The Inverse Source Problem for a Class of Stochastic Convection-Diffusion Equations
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摘要:
考虑了一类由分数阶Brown运动驱动的随机对流扩散方程的源项反演问题。正问题部分首先利用分离变量法，得出了方程的温和解，进一步在期望的意义下，讨论了正问题的适定性。反问题部分研究了由终止时刻的随机数据来反演随机源项的部分统计量，并证明了相应的唯一性和不稳定性。最后进行了一些数值模拟，验证了相应的理论结果。
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关键词:
- 随机对流扩散方程 /
- 反源问题 /
- 分数阶Brown运动 /
- 唯一性 /
- 不适定性
Abstract:The inverse source problem for a class of stochastic convection-diffusion equations driven by the fractional Brownian motion with the Hurst index, was considered. The direct problem is to study the solution to the stochastic convection-diffusion equation. The inverse problem is to determine the statistical properties of the source from the expectation and covariance of the final-time data. The direct problem is well-posed. The uniqueness and instability of the inverse source problem was proved. Some numerical simulation examples verify the theoretical analysis.
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引 言
随着科学技术的快速发展，反问题在环境科学、能源开发、流体力学、医学、金融等领域有了越来越广泛的应用。所谓反问题就是指用解的一些已知数据去重构问题中的未知数据[1-3]。由于随机偏微分方程在脑磁成像[4]、光声成像[5]、超声成像[6]、天线设计与合成[7-8] 等方面有着重要的应用，所以受到了广大学者的关注。特别地，随机反源问题作为随机反问题中的一类，目前已有很多学者做了相关研究，比如文献[9] 通过Carleman估计证明了随机源项的唯一性；文献[10]研究了一维随机热方程模拟的无限杆中的反源问题，并通过求解Fredholm积分方程重构了随机源项的均值和方差。
近年来，带有Hurst参数(
$ H\in(0,1) $ )的分数阶Brown运动在科学和工程领域中有着广泛的应用，目前关于带有不同类型随机源项的时间分数阶扩散方程的反源问题已有一些成果。对于$H=1/2$ 的情形，文献[11]讨论了带有离散随机噪声的时间分数阶扩散方程的反源问题；文献[12] 运用终止时刻的数据$ u(x,T,\omega) $ 的统计信息确定了时间分数阶扩散方程的源项$ f(x)h(t)+g(x)\dot{\omega}(t) $ 中的$ f(x) $ 和$ |g(x)| $ ，更多相关研究可参考文献[13-17]。 对于$ H\in(0,1) $ 的情形，文献[18]研究了带有$ f(x)h(t)+g(x)\dot{B}^H(t) $ 随机源项的时间分数阶扩散方程，并根据终止时刻的数据$ u(x,T,\omega) $ 重构了$ f(x) $ 和$ |g(x)| $ ；类似地，文献[19]考虑了另一个时间分数阶扩散方程；文献[20]为分数阶Gauss噪声驱动下的随机非线性分数阶扩散方程的数值分析提供了一个统一的框架。目前，由于对带有分数阶Brown运动的随机偏微分方程的讨论还处于研究初期，并且关于对流扩散方程还没有相关的研究，因此，本文将讨论如下由分数阶Brown运动驱动的随机对流扩散方程：$$ \left\{ \begin{aligned} &u_t(x,t)+u_x(x,t)-u_{xx}(x,t)=F(x,t),\qquad(x,t)\in D\times(0,T),\\ &u(x,t)=0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\;\;(x,t)\in\partial D\times[0,T],\\ &u(x,0)=g(x),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; x\in\overline D,\end{aligned} \right. $$ (1) 这里
$ D=(0,1) $ ，带有齐次边界条件的算子$ \dfrac{\partial }{\partial x} - \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} $ 有一个正交特征系$ \{\lambda_n, e_n\}_{n=1}^\infty $ ，其中特征值$ \lambda_n=\dfrac14+n^2{\text{π}}^2 $ ，且有$ 0<\lambda_1\leqslant\lambda_2\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n\leqslant\cdots $ ，特征向量$e_n(x)=\sqrt2{\rm{e}}^{\tfrac{x}{2}}\sin(n{\text{π}} x)$ ，并且当$ n\rightarrow \infty $ 时有$ \lambda_n\rightarrow \infty $ ，$e_n(x)$ 为$ \tilde{L}^2(D) $ 上的加权为$ {\rm{e}}^{-x} $ 的完备标准正交基，即$\tilde{L}^2(D)=\left\{f(x)| \displaystyle\int_D{\rm{e}}^{-x}f^2(x){\rm{d}}x < \infty\right\}$ ，$ \displaystyle \int_D{\rm{e}}^{-x}e_n^2(x){\rm{d}}x=1 $ 。 对于任意的$ v\in\tilde{L}^2(D) $ ，它可表示为$v(x)=\displaystyle {\sum} _{n\in\mathbb{Z}_+}v_ne_n(x),\;\; v_n=(v,e_n)_{\tilde{L}^2(D)}\mathop =\limits^\Delta \displaystyle \int_D{\rm{e}}^{-x}v(x)e_n(x){\rm{d}}x$ 。 源项$ F(x,t)=f(x)h(t)+\sigma(x)\dot{B}^H(t) $ ，其中函数$ f(x),\,\sigma(x) $ 在D上具有紧支撑，$ h(t) $ 为已知函数，$ B^H(t) $ 为具有Hurst参数($ H\in(0,1) $ )的分数阶Brown运动，$ \dot{B}^H(t) $ 是$ B^H(t) $ 关于$ t $ 的形式导数，当$ H=1/2 $ 时，$ B^H(t) $ 是标准Brown运动，此时$ \dot{B}^H(t) $ 为白噪声。由于源项$ F(x,t) $ 是一个正则性较低的随机源，因此它是一个分布而不是一个函数。1. 预 备 知 识
定义1 一个Gauss过程
$ B^H=\{B^H(t),t\geqslant0\} $ 称为带有Hurst参数$ (H\in(0,1)) $ 的分数阶Brown运动，如果该过程满足：1) 期望为零；
2) 协方差函数
$R(t,s)=E[B^H(t)B^H(s)]=\dfrac12(t^{2H}+s^{2H}-\mid{t-s}\mid^{2H})$ 。特别地，如果
$ H=1/2 $ ，$ B^H $ 为标准Brown运动，一般记作$ W $ ，此时协方差函数$ R(t,s)=t\wedge{s} $ 。分数阶Brown运动
$ B^H(H\in(0,1)) $ 具有下面的Wiener积分表达式：$$ B^H(t)=\int_0^tK_H(t,s){\rm{d}}W(s), $$ (2) 其中
$ K_H $ 为平方可积核，$ W $ 为标准Brown运动。对任意的积分区间
$ [0,T] $ ，用$ \mathcal{E} $ 表示$ [0,T] $ 上的阶梯函数空间，$ \mathcal{H} $ 表示$ \mathcal{E} $ 按照内积$ \langle1_{[0, t]}, 1_{[0, s]}\rangle_{\mathcal H}=R(t, s) $ 定义的闭包，其中$ 1_{[0, t]}, 1_{[0, s]} $ 为示性函数。对于任意的$ \psi(t),\phi(t)\in\mathcal H $ ，满足以下的公式：1)当
$H\in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$ 时，$$ \begin{split} &E\left[\int_0^t\psi(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^t\phi(z){\rm{d}}B^H(z)\right] =\\[-4pt]&\qquad \int_0^t\left[K_H(t,z)\psi(z)+\int_z^t(\psi(u)-\psi(z))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right] \left[K_H(t,z)\phi(z)+\int_z^t(\phi(u)-\phi(z))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z, \end{split} $$ (3) 其中，核函数
$$ \left\{ \begin{aligned}& {K_H}(t,z) = {C_H}\left[ {{{\left( {\dfrac{t}{z}} \right)}^{H - \tfrac{1}{2}}}{{(t - z)}^{H - \tfrac{1}{2}}} - \left(H - \dfrac{1}{2}\right){z^{\tfrac{1}{2} - H}}\int_z^t {{u^{H - \tfrac{3}{2}}}} {{(u - z)}^{H - \tfrac{1}{2}}}{\rm{d}}u} \right],\\[-6pt]& {C_H} = {\left( {\dfrac{{2H}}{{(1 - 2H)\beta \left(1 - 2H,H + \dfrac{1}{2}\right)}}} \right)^{\tfrac{1}{2}}},\qquad \beta (p,q) = \int_0^1 {{t^{p - 1}}} {(1 - t)^{q - 1}}{\rm{d}}t{\text{.}} \end{aligned} \right. $$ (4) 由于当
$ t\rightarrow z^+ $ 时，$ K_H(t,z)\rightarrow0^+ $ ，因此$ K_H(t,z)>0 $ 。2)当
$H=\dfrac12$ 时，$$ E\left[\int_0^t\psi(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^t\phi(z){\rm{d}}B^H(z)\right]=E\left[\int_0^t\psi(z){\rm{d}}W(z)\int_0^t\phi(z){\rm{d}}W(z)\right]=\int_0^t\psi(z)\phi(z){\rm{d}}z {\text{.}} $$ (5) 3)当
$H\in\left(\dfrac12,1\right)$ 时，$$ E\left[\int_0^t\psi(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^t\phi(z){\rm{d}}B^H(z)\right]=\alpha_H\int_0^t\int_0^t\psi(r)\phi(u)|r-u|^{2H-2}{\rm{d}}u{\rm{d}}r, $$ (6) 其中
$ \alpha_H=H(2H-1) $ 。引理1 运用分离变量法，问题
$ (1) $ 的温和解可以表示为$u(x,t)= \displaystyle{\sum}_{n\in\mathbb{Z}_+}(u(\cdot,t),e_n)_{\tilde{L}^2(D)}e_n(x)$ ，这里$$ (u(\cdot,t),e_n)_{\tilde{L}^2(D)}=u_n(t)=\left(\int_0^tf_nh(z)\psi_n(z){\rm{d}}z+\int_0^t\sigma_n\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)+g_n\right)\psi_n(-t), $$ (7) 其中
$$ \psi_n(z)\mathop =\limits^\Delta {\rm{e}}^{(1/4+n^2{\text{π}}^2)z},\,g_n=(g,e_n)_{\tilde{L}^2(D)},\, f_n=(f,e_n)_{\tilde{L}^2(D)},\,\sigma_n=(\sigma,e_n)_{\tilde{L}^2(D)}{\text{.}}$$ 引理2 对任意的
$ 0<z_1<z_2<t,l\geqslant 0 $ ，当$ H\in\left(\dfrac12,1\right) $ 时，有$$ \int_0^t\int_0^t(t-z_1)^l(t-z_2)^l\mid{z_1-z_2\mid}^{2H-2}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2\lesssim t^{2H+2l} {\text{.}}$$ (8) 证明
$$ \begin{split} &\int_0^t\int_0^t(t-z_1)^l(t-z_2)^l\mid{z_1-z_2\mid}^{2H-2}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\int_0^t\int_{z_2}^t(t-z_1)^l(t-z_2)^l(z_1-z_2)^{2H-2}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\int_0^t\int_0^{z_2}z_1^lz_2^l(z_2-z_1)^{2H-2}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2, \end{split} $$ 由二项式展开定理可得
$$ \begin{split} &2\int_0^t\int_0^{z_2}z_1^lz_2^l(z_2-z_1)^{2H-2}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\int_0^t\int_0^{z_2}z_1^lz_2^l\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^pC_{2H-2}^p z_1^p z_2^{2H-2-p}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\sum_{p=0}^{\infty}\int_0^t\int_0^{z_2}(-1)^pC_{2H-2}^p z_1^{l+p} z_2^{2H-2-p+l}{\rm{d}}z_1{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^pC_{2H-2}^p \frac{1}{l+1+p}\int_0^tz_2^{2H-1+2l}{\rm{d}}z_2=\\ &\qquad2\sum_{p=0}^{\infty}(-1)^pC_{2H-2}^p \frac{1}{(l+1+p)(2H+2l)}t^{2H+2l}\lesssim t^{2H+2l} {\text{.}} \end{split}$$ 注1 这里“
$ \lesssim(\gtrsim) $ ”表示：如果存在一个常数$ C>0 $ ，使得$ a\leqslant{Cb}(a\geqslant{Cb}) $ ，那么我们记为$ a\lesssim{b}(a\gtrsim{b}) $ 。2. 正 问 题
本节将在以下假设成立的条件下讨论问题(1)的适定性。
假设1 设
$ H\in(0,1) $ 并且$ f $ ，$ \sigma $ ，$ g\in\tilde{L}^2(D) $ 。假设$ h\in L^{\infty}(0,T) $ 是一个非负函数并且有一个正的下界，即$ h\geqslant C_h>0 $ 。由式
$ (7) $ 得$$ \begin{split} & u_n(t)=\psi_n(-t)\int_0^th(z)f_n\psi_n(z){\rm{d}}z+\psi_n(-t)\int_0^t\sigma_n\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)+\psi_n(-t)g_n=\\ & \qquad I_{n,1}(t)+I_{n,2}(t)+I_{n,3}(t), \end{split} $$ (9) $$ \begin{split} & \|u(\cdot,t)\|^2_{\tilde{L}^2(D)}=\Bigg\|\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}u_n(t)e_n(\cdot)\Bigg\|^2_{\tilde{L}^2(D)}=\\ &\qquad \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}(I_{n,1}(t)+I_{n,2}(t)+I_{n,3}(t))^2\lesssim\\ &\qquad \sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,1}(t)+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,2}(t)+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,3}(t) {\text{.}} \end{split} $$ (10) 因此
$$ \begin{split} & {E}\left[\|u\|^2_{\tilde{L}^2(D\times[0,T])}\right]={E}\left[\int_0^T\|u(\cdot,t)\|^2_{\tilde{L}^2(D)}{\rm{d}}t\right]\lesssim\\ &\qquad{E}\left[\int_0^T\Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,1}(t)+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,2}(t)+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}I^2_{n,3}(t)\Bigg){\rm{d}}t\right]=\\ &\qquad\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\|I_{n,1}\|^2_{L^2(0,T)}+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}{E}\left[\int_0^TI^2_{n,2}{\rm{d}}t\right]+\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\|I_{n,3}\|^2_{L^2(0,T)}=\\ &\qquad S_1(T)+S_2(T)+S_3(T) {\text{.}} \end{split} $$ (11) 接下来分别讨论
$ S_1(T), S_2(T) $ 和$ S_3(T) $ ：1)对于
$ S_1(T), $ $$ S_1(T)\leqslant\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}f^2_n\|h\|^2_{L^\infty(0,T)}\int_0^T\psi_n(-2t)\psi_n(2t)t^2{\rm{d}}t\lesssim\|f\|^2_{\tilde{L}^2(D)}\|h\|^2_{L^\infty(0,T)}T^3 {\text{.}}$$ (12) 2)对于
$ S_2(T) $ ，$$ \begin{split} & S_2(T)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}{E}\left[\int_0^TI^2_{n,2}(t){\rm{d}}t\right]=\\ &\qquad\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\int_0^T{E}\left[\left(\psi_n(-t)\int_0^t\sigma_n\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]{\rm{d}}t=\\ &\qquad\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\sigma_n^2\int_0^T\psi_n(-2t){E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]{\rm{d}}t {\text{.}} \end{split} $$ (13) 由于当
$ H\in\left(0,\dfrac12\right) $ 和$ H\in\left(\dfrac12,1\right) $ 时，${E}\left[\left( \displaystyle\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]$ 不再满足Itô等距公式，所以需分情况讨论。当
$ H\in\left(0,\dfrac12\right) $ 时，由式(3)，有$$ \begin{align} {E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]=\int_0^t\left[K_H(t,z)\psi_n(z)+\int_z^t(\psi_n(u)-\psi_n(z))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]^2{\rm{d}}z, \end{align} $$ 其中
$$ \begin{split} &K_H(t,z)\psi_n(z)+\int_z^t\big(\psi_n(u)-\psi_n(z)\big)\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u=\\&\qquad K_H(t,z)\psi_n(z)+\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\int_{z+\epsilon}^{t}\big(\psi_n(u)-\psi_n(z)\big)\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]=\\&\qquad K_H(t,z)\psi_n(z)+\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\psi_n(u)K_H(u,z)\big|_{z+\epsilon}^{t}-\int_{z+\epsilon}^{t}\frac{\partial\psi_n(u)}{\partial u}K_H(u,z){\rm{d}}u-\psi_n(z)K_H(u,z)\big|_{z+\epsilon}^{t}\right] \leqslant\\&\qquad K_H(t,z)\psi_n(z)+\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\psi_n(u)K_H(u,z)\big|_{z+\epsilon}^{t}\right] \leqslant \\&\qquad K_H(t,z)\psi_n(z)+K_H(t,z)\psi_n(t) \lesssim\\&\qquad K_H(t,z)\psi_n(t) {\text{.}} \end{split} $$ (14) 所以
$$ \begin{align} {E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]\lesssim\int_0^t(K_H(t,z)\psi_n(t))^2{\rm{d}}z{\text{.}} \end{align} $$ (15) 为了后续计算方便，我们先对其中一些表达式进行估计。
首先，由文献[18]知，
$\displaystyle\int_z^tu^{H-3/2}(u-z)^{H-1/2}{\rm{d}}u\leqslant z^{2H-1}$ 。进一步由式(4)可以得出
$$ K_H^2(t,z)\lesssim C^2_H[(t-z)^{H-1/2}+z^{H-1/2}]^2{\text{.}} $$ (16) 结合式(15)和(16)可得
$$ \begin{split} &{E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right] \lesssim \\&\qquad \psi_n(2t)C^2_H\int_0^t[(t-z)^{H-1/2}+z^{H-1/2}]^2{\rm{d}}z \lesssim\\&\qquad\psi_n(2t)\int_0^t[(t-z)^{2H-1}+z^{2H-1}]{\rm{d}}z \lesssim\\&\qquad\psi_n(2t)t^{2H}{\text{.}} \end{split} $$ (17) 当
$ H=\dfrac12 $ 时，由式(5)可得$$ {E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]=\int_0^t\psi_n(2z){\rm{d}}z\leqslant\psi_n(2t)t{\text{.}} $$ (18) 当
$H\in\left(\dfrac12,1\right)$ 时，由式(6)可得$$ \begin{split} &{E}\left[\left(\int_0^t\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)^2\right]=\\ &\qquad\alpha_H\int_0^t\int_0^t\psi_n(z)\psi_n(u)\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}z{\rm{d}}u \leqslant\\&\qquad\alpha_H\psi_n(2t)\int_0^t\int_0^t\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}z{\rm{d}}u \lesssim\\&\qquad\psi_n(2t)t^{2H}{\text{.}} \end{split} $$ (19) 综上，结合式(17)~(19)整理得
$$ \begin{split} S_2(T)\lesssim\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\int_0^T\sigma_n^2\psi_n(-2t)\psi_n(2t)t^{2H}{\rm{d}}t\lesssim\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}\sigma_n^2T^{2H+1}= T^{2H+1}\|\sigma\|^2_{\tilde{L}^2(D)},\qquad H\in(0,1){\text{.}} \end{split} $$ (20) 3)对于
$ S_3(T) $ ，$$ \int_0^TI^2_{n,3}(t){\rm{d}}t=\int_0^T(g_n\psi_n(-t))^2{\rm{d}}t\leqslant g_n^2\psi_n^2(0)T=g_n^2T{\text{.}} $$ (21) 那么
$$ S_3(T)\lesssim\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}g_n^2T=T\|g\|^2_{\tilde{L}^2(D)} {\text{.}} $$ (22) 综上所述，可得如下适定性结果。
定理1 如果假设1成立，那么问题(1)的温和解满足
$$ {E}[\|u\|^2_{\tilde{L}^2(D\times[0,T])}]\lesssim\|f\|^2_{\tilde{L}^2(D)}\|h\|^2_{L^\infty(0,T)}T^3+\|\sigma\|^2_{\tilde{L}^2(D)}T^{2H+1}+\|g\|^2_{\tilde{L}^2(D)}T{\text{.}} $$ (23) 证明 根据式(12)、(20)和(22)易得结论。
3. 源项反演问题
本节将通过终止时刻的数据
$ u(x,T,\omega) $ 的一些统计量来重构源项中的$ f(x) $ 和$ \sigma^2(x) $ ，并且分别讨论它们的唯一性与不稳定性，其中$$ f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}_+}f_ne_n(x),\; \sigma^2(x)=\sum_{m,n\in\mathbb{Z}_+}\sigma_m\sigma_ne_m(x)e_n(x){\text{.}} $$ (24) 3.1
$ f(x) $ 和$ \sigma^2(x) $ 的唯一性由式(7)可得
$$ u_n(T)=(u(\cdot,T),e_n(\cdot))_{\tilde{L}^2(D)} =\left(g_n+\int_0^Th(z)f_n\psi_n(z){\rm{d}}z+\int_0^T\sigma_n\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)\psi_n(-T){\text{.}} $$ 那么由以上表达式我们可以得出
$ u_n(T) $ 的期望和协方差表达式：$$ {E}(u_n(T))=\psi_n(-T)f_n\int_0^Th(z)\psi_n(z){\rm{d}}z+g_n\psi_n(-T),$$ (25) $$ \begin{split} & {\rm{Cov}}(u_m(T),u_n(T))=\\&\qquad \sigma_m\sigma_n\psi_m(-T)\psi_n(-T){E}\left[\left(\int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)\right]{\text{.}} \end{split} $$ (26) 进一步有
$$ f_n=\frac{{E}(u_n(T))-g_n\psi_n(-T)}{\psi_n(-T)\int_0^Th(z)\psi_n(z){\rm{d}}z}, $$ (27) $$ \sigma_m\sigma_n=\frac{{\rm{Cov}}(u_m(T),u_n(T))}{\psi_m(-T)\psi_n(-T){E}\left[\left(\displaystyle \int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\displaystyle \int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)\right]}{\text{.}} $$ (28) 定理2 如果假设1成立，那么
$ f,\,\sigma^2 $ 可被$\{{E}(u_n(T)),{\rm{Cov}}(u_m(T),u_n(T))\}$ 唯一确定。证明 1) 因为
$$ \int_0^Th(z)\psi_n(z){\rm{d}}z\geqslant C_h\psi_n(0)T=C_hT=C_1>0,\qquad \forall n\in\mathbb{N_+} {\text{.}} $$ (29) 所以由式(27)知
$ f(x) $ 可被唯一确定。2)记
$E_{mn}:={E}\left[ \displaystyle\int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right]$ ，只需说明$E_{mn}\geqslant C_2 > 0, \forall m,n\in\mathbb{N_+}$ ，则可证明$ \sigma^2(x) $ 的唯一性。当
$ H=\dfrac12 $ 时，由式(5)可得$$ E_{mn}=\int_0^T\psi_m(z)\psi_n(z){\rm{d}}z\geqslant\psi_m(0)\psi_n(0)T=T=C_2>0{\text{.}} $$ (30) 当
$ H\in\left(\dfrac12,1\right) $ 时，根据式(6)和引理2易得$$ \begin{split} & E_{mn}=\alpha_H\int_0^T\int_0^T\psi_m(z)\psi_n(u)\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}z{\rm{d}}u\geqslant\\ &\qquad \alpha_H\psi_m(0)\psi_n(0)\int_0^T\int_0^T\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}z{\rm{d}}u\gtrsim \\ &\qquad \alpha_HT^{2H}=C_2>0 {\text{.}} \end{split} $$ (31) 3.2 反演
$ f(x) $ 和$ \sigma^2(x) $ 的不稳定性3.2.1 反演
$ f(x) $ 的不稳定性由积分中值定理，可知
$$ \psi_n(-T)\int_0^Th(z)\psi_n(z){\rm{d}}z\leqslant\|h\|_{L^\infty(0,T)}\int_0^T\psi_n(z-T){\rm{d}}z=\|h\|_{L^\infty(0,T)}T\psi_n(\xi),\qquad-T<\xi<0{\text{.}} $$ (32) 由于
$ -T<\xi<0 $ ，所以当$ n\rightarrow \infty $ 时，$ \psi_n(\xi)\rightarrow0 $ 。因此当$ n\rightarrow \infty $ 时，$ f_n\rightarrow \infty $ ，这说明反演$ f(x) $ 是不稳定的。3.2.2 反演
$ \sigma^2(x) $ 的不稳定性1)当
$ H\in\left(0,\dfrac12\right) $ 时，由式(3)可得$$ \begin{split} & E_{mn}=\int_0^T\left[K_H(T,z)\psi_m(z)+\int_z^T(\psi_m(u)-\psi_m(z))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]\times\\ &\qquad\left[K_H(T,z)\psi_n(z)+\int_z^T(\psi_n(u)-\psi_n(z))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z, \end{split} $$ (33) $$ \begin{split} &\psi_m(-T)\psi_n(-T){E}\left[\int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right] =\\&\qquad \int_0^TK_H^2(T,z)\psi_m(z-T)\psi_n(z-T){\rm{d}}z +\\&\qquad \int_0^TK_H(T,z)\psi_m(z-T)\left[\int_z^T(\psi_n(u-T)-\psi_n(z-T))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z +\\&\qquad \int_0^TK_H(T,z)\psi_n(z-T)\left[\int_z^T(\psi_m(u-T)-\psi_m(z-T))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z+\\ &\qquad \int_0^T\left[\int_z^T(\psi_m(u-T)-\psi_m(z-T))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\int_z^T(\psi_n(u-T)-\psi_n(z-T))\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z :=\\&\qquad N_1(T)+N_2(T)+N_3(T)+N_4(T){\text{.}} \end{split} $$ (34) 对于
$ N_1(T) $ 和$N_2(T) $ ，结合式(4)和积分中值定理可得$$ \begin{split} & N_1(T)=\psi_m(\xi_1)\psi_n(\xi_2)\int_0^TK_H^2(T,z){\rm{d}}z\lesssim\psi_m(\xi_1)\psi_n(\xi_2)C_H^2T^{2H}\rightarrow0, \qquad m,n\rightarrow \infty,\;-T<\xi_1,\xi_2<0,\\& N_2(T)=\int_0^TK_H(T,z)\psi_m(z-T)\left[\int_z^T\psi_n^{'}(\xi_2)(u-z)\frac{\partial K_H(u,z)}{\partial u}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z (z-T<\xi_2<u-T<0)=\\ &\qquad \int_0^TK_H(T,z)\psi_m(z-T)\psi_n^{'}(\xi_2^*)\left[\int_z^T(u-z)C_H\left(\frac uz\right)^{H-\tfrac12}(u-z)^{H-\tfrac32}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z( -T<\xi_2^*<0)\leqslant\\ &\qquad C_H\psi_m(T-T)\left(\frac14+n^2{\text{π}}^2\right)\psi_n(\xi_2^*)\int_0^TK_H(T,z)\left[\int_z^T(u-z)^{H-\tfrac12}{\rm{d}}u\right]{\rm{d}}z\lesssim\\ &\qquad C_H\left(\frac14+n^2{\text{π}}^2\right)\psi_n(\xi_2^*)P(T)\rightarrow0, \qquad n\rightarrow \infty, \end{split} $$ 其中
$P(T)= \displaystyle\int_0^TK_H(T,z)\Big( \displaystyle\int_z^T(u-z)^{H-\tfrac12}{\rm{d}}u\Big){\rm{d}}z$ 。类似地，当$ m\rightarrow \infty $ 时，$ N_3(T)\rightarrow0 $ 。$$ \begin{split} &N_4(T)=\int_0^T\left(\int_z^T\psi_m'(\xi_1)(u-z)C_H\left(\frac uz\right)^{H-\tfrac12}(u-z)^{H-\tfrac32}{\rm{d}}u\right)\times\\ &\qquad\left(\int_z^T\psi_n'(\xi_2)(u-z)C_H\left(\frac uz\right)^{H-\tfrac12}(u-z)^{H-\tfrac32}{\rm{d}}u\right){\rm{d}}z(z-T<\xi_1,\xi_2<u-T<0) \leqslant\\&\qquad \psi_m'(\xi_1^*)\psi_n'(\xi_2^*)\int_0^T\left(\int_z^T(u-z)^{H-\tfrac12}{\rm{d}}u\right)^2{\rm{d}}z(-T<\xi_1^*,\xi_2^*<0) \lesssim\\&\qquad \left(\frac14+m^2{\text{π}}^2\right)\left(\frac14+n^2{\text{π}}^2\right)\psi_m(\xi_1^*)\psi_n(\xi_2^*)T^{2H+2}\rightarrow0, \qquad m,n\rightarrow \infty{\text{.}} \end{split} $$ 2)当
$ H=\dfrac12 $ 时，由式(30)可知$$ \begin{split} &\psi_m(-T)\psi_n(-T){E}\left[\left(\int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right)\right]=\\ &\qquad \int_0^T\psi_m(z-T)\psi_n(z-T){\rm{d}}z=\\ &\qquad \int_0^T{\rm{e}}^{(1/2+m^2{\text{π}}^2+n^2{\text{π}}^2)(z-T)}{\rm{d}}z=\\ &\qquad T{\rm{e}}^\xi\rightarrow0, \qquad -T\left(\frac12+(m^2+n^2){\text{π}}^2\right)<\xi<0{\text{.}} \end{split} $$ (35) 3)当
$H\in\left(\dfrac12,1\right)$ 时，由式(31)得$$ \begin{split} &\psi_m(-T)\psi_n(-T){E}\left[\int_0^T\psi_m(z){\rm{d}}B^H(z)\int_0^T\psi_n(z){\rm{d}}B^H(z)\right]=\\ &\qquad \alpha_H\int_0^T\int_0^T\psi_m(z-T)\psi_n(u-T)\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}u{\rm{d}}z \leqslant\\&\qquad \alpha_H\psi_m(\xi_1)\psi_n(\xi_2)\int_0^T\int_0^T\mid{z-u}\mid^{2H-2}{\rm{d}}u{\rm{d}}z(-T<\xi_1,\xi_2<0) \lesssim\\&\qquad \alpha_HT^{2H}\psi_m(\xi_1)\psi_n(\xi_2)\rightarrow0,\qquad m,n\rightarrow \infty{\text{.}} \end{split} $$ (36) 综上，可知反演
$ \sigma^2(x) $ 是不稳定的。4. 数 值 实 验
本节将通过数值例子来说明理论部分的合理性。设
$ N_x,N_t $ 分别为空间方向和时间方向离散点的个数，$ x_i=(i-1)h_x,i=1,2,\cdots,N_x,t_j=(j-1)h_t,j=1,2,\cdots,N_t $ ，其中$ h_x,h_t $ 分别是空间方向和时间方向的步长。我们运用以下有限差分格式求解正问题：$$ \frac{u^{j+1}_i-u^j_i}{h_t}+\frac{u^j_{i+1}-u^j_{i-1}}{2h_x}-\frac{u^j_{i+1}-2u^j_i+u^j_{i-1}}{h_x^2}=F(x_i,t_j), $$ (37) 这里
$ F(x_i,t_j)=f(x_i)h(t_j)+\sigma(x_i)\dfrac{B^H(t_{j+1})-B^H(t_j)}{h_t} $ ，初边值条件离散为$ u^j_1=0,u^j_{N_x}=0,u^1_i=g(x_i) $ 。在本文中，取$ N_x=101 $ ，$ N_t=2^{15}+1 $ ，$ T=1 $ 和样本轨道数$ P=1\;000 $ ，函数$f(x)=\sin(x)\cos({\text{π}} x/2), \sigma(x)=x(1-x), g(x)=\sin({\text{π}} x), h(t)=1$ 。通过求解正问题我们得出了终止时刻的数据$ u_T $ ，随后在求解反问题时，给终止时刻的数据加一个随机误差，便获得了一个扰动数据，即$ u_{T_\delta}=u_T+\delta{\rm{ rand}}({\rm{size}}(u_T)) $ ，这里函数${\rm{ rand }}$ 产生由在$ (0,1) $ 之间均匀分布的随机数组成的数组。由于反源问题是不适定的，我们截断前$ N $ 项对其进行正则化。图1举例描绘了$ H=0.9, \delta=0.04 $ 时$ f $ 和$ \sigma^2 $ 的相对误差随$ N $ 的变化图。从图中可以看出，两个函数的相对误差随着$ N $ 的增大先递减，然后趋于平缓，最后递增。因此，我们选取$ N=6 $ ，分别绘制了H=0.4，0.5和0.9，误差水平$ \delta $ =0.01时，源项$ f $ 和$ \sigma^2 $ 的精确解与近似解的对比图(图2~4)，从图中可以看出H越大，反演效果越好。
图 1$ H=0.9, \delta=0.04 $ 时$ f $ 和$ \sigma^2 $ 的相对误差Figure 1. The relative errors of the reconstruction for$ f\, $ and$ \sigma^2\, $ with respect to$ H=0.9 $ and$ \delta=0.04 $ 
图 2$ H=0.4, N=6 $ 时的$ f $ 和$ \sigma^2 $ Figure 2. The reconstruction of$ f\,$ and$ \sigma^2\, $ for the inverse problem with$ H=0.4 $ and$ N=6 $ 
图 3$ H=0.5, N=6 $ 时的$ f $ 和$ \sigma^2 $ Figure 3. The reconstruction of$ f\,$ and$ \sigma^2\, $ for the inverse problem with$ H=0.5 $ and$ N=6 $ 
图 4$ H=0.9, N=6 $ 时的$ f $ 和$ \sigma^2 $ Figure 4. The reconstruction of$ f\, $ and$ \sigma^2\,$ for the inverse problem with$ H=0.9 $ and$ N=6 $ 5. 结 论
在本文中，我们讨论了带有分数阶Brown运动随机源项的一维随机对流扩散方程。在正问题部分通过对温和解的期望的讨论，证明了其适定性。在反随机源部分，给定T时刻的数据来反演源项，证明了反演的唯一性与不稳定性。最后通过有限差分法和截断正则化方法进行数值模拟证明了理论部分的合理性，并且得出了Hurst参数H越大，反演效果越好的结论。虽然本文只讨论了一维随机对流扩散方程，但是关于高维的情形也可以类似讨论。
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图 1
$ H=0.9, \delta=0.04 $ 时$ f $ 和$ \sigma^2 $ 的相对误差Figure 1. The relative errors of the reconstruction for
$ f\, $ and$ \sigma^2\, $ with respect to$ H=0.9 $ and$ \delta=0.04 $ 
图 2
$ H=0.4, N=6 $ 时的$ f $ 和$ \sigma^2 $ Figure 2. The reconstruction of
$ f\,$ and$ \sigma^2\, $ for the inverse problem with$ H=0.4 $ and$ N=6 $ 
图 3
$ H=0.5, N=6 $ 时的$ f $ 和$ \sigma^2 $ Figure 3. The reconstruction of
$ f\,$ and$ \sigma^2\, $ for the inverse problem with$ H=0.5 $ and$ N=6 $ -
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