对于具有螺栓连接的组合结构,连接系统的力学特征对结构整体动力学性能具有显著的影响,为了准确刻画连接系统的力学特征,对组合结构进行不确定性模型更新成为结构动力学研究的重要课题[1-2].通常而言,不确定模型修正方法可分为概率方法和非概率方法.近些年来,基于概率的Bayes方法被广泛应用于动力学模型更新领域,该方法不仅考虑了实际测量数据,还将含有经验信息的先验概率考虑进修正参数的概率密度函数中,在不确定性量化时,具有很好的优势[3].
Bayes理论最早由Thomas Bayes提出,Beck和Katafygiotis[4]通过引入预测误差来描述试验模型和理论模型的差异,首次将Bayes理论运用于结构动力学识别中.在此基础上,基于Bayes的不确定模型修正方法逐渐成为国内外研究的热点.Vanik等[5]的研究表明,根据结构的响应可以获得结构的模型参数和损伤模型的概率分布.Yuen[6]讨论了健康监测运用于实际结构的不确定性问题,提出了一种可连续在线进行健康监测的Bayes概率方法,该方法克服了利用振动数据识别刚度变化时存在的反问题固有的病态条件.随后又发展了基于不完全模态数据的Bayes模型分析方法,避免了被测模态与结构模态的不匹配.Ching等[7]在Yuen[6]的两阶段概率方法的基础上,提出了新的两阶段概率监测方法,将非凹的非线性优化问题转化为两个耦合的二次优化问题,提高了算法的鲁棒性.Yan等[8]在两阶段快速Fourier谱密度方法的基础上提出了一个快速解析迭代格式,提高了求解最优参数和量化不确定的计算效率.Au等[9]利用测量数据的FFT转化值的概率统计特性构造后验概率密度函数,提出了基于强迫振动数据的模态特征识别的快速Bayes FFT方法,该方法被证明对于分离模态和密集模态也同样适用.
在组合结构中,连接系统通过摩擦接触界面传递各子结构之间的相互作用,在以往螺栓组合结构的模型更新中,为简化问题,通常将连接系统作为确定性参数进行识别,忽略了连接系统本身存在的固有不确定性.针对这一问题,本文基于测试时域信号FFT变换系数的统计特征,提出了一种考虑连接不确定性的组合结构模型更新方法.通过Bayes推理框架建立参数优化的目标函数,优化了分析得到的参数最优估计值,并利用其Hesse阵量化参数不确定性.为提高优化过程计算效率,引入虚拟激励法进行组合结构随机振动重分析.本文在数值算例中,考虑了两种不同连接系统建模方式的组合悬臂梁结构,采用提出的方法进行不确定性模型更新,通过测量功率谱和修正功率谱对比,验证了所提出方法的正确性和有效性.
连接结构的主要作用是将两个或多个独立子结构组合成为整体.对于连接结构的模型化,具有代表性的有弹簧单元和薄层单元两种.图1给出了螺栓连接组合梁结构示意图,下面分别介绍连接结构的两种建模方式.
图1 螺栓连接组合梁结构
Fig. 1 An assembled beam structure with bolted joints
图2 弹簧单元模拟连接结构示意图
Fig. 2 Bolted joints modelled as a spring
1.1.1 弹簧单元
弹簧单元是通过弹簧耦合子结构中被连接单元节点,该方法适用于接触面积较小,发生小变形的线性结构,Li[10]用线性平动弹簧和旋转弹簧模拟了接触界面耦合关系.Ingole和Chatterjee [11]同样将连接结构建模为弹簧模型,利用子结构综合法建立了连接系统的频率方程.如图1所示的两根梁通过螺栓结构连接,其采用弹簧单元模拟的有限元结构示意图如图2所示.首先确定子结构中被连接单元节点,然后通过两个线性弹簧来模拟螺栓结构,连接结构的频响函数可以表示为
(1)
其中k1和k2分别为线性平动弹簧和旋转弹簧刚度.
1.1.2 薄层单元
图3给出了组合结构薄层单元的建模方法,在被连接结构之间添加薄层单元,通过薄层单元来模拟连接接触面.薄层单元是结构之间的一层很薄的实体材料,能够表征连接结构在法向和切向的连接特征,还可以考虑结构之间的无滑移、滑移和界面脱黏等变形[12].Ahmadian等[13]将具有线弹性本构关系的薄层单元用于接触刚度系数的模型修正.Mayer和Gaul[14]提出了非线性薄层单元,并运用到螺栓连接结构的接触建模中.在有限元模拟中,薄层单元的刚度阵为
(2)
对于线弹性行为,D可表示为
(3)
其中
(4)
图3 薄层单元模拟连接结构
Fig. 3 Bolted joints modelled as a thin layer element
这里E为弹性模量,ν为Poisson比,Gi为剪切模量,在考虑各向同性材料时,G1=G2=G3=G.
假设关注的频率不高,可以暂时忽略连接结构的质量.图4给出了螺栓连接组合结构的子结构建模示意图,b、c分别代表子结构1和子结构2中和螺栓连接的自由度;a和d分别表示子结构1和子结构2中与螺栓结构不连接的其他自由度,右上角的角标代表子结构编号.由此可以推导出子结构1和子结构2的动力学响应方程为[15]
(5)
其中和为位移向量,和为分别施加在对应自由度的荷载,和为螺栓在子结构之间的相互作用力,且有以下关系:
(6)
那么和位移向量的差可以表示为
(7)
其中Hj为连接结构的频响函数.
由此,不难推导出整体结构的动力学方程:
(8)
其中
(9)
(a) 非耦合状态 (b) 耦合状态
(a) The uncoupled state(b) The coupled state
图4 螺栓连接组合结构的子结构示意图
Fig. 4 Substructures of the assembled structure with bolted joints
假设n自由度的线性组合结构体系受m点部分相干平稳随机激励f(t)作用,考虑连接系统的参数存在不确定性,则体系的结构运动方程在频域可以表示为
H(θ,ω)F(ω)=X(ω),
(10)
其中H(θ)=(-ω2M+iωC(θ)+K(θ))-1为组合结构频响函数,θ为系统的不确定参数向量,F(ω)是f(t)的Fourier变换形式.F(ω)的功率谱矩阵Sff(ω)已知,表示为如下形式:
(11)
由于功率谱矩阵必定是一Hermite矩阵,所以它可进行如下的分解:
(12)
其中上划线与T代表取复共轭及矩阵(向量)转置,而λj及ψj则是该Hermite矩阵的特征对,它们满足
Sffψj=λjψj, j=1,2,…,r,
(13)
(14)
其中r≤m为输入激励功率谱矩阵Sff的秩.
由虚拟激励法[16],只要用式(14)中的每一阶特征对构造下列虚拟激励:
(15)
将式(15)代入方程(10),很容易将Sff表示为
(16)
由虚拟激励法可以得到响应功率谱为
(17)
其中H(ω,θ)为系统的频率响应函数矩阵,螺栓整体结构的频响函数由式(8)计算得到.想比于传统的CQC和SRSS方法,虚拟激励法的计算效率和计算精度明显较高,为下一步优化迭代过程节约了计算时间成本,且本文的计算结构是线性结构,使用虚拟激励法求解随机响应十分方便.
在平稳随机载荷作用下,结构的实际测量响应一般是离散时域信号.假设nc个自由度的测量信号x(t)的离散形式是{xj,采样间隔为Δt,其Fourier变化形式为[17]
(18)
其中的下角标k代表频点为是FFT系数.
当测量数据足够长的时候,是渐近Gauss且不相关、独立的,其联合概率等价于边缘概率的乘积[17].
将复向量转化为实部和虚部向量其渐近满足如下关系:
(19)
其中
这里E[·]指取平均数.
令代入上式化简为
(20)
这里代表xk的共轭,且
当测量数据足够长的时候有limT→∞Qk=0,进一步简化方程为
(21)
在数据足够长的假定下,中各频率值是独立的, 则的概率分布为
(22)
为了将分析模型嵌入到概率模型中, 引入测量误差, 假定测量值和理论值之间存在以下关系:
j, j=0,1,…,N-1,
(23)
其中是实际测量信号,x(jΔt,θ)是组合结构的理论响应,测量误差模型化为一个零均值的离散限带白噪声随机过程.
实际测试样本功率谱均值与理论功率谱和测量误差功率谱存在如下关系[7]:
(24)
理论功率谱Sxx(ω,θ)可由虚拟激励法按式(17)计算得到.
当测量数据足够长时,有如下近似:
(25)
由Bayes推理可以得到连接结构不确定参数θ的后验概率分布为
(26)
其中是与参数无关的归一化参数;为Bayes估计的似然函数;p(θ)为参数的先验概率密度函数,为了充分体现测量信息的价值,一般取先验函数为均匀分布函数.
似然函数可以由式(22)给出:
(27)
基于后验分布的概率函数对θ进行Bayes估计通常采用以下三种方式: ① 以后验密度函数的最大值点作为θ的点估计,称为最大后验估计(MAP);② 以后验分布的中位数作为θ的点估计,称为后验中位数估计;③ 以后验分布的均值作为θ的点估计,称为后验期望估计.人们常常根据自己关心的值不同,选取不同的估计方法.在结构无输入振动特性识别问题中经常采用MAP,本文同样选用MAP作为θ的点估计.对此,可以由式(26)和(27)构造关于参数θ的目标函数:
(28)
其中nc为测量自由度数目,N为频率点数目.最优值θ*可通过解目标函数的最小值得到.
后验概率分布渐近于Gauss分布[6,17],其均值是θ*,协方差矩阵是J(θ)在θ*处的Hesse阵的逆阵H-1(θm,θn)|θ=θ*.目标函数的Hesse阵可以通过下式计算:
(29)
在Bayes方法的实际运用中,往往由于试验数据有限,修正参数的后验概率密度函数不能近似为Gauss分布函数,无法通过参数的Hesse矩阵间接计算参数协方差矩阵,或者是修正参数的后验分布呈高维、复杂的概率分布时,对参数的不确定性量化,需要借助MCMC抽样方法.本文试验数据足够,通过式(29)就可以得到参数的不确定性方差.
考虑两个相同的梁模型,子结构A和子结构B,通过螺栓连接成悬臂梁结构,如图5所示.梁的弹性模量为E=210 GPa; Poisson比为ν=0.3;每根梁长为Lsub=0.3 m; 密度为ρ=7 850 kg/m3;截面惯性矩为I=1.066 7×10-9 m4;采用有限元梁模型对各个子结构进行有限元建模,每个节点具有平移和转动自由度,子结构中被连接部分节点分别被约束到两个虚拟节点,虚拟节点之间通过刚度为k1的线性平动弹簧和刚度为k2的线性旋转弹簧连接.
图5 含弹簧单元的组合结构激励和测量点位置
Fig. 5 Excitation and measuring point positions of the assembled structure with spring elements
关于测量时域信号,可以通过三角级数叠加模拟结构随机时域响应样本,平稳随机时域信号xm(t)可由下式得到[17]:
(30)
其中 为[0,2π]范围内均匀分布的随机数.
含测量噪声信号为(t),(t)模拟为零均值、方差为的限带白噪声信由噪声强度和响应信号共同决定:
(31)
其中γ为噪声强度,而噪声的功率谱密度为
(32)
这里fu是限带白噪声的频率上限.
平稳随机荷载作用于悬臂梁模型自由端,功率谱密度为Sf=1 N2·s,结构响应功率谱的观察位置为子结构A的中点附近.模拟生成含5%噪声的时域测量信号及其FFT变化得到的功率谱测量样本如图6所示.
测量信号的频率区间为(0,1 000)Hz,按照频点数目512,1 024和2 048分为3种工况,所得螺栓参数的识别结果见表1~3,包括最优估计值θ*、标准差、变异系数和均值偏差.均值偏差的表达式为|θ*-θt|/θt.从表中可以看出,本文方法在计算频点数目较小的情况下,计算得到最优估计值与目标值之间的偏差不会超过5%.螺栓参数的最优估计值随着测量频点数目的增加越来越接近目标值,而标准差也逐渐减小.参数k1比k2的识别结果更加接近真实值,主要原因是前1 000 Hz的功率谱中,k1的作用较大,抗干扰能力较强.
(a) 模拟测量时域信号(b) 测量信号功率谱和理论功率谱对比
(a) Simulative measured signals (b) Comparison between the measured PSD in the time domain and the theoretical PSD
图6 模拟测量信号
Fig. 6 Simulative measured signals
表1 螺栓参数识别结果(频率点数为512)
Table 1 Estimation results of bolt parameters(512 frequency points)
parameteractual parameter θtoptimal estimator θ*standard deviation σCOV λC/%mean value bias λm/% k11.000 0E61.006 8E61 233.045 10.120.68k21.000 0E41.020 0E439.797 00.392.20
表2 螺栓参数识别结果(频率点数为1 024)
Table 2 Estimation results of bolt parameters(1 024 frequency points)
parameteractual parameter θtoptimal estimator θ*standard deviation σCOV λC/%mean value bias λm/% k11.000 0E61.002 2E6742.151 10.070.22k21.000 0E41.020 0E429.311 10.291.70
表3 螺栓参数识别结果(频率点数为2 048)
Table 3 Estimation results of bolt parameters(2 048 frequency points)
parameteractual parameter θtoptimal estimator θ*standard deviation σCOV λC/%mean value bias λm/% k11.000 0E61.001 8E6522.004 10.050.18k21.000 0E41.010 0E428.923 40.291.00
本小节连接结构采用虚拟各向同性材料模拟.如图7,两根悬臂梁通过单螺栓连接,连接区域有厚度为h=4 mm的虚拟材料,其密度ρ=0 kg/m3,弹性模量E和剪切模量G为不确定参数,在有限元模型中,虚拟材料与相邻被连接结构共用节点.图7是激励位置和测量点位置,与算例1不同,该算例有两个观测点,共同参与参数识别,平稳随机荷载的功率谱密度为Sf=1 N2·s,位置在悬臂梁自由端.
图7 含薄层单元的组合结构激励和测量点位置
Fig. 7 Excitation and measuring point positions of the assembled structure with thin layer elements
表4 虚拟材料参数识别结果
Table 4 Estimation results of virtual material parameters
parameteractual parameter θtoptimal estimator θ*standard deviation σCOV λC/%Mean value bias λm/% E7.500 0E87.509 6E83.633 1E60.480.13G2.777 8E82.707 2E87.657 7E62.832.54
(a) 测量点A (b) 测量点B
(a) Measuring point A (b) Measuring point B
图8 测量功率谱和修正功率谱对比图
Fig. 8 Comparison between measured PSD and the updated PSD
表4是虚拟材料力学特征不确定参数识别结果,可以看出,剪切模量的均值偏差稍大,但依然不足5%.剪切模量的方差比弹性模量的方差大6倍,说明被识别的剪切模量参数离散程度更高,容易受噪声干扰.为了更形象,方便对比测量信号与实际结构随机响应的差别.遂将测量时域信号转化为功率谱,并与优化得到的螺栓参数的结构功率谱进行对比.图8是两个测量点测量功率谱和修正功率谱的对比图,从图中可以得到,修正功率谱基本与测量功率谱吻合.图中的测量功率谱样本,没有进行功率谱平均, 并不“光滑”, 但是也能通过Bayes FFT概率方法准确地识别目标参数, 说明该方法对样本的容量没有要求, 只是要求单个时间样本足够长.
Bayes方法目前已经被广泛用于土木结构的健康监测、结构损伤识别等方面,而基于Bayes连接结构的不确定模型更新的研究还不多见.本文以组合结构的响应功率谱为测量信息,利用其统计规律建立概率模型,引入Bayes推理框架得到不确定参数的后验概率分布函数,通过一般的优化方法求解不确定参数的最优估计值和方差.同时,使用了子结构方法和虚拟激励法求解频域响应,提高了计算效率,为将该方法推广于复杂结构连接结构参数不确定分析奠定了一定的基础.
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