On Discussion of Discussion on the Modified Reciprocal Theorem of Works
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摘要: 阅读完《关于修正的功的互等定理的讨论》(以下简称《讨论》)之后，对《讨论》有下述两个主要判断：① 《讨论》作者对Betti功的互等定理的命题的理解是不完整和不准确的；② 《讨论》作者认为“修正的功的互等定理实际上是Betti功的互等定理另一种表现形式”这一判断是错误的.
——题记 Abstract: After reading Discussion on the Modified Reciprocal Theorem of Works (Discussion for short), there are 2 main judgments about Discussion: ① the understanding of the proposition for the reciprocal theorem of Betti's works is incomplete and inaccurate; ② the assertion that the corrected reciprocal theorem of works is actually another manifestation of Betti's reciprocal theorem, is wrong. -
0. 引言
文献[1-16]研究指出，Betti功的互等定理的命题为，一直梁受两组力的作用处于真实状态，则有两组力的倒易功相等.其中“一直梁”和“两组力的作用”是相互矛盾的两个前提，因为两组力中的任意一组力都是任意的和独立的，它们都可以把一直梁变成另一个不相同的直梁.为解决这一矛盾，提出如下两种方案.
第一种方案是“一直梁”保持不变，“两组力的作用”不再是任意和独立的，而是应满足“一直梁”的存在，即满足一直梁的固有位移边界条件.为更清楚地说明问题，现引入线性相关力的概念.在这样的力作用下，一直梁的位移边界条件保持不变.因此，第一修正的功的互等定理可以表述为：一直梁在两组线性相关的外力作用下处于真实状态，则有该两组外力的倒易功相等.
解决“一直梁”和“两组力的作用”矛盾的第二种方案是，保证“两组力的作用”的任意性和独立性.因此，“一直梁”不再保持不变，而变成两个不相同的直梁.在这种情况下，直梁第二修正的功的互等定理可以表述为：两不相同的直梁在各自任意的和独立的外力作用下处于真实状态，则有两组外力的倒易功相等.
比较第一修正的功的互等定理和Betti功的互等定理可以看出，前者是一个具有正确命题的定理，而后者是一有逻辑错误的定理.如果在Betti功的互等定理的命题中，“两组力的作用”改成“两组线性相关力的作用”，则Betti功的互等定理和第一修正的功的互等定理相一致，成为命题正确的功的互等定理.这里应强调指出，在Betti功的互等定理中，“两组力的作用”是指两组力的任意一组力都是任意和独立的，它们不可能保证“一直梁”的存在性.只有在第一修正的功的互等定理中保持“两组力的作用”是线性相关的，“一直梁的存在”才能得到保证.
比较第二修正的功的互等定理和Betti功的互等定理可以看出，第二修正的功的互等定理是一个命题正确的定理，而Betti功的互等定理是一个有逻辑错误的定理.如果在Betti的功的互等定理中，“一直梁”被“两个不相同的直梁”所代替，则Betti功的互等定理与第二修正的功的互等定理相一致，成为命题正确的功的互等定理.
比较第一修正的功的互等定理和第二修正的功的互等定理可以看出，两者的命题都是正确的，前者是后者的特殊情况.前者只适用于两个相同的线弹性体，而后者适用于两个不相同的线弹性体，因而成为“功的互等法”的理论基础.如果在第二修正的功的互等定理命题中，“两个不相同的直梁”变成相同的“一直梁”，前两组任意的和独立的力变成两组线性相关的力，则第二修正的功的互等定理蜕化为第一修正的功的互等定理.在这种情况下仍不能说第二修正的功的互等定理与第一修正的功的互等定理等价，只能说第一修正的功的互等定理是第二修正的功的互等定理的特殊情况.第一修正的功的互等定理只适用于两组力的作用是线性相关的情况，不适用于两组力的作用是任意的和独立的，而第二修正的功的互等定理适用于后者.第二修正的功的互等定理是“功的互等法”的理论基础，它极大地开发出功的互等定理的固有功能.而第一修正的功的互等定理却不能.
1. 关于《讨论》作者对Betti功的互等定理命题的认知
《讨论》第2节[17]在“2位移和力的边界条件与功的互等定理”中写道：“Betti功的互等定理可以阐述为相同的直梁系统在两组不同的外力作用下倒易功相等，其中‘相同的直梁’指的是杆件材料、尺寸和截面形状以及位移、力的边界条件都相同的直梁.”《讨论》作者的这一认识是不正确的.实际上，Betti功的互等定理并不要静力边界条件也相同，例如，图 1所示悬臂梁和图 2所示悬臂梁具有不相同的静力边界条件，但也有Betti功的互等定理的存在.
其次，如两直梁上述条件全部相同，它们就成为同一直梁，在同一直梁上应用Betti功的互等定理毫无意义.再次，既要求两直梁静力边界条件相同，又允许不同外力作用，这两者前后矛盾，思绪混乱.最后，《讨论》在Betti功的互等定理命题中写道：“相同的直梁在两不同的外力作用下倒易功相等.”实际上，“相同的直梁”和“两不同外力的作用”可能是矛盾的，一组外力的作用可能把“相同的直梁”改变成另一个不相同的直梁，如是等等.综上所述，《讨论》作者对Betti功的互等定理命题的认知是不完整的和不准确的.
2. 关于《讨论》作者对修正的功的互等定理命题的理解
《讨论》在式(14)中写道成：第一简支梁系统对第二简支梁系统的倒易功为
W12=ˉM10ˉθ20−ˉM1lˉθ2l+ˉQ1lˉw2l−ˉQ10ˉw20+∫l0q1w2 dx=ˉW12⋅ (1) 这表明，第二简支梁系统的边界转角和边界挠度分别为θ20，θ2l和w2l，w20.
而《讨论》在式(15)中写成：
W21=ˉM20ˉθ10−ˉM2lˉθ1l−ˉQ20ˉw10+ˉQ2lˉw1l+∫l0q2w1 dx=ˉW21. (2) 这表明，第一简支梁系统的边界转角和边界挠度分别为θ10，θ1l和w1l，w10.
式(1)、(2)表明，第二简支梁系统的边界转角和边界挠度不同于第一简支梁系统的边界转角和边界挠度.Betti功的互等定理要求两直梁的边界转角和边界挠度相同才能被应用，边界转角和边界挠度不相同只能被应用于修正的功的互等定理.因此，《讨论》在边界转角和边界挠度不同的两直梁之间应用Betti功的互等定理是错误的.他们得出的修正的功的互等定理是Betti功的互等定理的另一种表现形式当然也是错误的.
3. 结论
《讨论》对Betti功的互等定理的认知是不完整和不准确的；《讨论》导出的式(14)、(15)是两个位移边界条件不相同的两直梁，在此两直梁只能应用修正的功的互等定理而不能应用Betti功的互等定理，《讨论》在此两直梁之间应用Betti功的互等定理是错误的.因此，《讨论》作者认为“修正的功的互等定理是Betti功的互等定理的另一种表现形式”也是错误的.
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