基于改进集的带约束集值向量均衡问题的 最优性条件

陈 望, 周志昂

(重庆理工大学 理学院, 重庆 400054)

(我刊编委杨新民推荐)

摘要 在局部凸空间中,研究了带约束集值向量均衡问题的最优性条件 首先,利用改进集引进了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解和 E -超有效解的概念 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了带约束集值向量均衡问题的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 最后,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了带约束集值向量均衡问题的 E -超有效解的必要性条件

改进集; 邻近 E -次似凸; E -Henig真有效解; E -超有效解; 最优性条件

引 言

本文中,假设 X 为线性空间, Y Z 为局部凸空间 A X 非空, F : A × A Y 为向量值函数 向量均衡问题(VEP)的一般模型为:找出 x A ,使得

F ( x , y )∉- B , ∀ y A ,

其中, B ∪0为 Y 中的点凸锥 针对VEP,一些学者给出了不同形式的解,如:有效解、弱有效解、超有效解、Benson 真有效解、Henig真有效解、全局真有效解、 f -有效解等(见文献[1-8]) 龚循华和乐华明 [1] 及Capătă [2] 分别研究了VEP的有效解和强解及真有效解的存在性 Gong [3] 及Long和Peng [4] 分别研究了VEP真有效解集和弱有效解集的连通性 在锥凸与锥似凸的假设下,Gong(龚循华)等 [5-6] 建立了带约束的VEP的不同类型解的最优性条件 在广义锥次似凸的假设下,Qiu [7] 获得了带约束的VEP的全局真有效解的充分必要条件,改善了文献[5]的相关结果 在赋范空间中,Ma和Gong [8] 建立了基于切上导数和径向上导数的VEP的弱有效解、全局真有效解和Henig真有效解的最优性条件 另一方面,向量优化问题作为向量均衡问题的特例,一些学者 [9-12] 利用改进集对向量优化问题的解的统一性进行了研究 最近,Chen等 [13] 给出了基于改进集的向量均衡问题的 E -有效解、 E -弱有效解和 E -Benson真有效解的概念,并且研究了其线性标量化 在邻近 E -次似凸的假设下,宋宁宁和仇秋生 [14] 获得了带约束向量均衡问题的 E -有效解和 E -弱有效解的最优性条件 文献[13]提出了一个有趣的问题: 如何利用改进集引进向量均衡问题的全局真有效解、 Henig真有效解和超有效解, 进而研究其标量化结果

受上述文献启发,在局部凸空间中,研究了带约束集值向量均衡问题(简写为CSVEP)的真有效解的最优性条件 首先,利用改进集给出了CSVEP的 E -超有效解与 E -Henig真有效解的概念,并讨论了它们之间的关系 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件 最后,在邻近 E -次似凸的假设下,建立了CSVEP的 E -超有效解的必要性条件

1 预 备 知 识

本文中, Y * Z * 分别表示 Y Z 的拓扑对偶空间,0表示每个空间的零元 K X 中的非空子集, K 的拓扑内部和闭包分别记为int K 与cl K K 的锥包定义为

cone K tk | t ≥0, k K

C Y D Z 分别为点凸锥,int C ≠∅,int D ≠∅

C * φ Y * | φ ( y )≥0,∀ y C ,

C # φ Y * | φ ( y )>0,∀ y C\ 0

N(0)⊂ Y 为所有凸零邻域构成的集合 非空凸子集 Θ Y 称为 C 的基, 若 C =cone Θ , 0∉cl Θ Θ st φ Y * |∃ t >0使得 φ ( θ )≥ t ,∀ θ Θ 既然0∉cl Θ ,因此存在 φ Y * \ 0,使得 r =inf φ ( θ )| θ Θ > φ (0)=0 V Θ x Y || φ ( x )|< r /2 显然,对任意满足 U V Θ U ∈N(0), C U ( Θ ) cone( Θ + U )是点凸锥

Q Y 中的非空子集, Q y Q 的支撑泛函定义为

σ Q ( φ )=sup y Q φ ( y ), ∀ φ Y *

引理1 [15] φ Y * \ 0,则 φ Θ st 当且仅当存在 U ∈N(0),使得

φ ( u - θ )≤0, ∀ u U , ∀ θ Θ

引理2 [16] 对任意的满足 U V Θ U ∈N(0),( C U ( Θ )) * \ 0⊂ Θ st 对任意 φ Θ st ,存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0

定义1 [17] E Y 为任意的非空子集 E 称为关于 C 的改进集,如果0∉ E E + C = E 记T Y Y 中所有改进集构成的集合

定义2 [9] E ∈T Y F : A Y 是一集值映射 F A 上是邻近 E -次似凸, 如果cl cone( F ( A )+ E )是凸集

注1 文献[9]指出当int C E C\ 0, C Y 中的闭点凸锥时,邻近 C -次似凸映射和邻近 E -次似凸映射一致

定义3 [18] x A 称为VEP的 C -超有效解,如果对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得

cone( F ( x , A )+ C )∩( U - C )⊂ V

定义4 [18] x A 称为VEP的 C -Henig真有效解,如果存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得

cone( F ( x , A )+ C )∩( U - Θ )=∅

下面将引进一类新的均衡问题,并利用改进集给出其 E -超有效解和 E -Henig真有效解的概念 本文总假设 E ∈T Y A X 非空, F : A × A Y G : A Z 为集值映射 考虑CSVEP:找出 x S ,使得

F ( x , y )∩(- B )=∅, ∀ y S ,

其中, B ∪0为 Y 中的点凸锥, S x A | G ( x )∩- D ≠∅

μ ( F ( x , y ))= μ ( a )| a F ( x , y ),

下面给出CSVEP的 C -超有效解与 E -超有效解的概念

定义5 x S 称为CSVEP的 C -超有效解, 如果对任意的 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0), 使得

cl cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V , ∀ y S

注2 由文献[11]中的注2.3与文献[19]的定义2.2知: x S 称为CSVEP的 C -超有效解,如果对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得cone( F ( x , y )+ C )∩( U - C )⊂ V ,∀ y S 因此,当 F 为向量值映射,CSVEP无约束时,定义5与定义3一致

定义6 x S 称为CSVEP的 E -超有效解, 如果对任意的 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0), 使得

cl cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V , ∀ y S

记CSVEP的全体 E -超有效解为 易知,

⟺ cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - C )⊂ V

注3 E = C\ 0时,定义6就退化为定义5 然而,下面的例子表明定义6不蕴含定义5,因此,定义6是定义5的真推广

例1 X = Y = Z = R 2 A =[0,1]×[0,1], C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 ≥0, c 2 ≤0, D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≥0, E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 ≥0.5, e 2 ≤-0.5 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 ]×[0, x 2 + y 1 ],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[- x 2 ,0]

显然, E ∈T Y 且可行集 S = A 对任意的 V ∈N(0),存在 使得

V ,

其中, r 是任意充分小的正实数 因此, 是CSVEP的 E -超有效解 然而,存在 对任意的 U ∈N(0),使得 V ′,这表明 不是CSVEP的 C -超有效解

当且仅当对任意的 V ∈N(0),存在 U ∈N(0),使得cone( F ( x , y )+ E )∩( U - C )⊂ V ,∀ y S

下面给出CSVEP的Henig真有效解, C -Henig真有效解和 E -Henig真有效解

定义7 x S 称为CSVEP的Henig真有效解,如果存在满足 U V Θ U ∈N(0), 使得

cl cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅

记CSVEP的全体Henig真有效解为 V He ( F , S )

注5 由文献[20]的引理1知,CSVEP的Henig真有效解又可以表述为:存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得cone( F ( x , S ))∩( U - Θ )=∅ 因此,当 F 为向量值映射,CSVEP无约束时,定义7与定义4一致

定义8 x S 称为CSVEP的 C -Henig真有效解, 如果存在满足 U V Θ U ∈N(0), 使得

cl cone( F ( x , S )+ C )∩( U - Θ )=∅

记CSVEP的全体 C -Henig真有效解为

类似于文献[18]的命题3,有如下命题

命题1 Θ C 的基,则

定义9 x S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解, 如果存在满足 U V Θ U ∈N(0), 使得

cl cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅

将CSVEP的全体 E -Henig真有效解记为

注6 E = C\ 0时,定义9就退化为定义8 然而,下面的例子表明定义9不蕴含定义8,因此,定义9是定义8的真推广

例2 对任意的 x , y A ,集值映射 F : A × A Y 定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x |,| y |]×[ y ,0],

并且设可行集 S A 显然, E ∈T Y r =inf φ ( θ )| θ Θ =1, V Θ = z Y | | φ ( z )|<1/2 容易验证, 对任意满足 U V Θ U ∈N(0), cl 因此, 另一方面,对上述的 V Θ ,存在满足 U V Θ 使得cl 因此,

当且仅当存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得

cone( F ( x , S )+ E )∩( U - Θ )=∅

命题2 如果 C 有基 Θ ,则

证明 由于 Θ C 的基,则存在 V ∈N(0),使得

(- Θ )∩2 V =∅

(1)

假设 则对上述 V ∈N(0), 存在 U ∈N(0),使得

V

由于 Y 是局部凸空间,可以要求上述 U V V Θ 由式(1)得,( U - Θ )∩ V =∅ 注意 ⊂( U - Θ )∩ V 因此

注8 下面的例子表明 不成立

对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[-| x 1 |,| y 1 |]×[- y 2 ,0],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[-| x 1 |,0]×0

显然, E ∈T Y ,可行集 S = A Θ C 的基 容易验证, 存在 对任意的 U ∈N(0), 使得 V 因此, 另一方面,取 φ =(1/3,1)∈ Y * \ 0,则 r =inf φ ( θ )| θ Θ =2/3, V Θ = z Y | | φ ( z )|<1/3 从而存在满足 U V Θ 使得 因此,

注9 在赋范空间中,文献[21]提出了严有效点的概念并获得了其等价描述(见文献[21]的定义1) 对于Henig真有效点,Zheng [19] 将这种概念推广到了局部凸空间(见文献[19]的定义2.1) 而文献[19]的定理1指出在局部凸空间中严有效点实质上就是Henig真有效点 此外,文献[22]给出了Henig真有效点的几种等价性刻画 鉴于此,由文献[22]中定理3.1和文献[20]中定理1可以获得CSVEP的 E -Henig真有效解的另一种等价刻画,即: x S 称为CSVEP的 E -Henig真有效解,如果存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得( F ( x , S )+ E )∩(-int C V ( Θ ))=∅

2 最优性条件

定理1 假设以下条件成立:

有基 Θ

存在 x 0 S ,使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅;

A 上是邻近( E × D )-次似凸

当且仅当存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得

(2)

证明 “必要性”

则存在满足 U V Θ U ∈N(0),使得

(3)

y A 我们断言

(cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅

(4)

若不然,则存在 使得

(5)

(6)

D 是点凸锥知, D +int D ⊂int D D 再由式(6)知, z * ∈- D ,从而 由式(5)知,

∅,

这与式(3)矛盾 因此,式(4)成立

因为 U - Θ 与int D 是开集,所以由式(4)知

(cl cone( H ( A )+ E × D ))∩(( U - Θ )×(-int D ))=∅

(7)

由条件 和定义2知,cl cone( H ( A )+ E × D )是凸集 由凸集分离定理知:存在( φ , ψ )∈ Y * × Z * \ (0,0),使得

( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))> φ ( U - Θ )+ ψ (-int D )

(8)

由cl cone( H ( A )+ E × D )为凸锥及式(8)可得,( φ , ψ )(cl cone( H ( A )+ E × D ))≥0 显然,( φ , ψ )( H ( A )+ E × D )≥0 又因为0∈ D ,所以

φ ( α 1 + e )+ ψ ( α 2 )≥0,

y A , ∀ α 2 G ( y ), ∀ e E

(9)

因此

下证 φ Θ st ψ D *

首先证 ψ D * 由(0,0)∈cl cone( H ( A )+ E × D )和式(8),有

φ ( U - Θ )+ ψ (-int D )<0

(10)

由式(10),可得

ψ ( td )> φ ( u - θ ), ∀ t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u U , ∀ θ Θ ,

(11)

因此

t >0, ∀ d ∈int D , ∀ u U , ∀ θ Θ

(12)

在式(12)中,令 t →∞,得

ψ ( d )≥0, ∀ d ∈int D

(13)

D 是凸锥且int D ≠∅,所以 D ⊂cl D =cl(int D ) 因此,由式(13) 可知 ψ D *

现证 φ Θ st 在式(11)中,令 t →0,得

φ ( u - θ )≤0, ∀ u U , ∀ θ Θ

(14)

由式(14)和引理1知, φ Θ st

“充分性”

由注9知,对任意满足 U C U ( Θ ) 的 U ∈N(0),使得 ∅,即存在 y U S ,使得

(15)

既然 φ Θ st ,由引理2,对上述 U ,使得 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0 由式(15)知,存在 使得 a + e ∈-int C U ( Θ ) 又因为 φ ∈( C U ( Θ )) * \ 0,所以 φ ( a + e )<0,即

(16)

y U S ψ D * ,存在 z G ( y U )∩(- D ),使得

ψ ( z )≤0

(17)

由式(16)和式(17)可得 φ ( a )+ ψ ( z )< σ - E ( φ ),与式(2)矛盾

定理2 假设以下条件成立:

有基 Θ

存在 x 0 S ,使得 G ( x 0 )∩-int D ≠∅;

A 上是邻近( E × D )-次似凸

如果 则存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得

证明 由命题2和定理1的必要性易证

下面通过例子验证定理2

例4 在例1中, 令 Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 - θ 2 =1, θ 1 ≥0, θ 2 ≤0, 则知 定理2的条件 成立 φ =(1,-1)∈ Θ st ψ =(-2,1)∈ D * 经计算可知

注10 如果定理2的条件 成立,存在( φ × ψ )∈ Θ st × D * ,使得

则不能得到 是CSVEP的 E -超有效解 下面通过例子说明此情形

例5 X = Y = Z = R 2 A =[0,1]×[-1,0], C =( c 1 , c 2 )∈ R 2 | c 1 >0, c 2 R ∪(0,0), D =( d 1 , d 2 )∈ R 2 | d 1 ≤0, d 2 ≤0, Θ =( θ 1 , θ 2 )∈ R 2 | θ 1 =1, θ 2 R E =( e 1 , e 2 )∈ R 2 | e 1 >0.5, e 2 R ∪(0.5,0) 对任意的 x =( x 1 , x 2 ), y =( y 1 , y 2 )∈ A ,集值映射 F : A × A Y G : A Z 分别定义为

F ( x , y )=( a 1 , a 2 )∈ R 2 |( a 1 , a 2 )∈[0, x 1 + y 1 ]×[ x 2 ,0],

G ( x )=( z 1 , z 2 )∈ R 2 |( z 1 , z 2 )∈[0, x 1 ]×[0,| x 2 |+1]

显然, E ∈T Y ,可行集 S = A ,定理2的所有条件成立 通过直接计算可得

因此,式(2)成立 然而,存在 对任意的 U ∈N(0),使得 V 因此,

3 结 论

本文研究了CSVEP的最优性条件 首先,利用改进集引进了CSVEP的 E -超有效解和 E -Henig真有效解,并讨论了它们之间的关系 其次,在邻近 E -次似凸的假设下,分别建立了CSVEP的 E -Henig真有效解的充分必要性条件和 E -超有效解的必要性条件 最后,给出了例子进行说明我们获得的结果 如何进一步研究基于改进集的CSVEP的解集的连通性是值得进一步研究的课题

致谢 本文作者衷心感谢重庆理工大学研究生创新项目(ycx2018256)对本文的资助

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Optimality Conditions for Set-Valued Vector Equilibrium Problems With Constraints Involving Improvement Sets

CHEN Wang, ZHOU Zhiang

( School of Sciences , Chongqing University of Technology , Chongqing 400054, P . R . China )

(Recommended by YANG Xinmin, M. AMM Editorial Board)

Abstract: The optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints were investigated in locally convex spaces. Firstly, the concepts of the E -Henig properly efficient solution and the E -super efficient solution to the set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets were introduced. Secondly, under the assumption of the nearly E -subconvexlikeness, the sufficient and necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were established in the sense of the E -Henig proper efficiency. Finally, based on the nearly E -subconvexlikeness, the necessary conditions for the set-valued vector equilibrium problem with constraints were obtained in the sense of the E -super efficiency.

Key words: improvement set; nearly E -subconvexlikeness; E -Henig properly efficient solution; E -super efficient solution; optimality condition

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11431004;11471291)

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

文章编号 1000-0887(2018)10-1189-09

作者简介: 陈望(1994—),男,硕士生(E-mail: wf835518304@163.com);周志昂(1972—),男,教授,博士(通讯作者. E-mail: zhi_ang@163.com).

基金项目: 国家自然科学基金(11431004;11471291);重庆市前沿与应用基础研究计划项目(cstc2015jcyjA00050;cstc2017jcyjBX0055;cstc2015jcyjBX0113)

修订日期: 2018-04-09

收稿日期: 2018-04-02;

DOI: 10.21656/1000-0887.390104

文献标志码: A

中图分类号 O221.6

引用本文 / Cite this paper: 陈望, 周志昂. 基于改进集的带约束集值向量均衡问题的最优性条件[J]. 应用数学和力学, 2018, 39 (10): 1189-1197.CHEN Wang, ZHOU Zhiang. Optimality conditions for set-valued vector equilibrium problems with constraints involving improvement sets[J]. Applied Mathematics and Mechanics , 2018, 39 (10): 1189-1197.