应用数学和力学

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2019年第40卷第6期

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论文

弹性约束边界条件下矩形蜂窝夹芯板的自由振动分析

王永福, 漆文凯, 沈承

2019, 40(6): 583-594. doi: 10.21656/1000-0887.390348

摘要(1600) HTML (287) PDF(680)

摘要:
蜂窝夹芯板在飞行器、高速列车等领域有广泛的用途，对其开展振动分析具有明确的科学价值及工程意义.为区别于诸简支等传统约束边界，提出了弹性约束边界下蜂窝夹芯板结构的自由振动特性分析方法.具体来说，首先通过将蜂窝夹芯层等效为各向异性板，将夹芯板问题转变为三层板结构.进一步地，将板结构的位移场函数由改进的二维Fourier级数表示，并基于能量原理的RayleighRitz法得到结构的固有频率和固有振型，理论预测结果与数值模拟分析吻合较好.提出的理论模型可用于系统讨论约束边界对蜂窝夹芯结构自由振动特性的影响，为此类结构的约束方案设计提供理论依据.

Hamilton系统下基于相位误差的精细辛算法

刘晓梅, 周钢, 朱帅

2019, 40(6): 595-608. doi: 10.21656/1000-0887.390249

摘要(1201) HTML (197) PDF(438)

摘要:
Hamilton系统是一类重要的动力系统，辛算法（如生成函数法、SRK法、SPRK法、多步法等）是针对Hamilton系统所设计的具有保持相空间辛结构不变或保Hamilton函数不变的算法.但是，时域上，同阶的辛算法与Runge-Kutta法具有相同的数值精度，即辛算法在计算过程中也存在相位误差，导致时域上解的数值精度不高.经过长时间计算后，计算结果在时域上也会变得“面目全非”.为了提高辛算法在时域上解的精度，将精细算法引入到辛差分格式中，提出了基于相位误差的精细辛算法（HPD-symplectic method），这种算法满足辛格式的要求，因此在离散过程中具有保Hamilton系统辛结构的优良特性.同时，由于精细化时间步长，极大地减小了辛算法的相位误差，大幅度提高了时域上解的数值精度，几乎可以达到计算机的精度，误差为O（10^-13）.对于高低混频系统和刚性系统，常规的辛算法很难在较大的步长下同时实现对高低频精确仿真，精细辛算法通过精细计算时间步长，在大步长情况下，没有额外增加计算量，实现了高低混频的精确仿真.数值结果验证了此方法的有效性和可靠性.

翼板变厚度箱形梁的剪力滞效应分析

赵庆友, 张元海, 邵江艳

2019, 40(6): 609-619. doi: 10.21656/1000-0887.390259

摘要(1323) HTML (223) PDF(680)

摘要:
针对翼板厚度沿截面宽度方向线性变化的混凝土箱形梁，利用势能变分原理对其进行剪力滞效应分析.选取剪力滞效应引起的附加挠度作为描述剪力滞变形状态的广义位移，并考虑轴力平衡条件对剪力滞效应的影响.将简支箱梁在均布荷载和集中荷载作用下的理论计算值与有限元值进行对比，结果表明：采用该文分析方法得到的计算值与有限元值吻合良好，证实了该文分析方法的正确性.与将翼板变厚度箱梁简化为等厚度箱梁的计算方法相比，考虑翼板厚度变化的计算方法可提高计算精度，误差减小量最大达到了5.65%.

Euler-Bernoulli梁的高阶二次摄动解及收敛性讨论

张大光

2019, 40(6): 620-629. doi: 10.21656/1000-0887.390272

摘要(1505) HTML (217) PDF(489)

摘要:
首次用解析的方式给出了Euler-Bernoulli梁后屈曲与非线性弯曲问题的高阶二次摄动解答.假定梁的中线不可伸长，用精确曲率公式与能量变分原理导出了非线性Euler-Bernoulli梁的模型.通过与精确解或高阶摄动解的比较，讨论了二次摄动解答的收敛性及适用域.得到主要结论如下：低阶摄动解适用于描述梁的初始后屈曲阶段及初始非线性弯曲阶段；更高阶次的摄动解适用于描述梁的深度后屈曲以及深度非线性弯曲.从这个意义上去说，该文不仅仅指出某些文献上的部分结果不精确是由于摄动解答超出了其特定的适用域，并且还进一步发展与完善了二次摄动法.

基于特征值分析的多尺度结构优化设计方法

孙国民, 张效忠, 孙延华

2019, 40(6): 630-640. doi: 10.21656/1000-0887.390207

摘要(1697) HTML (298) PDF(919)

摘要:
基于特征值分析，提出了多尺度结构优化设计方法.该方法被用于分析宏观结构上作用有最不利荷载时，使宏观结构刚度最大的宏观拓扑结构和微观材料分布.引入约束条件为最不利荷载的Euclid范数等于1，根据Rayleigh-Ritz定理，可以将结构的柔顺度转换为一个与局部荷载向量维数相同的对称矩阵，这样就将作用有最不利荷载的柔顺度最小问题转换为求解对称矩阵的最大特征值最小问题，同时最不利荷载可以通过最大特征值矩阵的特征向量求得.最后通过算例验证所提多尺度结构优化设计方法的有效性，并说明宏观拓扑结构和微观材料分布的合理性.所提出的多尺度优化方法具有迭代稳定、收敛迅速等特点.该文拓扑优化中密度函数的更新是基于灵敏度分析和移动渐近线方法（method of moving asymptotes，MMA）.

车辆-轨道垂向耦合系统求解过程的改进算法

刘章军, 何承高, 张传勇

2019, 40(6): 641-649. doi: 10.21656/1000-0887.390202

摘要(1263) HTML (172) PDF(554)

摘要:
考虑到轨道结构长度随系统响应持时的增加而增长，提出了一种改进的车辆轨道垂向耦合系统的动力响应求解算法.该算法事先选定某一定长度的轨道结构，并获得该轨道结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；通过在求解过程中不断地对车辆子系统定位，判断是否需要对车辆子系统的位置和轨道结构的响应矩阵进行调整，以此来达到仅增加系统响应持时而不增加轨道结构长度的目的.算例表明：该改进加快算法是精确、高效的，不仅可以真实地模拟车辆在轨道上的前进运行状态，而且可以保证轨道子系统的轨道单元数量不随系统响应持时的增加而增长，这为快速求解车辆轨道垂向耦合系统提供了一种有效的计算方法.

基于期望函数的土遗址锚固参数组合优化方法

芦苇, 赵冬, 李东波, 毛筱霏

2019, 40(6): 650-662. doi: 10.21656/1000-0887.390247

摘要(1155) HTML (216) PDF(561)

摘要:
针对土遗址锚固工程需求，提出了一种基于期望函数的锚固参数组合优化方法.该方法通过对锚固长度、锚孔直径等参数的组合优化,获得了最大锚固力与最小遗址伤害的良好平衡.试验设计为全因子试验，利用响应面方法构建分析模型，而后将统计中的期望函数法引入锚固参数优化中，建立了多重目标响应指标与锚固参数水平的关系.研究结果表明：当分别满足锚固力最大化和遗址伤害最小化目标时，相应的锚固参数取值间存在冲突；多重响应优化能够确定目标响应需求下锚固参数的可行域范围，方便工程设计人员根据实际工程条件对锚固参数进行可视化取值.

立方Schrödinger方程的半隐格式BDF2-FEM无条件最优误差估计

代猛, 尹小艳

2019, 40(6): 663-681. doi: 10.21656/1000-0887.390209

摘要(1317) HTML (183) PDF(535)

摘要:
研究了立方Schrödinger方程的二阶向后差分有限元方法(BDF2-FEM)的无条件最优误差估计.首先，将误差分为时间误差和空间误差两部分.通过引入时间离散方程，得到时间离散方程解的一致有界性，并给出时间误差估计.从而得到该方程在半隐格式下BDF2FEM无条件最优误差估计.最后，用数值算例验证了理论分析.

自由边界问题的自适应Uzawa块松弛算法

郭楠馨, 张守贵

2019, 40(6): 682-693. doi: 10.21656/1000-0887.390347

摘要(1559) HTML (234) PDF(523)

摘要:
利用增广Lagrange乘子法和自适应法则，得到求解单侧障碍自由边界问题的自适应Uzawa块松弛法.单侧障碍自由边界问题离散为有限维线性互补问题，等价于一个用辅助变量和增广Lagrange函数表示的鞍点问题.采用Uzawa块松弛算法求解该问题得到一个两步迭代法，主要的子问题为一个线性问题，同时能显式求解辅助变量.由于Uzawa块松弛算法的收敛速度显著依赖于罚参数，而且对具体问题很难选择合适的罚参数.为提高算法的性能，提出了自适应法则，该方法自动调整每次迭代所需的罚参数.数值结果验证了该算法的理论分析.

非凸多目标优化模型的一类鲁棒逼近最优性条件

赵丹, 孙祥凯

2019, 40(6): 694-700. doi: 10.21656/1000-0887.390289

摘要(1606) HTML (250) PDF(378)

摘要:
通过引入一类非凸多目标不确定优化问题，借助鲁棒优化方法，先建立了该不确定多目标优化问题的鲁棒对应模型；再借助标量化方法和广义次微分性质，刻画了该不确定多目标优化问题的鲁棒拟逼近有效解的最优性条件，推广和改进了相关文献的结论.