起初,学者们在研究机械动力系统相关特性时,常采用线性模型来简化替代非线性系统,但实际结果表明,线性化在分析计算中有时会导致较大的误差,甚至远远偏离实际,因此开始关注机械系统中的非线性问题.Duffing系统便是Duffing于1918年描述机械系统中弹簧硬化效应而建立的一类典型动力系统, 随后, 许多学者开始研究Duffing系统的解与相关非线性现象.1979年到1980年, Moon和Holmes为了探索两个永磁铁置于不同场中, 其中一个支架受迫振动的情形, 研究了形如的Duffing方程[1-2].1981年,Holmes等又研究了该方程中线性项为负的情形[3],而后Lazer等给出了形如的周期解[4].在此基础上,研究人员证明了一类Duffing系统解的存在性与唯一性[5],给出了一类广义Duffing振子随机振动的近似解[6].在此期间,学者发现Duffing方程在振动幅频问题中存在诸如参数共振、超亚谐波共振、组合共振、跳跃等丰富的非线性现象[7-8].而自Lorenz[9]在研究天气预报的准确性中发现了非线性系统的混沌现象后,非线性研究进入了一个新领域.文献[10]表明Duffing系统可由对称破缺变化到倍周期分岔,随后经跳跃进入混沌;Stagliano等[11]观察到随着一定参数变化时,两自由度Duffing系统会出现倍周期分岔;Huang等[12]给出了周期或拟周期情形下系统出现混沌的存在准则;文献[13-15]也从不同角度研究了含有Duffing振子的非线性动力系统的分岔与混沌特性.目前Duffing系统的非线性特性已被广泛应用于机械、水利[16]、结构材料[17]、通信[18]等工程学科及力学、电子学、噪声[19]等理论学科中,解决了很多实际问题,且伴随着科技、数值模拟及图形处理的进步,Duffing系统的研究正从简单到复杂、低维向高维发展.
虽然到目前为止,学者们对Duffing系统的研究已取得很大的成果,但对含有更高次项非线性Duffing系统研究还较少.本文考虑一类含有外激力项和五次非线性恢复力的Duffing系统,运用多尺度法求解该系统的响应方程,给出了不同参数对系统幅频的影响,同时通过奇异性理论分析该系统的静态分岔特性,其次利用Melnikov方法获得系统进入混沌的必要条件.最后通过数值仿真分析了系统在不同参数下的动态分岔与混沌特性,且利用相关非线性方法验证了理论的正确性.
本文考虑一类含有外激力和五次非线性恢复力的Duffing系统:
(1)
其中,c为阻尼系数,ω0为系统的固有频率,ω为受迫激励频率,且有ω=ω0+εσ,ε为小量,σ为调谐参数,Fcos(ωt)为受迫系统的周期性激励,F为外激力,α,β分别为三次和五次非线性项系数,且均为实数.
采用在诸多领域中广泛应用的多尺度法求解系统响应,引入不同尺度的时间函数T0=t和T1=εt,讨论一次近似解,令
x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1).
(2)
将式(2)代入式(1),展开后令小量ε的同次幂系数相等,得到
(3)
(4)
其中Dn=∂/∂Tn(此处取n=0,1).将方程(2)的解设为复数形式:
(5)
将式(5)代入一次近似方程(4)的右边,可得
(6)
其中,cc为右边各项的共轭复数.为避免出现久期项,要求
(7)
将复函数A写为指数形式A(t)=(1/2)a(t)eiθ(t),a(t)和θ(t)皆为实函数,将其代入式(7)并将实部与虚部分离,得到a和θ的一阶常微分方程组:
(8)
其中,γ=σT1-θ.令可得五次非线性恢复力Duffing系统的幅频响应方程为
(9)
取一组基本参数:c=1.80,α=0.20,β=0.65,F=0.22,ω0=1.00,通过仿真得到系统不同参数变化下的幅频曲线,见图1~4.
图1是阻尼系数c对系统幅频曲线的影响,系统的骨架基本为直线,随着阻尼系数的增大,系统的受迫振幅随之减小,说明线性项系数对系统的共振影响较小.
图2是三次非线性项系数α对系统幅频曲线的影响,可看出随着α的变化,系统的幅频特性曲线并非单值,比如在σ∈(0.4,0.8)区域内,同一σ对应于振幅的3个不同值,系统将发生跳跃现象,且随着其增大,振幅及共振区域随着变大.
图1 线性阻尼系数c对系统的影响图2 三次非线性项系数α对系统的影响
Fig. 1 The influence of linear damping Fig. 2 The influence of cubic nonlinear
coefficient c on the system coefficient α on the system
图3 五次非线性项系数β对系统的影响 图4 外激力F对系统的影响
Fig. 3 The influence of quintic nonlinear coefficient Fig. 4 The influence of excitation amplitude
β on the system F on the system
图3为随五次非线性项系数β变化的系统幅频曲线图.由图可知,β的变化对系统的振幅无影响,但也发生了非线性系统特有的现象之一,即跳跃现象.具体为:当σ开始缓慢增大时,受迫振幅从Ⅰ处沿幅频曲线连续变化至Ⅲ处,再增大σ,则振幅从Ⅲ处突降至Ⅴ处;若调谐参数σ逐渐减小时,振幅从Ⅴ处开始沿曲线的下半分支变化至Ⅳ处,再减小σ,振幅将从Ⅳ处突跃至Ⅱ处,然后沿曲线的上半分支从Ⅱ处向Ⅰ处移动,因此受迫振幅在Ⅲ~Ⅳ段的振动是不稳定的.这说明五次非线性项系数β对整个系统具有很大的影响.在各种实际系统中,应当尽量使β的取值合适,从而保证系统的平稳运行或工作.
从图4中可以看出,随着外激力F的增大,振幅随之增大,且曲线骨架朝调谐参数增大的方向弯曲,系统的振动区域随之增大.且从数值上可看出,当F从0.20变化至0.23时,系统的振幅从0.42剧烈地增加到1.48,说明外激力F是造成系统发生剧烈共振的主要原因之一.
运用奇异性理论来分析该非线性系统的静态分岔特性.将式(9)进行转换,得到系统的静态分岔方程:
l5a10+l4a8+l3a6+l2a4+l1a2+l0=0,
(10)
式中
令b=a2,则式(10)可化为
l5b5+l4b4+l3b3+l2b2+l1b+l0=0.
(11)
对式(11)进行线性变换b=μ-l4/(5l5),且令κi=li/l5(i=0,1,…,4),则式(11)可转换为余维3的分岔静态方程:
μ5+λ+δ1μ+δ2μ2+δ3μ3=0,
(12)
其中
式(12)是GS范式μ5+λ的普适开折,是余维3的五次滞后点,δ3,δ2,δ1是开折参数,λ是分岔参数.由于难以在三维空间中直观表示该系统的转迁集,因此下面分3种情形讨论其在不同参数空间内二维投影平面上的静态分岔特性.
图5 δ3=0时的转迁集
Fig. 5 The transition set for δ3=0
① δ3=0
当δ3=0时,可得系统分岔点集B=∅(∅为空集),滞后点集
双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=B∪H∪D.其结果如图5、6所示.
图6 分岔曲线拓扑结构
Fig. 6 The topological structure of bifurcation curves
图7 δ2=0时的转迁集
Fig. 7 The transition set for δ2=0
图8 分岔曲线拓扑结构
Fig. 8 The topological structure of bifurcation curves
② δ2=0
当δ2=0时,可得系统分岔点集B=∅,滞后点集
双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=B∪H∪D.其结果如图7、8所示.
③ δ1=0
当δ1=0时,可得系统分岔点集:B=∅;滞后点集
双极限点集D=∅,则系统转迁集Σ=B∪H∪D.其结果如图9、10所示.
从图5、7、9可以看出,转迁集将开折参数空间分成若干个子区域,在每个子区间分岔拓扑曲线形态各异,分岔特性丰富.以δ3=0时的转迁集(图5)及其分岔拓扑结构(图6)为例,可看出,转迁集将δ1-δ2组成的开折空间分成4个子区域,在每个子区域中,分岔形态相似,即退化是持久的,在不同区域,分岔形态完全不相同,即退化是不持久的.
在图6的Ⅰ区中,系统不存在跳跃现象,在Ⅲ、Ⅳ区中,一个分岔参数λ对应多个μ,即受到非线性参数扰动后出现的分岔性将会变多,从而发生跳跃现象.因此可以改变开折参数,即通过改变相关的非线性参数来改变系统的的动力学行为.
图9 δ1=0时的转迁集
Fig. 9 The transition set for δ1=0
图10 分岔曲线拓扑结构
Fig. 10 The topological structure of bifurcation curves
令则式(1)可写为
(13)
非线性项前冠以小参数ξ,则上式可化为
(14)
当小参数ξ=0,未扰系统的Hamilton量为
(15)
其中h为常数.
系统(13)的不动点(x,0)必须满足
(16)
本文主要考虑α<0,β>0的非线性恢复力情形,由式(16)的根分析系统不动点的稳定性,可知当时,系统(13)有5个不动点,其中和是中心点,和是鞍点故未扰系统有两条异宿轨,其相平面如图11所示.
图11 系统(13)的相平面
Fig. 11 The phase plane of system (13)
通过积分可得到连接两个鞍点的两条异宿轨为
(17)
其中
式(17)对应的Melnikov函数为
(18)
其中,∧为合取符号,且
因此,有
M±(t0)=-cI1+FI2cos(ωt0),
(19)
其中
由M±(t0)=0得
(20)
要使这个方程有解,必须有cI1/(FI2)<1,在此条件下,记方程(20)的解为即有又因为
(21)
所以是简单零点,故当F/c>I2/I1时,系统具有Smale马蹄意义下的混沌.
动态分岔及混沌是非线性系统特有的一种运动形式,通过数值仿真分析该系统的混沌特性,本文取一组基本参数:c=1.80,α=-0.20,β=0.65,F=0.22,ω0=ω=1.0,初始值取(0.20,-0.01).
图12 系统随五次非线性项系数β变化的动态分岔图 图13 系统随五次非线性项系数β变化的最大Lyapunov指数
Fig. 12 The dynamic bifurcation diagram with quintic Fig. 13 The maximum Lyapunov exponent changing with nonlinear coefficient β of the system quintic nonlinear coefficient β of the system
(a) β=0.45(b) β=0.88
(c) β=1.05(d) β=1.22
图14 系统随五次非线性项系数β变化的相轨图
Fig. 14 The phase diagram changing with quintic nonlinear coefficient β of the system
(a) β=0.45(b) β=0.88
(c) β=1.05(d) β=1.22
图15 系统随五次非线性项系数β变化的Poincaré截面
Fig. 15 The Poincaré sections changing with quintic nonlinear coefficient β of the system
图12是该Duffing系统随五次非线性项系数β变化的动态分岔图,图13是其对应的最大Lyapunov指数,图14为其相应的相轨图,图15为其对应的Poincaré截面.
由动态分岔(图16)及最大Lyapunov指数曲线(图17)可看出,随着F的变化,系统通向混沌的路径:周期5运动→阵发性混沌→混沌运动→退化为阵发性混沌→退化为周期2运动.
图16 系统随外激力F变化的图17 系统随外激力F变化的
动态分岔图 最大Lyapunov指数
Fig. 16 The dynamic bifurcation diagram with Fig. 17 The maximum Lyapunov exponent changing
excitation amplitude F of the system with excitation amplitude F of the system
(a) F=0.21(b) F=0.25
(c) F=0.28(d) F=0.40
图18 系统随外激力F变化的相轨图
Fig. 18 The phase diagram changing with excitation amplitude F of the system
图18为系统随F变化的相轨图.当F=0.21时,系统为周期5运动,见图18(a)中的局部放大图,为5条闭合的曲线,对应的Poincaré截面为5个点(图19(a));当F=0.25时,系统进入周期10的运动,其相轨迹是一条自相交的十轨道封闭曲线(图18(b)),对应的Poincaré截面为图19(b);随后系统由阵发性混沌进入混沌运动,此时系统所对应的相轨迹是图18(c),是一组不封闭的曲线,说明此时系统不具有周期性,对应的Poincaré截面是图19(c);随后在F=0.40时,系统退化为周期2运动(图19(d)).
(a) F=0.21(b) F=0.25
(c) F=0.28(d) F=0.40
图19 系统随外激力F变化的Poincaré截面
Fig. 19 The Poincaré sections changing with excitation amplitude F of the system
考虑一类含有外激力和五次非线性恢复力的Duffing系统,运用多尺度法求解得到该系统的幅频响应方程,给出阻尼系数c、三次非线性项系数α、五次非线性项系数β和外激力F变化时的幅频特性曲线,同时运用奇异性理论分析该系统的静态分岔特性,并讨论了3种情形下的转迁集与对应拓扑曲线结构.其次运用Hamilton函数得到该系统的异宿轨道,且利用Melnikov方法获得该系统进入混沌的必要条件,最后运用数值仿真,得到了系统随五次非线性项系数和外激力变化下的分岔与混沌,发现这两个参数可以使系统进入混沌.本文的研究为进一步探讨具有高次非线性项的Duffing系统提供了一定的理论参考,对于解决工程实际问题也具有一定的现实意义.
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