New Class of Difference Schemes With Intrinsic Parallelism for the KdV-Burgers Equation
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摘要: KdV-Burgers方程作为湍流规范方程，具有深刻的物理背景，其快速数值解法具有重要的实际应用价值. 针对KdV-Burgers方程，提出了一种新型的并行差分格式. 基于交替分段技术，结合经典Crank-Nicolson(C-N)格式、显格式和隐格式，构造了混合交替分段Crank-Nicolson(MASC-N)差分格式. 理论分析表明MASC-N格式是唯一可解、线性绝对稳定和二阶收敛的. 数值试验表明，MASC-N格式比C-N格式具有更高的精度和效率. 与ASE-I和ASC-N差分格式相比，MASC-N并行差分格式有最好的性能. 表明该文的MASC-N并行差分方法能有效地求解KdV-Burgers方程.
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关键词:
- KdV-Burgers方程 /
- MASC-N并行差分格式 /
- 线性绝对稳定性 /
- 收敛性 /
- 数值试验
Abstract: The KdV-Burgers equation as a standard equation for turbulent, has a profound physical background and its fast numerical methods are of great practical application value. A new class of parallel difference schemes were proposed for the KdV-Burgers equation. Based on the alternating segment technology, the mixed alternating segment Crank-Nicolson (MASC-N) difference scheme was constructed with the classic Crank-Nicolson (C-N) scheme, the explicit and implicit schemes. The theoretical analyses indicate that, the MASC-N scheme is uniquely solvable, linearly absolutely stable and 2nd-order convergent. Numerical experiments show that, the MASC-N scheme has higher precision and efficiency than the C-N scheme. Compared with the ASE-I and ASC-N difference schemes, the MASC-N parallel difference scheme has the best performance, and can effectively solve the KdV-Burgers equation. -
0. 引言
KdV-Burgers方程是一种带阻尼的KdV方程模型，也是一个典型的非线性波动方程. 其一方面, 可以描述同时含有色散、非线性水平对流、黏性流体的浅水长波的传播过程[1-2]；另一方面，可以用来描述同时含有色散和耗散的等离子物理中的一些重要物理现象[3-5]. KdV-Burgers方程求解的快速算法一直是计算数学研究的热点问题，其高效数值解法具有重要的科学意义和应用价值.
随着越来越多大规模科学计算问题的出现，人们开始对串行计算程序的合理化和并行化进行深入研究. 近年来的大多数并行差分方法是条件稳定的，或者是无条件稳定但精度只有一阶. 为了得到稳定性条件更宽松、计算精度更高的并行方法，实现串行差分方法的合理并行化，一种新的高效并行方法是必不可少的. 针对抛物型方程，Evans和Abdullah[6]提出了分组显式(group explicit，GE)的思想，设计出交替分组显式(AGE)差分格式. 通过计算网格区域中的两个相邻点，将得到的隐式方程转化为显式方程. 交替使用这种方法，截断误差项可以部分抵消，从而提高了算法的精度.
隐格式具有良好的稳定性，但不适合并行计算. 受到构造AGE方法的启示，张宝琳等[7]提出了用Saul’yev非对称格式构造分段隐式的思想，并且恰当地使用交替技术建立了多种交替分段显-隐式(ASE-I)和交替分段Crank-Nicolson(ASC-N)并行方法，得到了稳定性和并行性兼顾的研究成果. 周毓麟院士[8]将最一般的抛物型方程的显隐混合格式称之为具有并行本性的差分格式，对其差分解的存在性、唯一性、收敛性和稳定性等理论问题进行了研究，建立了抛物方程并行本性差分方法的基本理论. 现在，并行本性差分方法已经推广到很多发展方程的数值求解中[9-10].
王文洽[11]使用一组非对称格式构造了具有本性并行的ASC-N差分格式，求解了KdV方程，给出了线性绝对稳定性的理论分析. Yuan等[12]针对非线性抛物型方程组提出了一类无条件稳定，空间二阶精度的并行差分格式. Borhanifar和Abazari[13]应用无条件稳定的差分格式求解了电报方程. 数值算例表明了新方法的稳定性和准确性. 针对四阶抛物型方程，Guo和Liu[14]给出了经典的显式、隐式和C-N格式，主要分析了格式的无条件稳定性. Namjoo等[15]提出了广义Burgers-Fisher方程的3种格式：两种精确有限差分格式和一种非标准有限差分格式. 通过误差分析，验证了该格式的精确性和有效性. Xue和Feng[16]建立了求解抛物型方程的有效算法. 在第n层使用两种区域分解法，两种方法的解取平均值，得到第n+1层的解. 该方法保持了并行性和稳定性. 并行本性方法既适用于并行计算，又是无条件稳定或线性稳定的. 然而，这些方法误差稍大，精度较低[17-18].
受到上述差分方法的启发，本文结合经典的显式、隐式和C-N格式，提出了一种求解KdV-Burgers方程的新并行差分方法. MASC-N方法具有更精确的结果和更宽松的稳定性条件. 理论分析和数值算例表明，MASC-N格式线性绝对稳定，收敛阶为二阶. 本文格式的计算效率远高于C-N格式的计算效率，新方法对于求解KdV-Burgers方程是高效合理的.
1. KdV-Burgers方程的混合交替分段C-N差分格式
1.1 KdV-Burgers方程
$$ u_t+\alpha u u_x+\beta u_{x x}+\varepsilon u_{x x x}=0, \quad L_1 <x <L_2, 0 <t \leqslant T, $$ (1) 其中α>0，β＜0，ε>0. 初始条件和边界条件为
$$ \begin{aligned} & u(x, 0)=f(x), \quad L_1 \leqslant x \leqslant L_2, \end{aligned} $$ (2) $$ u\left(L_1, t\right)=g_1(t), u\left(L_2, t\right)=g_2(t), \quad 0 <t \leqslant T, $$ (3) 其中L1，L2都是适当大的数.
1.2 MASC-N并行差分格式的构造
计算区域是[L1，L2]×[0, T]，h和τ分别表示空间和时间步长. 令x0=L1，h=(L2-L1)/M，其中M是正整数. 记xi=x0+ih(i=0, 1, 2, …, M)，tn=nτ(n=0, 1, 2, …, N). 令uin为格式解，u(xi, tn)为精确解. 为了构造MASC-N差分格式，令
$$ u_{x x}=\frac{-u_{i-1}^n+2 u_i^n-u_{i+1}^n}{h^2}, u_{x x x}=\frac{u_{i-2}^n-2 u_{i-1}^n+2 u_{i+1}^n-u_{i+2}^n}{2 h^3} . $$ 以下是方程(1)的显格式、隐格式和C-N格式：
$$ u_i^{n+1}=r u_{i-2}^n+A u_{i-1}^n+(1+2 c) u_i^n+B u_{i+1}^n-r u_{i+2}^n \text {, } $$ (4) $$ -r u_{i-2}^{n+1}-A u_{i-1}^{n+1}+(1-2 c) u_i^{n+1}-B u_{i+1}^{n+1}+r u_{i+2}^{n+1}=u_i^n, $$ (5) $$ \begin{gathered} -\frac{r}{2} u_{i-2}^{n+1}-\frac{A}{2} u_{i-1}^{n+1}+(1-c) u_i^{n+1}-\frac{B}{2} u_{i+1}^{n+1}+\frac{r}{2} u_{i+2}^{n+1}= \\ \frac{r}{2} u_{i-2}^n+\frac{A}{2} u_{i-1}^n+(1+c) u_i^n+\frac{B}{2} u_{i+1}^n-\frac{r}{2} u_{i+2}^n, \end{gathered} $$ (6) 其中
$$ r=\frac{\varepsilon \tau}{2 h^3}, A=\overline{r_i}-c-2 r, B=-\overline{r_i}-c+2 r, \overline{r_i}=\alpha a_i^n \frac{\tau}{2 h}, a_i^n=\frac{1}{4}\left(u_{i-1}^n+2 u_i^n+u_{i+1}^n\right), c=\beta \frac{\tau}{h^2} . $$ 现在讨论KdV-Burgers方程的交替分段并行差分格式，本文的MASC-N格式(图 1)将结合以上几种差分格式使用.
设M=Jl(J≥3和l≥3是正整数，且J是奇数)，每一时间层上的值分为J段，按顺序记为S1, S2, …, SJ. 为叙述方便，取M=25，J=5，l=5. S1和S5分别有一个内边界点和四个内点；S2，S3，S4分别有两个内边界点和三个内点. n是偶数，数值解uin为已知，现计算uin+1. n+1时间层上，在点xi(i=5, 6, 15, 16)处使用古典显格式(4)，在点xi(i=10, 11, 20, 21)处使用古典隐格式(5)，其余各点处使用经典C-N格式(6). 在n+2时间层上，将n+1时间层显格式(4)的位置变为隐格式(5)，隐格式(5)的位置变为显格式(4)，其余各点仍使用经典C-N格式(6). 因为靠近边界点的值与边界点大致相同，令u1k′=u0k′，uM-1k′=uMk′(k′=0, 1, 2, …). 交替使用这些格式，可以得到MASC-N格式，具体见图 1，图中的□代表式(4)，■代表式(5)，○代表式(6)，其矩阵形式为
$$\left\{\begin{array}{l} \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{n+1}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^n+\boldsymbol{F}_1, \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{n+2}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{n+1}+\boldsymbol{F}_2, \end{array}\right. $$ (7) 式中
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{U}^n= & \left(u_2^n, u_3^n, \cdots, u_{M-3}^n, u_{M-2}^n\right)^{\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{F}_1= & \left(\frac{r}{2}\left(u_0^n+u_0^{n+1}\right)+\frac{A}{2}\left(u_1^n+u_1^{n+1}\right), \frac{r}{2}\left(u_1^n+u_1^{n+1}\right), 0, \cdots, 0, -\frac{r}{2}\left(u_{M-1}^n+u_{M-1}^{n+1}\right), \right. \\ & \left.\frac{B}{2}\left(u_{M-1}^n+u_{M-1}^{n+1}\right)-\frac{r}{2}\left(u_M^n+u_M^{n+1}\right)\right)^{\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{F}_2= & \left(\frac{r}{2}\left(u_0^{n+1}+u_0^{n+2}\right)+\frac{A}{2}\left(u_1^{n+1}+u_1^{n+2}\right), \frac{r}{2}\left(u_1^{n+1}+u_1^{n+2}\right), 0, \cdots, 0, -\frac{r}{2}\left(u_{M-1}^{n+1}+u_{M-1}^{n+2}\right), \right. \\ & \left.\frac{B}{2}\left(u_{M-1}^{n+1}+u_{M-1}^{n+2}\right)-\frac{r}{2}\left(u_M^{n+1}+u_M^{n+2}\right)\right)^{\mathrm{T}}, \end{aligned} $$ Un，F1，F2是M-3维向量，I是M-3阶单位矩阵，A1和A2均是M-3阶对角矩阵，且满足A1+ A2= I，A1=diag(θ1, θ2, …, θM-4, θM-3)，
$$\theta_i= \begin{cases}0, & i=i_1^{\prime \prime}, i_1^{\prime}, \cdots, i_{J-2}^{\prime \prime}, i_{J-2}^{\prime}, \\ 1, & i=i_2^{\prime \prime}, i_2^{\prime}, \cdots, i_{J-1}^{\prime \prime}, i_{J-1}^{\prime}, \\ \frac{1}{2}, & \text { others }, \end{cases} $$ $$\boldsymbol{G}=\left(\begin{array}{ccccccc} -2 c & -B & r & & & & \\ -A & -2 c & -B & r & & & \\ -r & -A & -2 c & -B & r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -r & -A & -2 c & -B & r \\ & & & -r & -A & -2 c & -B \\ & & & & -r & -A & -2 c \end{array}\right)_{(M-3) \times(M-3)}. $$ 2. MASC-N并行差分方法的数值分析
2.1 MASC-N格式解的存在唯一性
引理1 (Kellogg引理)[19] 设θ>0，矩阵G+GT是非负定的，则(θI+G)-1存在，并且有
$$\left\|(\theta \boldsymbol{I}+\boldsymbol{G})^{-1}\right\|_2 \leqslant \theta^{-1} \text {. } $$ 引理2 MASC-N格式的A1G和A2G是非负定矩阵.
假定式(7)中的系数ain=a为常数，做如下计算：
$$ \boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}+\left(\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}_1\left(\boldsymbol{G}+\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{A}_1\left(\begin{array}{ccccc} -4 c & 2 c & & & \\ 2 c & -4 c & 2 c & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 2 c & -4 c & 2 c \\ & & & 2 c & -4 c \end{array}\right)_{(M-3) \times(M-3)}, $$ $$ \boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}+\left(\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}_2\left(\boldsymbol{G}+\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{A}_2\left(\begin{array}{ccccc} -4 c & 2 c & & & \\ 2 c & -4 c & 2 c & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 2 c & -4 c & 2 c \\ & & & 2 c & -4 c \end{array}\right)_{(M-3) \times(M-3)}, $$ 其中c＜0. 显然A1G +(A1G)T是弱对角占优矩阵，对角线上的元素是非负实数. 因此A1G+(A1G)T是非负定矩阵，A2G +(A2G)T也是非负定矩阵，则A1G和A2G是非负定矩阵.
由初始条件得，U0已知，假设U2n已知，求U2n+1. 由式(7)得到求解U2n+1的公式为
$$ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{2 n+1}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{2 n}+\boldsymbol{F}_1 . $$ (8) 显然，等式右边已知，(I + A1G)-1存在，式(8)有唯一解. 同样地，使用MASC-N格式计算2n+2层的点：
$$ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{2 n+2}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right) \boldsymbol{U}^{2 n+1}+\boldsymbol{F}_2 \cdot $$ (9) 同理可得式(9)有唯一解，定理得证.
定理1 KdV-Burgers方程MASC-N格式(7)的解是存在且唯一的.
2.2 MASC-N格式的线性绝对稳定性
引理3[19] 设θ>0，矩阵G+GT是非负定的，则‖(θI-G)(θI+G)-1‖2≤1.
以下稳定性分析中，假定式(7)中的系数ain=a为常数. 消去Un+1，式(7)可以改写成$\boldsymbol{U}^n=\hat{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{U}^{n-2}$，其中$\hat{\boldsymbol{G}}$为增长矩阵, 且 $\hat{\boldsymbol{G}}=\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)$. 对任意偶数 $n, \hat{\boldsymbol{G}}^n=\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}(\boldsymbol{I}-$$\left.\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\left[\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right]^{n-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)$.
由引理$1 、 2 、 3$, 对任意的$r, \overline{r_i}, c$, 有$\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right\|_2 \leqslant 1,\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_i \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_i \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right\|_2 \leqslant 1(i=1,2)$. 因此$\left\|\hat{\boldsymbol{G}}^n\right\|_2 \leqslant\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right\|_2\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right\|_2^n\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right)^{-1}\right\|_2^{n-1}\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_2 \leqslant$$\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_2$. 因为不等式$\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_{\infty} \leqslant 1+2 \overline{r_i}-4 c+6 r,\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_1 \leqslant 1+2 \overline{r_i}-4 c+6 r, c <0$. 因此$\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_2 \leqslant \sqrt{\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_{\infty}\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{G}\right\|_1} \leqslant C, C=1+2 \overline{r_i}-4 c+6 r$. 可以得到$\left\|\hat{\boldsymbol{G}}^n\right\|_2 \leqslant C$. 定理得证.
定理2 KdV-Burgers方程的MASC-N格式(7)是线性绝对稳定的.
2.3 MASC-N格式的收敛性
古典显格式为
$$ u_i^{n+1}=r u_{i-2}^n+A u_{i-1}^n+(1+2 c) u_i^n+B u_{i+1}^n-r u_{i+2}^n \text {. } $$ 古典隐格式为
$$-r u_{i-2}^{n+2}-A u_{i-1}^{n+2}+(1-2 c) u_i^{n+2}-B u_{i+1}^{n+2}+r u_{i+2}^{n+2}=u_i^{n+1} . $$ 将以上两格式中的各点分别在点uin+1处做Taylor级数展开，记截断误差分别为T1(τ, h)，T2(τ, h)，则
$$ \begin{aligned} & T_1(\tau, h)=\left(\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}-\frac{\tau^3}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial t^4}\right)+ \\ & \alpha a_i^n\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\tau \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}+\frac{h^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial t^2}-\frac{h^2 \tau}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}-\frac{\tau^3}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x \partial t^3}\right)+ \\ & \beta\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\tau \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t}+\frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial t^2}\right)+ \\ & \varepsilon\left(\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}-\tau \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}\right)+O\left(h^a \tau^b\right), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & T_2(\tau, h)=\left(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}+\frac{\tau^3}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial t^4}\right)+ \\ & \alpha a_i^n\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\tau \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}+\frac{h^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial t^2}+\frac{h^2 \tau}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}+\frac{\tau^3}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x \partial t^3}\right)+ \\ & \beta\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\tau \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t}+\frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial t^2}\right)+ \\ & \varepsilon\left(\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+\tau \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}\right)+O\left(h^a \tau^b\right), \end{aligned} $$ 其中O(haτb)=O(τ+h2τ+h2). 由于方程$ \frac{\partial u}{\partial t}+\alpha a_i^n \frac{\partial u}{\partial x}+\beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\varepsilon \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}=0$，可以得到
$$\begin{gathered} T_1(\tau, h)=\left(-\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}-\frac{\tau^3}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial t^4}\right)+ \\ \alpha a_i^n\left(-\tau \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}+\frac{h^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial t^2}-\frac{h^2 \tau}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}-\frac{\tau^3}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x \partial t^3}\right)+ \\ \beta\left(-\tau \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t}+\frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial t^2}\right)+\varepsilon\left(-\tau \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}\right)+O\left(h^a \tau^b\right), \\ T_2(\tau, h)=\left(\frac{\tau}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+\frac{\tau^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial t^3}+\frac{\tau^3}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial t^4}\right)+ \\ \alpha a_i^n\left(\tau \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}+\frac{h^2}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial t^2}+\frac{h^2 \tau}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}+\frac{\tau^3}{6} \frac{\partial^4 u}{\partial x \partial t^3}\right)+ \\ \beta\left(\tau \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t}+\frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}+\frac{\tau^2}{2} \frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial t^2}\right)+\varepsilon\left(\tau \frac{\partial^4 u}{\partial x^3 \partial t}\right)+O\left(h^a \tau^b\right) \end{gathered} $$ 由图 1可知，在每段的“内点”使用C-N格式，其计算精度为二阶. 在每段的“内边界点”使用古典显式和古典隐式，计算精度为O(τ+h2τ+h2). 在T1(τ, h)和T2(τ, h)的表达式中，分别包含了绝对值相同但符号相反的项. 古典显式和古典隐式在每一时间层交替使用，部分项将相互抵消. 因此，MASC-N格式的计算精度近似为二阶.
定理3 KdV-Burgers方程的MASC-N格式(7)的计算精度为O(h2+τ2)，内边界点的计算精度为O(τ+h2τ+h2).
定义MASC-N格式在(xi，tn)的截断误差是Rin. 存在正数C′，有|Rin|≤C′(τ2+h2). 假设在点(xi，tn)，u(xi，tn)是式(1)的解析解. 定义ein=u(xi，tn)-uin，en=(e1n，e2n, …, eM-3n)T. 将ein代入MASC-N格式，A1G=G1，A2G=G2，得到
$$ \left\{\begin{array}{l} \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_1\right) \boldsymbol{e}^{n+1}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_2\right) \boldsymbol{e}^n+R^{n+1}, \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right) \boldsymbol{e}^{n+2}=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_1\right) \boldsymbol{e}^{n+1}+R^{n+2} \end{array}\right. $$ 显然$\boldsymbol{e}^0=(0, 0, \cdots, 0)^{\mathrm{T}}, R^n=O\left(\tau^2+h^2\right)$. 当$n=1, \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_1\right) \boldsymbol{e}^1=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_2\right) \boldsymbol{e}^0+R^1$. 两边取范数，得到$\left\|\boldsymbol{e}^1\right\|$ $\leqslant\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_1\right)^{-1} R^1\right\| \leqslant\left\|R^1\right\| \leqslant C_1^{\prime}\left(\tau^2+h^2\right)$. 当$n=2, \boldsymbol{e}^2=\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_1\right) \boldsymbol{e}^1+\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1} R^2, \left\|\boldsymbol{e}^2\right\|$ $\leqslant\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1}\right\|\left(\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_1\right)\right\|+1\right)\left\|R^2\right\| \leqslant\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}+\frac{1}{1+\lambda}\right) R^2 \leqslant C_2^{\prime}\left(\tau^2+h^2\right)$. 由数学归纳法：当$n \leqslant k+1$时，$\left\|\boldsymbol{e}^n\right\| \leqslant C_n^{\prime}\left(\tau^2+h^2\right)$；当$n=k+2$时，有
$$ \begin{aligned} & \left\|\boldsymbol{e}^{n+2}\right\| \leqslant\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_1\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_1\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_2\right) \boldsymbol{e}^n\right\|+ \\ & \quad\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_1\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_1\right)^{-1} R^{n+1}\right\|+\left\|\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_2\right)^{-1} R^{n+2}\right\| \leqslant \\ & \quad\left(\frac{(1-\lambda)^2}{(1+\lambda)^2}+\frac{1-\lambda}{(1+\lambda)^2}+\frac{1}{1+\lambda}\right) R^{n+2} \leqslant\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}+\frac{1}{1+\lambda}\right)+\frac{1}{1+\lambda}\right) R^{n+2} \leqslant \\ & C_{n+2}^{\prime}\left(\tau^2+h^2\right) . \end{aligned} $$ 因此存在正数$C^{\prime}, \left\|u\left(x_i, t_n\right)-u_i^n\right\| \leqslant C^{\prime}\left(\tau^2+h^2\right).$
定理4 KdV-Burgers方程的MASC-N格式(7)是收敛的.
3. 数值试验
为了验证理论分析，给出数值算例证明MASC-N格式的计算精度、稳定性、收敛性和并行性. 同时给出MASC-N格式与ASE-I格式和ASC-N格式的比较试验、MASC-N格式扩展到mKdV-Burgers方程的数值试验.
例1 令ε=1，γ=1，μ=1，考虑以下KdV-Burgers方程[20-21]：
$$ u_t+\varepsilon u u_x-\gamma u_{x x}+\mu u_{x x x}=0, \quad-50 \leqslant x \leqslant 50, 0 \leqslant t \leqslant 1 \text {. } $$ (10) 初始条件为
$$ u(x, 0)=\frac{-6 \gamma^2}{25 \mu}\left[1+\tanh \left(\frac{\gamma x}{10 \mu}\right)-\frac{1}{2} \operatorname{sech}^2\left(\frac{\gamma x}{10 \mu}\right)\right] ; $$ 边界条件为
$$\begin{aligned} & u(-50, t)=\frac{-6 \gamma^2}{25 \mu}\left[1+\tanh \left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(-50+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)-\frac{1}{2} \operatorname{sech}^2\left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(-50+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)\right], \\ & u(50, t)=\frac{-6 \gamma^2}{25 \mu}\left[1+\tanh \left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(50+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)-\frac{1}{2} \operatorname{sech}^2\left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(50+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)\right] ; \end{aligned} $$ 解析解为
$$ u(x, t)=\frac{-6 \gamma^2}{25 \mu}\left[1+\tanh \left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(x+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)-\frac{1}{2} \operatorname{sech}^2\left(\frac{\gamma}{10 \mu}\left(x+\frac{6 \gamma^2}{25 \mu} t\right)\right)\right] $$ 取时间层N=500，空间层M=500，图 2和3分别给出了式(10)的孤立波解从时间t=0到t=1的精确解和MASC-N格式解的波形图. 从图中可以看到，数值结果稳定可靠，保持了与精确解几乎完全一致的波形.
u(xi, tn)是解析解，uin是数值解. 定义绝对误差ΔAE=|u(xi, tn)-uin|. 表 1给出了C-N和MASC-N格式解相对于解析解的绝对误差结果. 可以看到，当M=100，N=100时，两种格式的绝对误差相似，且两种差分格式绝对误差最大值的级数为10-3.
表 1 两种格式解相对于解析解的绝对误差Table 1. The absolute errors of the 2 scheme solutions relative to the analytic solution(x, t) analytic solution C-N ΔAE MASC-N ΔAE (-40, 0.1) -5.45×10-8 -5.51×10-8 5.60×10-10 -5.50×10-8 5.37×10-10 (-30, 0.2) -2.99×10-6 -3.05×10-6 6.16×10-8 -3.05×10-6 5.92×10-8 (-20, 0.3) -1.60×10-4 -1.65×10-4 4.88×10-6 -1.64×10-4 4.69×10-6 (-10, 0.4) -0.007 055 -0.007 304 0.000 250 -0.007 295 0.000 240 (0, 0.5) -0.122 897 -0.124 388 0.001 491 -0.124 268 0.001 370 (10, 0.6) -0.374 919 -0.373 647 0.001 272 -0.373 542 0.001 377 (20, 0.7) -0.463 439 -0.462 955 0.000 484 -0.462 932 0.000 507 (30, 0.8) -0.477 718 -0.477 634 8.40×10-5 -0.477 630 8.78×10-5 (40, 0.9) -0.479 692 -0.479 679 1.30×10-5 -0.479 678 1.36×10-5 以下给出C-N格式和MASC-N格式收敛阶的数值试验. 在点(xi，tn)处，定义误差E∞(h, τ)、空间收敛阶S和时间收敛阶T[22-23]：
$$\begin{aligned} & E_{\infty}(h, \tau)=\max \left|u\left(x_i, t_n\right)-u_i^n\right| \\ & S=\frac{\log _2\left(E_{\infty}\left(h_1, \tau\right) / E_{\infty}\left(h_2, \tau\right)\right)}{\log _2\left(h_1 / h_2\right)} \\ & T=\frac{\log _2\left(E_{\infty}\left(h, \tau_1\right) / E_{\infty}\left(h, \tau_2\right)\right)}{\log _2\left(\tau_1 / \tau_2\right)} \end{aligned} $$ 令M=25，50，100，200，400，N=500和N=100, 200, 400, 800, 1 600，M=100，表 2和3分别给出了C-N格式和MASC-N格式的空间和时间精度. 由表中数据可知，两种格式的空间和时间精度为二阶. 因此本文MASC-N格式和已有的C-N格式有相同的阶数，数值试验结果与理论分析相符.
表 2 两种格式的空间收敛阶Table 2. The space-convergent orders of the 2 schemesM C-N MASC-N E∞ S E∞ S 25 6.572 000×10-3 - 7.528 900×10-3 - 50 1.751 500×10-3 1.907 741 1.783 904×10-3 2.077 401 100 4.411 802×10-4 1.989 151 4.416 614×10-4 2.014 025 200 1.085 822×10-4 2.022 580 1.066 623×10-4 2.049 890 400 2.678 405×10-5 2.019 342 2.538 697×10-5 2.070 890 表 3 两种格式的时间收敛阶Table 3. The time-convergent orders of the 2 schemesN C-N MASC-N E∞ T E∞ T 100 2.741 022×10-3 - 2.741 022×10-3 - 200 6.699 166×10-4 2.032 660 6.697 803×10-4 2.032 954 400 1.644 313×10-4 2.026 496 1.644 313×10-4 2.026 203 800 4.214 523×10-5 1.964 044 4.214 494×10-5 1.964 053 1 600 1.028 303×10-5 2.035 104 1.028 305×10-5 2.035 092 定义加速比Sp=T1/Tp和效率Ep=Sp/p[24]，T1和Tp分别是C-N和MASC-N格式的运行时间，p是处理器的数量. 使用八核处理器，令N=1 000，M=600, 1 100, 1 600, 2 100, 2 600，计算结果见表 4. 表 4表明当M增加时，两种格式的运行时间都增加. 但与C-N格式相比，MASC-N格式的运行时间增加缓慢. Sp和Ep都逐渐增加. 随着M的增大，MASC-N格式的效率大幅度提高. 当M>600后，MASC-N格式的运行时间比C-N格式节约56%.
表 4 两种格式运行时间的比较Table 4. Comparison of running time between the 2 schemesM 600 1 100 1 600 2 100 2 600 C-N 0.662 88 2.026 66 4.271 80 7.667 68 12.347 7 MASC-N 0.334 65 0.993 64 1.929 38 3.283 17 5.250 76 Sp 1.980 82 2.039 63 2.214 08 2.335 45 2.351 60 Ep 0.247 60 0.254 95 0.276 76 0.291 93 0.293 95 图 4给出了C-N和MASC-N格式的计算时间. 可以看到C-N格式的计算时间迅速增加，变化率大. 本文构造的MASC-N格式的计算时间更少，且变化率小. C-N格式是串行格式，通过LU分解计算5对角方程. 但使用MASC-N格式计算时，全局问题被分解成多个不相关的问题同步进行计算. 程序循环有效地提高了计算效率，缩短了计算时间. 从时间的角度来看，MASC-N格式具有明显的优势.
图 5给出了MASC-N格式在四核和八核CPU下的计算时间. 可以看到随着空间网格数的增加，八核CPU的计算时间比四核CPU更少，MASC-N格式并行性明显.
图 5 不同CPU核数的MASC-N格式计算时间Figure 5. The computing time of the MASC-N scheme with different numbers of CPU cores为了验证MASC-N格式的稳定性和精度，给出随时间和空间变化的相对误差. 定义时间层相对误差和(the sum of relative error for every time level，SRET，ΔSRET)与误差能量(difference total energy，DTE，ΔDTE)：
$$ \varDelta_{\mathrm{SRET}}(n)=\sum\limits_{i=1}^M \frac{\left|u_i^n-u\left(x_i, t_n\right)\right|}{u\left(x_i, t_n\right)}, \varDelta_{\mathrm{DTE}}(i)=\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^N\left(u_i^n-u\left(x_i, t_n\right)\right)^2 . $$ 取N=200，M=200，图 6表明当N增加时，两种格式解的ΔSRET迅速减小，且趋向于0. 因此，MASC-N方法求解KdV-Burgers方程是计算稳定的.
取N=500，M=500，从图 7可以看出两种格式ΔDTE的最大值是5×10-3. 表明两种格式数值解与解析解非常接近，误差很小，MASC-N方法有良好的计算精度.
例2 令L=100，T=1，考虑以下KdV-Burgers方程[25]：
$$u_t+u u_x-u_{x x}+u_{x x x}=0. $$ (11) 初边界值由解析解给出，解析解为
$$ u(x, t)=\frac{-6}{25}\left[1+\tanh \left(\frac{1}{10}\left(x+\frac{6}{25} t\right)\right)-\frac{1}{2} \operatorname{sech}^2\left(\frac{1}{10}\left(x+\frac{6}{25} t\right)\right)\right] . $$ 比较3种并行格式的计算时间. 固定时间层N=10 000，计算结果见图 8和表 5. ASC-N格式有最长的运行时间. ASE-I和MASC-N格式运行时间相似且MASC-N格式计算时间略短.
表 5 3种并行格式的计算时间Table 5. The computing time of the 3 parallel schemes比较解析解和ASE-I[9]、ASC-N[11]、MASC-N格式解. 令N=210，M=210，t=0.5，表 6给出了计算结果. 表中数据表明3种格式的数值解相似，且MASC-N格式解最接近解析解.
表 6 数值解和解析解Table 6. Numerical solutions and the analytic solutionx analytic solution ASE-I[9] ASC-N[11] MASC-N -40 -5.663 4×10-8 -5.584 7×10-8 -5.584 7×10-8 -5.585 8×10-8 -30 -3.078 6×10-6 -3.037 0×10-6 -3.035 4×10-6 -3.035 7×10-6 -20 -1.627 7×10-4 -1.603 2×10-4 -1.602 3×10-4 -1.602 4×10-4 -10 -0.007 114 59 -0.006 941 26 -0.006 939 24 -0.006 939 28 0 -0.122 897 14 -0.118 473 11 -0.118 499 99 -0.118 499 94 10 -0.374 499 97 -0.369 167 25 -0.369 224 65 -0.369 224 71 20 -0.463 283 64 -0.462 168 85 -0.462 181 73 -0.462 181 91 30 -0.477 685 23 -0.477 524 56 -0.477 526 32 -0.477 526 41 40 -0.479 685 75 -0.479 663 82 -0.479 664 03 -0.479 664 07 最后，取计算精度的权重为0.6，计算时间的权重为0.4. 根据计算精度和时间比较3种并行格式，见表 7. 可以看到，MASC-N格式的加权排序总和数最小，可知其具有最好的性能和实用性.
表 7 3种并行格式的比较Table 7. Comparison of the 3 parallel schemes例3 令β=-1，ε=-1，考虑以下mKdV-Burgers方程[26-27]：
$$ u_t+u^2 u_x+\beta u_{x x}+\varepsilon u_{x x x}=0, \quad-50 \leqslant x \leqslant 50, 0 \leqslant t \leqslant 1 \text {. } $$ (12) 初边界值由解析解给出，解析解为
$$ u(x, t)=\frac{-\beta \sqrt{-6 \varepsilon}}{6 \varepsilon}\left[1+\tanh \frac{-\beta}{6 \varepsilon}\left(x+\frac{2 \beta^2}{9 \varepsilon} t\right)\right]. $$ 令N=210，M=210，t=0.5，表 8为mKdV-Burgers方程解析解和两种格式数值解的比较. 可以看出C-N格式解和MASC-N格式解几乎相同. 图 9和10分别是C-N和MASC-N格式的绝对误差，对比发现两种差分格式绝对误差最大值的级数为10-2.
表 8 数值解和解析解Table 8. Numerical solutions and the analytic solutionx analytic solution C-N ΔAE MASC-N ΔAE -40 -0.816 495 -0.816 495 1.15×10-7 -0.816 495 1.46×10-7 -30 -0.816 461 -0.816 458 3.22×10-6 -0.816 457 4.10×10-6 -20 -0.815 496 -0.815 407 8.99×10-5 -0.815 382 1.15×10-4 -10 -0.789 361 -0.787 123 0.002 237 -0.786 488 0.002 873 0 -0.415 808 -0.409 564 0.006 244 -0.405 151 0.010 656 10 -0.029 148 -0.029 735 0.000 588 -0.029 105 4.25×10-5 20 -0.001 077 -0.001 104 2.70×10-5 -0.001 080 2.68×10-6 30 -3.80×10-5 -3.90×10-5 9.73×10-7 -3.90×10-5 1.01×10-7 40 -1.37×10-6 -1.41×10-6 3.47×10-8 -1.38×10-6 3.63×10-9 令时间层N=1 000，图 11是C-N和MASC-N格式的运行时间. 可以看到C-N格式的运行时间远大于MASC-N格式的运行时间. 与C-N格式相比，MASC-N格式求解mKdV-Burgers方程更为高效.
4. 结论
KdV-Burgers方程的MASC-N并行差分格式是线性绝对稳定的，格式解存在唯一，与C-N格式的收敛阶同为二阶. 在保证计算精度的前提下，MASC-N格式比C-N格式有更高的效率. 与ASE-I和ASC-N格式相比，MASC-N并行差分格式对求解KdV-Burgers方程有更好的性能. 同时，将MASC-N并行差分格式扩展到求解mKdV-Burgers方程，本文的数值试验结果表明，MASC-N格式的计算效率明显高于C-N格式的计算效率，MASC-N格式求解各种类型的并行计算系统是有效的.
致谢: 本文作者衷心感谢德国阿尔弗雷德韦格纳研究所Sergey Danilov教授和王强博士在写作过程中提出的宝贵建议和意见；同时衷心感谢华北电力大学国内外联合培养博士生项目(2020)对本文的资助. -
图 5 不同CPU核数的MASC-N格式计算时间
Figure 5. The computing time of the MASC-N scheme with different numbers of CPU cores
表 1 两种格式解相对于解析解的绝对误差
Table 1. The absolute errors of the 2 scheme solutions relative to the analytic solution
(x, t) analytic solution C-N ΔAE MASC-N ΔAE (-40, 0.1) -5.45×10-8 -5.51×10-8 5.60×10-10 -5.50×10-8 5.37×10-10 (-30, 0.2) -2.99×10-6 -3.05×10-6 6.16×10-8 -3.05×10-6 5.92×10-8 (-20, 0.3) -1.60×10-4 -1.65×10-4 4.88×10-6 -1.64×10-4 4.69×10-6 (-10, 0.4) -0.007 055 -0.007 304 0.000 250 -0.007 295 0.000 240 (0, 0.5) -0.122 897 -0.124 388 0.001 491 -0.124 268 0.001 370 (10, 0.6) -0.374 919 -0.373 647 0.001 272 -0.373 542 0.001 377 (20, 0.7) -0.463 439 -0.462 955 0.000 484 -0.462 932 0.000 507 (30, 0.8) -0.477 718 -0.477 634 8.40×10-5 -0.477 630 8.78×10-5 (40, 0.9) -0.479 692 -0.479 679 1.30×10-5 -0.479 678 1.36×10-5 
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表 2 两种格式的空间收敛阶
Table 2. The space-convergent orders of the 2 schemes
M C-N MASC-N E∞ S E∞ S 25 6.572 000×10-3 - 7.528 900×10-3 - 50 1.751 500×10-3 1.907 741 1.783 904×10-3 2.077 401 100 4.411 802×10-4 1.989 151 4.416 614×10-4 2.014 025 200 1.085 822×10-4 2.022 580 1.066 623×10-4 2.049 890 400 2.678 405×10-5 2.019 342 2.538 697×10-5 2.070 890
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表 3 两种格式的时间收敛阶
Table 3. The time-convergent orders of the 2 schemes
N C-N MASC-N E∞ T E∞ T 100 2.741 022×10-3 - 2.741 022×10-3 - 200 6.699 166×10-4 2.032 660 6.697 803×10-4 2.032 954 400 1.644 313×10-4 2.026 496 1.644 313×10-4 2.026 203 800 4.214 523×10-5 1.964 044 4.214 494×10-5 1.964 053 1 600 1.028 303×10-5 2.035 104 1.028 305×10-5 2.035 092
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表 4 两种格式运行时间的比较
Table 4. Comparison of running time between the 2 schemes
M 600 1 100 1 600 2 100 2 600 C-N 0.662 88 2.026 66 4.271 80 7.667 68 12.347 7 MASC-N 0.334 65 0.993 64 1.929 38 3.283 17 5.250 76 Sp 1.980 82 2.039 63 2.214 08 2.335 45 2.351 60 Ep 0.247 60 0.254 95 0.276 76 0.291 93 0.293 95
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表 6 数值解和解析解
Table 6. Numerical solutions and the analytic solution
x analytic solution ASE-I[9] ASC-N[11] MASC-N -40 -5.663 4×10-8 -5.584 7×10-8 -5.584 7×10-8 -5.585 8×10-8 -30 -3.078 6×10-6 -3.037 0×10-6 -3.035 4×10-6 -3.035 7×10-6 -20 -1.627 7×10-4 -1.603 2×10-4 -1.602 3×10-4 -1.602 4×10-4 -10 -0.007 114 59 -0.006 941 26 -0.006 939 24 -0.006 939 28 0 -0.122 897 14 -0.118 473 11 -0.118 499 99 -0.118 499 94 10 -0.374 499 97 -0.369 167 25 -0.369 224 65 -0.369 224 71 20 -0.463 283 64 -0.462 168 85 -0.462 181 73 -0.462 181 91 30 -0.477 685 23 -0.477 524 56 -0.477 526 32 -0.477 526 41 40 -0.479 685 75 -0.479 663 82 -0.479 664 03 -0.479 664 07
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表 8 数值解和解析解
Table 8. Numerical solutions and the analytic solution
x analytic solution C-N ΔAE MASC-N ΔAE -40 -0.816 495 -0.816 495 1.15×10-7 -0.816 495 1.46×10-7 -30 -0.816 461 -0.816 458 3.22×10-6 -0.816 457 4.10×10-6 -20 -0.815 496 -0.815 407 8.99×10-5 -0.815 382 1.15×10-4 -10 -0.789 361 -0.787 123 0.002 237 -0.786 488 0.002 873 0 -0.415 808 -0.409 564 0.006 244 -0.405 151 0.010 656 10 -0.029 148 -0.029 735 0.000 588 -0.029 105 4.25×10-5 20 -0.001 077 -0.001 104 2.70×10-5 -0.001 080 2.68×10-6 30 -3.80×10-5 -3.90×10-5 9.73×10-7 -3.90×10-5 1.01×10-7 40 -1.37×10-6 -1.41×10-6 3.47×10-8 -1.38×10-6 3.63×10-9
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