一类含五次非线性恢复力的Duffing系统共振与分岔特性分析*

彭荣荣

(南昌工学院 理学院, 南昌330108)

摘要: 考虑一类含有外激力和五次非线性恢复力的Duffing系统,运用多尺度法求解得到该系统的幅频响应方程,给出不同参数变化下的幅频特性曲线及变化规律,同时利用奇异性理论得到该系统在3种情形下的转迁集及对应的拓扑结构其次确定系统的不动点,运用Hamilton函数给出该系统的异宿轨,在此基础上,利用Melnikov方法得到该系统在Smale马蹄意义下发生混沌的阈值而后通过数值仿真给出了系统随外激力、五次非线性项系数变化下的动态分岔与混沌行为,发现存在周期运动、倍周期运动、拟周期运动及混沌等非线性现象最后运用Lyapunov指数、相轨图和Poincaré截面等非线性方法对理论的正确性进行验证上述研究结论为进一步提升对Duffing系统非线性特性及其演化规律的认识提供了一定的理论参考

关 键 词: Duffing系统; 五次非线性; 分岔; 混沌

引 言

起初,学者们在研究机械动力系统相关特性时,常采用线性模型来简化替代非线性系统,但实际结果表明,线性化在分析计算中有时会导致较大的误差,甚至远远偏离实际,因此开始关注机械系统中的非线性问题Duffing系统便是Duffing于1918年描述机械系统中弹簧硬化效应而建立的一类典型动力系统, 随后, 许多学者开始研究Duffing系统的解与相关非线性现象1979年到1980年, Moon和Holmes为了探索两个永磁铁置于不同场中, 其中一个支架受迫振动的情形, 研究了形如的Duffing方程[1-2]1981年,Holmes等又研究了该方程中线性项为负的情形[3],而后Lazer等给出了形如的周期解[4]在此基础上,研究人员证明了一类Duffing系统解的存在性与唯一性[5],给出了一类广义Duffing振子随机振动的近似解[6]在此期间,学者发现Duffing方程在振动幅频问题中存在诸如参数共振、超亚谐波共振、组合共振、跳跃等丰富的非线性现象[7-8]而自Lorenz[9]在研究天气预报的准确性中发现了非线性系统的混沌现象后,非线性研究进入了一个新领域文献[10]表明Duffing系统可由对称破缺变化到倍周期分岔,随后经跳跃进入混沌;Stagliano等[11]观察到随着一定参数变化时,两自由度Duffing系统会出现倍周期分岔;Huang等[12]给出了周期或拟周期情形下系统出现混沌的存在准则;文献[13-15]也从不同角度研究了含有Duffing振子的非线性动力系统的分岔与混沌特性目前Duffing系统的非线性特性已被广泛应用于机械、水利[16]、结构材料[17]、通信[18]等工程学科及力学、电子学、噪声[19]等理论学科中,解决了很多实际问题,且伴随着科技、数值模拟及图形处理的进步,Duffing系统的研究正从简单到复杂、低维向高维发展

虽然到目前为止,学者们对Duffing系统的研究已取得很大的成果,但对含有更高次项非线性Duffing系统研究还较少本文考虑一类含有外激力项和五次非线性恢复力的Duffing系统,运用多尺度法求解该系统的响应方程,给出了不同参数对系统幅频的影响,同时通过奇异性理论分析该系统的静态分岔特性,其次利用Melnikov方法获得系统进入混沌的必要条件最后通过数值仿真分析了系统在不同参数下的动态分岔与混沌特性,且利用相关非线性方法验证了理论的正确性

1 系统响应求解及共振特性分析

本文考虑一类含有外激力和五次非线性恢复力的Duffing系统:

(1)

其中,c为阻尼系数,ω0为系统的固有频率,ω为受迫激励频率,且有ω=ω0+εσε为小量,σ为调谐参数,Fcos(ωt)为受迫系统的周期性激励,F为外激力,αβ分别为三次和五次非线性项系数,且均为实数

采用在诸多领域中广泛应用的多尺度法求解系统响应,引入不同尺度的时间函数T0=tT1=εt,讨论一次近似解,令

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(2)

将式(2)代入式(1),展开后令小量ε的同次幂系数相等,得到

(3)

(4)

其中Dn=∂/∂Tn(此处取n=0,1)将方程(2)的解设为复数形式:

(5)

将式(5)代入一次近似方程(4)的右边,可得

(6)

其中,cc为右边各项的共轭复数为避免出现久期项,要求

(7)

将复函数A写为指数形式A(t)=(1/2)a(t)eiθ(t)a(t)和θ(t)皆为实函数,将其代入式(7)并将实部与虚部分离,得到aθ的一阶常微分方程组:

(8)

其中,γ=σT1-θ可得五次非线性恢复力Duffing系统的幅频响应方程为

(9)

取一组基本参数:c=1.80,α=0.20,β=0.65,F=0.22,ω0=1.00,通过仿真得到系统不同参数变化下的幅频曲线,见图1~4

图1是阻尼系数c对系统幅频曲线的影响,系统的骨架基本为直线,随着阻尼系数的增大,系统的受迫振幅随之减小,说明线性项系数对系统的共振影响较小

图2是三次非线性项系数α对系统幅频曲线的影响,可看出随着α的变化,系统的幅频特性曲线并非单值,比如在σ∈(0.4,0.8)区域内,同一σ对应于振幅的3个不同值,系统将发生跳跃现象,且随着其增大,振幅及共振区域随着变大

图1 线性阻尼系数c对系统的影响图2 三次非线性项系数α对系统的影响
Fig. 1 The influence of linear damping Fig. 2 The influence of cubic nonlinear
coefficient c on the system coefficient α on the system

图3 五次非线性项系数β对系统的影响 图4 外激力F对系统的影响
Fig. 3 The influence of quintic nonlinear coefficient Fig. 4 The influence of excitation amplitude
β on the system F on the system

图3为随五次非线性项系数β变化的系统幅频曲线图由图可知,β的变化对系统的振幅无影响,但也发生了非线性系统特有的现象之一,即跳跃现象具体为:当σ开始缓慢增大时,受迫振幅从Ⅰ处沿幅频曲线连续变化至Ⅲ处,再增大σ,则振幅从Ⅲ处突降至Ⅴ处;若调谐参数σ逐渐减小时,振幅从Ⅴ处开始沿曲线的下半分支变化至Ⅳ处,再减小σ,振幅将从Ⅳ处突跃至Ⅱ处,然后沿曲线的上半分支从Ⅱ处向Ⅰ处移动,因此受迫振幅在Ⅲ~Ⅳ段的振动是不稳定的这说明五次非线性项系数β对整个系统具有很大的影响在各种实际系统中,应当尽量使β的取值合适,从而保证系统的平稳运行或工作

从图4中可以看出,随着外激力F的增大,振幅随之增大,且曲线骨架朝调谐参数增大的方向弯曲,系统的振动区域随之增大且从数值上可看出,当F从0.20变化至0.23时,系统的振幅从0.42剧烈地增加到1.48,说明外激力F是造成系统发生剧烈共振的主要原因之一

2 静态分岔特性分析

运用奇异性理论来分析该非线性系统的静态分岔特性将式(9)进行转换,得到系统的静态分岔方程:

l5a10+l4a8+l3a6+l2a4+l1a2+l0=0,

(10)

式中

b=a2,则式(10)可化为

l5b5+l4b4+l3b3+l2b2+l1b+l0=0

(11)

对式(11)进行线性变换b=μ-l4/(5l5),且令κi=li/l5(i=0,1,…,4),则式(11)可转换为余维3的分岔静态方程:

μ5+λ+δ1μ+δ2μ2+δ3μ3=0,

(12)

其中

式(12)是GS范式μ5+λ的普适开折,是余维3的五次滞后点,δ3δ2δ1是开折参数,λ是分岔参数由于难以在三维空间中直观表示该系统的转迁集,因此下面分3种情形讨论其在不同参数空间内二维投影平面上的静态分岔特性

图5 δ3=0时的转迁集
Fig. 5 The transition set for δ3=0

δ3=0

δ3=0时,可得系统分岔点集B=∅(∅为空集),滞后点集

双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=BHD其结果如图5、6所示

图6 分岔曲线拓扑结构
Fig. 6 The topological structure of bifurcation curves

图7 δ2=0时的转迁集
Fig. 7 The transition set for δ2=0

图8 分岔曲线拓扑结构
Fig. 8 The topological structure of bifurcation curves

δ2=0

δ2=0时,可得系统分岔点集B=∅,滞后点集

双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=BHD其结果如图7、8所示

δ1=0

δ1=0时,可得系统分岔点集:B=∅;滞后点集

双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=BHD其结果如图9、10所示

从图5、7、9可以看出,转迁集将开折参数空间分成若干个子区域,在每个子区间分岔拓扑曲线形态各异,分岔特性丰富δ3=0时的转迁集(图5)及其分岔拓扑结构(图6)为例,可看出,转迁集将δ1-δ2组成的开折空间分成4个子区域,在每个子区域中,分岔形态相似,即退化是持久的,在不同区域,分岔形态完全不相同,即退化是不持久的

在图6的Ⅰ区中,系统不存在跳跃现象,在Ⅲ、Ⅳ区中,一个分岔参数λ对应多个μ,即受到非线性参数扰动后出现的分岔性将会变多,从而发生跳跃现象因此可以改变开折参数,即通过改变相关的非线性参数来改变系统的的动力学行为

图9 δ1=0时的转迁集
Fig. 9 The transition set for δ1=0

图10 分岔曲线拓扑结构
Fig. 10 The topological structure of bifurcation curves

3 系统动态分岔与混沌运动分析

3.1 系统不动点分析及异宿轨道求解

则式(1)可写为

(13)

非线性项前冠以小参数ξ,则上式可化为

(14)

当小参数ξ=0,未扰系统的Hamilton量为

(15)

其中h为常数

系统(13)的不动点(x,0)必须满足

(16)

本文主要考虑α<0,β>0的非线性恢复力情形,由式(16)的根分析系统不动点的稳定性,可知当时,系统(13)有5个不动点,其中是中心点,是鞍点故未扰系统有两条异宿轨,其相平面如图11所示

图11 系统(13)的相平面
Fig. 11 The phase plane of system (13)

通过积分可得到连接两个鞍点的两条异宿轨为

(17)

其中

3.2 混沌阈值求解及预测

式(17)对应的Melnikov函数为

(18)

其中,∧为合取符号,且

因此,有

M±(t0)=-cI1+FI2cos(ωt0),

(19)

其中

M±(t0)=0得

(20)

要使这个方程有解,必须有cI1/(FI2)<1,在此条件下,记方程(20)的解为即有又因为

(21)

所以是简单零点,故当F/c>I2/I1时,系统具有Smale马蹄意义下的混沌

4 系统动态分岔与混沌特性仿真分析

动态分岔及混沌是非线性系统特有的一种运动形式,通过数值仿真分析该系统的混沌特性,本文取一组基本参数:c=1.80,α=-0.20,β=0.65,F=0.22,ω0=ω=1.0,初始值取(0.20,-0.01)

图12 系统随五次非线性项系数β变化的动态分岔图 图13 系统随五次非线性项系数β变化的最大Lyapunov指数
Fig. 12 The dynamic bifurcation diagram with quintic Fig. 13 The maximum Lyapunov exponent changing with nonlinear coefficient β of the system quintic nonlinear coefficient β of the system

(a) β=0.45(b) β=0.88

(c) β=1.05(d) β=1.22
图14 系统随五次非线性项系数β变化的相轨图
Fig. 14 The phase diagram changing with quintic nonlinear coefficient β of the system

(a) β=0.45(b) β=0.88

(c) β=1.05(d) β=1.22
图15 系统随五次非线性项系数β变化的Poincaré截面
Fig. 15 The Poincaré sections changing with quintic nonlinear coefficient β of the system

4.1 五次非线性项β变化时系统的分岔特性分析

图12是该Duffing系统随五次非线性项系数β变化的动态分岔图,图13是其对应的最大Lyapunov指数,图14为其相应的相轨图,图15为其对应的Poincaré截面

4.2 外激力F变化时系统的分岔特性分析

由动态分岔(图16)及最大Lyapunov指数曲线(图17)可看出,随着F的变化,系统通向混沌的路径:周期5运动→阵发性混沌→混沌运动→退化为阵发性混沌→退化为周期2运动

图16 系统随外激力F变化的图17 系统随外激力F变化的
动态分岔图 最大Lyapunov指数
Fig. 16 The dynamic bifurcation diagram with Fig. 17 The maximum Lyapunov exponent changing
excitation amplitude F of the system with excitation amplitude F of the system

(a) F=0.21(b) F=0.25

(c) F=0.28(d) F=0.40
图18 系统随外激力F变化的相轨图
Fig. 18 The phase diagram changing with excitation amplitude F of the system

图18为系统随F变化的相轨图F=0.21时,系统为周期5运动,见图18(a)中的局部放大图,为5条闭合的曲线,对应的Poincaré截面为5个点(图19(a));当F=0.25时,系统进入周期10的运动,其相轨迹是一条自相交的十轨道封闭曲线(图18(b)),对应的Poincaré截面为图19(b);随后系统由阵发性混沌进入混沌运动,此时系统所对应的相轨迹是图18(c),是一组不封闭的曲线,说明此时系统不具有周期性,对应的Poincaré截面是图19(c);随后在F=0.40时,系统退化为周期2运动(图19(d))

(a) F=0.21(b) F=0.25

(c) F=0.28(d) F=0.40
图19 系统随外激力F变化的Poincaré截面
Fig. 19 The Poincaré sections changing with excitation amplitude F of the system

5 结 论

考虑一类含有外激力和五次非线性恢复力的Duffing系统,运用多尺度法求解得到该系统的幅频响应方程,给出阻尼系数c、三次非线性项系数α、五次非线性项系数β和外激力F变化时的幅频特性曲线,同时运用奇异性理论分析该系统的静态分岔特性,并讨论了3种情形下的转迁集与对应拓扑曲线结构其次运用Hamilton函数得到该系统的异宿轨道,且利用Melnikov方法获得该系统进入混沌的必要条件,最后运用数值仿真,得到了系统随五次非线性项系数和外激力变化下的分岔与混沌,发现这两个参数可以使系统进入混沌本文的研究为进一步探讨具有高次非线性项的Duffing系统提供了一定的理论参考,对于解决工程实际问题也具有一定的现实意义

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Analysis of Resonance and Bifurcation Characteristics of Some Duffing Systems With Quintic Nonlinear Restoring Forces

PENG Rongrong

(School of Sciences, Nanchang Institute of Science & Technology, Nanchang 330108, P.R.China)

Abstract: Some Duffing systems with external excitation and quintic nonlinear restoring forces were considered, the amplitude-frequency response equation for the system was obtained with the multi-scale method, and the amplitude-frequency characteristic curves and their changing rules under different parameter changes were given. At the same time, the singularity theory was applied to get the transition sets and the corresponding topological structures of the system in 3 cases. Second, the fixed point of the system was determined, and the Hamiltonian function was used to get the heteroclinic orbit of the system, so the threshold of chaos in the Smale horseshoe sense was obtained with the Melnikov method. Then, the dynamic bifurcation and chaotic behavior of the system under external excitation and quintic nonlinear coefficients were given through numerical simulation. It is found that there are nonlinear phenomena such as periodic motion, period doubling motion, quasi periodic motion and chaos. The correctness of the theory was verified with nonlinear methods such as the Lyapunov exponent, the phase diagram and the Poincaré sections. The work provides a theoretical reference for further understanding of the nonlinear characteristics of Duffing systems and their evolution laws.

Key words: Duffing system; quintic nonlinearity; bifurcation; chaos

文章编号:1000-0887(2019)10-1122-13

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

*收稿日期: 2018-09-04; 修订日期:2018-11-28

基金项目: 2018年度江西省教育厅科学技术研究资助项目(GJJ181061)

作者简介: 彭荣荣(1987—),男,讲师,硕士(E-mail: 15294476178@163.com).

中图分类号: O322; O411.3

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390234

引用本文/Cite this paper:彭荣荣. 一类含五次非线性恢复力的Duffing系统共振与分岔特性分析[J]. 应用数学和力学, 2019,40(10): 1122-1134.PENG Rongrong. Analysis of resonance and bifurcation characteristics of some Duffing systems with quintic nonlinear restoring forces[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(10): 1122-1134.