针对核反应堆内控制棒下落问题，提出了描述控制棒下落与流体流动的耦合非线性状态方程。该状态方程对于落棒过程内不同的流体状态，具有统一的表达形式，可以很方便地处理不同工况下的落棒问题。为高效分析落棒过程，准确捕捉落棒过程内流动状态的突变，并保证时程积分的数值稳定，提出了一种基于时间步长自适应的保辛算法。数值算例表明，提出的数值模型可以采用较大的时间步长精确计算控制棒在下落过程中的位移、速度、加速度、落棒时间等关键数据，计算结果与商业软件所得结果高度吻合。

等离子体中的双流体模型描述了丰富的等离子体动力学行为，包括离子声波和等离子体波之间的相互作用。为了描述该双流体模型小振荡波包解包络的演化，利用多尺度分析方法将非线性Schrödinger (NLS)方程作为形式逼近方程导出，并通过对该双流体模型的真实解和逼近解之间的误差，在Sobolev空间中进行了一致能量估计，最终在时间尺度

上严格证明了NLS逼近的有效性。

基于构形理论，建立了二维射流通道内导热基座上方柱离散热源的散热优化模型。给定离散热源的总纵截面面积和热源高度为约束条件，以系统最高温度和熵产率为优化目标，以各热源的长度比为优化变量进行了几何设计，并分析了射流速度和热源间距对热源最优构形的影响。当射流速度和热源间距给定时，均存在最优长度比使系统最高温度和熵产率最低，但对应不同射流速度和热源间距的最优长度比不同。研究结果可为方柱发热器件的热设计提供理论指导。

非饱和渗流过程的数值模拟对土质边坡稳定性分析、地下污染物迁移模拟等众多领域有着重要的意义。Richards方程由于其普遍适用性被广泛地应用，然而Richards方程所描述的渗流过程并未考虑在自然环境和实验中存在的反常扩散现象。针对这一问题，该文结合Caputo导数得到了具有更广泛渗流意义的时间分数阶Richards方程，采用有限差分法得到其离散格式并采用Picard法迭代求解，以及对分数阶参数和土水特征曲线进行了敏感性分析。最后，结合土柱入渗实验数据，比较了不同土水特征曲线下时间分数阶Richards方程得到的数值解。结果表明，VGM模型的时间分数阶Richards方程与实测数据具有更好的拟合效果，能够更好地描述地下水在非饱和土中的渗流过程。

针对结构的疲劳问题，考虑随机载荷作用，在自主开发的LiToSim平台基础上，嵌入结构疲劳分析数值计算程序。基于LiToSim平台开发LtsFatigue疲劳软件，运用时域疲劳算法，通过雨流计数法对应力时程曲线处理并计算结构疲劳寿命；引入频域疲劳算法，基于应力响应功率谱根据应力循环分布估算疲劳寿命；通过齿轮算例进行疲劳分析，与商业软件对比，验证了LtsFatigue定制化疲劳软件时域法、频域法的计算精度，同时，频域算法有效提高了计算效率，凸显了LtsFatigue软件的优势。基于LiToSim平台的LtsFatigue定制化疲劳软件开发，对大型复杂结构的疲劳仿真具有重要的应用价值。

工程中很多细长杆件可以抽象为Euler-Bernoulli梁，分析其动态行为时需要对其进行柔性多体系统动力学建模。以绝对节点坐标参数为代表的几何非线性梁单元解决了大量柔性梁动力学问题，但仍然面临诸如剪切闭锁、节点应力不连续、计算效率低下等问题。鉴于此，以大变形梁虚功率方程为理论基础，建立了转动参数和位移参数间的转换方程，满足Euler-Bernoulli梁变形耦合关系，推导了这种情况下可描述梁几何非线性效应的广义应变；保证应力连续的情况下，采用样条插值实现单元间缩减自由度式组装；将边界节点部分参数替换为轴向应变和截面曲率，得到了更加准确简洁的施加外力的约束方式；对梁结构的运动方程进行降噪处理，来滤除高频分量，提高求解效率；并通过数值算例验证了所提单元的有效性。

基于弹性力学边界元方法理论，将边界元法与双互易法结合，采用指数型基函数对非齐次项进行插值得到双互易边界积分方程。将边界积分方程离散为代数方程组，利用已知边界条件和方程特解求解方程组，得出域内位移和边界面力。指数型基函数的形状参数是由插值点最近距离的最小值决定，采用这种形状参数变化方案，分析径向基函数(RBF)插值精度以及插值稳定性。再次将指数型基函数应用到双互易边界元法中，分析双互易边界元方法下计算精度及稳定性，验证了指数型插值函数作为双互易边界元方法的径向基函数解决弹性力学域内体力项问题的有效性。

为数值预测时间分数阶耦合非线性Schrödinger (TF-CNLS)方程描述的孤立子波非弹性碰撞过程，首次发展了一种耦合纯无网格有限点集法(coupled finite pointset method, CFPM)。其构造过程为：1) 对时间分数阶Caputo导数项采用一种高精度的差分格式；2) 对空间导数采用基于Taylor展开和加权最小二乘法的有限粒子法(FPM)离散格式；3) 对区域进行局部加密和采用稳定性好的双曲余弦核函数以提高数值精度。数值研究中，首先，运用CFPM对有解析解的一维TF-CNLS方程进行求解，分析了节点均匀分布或局部加密情况下的误差和收敛阶，表明给出的耦合无网格法具有近似二阶精度和易局部加密求解的灵活性；其次，运用CFPM对无解析解一维TF-CNLS方程描述的孤立子波非弹性碰撞过程进行了数值预测，其出现的波塌缩现象与整数阶下出现的多波现象截然不同；最后，与有限差分结果作对比，表明CFPM数值预测时间分数阶下孤立子波非弹性碰撞过程的复杂传播现象是可靠的。

求解复杂多连通区域的保角变换函数是困难的。针对这一问题，该文将求解保角变换函数转化为利用模拟电荷法求解一对定义在问题区域上的共轭调和函数，再根据边界条件建立约束方程，并利用GMRES(m) (the generalized minimal residual method)算法求解约束方程，获得了模拟电荷，进而构造了高精度的近似保角变换函数，将有界多连通区域映射为三种无界正则狭缝域。数值实验验证了该文算法的有效性。

该文讨论了一类带扰动的随机脉冲泛函微分方程解的渐近性。通过比较扰动方程的解和原方程的解，得到了两者逼近的充分条件。首先，两者在有限的时间区间上相互逼近；其次，当扰动趋于零时，区间长度趋于无穷大，在这个区间上两个解仍然是相互逼近的。最后，举例说明了结果的有效性。

Burgers方程是一类应用广泛的非线性偏微分方程，方程中的非线性项难以处理。该文提出一种新的时空多项式配点法——多项式特解法求解三维Burgers方程。求解过程分为两步：第一步，对三维Burgers方程中的线性导数项(包括时间导数项)，求出相应的多项式特解。第二步，将求出的多项式特解作为基函数，对三维Burgers方程中剩余的非线性项进行迭代求解。与时空多项式函数作为基函数对三维Burgers方程进行直接求解相比，该算法简单易行，得到的近似解精度非常高，算法极其稳定，对于教学过程中提高学生的编程能力，加深对高维Burgers方程的理解能力以及Burgers方程的实际应用具有重要意义。