analysis and Applications , 2008, 342 (2): 1455-1466.
[6] 龚循华, 熊淑群. 类凸向量均衡问题解的最优性条件[J]. 南昌大学学报(理科版), 2009, 33 (5): 409-414.(GONG Xunhua, XIONG Shuqun. Optimality conditions for convex-like vector equilibrium problem[J]. Journal of Nanchang University ( Natural Science ), 2009, 33 (5): 409-414.(in Chinese))
[7] QIU Q S. Optimality conditions of globally efficient solution for vector equilibrium problems with generalized convexity[J]. Journal of Inequalities and Applications , 2009, 2009 (1): 1-13.
[8] MA C B, GONG X H. Optimality conditions for vector equilibrium problems in normed spaces[J]. Optimization , 2011, 60 (12): 1441-1455.
[9] ZHAO K Q, YANG X M, PENG J W. Weak E -optimal solution in vector optimization[J]. Taiwanese Journal of Mathematics , 2013, 17 (4): 1287-1302.
[10] ZHAO K Q, YANG X M. E -Benson proper efficiency in vector optimization[J]. Optimization , 2015, 64 (4): 739-752.
[11] ZHOU Z A, YANG X M, ZHAO K Q. E -super efficiency of set-valued optimization problems involving improvement sets[J]. Journal of Industrial and Management Optimization , 2016, 12 (3): 1031-1039.
[12] 唐莉萍, 杨玉红. E -Borwein真有效解的刻画[J]. 应用数学和力学, 2017, 38 (12): 1399-1404.(TANG Liping, YANG Yuhong. Characterizations of E -Borwein properly efficient solutions[J]. Applied Mathematics and Mechanics , 2017, 38 (12): 1399-1404.(in Chinese))
[13] CHEN C R, ZUO X, LU F, et al. Vector equilibrium problems under improvement sets and linear scalarization with stability applications[J]. Optimization Methods and Software , 2016, 31 (6): 1240-1257.
[14] 宋宁宁, 仇秋生. 基于改进集的向量均衡问题解的最优性条件[J]. 浙江师范大学学报(自然科学版), 2017, 40 (2): 130-136.(SONG Ningning, QIU Qiusheng. The optimality conditions of the vector equilibrium problems via improvement set[J]. Journal of Zhejiang Normal University ( Nature Science ), 2017, 40 (2): 130-136.(in Chinese))
[15] CHENG Y H, FU W T. Strong efficiency in a locally convex space[J]. Mathematical Methods of Operations Research , 1999, 50 (3): 373-384.
[16] GONG X H. Optimality conditions for Henig and globally proper efficient solutions with ordering cone has empty interior[J]. Journal of Mathematics Analysis and Applications , 2005, 307 (1): 12-31.
[17] GUTIERREZ C, JIMENEZ B, NOVO V. Improvement sets and vector optimization[J]. European Journal of Operational Research , 2012, 223 (2): 304-311.
[18] GONG X H, FU W T, LIU W. Super efficiency for a vector equilibrium in locally convex topological vector spaces[M]//Giannessi F, ed. Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria . Nonconvex Optimization and Its Applications, Vol 38 . Boston, MA: Springer, 2000.
[19] ZHENG X Y. Proper efficiency in locally convex topological vector spaces[J]. Journal of Optimization Theory and Applications , 1997, 94 (2): 469-486.
[20] 丘京辉, 张申媛. 严有效点与Henig真有效点[J]. 数学杂志, 2005, 25 (2): 203-209.(QIU Jinghui, ZHANG Shenyuan. Strictly efficient points and Henig proper efficient points[J]. Journal of Mathematics , 2005, 25 (2): 203-209.(in Chinese))
[21] 傅万涛. 赋范线性空间集合的严有效点[J]. 系统科学与数学, 1997, 17 (4): 324-329.(FU Wantao. On strictly efficient point of a set in a normed linear space[J]. Journal of System Science and Mathematical Science Chinese Series , 1997, 17 (4): 324-329.(in Chinese))
[22] 仇秋生. 关于Henig真有效性[J]. 系统科学与数学, 2011, 31 (4): 482-488.(QIU Qiusheng. On Henig proper efficiency[J]. Journal of System Science and Mathematical Science Chinese Series , 2011, 31 (4): 482-488.(in Chinese))
CHEN Wang, ZHOU Zhiang
( School of Sciences , Chongqing University of Technology , Chongqing 400054, P . R . China )
(Recommended by YANG Xinmin, M. AMM Editorial Board)
Abstract: The optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints were investigated in locally convex spaces. Firstly, the concepts of the E -Henig properly efficient solution and the E -super efficient solution to the set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets were introduced. Secondly, under the assumption of the nearly E -subconvexlikeness, the sufficient and necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were established in the sense of the E -Henig proper efficiency. Finally, based on the nearly E -subconvexlikeness, the necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were obtained in the sense of the E -super efficiency.
Key words: improvement set; nearly E -subconvexlikeness; E -Henig properly efficient solution; E -super efficient solution; optimality condition
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11431004;11471291)
ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887
文章编号 : 1000-0887(2018)10-1189-09
作者简介: 陈望(1994—),男,硕士生(E-mail: wf835518304@163.com);周志昂(1972—),男,教授,博士(通讯作者. E-mail: zhi_ang@163.com).
基金项目: 国家自然科学基金(11431004;11471291);重庆市前沿与应用基础研究计划项目(cstc2015jcyjA00050;cstc2017jcyjBX0055;cstc2015jcyjBX0113)
修订日期: 2018-04-09
∗ 收稿日期: 2018-04-02;
DOI: 10.21656/1000-0887.390104
文献标志码: A
中图分类号 : O221.6
引用本文 / Cite this paper: 陈望, 周志昂. 基于改进集的带约束集值向量均衡问题的最优性条件[J]. 应用数学和力学, 2018, 39 (10): 1189-1197.CHEN Wang, ZHOU Zhiang. Optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets[J]. Applied Mathematics and Mechanics , 2018, 39 (10): 1189-1197.