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基于XFEM和GA-BP神经网络的裂纹智能识别研究

毛晓敏,  张慧华,  纪晓磊,  韩尚宇

文章导航 > 应用数学和力学  > 2022 >  43(11): 1268-1280
毛晓敏，张慧华，纪晓磊，韩尚宇. 基于XFEM和GA-BP神经网络的裂纹智能识别研究 [J]. 应用数学和力学，2022，43（11）：1268-1280 doi: 10.21656/1000-0887.420250
引用本文: 毛晓敏，张慧华，纪晓磊，韩尚宇. 基于XFEM和GA-BP神经网络的裂纹智能识别研究 [J]. 应用数学和力学，2022，43（11）：1268-1280 doi: 10.21656/1000-0887.420250
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MAO Xiaomin, ZHANG Huihua, JI Xiaolei, HAN Shangyu. Intelligent Crack Recognition Based on XFEM and GA-BP Neural Networks[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43(11): 1268-1280. doi: 10.21656/1000-0887.420250
Citation: MAO Xiaomin, ZHANG Huihua, JI Xiaolei, HAN Shangyu. Intelligent Crack Recognition Based on XFEM and GA-BP Neural Networks[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43(11): 1268-1280. doi: 10.21656/1000-0887.420250
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基于XFEM和GA-BP神经网络的裂纹智能识别研究

doi: 10.21656/1000-0887.420250

  • 南昌航空大学 土木建筑学院，南昌 330063

基金项目: 国家自然科学基金（12062015；52068054）；江西省自然科学基金（20192BAB202001;20212BAB211016）
详细信息
    作者简介:

    毛晓敏（1996—），女，硕士生（E-mail：3194197173@qq.com）

    张慧华（1982—），男，教授，博士（通讯作者. E-mail：hhzhang@nchu.edu.cn）

  • 中图分类号: O241.82; TP183

Intelligent Crack Recognition Based on XFEM and GA-BP Neural Networks

  • School of Civil Engineering and Architecture, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, P.R.China

HTML全文

    摘要
  • 摘要:

    基于扩展有限元法(XFEM)和经遗传算法(GA)优化的误差反向传播多层前馈(BP)神经网络(GA-BP)算法，建立了识别结构中裂纹的反演分析模型。模型通过XFEM正向分析获得的测点位移数据训练GA-BP神经网络，并在此基础上利用该网络进行裂纹反向识别。通过两个典型算例对模型的可行性和精度进行了验证，并探讨了网格密度、测点布置、输入数据噪声等对网络识别精度的影响。结果表明，该文的方法可反演线弹性断裂力学重点关注的直线裂纹的几何信息且具有较好的容噪性能，此外，GA-BP神经网络的预测精度较传统BP神经网络普遍更高。

    Abstract:

    Based on the extended finite element method (XFEM) and the error back propagation (BP) multilayer feedforward neural network algorithm optimized by the genetic algorithm (GA), an inverse analysis model for identifying cracks in structures was established. The GA-BP neural network was trained by the displacement data of measuring points obtained by the XFEM forward analysis, and the network was used for crack inverse identification. The feasibility and accuracy of the model were verified with 2 typical examples, and the effects of the mesh density, the measuring point layout and the input data noise on the accuracy of network recognition were discussed. The results show that, the proposed method can invert the geometric information of straight cracks, which is the major focus of linear elastic fracture mechanics, and has good noise tolerance. Besides, the GA-BP neural network has higher accuracy than the traditional BP neural network in general.

    • HTML全文

  • 引　　言

    随着建造水平及民众安全意识的不断提高，人们对实际工程结构的安全问题愈发重视。受不同因素的影响，在建造和使用过程中，结构中难免会产生各类缺陷（如裂纹、孔洞等）。裂纹这类代表性缺陷的存在会影响结构的承载力、适用性和耐久性，甚至可能会造成结构物的垮塌等严重事故。因此，及时发现结构中的裂纹是确保结构安全的关键措施之一。目前，较为常见的裂纹检测和识别方法主要包括人工检测、图像识别法和无损检测技术等，但这些方法存在着一些固有的局限，比如，人工检测费时费力、图像识别法易受环境影响、无损检测技术费用较为昂贵等。近年来，数值技术与人工智能算法的有机结合凭借其高效率、高精度、低成本和适用性强等特点在裂纹识别等反分析问题中得到了广泛的应用。

    基于数值技术和人工智能算法建立的裂纹反演分析模型一般包括正向分析和目标极小化两个部分。正向分析通过各类数值方法获取含裂纹结构中测点的响应值（如位移）；目标极小化则利用相关智能优化算法对正向分析中的一系列输入和响应数据进行处理，据此进一步预测裂纹信息。早期，有限元法[1]和边界元法[2]被广泛地用于裂纹问题的正向分析，这两种数值方法均要求单元边与裂纹几何一致，这导致需要不断进行网格重构以获取不同裂纹形态下的测点响应，大大降低了计算效率。而扩展有限元法 (XFEM)[3]正好可以弥补上述不足，XFEM通过引入非连续位移模式，可在网格固定的情况下改变水平集函数模拟域内不同构型（如不同的缺陷类型、位置、尺寸和数量等）的缺陷，大大降低了正向分析的成本。至今，XFEM已被应用于求解诸多裂纹问题[4-5]。在智能优化算法方面，人工蜂群 (ABC)算法[6]、遗传算法 (GA)[7]和各类人工神经网络算法（如误差反向传播多层前馈（BP）神经网络[8]）等是其中的典型代表。

    国内外已有不少学者结合XFEM与智能优化算法进行了缺陷反演。文献[9]基于XFEM和改进ABC算法对结构内部单个圆形、椭圆形缺陷和两个不规则缺陷进行了反演分析。文献[10]提出了一种基于动态XFEM和改进ABC的多缺陷检测法。为准确检测和识别结构中的裂纹，文献[11]发展了一种基于XFEM和GA的计算工具，文献[12]阐述了XFEM和GA在结构缺陷检测中的实验应用与改进，文献[13]建立了XFEM与GA相结合的缺陷反演分析模型。

    GA是一种全局性概率搜索方法[14]，该算法独立于求解域且具有较强的鲁棒性，但其存在收敛速度慢和局部搜索能力差等问题。作为当前应用最为广泛的神经网络模型之一，BP神经网络具有较强的局部搜索能力，可有效弥补GA的缺点。与此同时，GA的全局随机搜索能力也可防止BP神经网络陷入局部最优，即GA和BP可以实现互补。基于GA-BP开展的研究已有不少[15-16]，但利用XFEM和GA-BP神经网络进行缺陷识别的相关研究工作尚未见报道。为此，本文将XFEM与GA-BP神经网络算法进行有机结合，采用XFEM获得GA-BP神经网络的训练数据，利用GA对BP神经网络的初始权值和阈值进行优化，围绕线弹性断裂力学中的理想化直线裂纹进行反演分析。通过典型算例验证模型的可行性和精度，并进一步探讨输入数据噪声对网络预测结果的影响，为结构中裂纹的快速准确识别提供初步的理论和技术支撑。

    1.   裂纹反演模型简介

    进行裂纹识别时，一般先通过计算模拟或实验器材检测获得结构中某些关键点（即测点）的位移等响应量，在此基础上运用相关方法来反演结构中裂纹的几何信息。以图1给出的双直线裂纹识别问题为例，待反演的参数向量为

    图  1  含裂纹结构及测点示意图
    Figure  1.  Schematic diagram of the structure with cracks and the measuring points
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    $$ {\boldsymbol{\alpha }} = \{ {{\boldsymbol{\alpha }}_1},{{\boldsymbol{\alpha }}_2}\}, $$ (1)
    $$ {{\boldsymbol{\alpha }}_i} = \{ {X_{i1}},{Y_{i1}},{X_{i2}},{Y_{i2}}\} , \qquad i = 1,2 ,$$ (2)

    式中，$ {{\boldsymbol{\alpha }}_i} $为裂纹i待反演的参数向量；$ ({X_{i1}},{Y_{i1}}) $和$ ({X_{i2}},{Y_{i2}}) $分别为裂纹$ i $的起点和终点坐标，裂纹$ i $的两个裂尖均需在结构体范围内。

    相应的目标函数为[17]

    $$ O({\boldsymbol{\alpha }}) = \sum {\frac{{\left\| {{u^{\rm{c}}}({\boldsymbol{\alpha }}) - {u^{\rm{f}}}} \right\|}}{{\left\| {{u^{\rm{f}}}} \right\|}}}, $$ (3)

    式中，$ {u^{\rm{c}}} $为由反演算法得到的测点（参见图1）响应量的估计值，$ {u^{\rm{f}}} $为响应量的真实值。

    因此，裂纹反演分析的主要目的是通过相关方法，在给定的结构体范围内，获取最优的参数向量$ {\widetilde {\boldsymbol{\alpha }}_i} = \{ {\widetilde X_{i1}},{\widetilde Y_{i1}},{\widetilde X_{i2}},{\widetilde Y_{i2}}\} $，使得

    $$ O({\widetilde {\boldsymbol{\alpha }}_i}) \to \min O({\widetilde {\boldsymbol{\alpha }}_i}) {\text{.}}$$ (4)

    2.   XFEM简介

    2.1   裂纹问题的XFEM位移近似函数

    XFEM是在单位分解法[18]和标准有限元法的基础上发展起来的新型数值方法。通过在标准有限元逼近函数中引入裂面改进函数和裂尖改进函数，XFEM可在与裂纹几何不一致的稀疏网格上获得高精度的解答。以各向同性材料中的裂纹问题为例，XFEM的位移近似函数可表示为[18]

    $$ {{\boldsymbol{u}}^h}({\boldsymbol{X}}) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\boldsymbol{N}}_i}} ({\boldsymbol{X}}){{\boldsymbol{u}}_i} + \sum\limits_{j = 1}^S {{{\boldsymbol{N}}_j}} ({\boldsymbol{X}}){{\boldsymbol{H}}_j}({\boldsymbol{X}}){{\boldsymbol{a}}_j} + \sum\limits_{k = 1}^T {{{\boldsymbol{N}}_k}} ({\boldsymbol{X}})\sum\limits_{q = 1}^4 {{\boldsymbol{\varPhi}} _k^l} ({\boldsymbol{X}}){\boldsymbol{b}}_k^q , $$ (5)

    式中，$ {\boldsymbol{X = }}(X,Y) $；$ N,S和T $分别表示单元内的常规结点、裂面改进结点和裂尖改进结点的数目；${{\boldsymbol{N}}}_{i}({\boldsymbol{X}}),{{\boldsymbol{H}}}_{j}({\boldsymbol{X}}) 和{{\boldsymbol{\varPhi}} }_{k}^{l}({\boldsymbol{X}})$$ (l = 1 \sim 4) $分别为与结点$i,j,k$有关的有限元形函数、裂面改进函数和裂尖改进函数[18]；$ {\boldsymbol{u}} $表示结点的常规自由度，$ {\boldsymbol{a}} $为裂面改进结点的附加自由度，$[ {{{\boldsymbol{b}}^1}},{{{\boldsymbol{b}}^2}},{{{\boldsymbol{b}}^3}},{{{\boldsymbol{b}}^4}} ] = {\boldsymbol{b}}$代表裂尖改进结点的附加自由度。

    2.2   XFEM离散方程

    基于已构造的位移近似(式(5))，进一步根据变分原理可导出XFEM求解裂纹问题的总体离散方程为[19]

    $$ {\boldsymbol{KU}} = {\boldsymbol{F}}, $$ (6)

    式中，$ {\boldsymbol{U}} $为结点未知量矩阵；K和F分别为整体刚度矩阵和等效结点荷载列阵，均通过逐单元计算后组装得到，对应的单元刚度矩阵Ke和单元等效结点荷载Fe可表示为

    $$ {\boldsymbol{K}}_{ij}^e = \left( \begin{gathered} k_{ij}^{{\boldsymbol{uu}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{ua}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{ub}}} \\ k_{ij}^{{\boldsymbol{au}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{aa}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{ab}}} \\ k_{ij}^{{\boldsymbol{bu}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{ba}}}\mathop {}\nolimits^{} k_{ij}^{{\boldsymbol{bb}}} \\ \end{gathered} \right), $$ (7)
    $$ {{\boldsymbol{F}}^e} = {\{ f_i^{\boldsymbol{u}},f_i^{\boldsymbol{a}},f_i^{{\boldsymbol{b}}1},f_i^{{\boldsymbol{b}}2},f_i^{{\boldsymbol{b}}3},f_i^{{\boldsymbol{b}}4}\} ^{\rm{T}}}, $$ (8)

    式中

    $$ k_{ij}^{rs} = {\int_\varOmega {({\boldsymbol{B}}_i^r)} ^{\rm{T}}}{\boldsymbol{DB}}_j^s{\rm{d}}\varOmega ,\qquad r,s = {\boldsymbol{u}},{\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}}, $$ (9)
    $$ f_i^{\boldsymbol{u}} = \int_{{\varGamma _t}} {{{\boldsymbol{N}}_i}\overline {\boldsymbol{t}} d\varGamma } + \int_\varOmega {{{\boldsymbol{N}}_i}{\boldsymbol{Q}}{\rm{d}}\varOmega }, $$ (10)
    $$ f_i^{\boldsymbol{a}} = \int_{{\varGamma _t}} {{{\boldsymbol{N}}_i}{{\boldsymbol{H}}_i}\overline {\boldsymbol{t}} d\varGamma } + \int_\varOmega {{{\boldsymbol{N}}_i}{{\boldsymbol{H}}_i}{\boldsymbol{Q}}{\rm{d}}\varOmega } ,$$ (11)
    $$ f_i^{{\boldsymbol{b}}l} = \int_{{\varGamma _t}} {{{\boldsymbol{N}}_i}{\boldsymbol{\varPhi}} _i^l\overline {\boldsymbol{t}} {\rm{d}}\varGamma } + \int_\varOmega {{{\boldsymbol{N}}_i}{\boldsymbol{\varPhi}} _i^l{\boldsymbol{Q}}{\rm{d}}\varOmega },\qquad l = 1,2,3,4, $$ (12)

    式中，D为弹性矩阵；$\varOmega ,{\varGamma _t}$分别表示单元$e$对应的离散域和外力边界；$ \overline {\boldsymbol{t}} $和$ {\boldsymbol{Q}} $分别为面力和体力；$ {\boldsymbol{B}}_i^r\;(r = {\boldsymbol{u}},\;{\boldsymbol{a}},\;{\boldsymbol{b}}) $的具体形式见文献[18]。

    3.   GA-BP神经网络算法

    BP神经网络是一种信号前向传播、误差反向传递的多层前馈网络[8]。它主要由一个输入层、一个或多个隐藏层以及一个输出层构成。BP神经网络是目前应用最广泛的神经网络模型之一、具有较强的非线性映射能力、自学习和自适应能力、泛化能力以及容错能力，主要缺点则包括易陷入局部极小化、收敛速度较慢以及网络结构选择不一等[20]。GA是一种全局随机搜索优化计算技术[21]，其基本原理可以总结为“优胜劣汰”四个字，主要优点有：①适用于复杂的优化问题且可获取优化问题的全局最优解；②算法独立于求解域；③具有较强的鲁棒性；其不足之处主要表现在收敛速度慢、局部搜索能力差和需要控制的变量多。

    为了提高BP网络的收敛速度和降低陷入局部最优的可能性，本文采用GA对BP神经网络的初始权值和阈值进行优化，算法的总体实现框架见图2。

    图  2  GA优化BP神经网络的流程图
    Figure  2.  The flow chart of the BP neural network optimized by GA
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    3.1   确定BP神经网络的结构

    为建立裂纹检测识别模型，首先需要确定BP神经网络的结构。图3给出了一个3层BP神经网络的结构模型，其中${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}$为BP神经网络的输入层节点，${h_1},{h_2}, \cdots ,{h_p}$为隐藏层节点，${y_1},{y_2}, \cdots ,{y_n}$为输出层节点；$ {w_{ij}},{w_{jk}} $分别为输入层与隐藏层、隐藏层与输出层之间的连接权值；$ {\theta _j},{\theta _k} $分别为隐藏层和输出层的阈值。将XFEM得到的测点位移响应量作为输入变量，输入层为m个神经元；裂尖坐标值作为输出变量，输出层为n个神经元；隐藏层神经元个数p由经验公式$ p = \sqrt {m + n} + C $（$ C $为1 ~ 10的常数）确定[22]，据此最终确定BP神经网络的结构为m-p-n。

    图  3  BP神经网络的结构模型
    Figure  3.  The structure of the BP neural network
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    3.2   基于GA对BP神经网络的初始权值和阈值进行优化

    基于GA优化BP神经网络的具体计算过程为[20]：

    ① 初始值编码。首先采用实数编码法对BP神经网络的初始权值和阈值进行编码，个体编码的长度计算公式为

    $$ L = mp + p + pn + n{\text{.}} $$ (13)

    ② 确定适应度函数。采用BP神经网络的训练输出值与期望输出值误差平方和的倒数作为个体i的适应度函数$ {F_i} $，即

    $$ {F_i} = {1 \left/ {\sum\limits_{i = 1}^M {{{({y_i} - {o_i})}^2}} }\right.} ,$$ (14)

    式中，M为训练集中的样本数，$ {y_i} $为训练输出值，$ {o_i} $为期望输出值。

    ③ 选择运算。采用轮盘赌法进行选择运算，个体i被选中的概率$ {P_i} $为

    $$ {P_i} = \frac{{{F_i}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^T {{F_i}} }} {\text{.}}$$ (15)

    ④ 交叉运算。采用实数交叉法进行交叉运算，其计算公式为

    $$ \left\{ \begin{aligned} & {g_1} = a{f_1} + (1 - a){f_2} , \\ & {g_2} = a{f_2} + (1 - a){f_1} , \end{aligned}\right. $$ (16)

    式中，$ {f}_{1},{f}_{2} $分别为父代的两个个体，$ {g}_{1},{g}_{2} $分别为子代的两个个体，a为[0,1]之间的随机数。

    ⑤ 变异运算。对基因$ {g_{ij}} $进行变异操作的计算公式为

    $$ {g_{ij}} = \left\{ \begin{aligned} & {g_{ij}} + ({g_{ij}} - {g_{\max }}){r_1}(1 - {s \mathord{\left/ {\vphantom {s {{s_{\max }}}}} \right. } {{s_{\max }}}}),\qquad {r_2} \geqslant 0.5, \\ & {g_{ij}} + ({g_{\min }} - {g_{ij}}){r_1}(1 - {s \mathord{\left/ {\vphantom {s {{s_{\max }}}}} \right. } {{s_{\max }}}}), \qquad {r_2} < 0.5, \\ \end{aligned} \right. $$ (17)

    式中，$ {g_{\max }},{g_{\min }} $分别为基因$g_{i,j} $的上界和下界，s为当前迭代次数，$ {s_{\max }} $为最大迭代次数，$ {r_1},{r_2} $为[0,1]间的随机数。

    按照所选择的适应度函数并通过遗传中的选择、交叉和变异对个体进行筛选，使适应度好的个体保留下来。通过反复循环，将种群中最终得到的最优个体作为BP神经网络的最优权值和阈值。

    3.3   计算BP网络的训练误差

    将GA算法得到的最优个体赋值为BP神经网络的初始权值和阈值，利用训练样本对网络进行训练，其中隐藏层和输出层的输出计算分别为

    $$ {h_j} = f\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {{w_{ij}}{x_i} - {\theta _j}} } \right) ,$$ (18)
    $$ {y_k} = f\left( {\sum\limits_{j = 1}^p {{w_{jk}}{h_j} - {\theta _k}} } \right) ,$$ (19)

    式中，$ {h_j} $为第j个隐藏层神经元的输出；$ {y_k} $为第k个输出层神经元的输出；f是激活函数，本文取单极性sigmoid函数。

    据此可得BP网络输出与期望输出之间的误差$ {e_k} $：

    $$ {e_k} = ({y_k} - {o_k})/{o_k}, $$ (20)

    式中，$ {o_k} $为第k个输出层神经元的期望输出。

    3.4   判断迭代是否结束

    判断式(20)得到的误差是否满足精度要求。若满足，则网络迭代结束，据此可开展裂纹识别；若不满足，可参考文献[20]对权值和阈值进行更新，并通过式(18)～(20)重新计算网络的训练误差，如此循环直至满足精度要求。

    4.   XFEM与GA-BP神经网络的实现

    本文运用XFEM与GA-BP神经网络算法进行裂纹反演分析。该方法主要包括两部分：一部分是运用XFEM进行正向分析以获取测点的位移响应量，另一部分则是利用测点位移数据对GA-BP神经网络进行训练并据此识别裂纹几何参数。方法的主要实现流程如图4所示。

    图  4  XFEM与GA-BP神经网络算法开展裂纹识别的流程图
    Figure  4.  The flow chart of crack identification based on the XFEM and the GA-BP neural network algorithm
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    5.   算 例 分 析

    5.1   矩形板内的单边水平裂纹识别

    如图5所示，矩形板高$ H = 6\;{\text{m}} $，宽$ W = 2\;{\text{m}} $，板左侧在距板上边缘$ {H \mathord{\left/ {\vphantom {H 2}} \right. } 2} $处有一长度为$ a $的单边水平裂纹。板顶部受到$\sigma = 1\;{\text{MPa}}$的拉应力作用，板底边的竖向位移和底边左端的水平位移均为零。弹性模量$E{\text{ = }}2.1 \times {10^{11}}\;{\text{Pa}}$，Poisson比$ \nu {\text{ = }}0.3 $，按平面应变进行分析。式(20)中的误差$ {e_k} $取为10−7。

    图  5  单向拉伸作用下含单边裂纹的矩形板
    Figure  5.  A rectangular plate with an edge crack under uniaxial tension
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    5.1.1   XFEM精度验证

    通过校核应力强度因子的求解精度来测试XFEM的正向分析精度。分别基于4种由四结点矩形单元组成的网格对a=0.7 m的裂纹进行模拟（单元数量分别为120，435，780和1540，相应的离散域见图6）。表1给出了裂尖A的XFEM仿真结果及相应的参考解[23]，括号内是相对误差，可以看出随着网格的加密，XFEM解逐渐趋于参考解，很好地展示了该方法的收敛性。

    图  6  XFEM网格：(a) 120个单元； (b) 435个单元； (c) 780个单元； (d) 1 540个单元
    Figure  6.  XFEM meshes: (a) 120 elements; (b) 435 elements; (c) 780 elements; (d) 1 540 elements
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    表  1  不同网格下的$ {K_{\rm I}} $(单位：MPa·m1/2)
    Table  1.  $ {K_{\rm I}} $ for different meshes (unit: MPa·m1/2)
    XFEM solutionreference solution
    120 elements435 elements780 elements1540 elements
    2.5743
    （6.86%）    		2.6801
    （3.03%）    		2.7209
    （1.55%）    		2.7224
    （1.50%）    		2.7639
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    5.1.2   GA-BP神经网络的训练和预测结果

    1) 网络的训练

    网络的输入数据为XFEM模拟得到的测点位移值，输出数据为裂尖A的X坐标（即XA）。XFEM仿真时采用图6(c)的网格对裂纹长度取0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m等10种情况进行模拟。首先按图7(a)的方式布置14个测点，各测点的坐标值列于表2。据此，BP神经网络的输入层、隐藏层和输出层的神经元个数分别取为14，4和1；此外，GA中种群的最大迭代次数为50，种群规模为20，种群的交叉概率为0.5，变异概率为0.1。为验证GA-BP神经网络的可靠性，采用训练数据进行裂尖坐标预测，相关结果见表3，可以看出，对给定的10种裂纹构型，该网络的预测精度都很高。

    图  7  测点布置方案：(a) 方案1，14个测点； (b) 方案2，12个测点； (c) 方案3，10个测点； (d) 方案4，8个测点；(e) 方案5，6个测点； (f) 方案6，4个测点
    Figure  7.  Layouts of measuring points: (a) scheme 1, 14 points; (b) scheme 2, 12 points; (c) scheme 3, 10 points; (d) scheme 4, 8 points; (e) scheme 5, 6 points; (f) scheme 6, 4 points
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    表  2  测点坐标
    Table  2.  Coordinates of measuring points
    numberXYnumberXY
    10.00000.769281.30006.0000
    20.00001.538592.00005.2308
    30.00002.3077102.00004.4615
    40.00003.6923112.00003.6923
    50.00004.4615122.00002.3077
    60.00005.2308132.00001.5385
    70.70006.0000142.00000.7692
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    表  3  GA-BP神经网络对XA的训练输出结果
    Table  3.  Training results of the GA-BP neural network for XA
    crack length a/mtrue XAtraining XArelative error ek/%
    0.50.50000.50571.14
    0.60.60000.60040.07
    0.70.70000.6991−0.13
    0.80.80000.7996−0.05
    0.90.90000.90030.03
    1.01.00001.00040.04
    1.11.10001.0999−0.01
    1.21.20001.1994−0.05
    1.31.30001.2999−0.01
    1.41.40001.40100.07
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    2) 网络的预测精度

    裂纹长度先后取0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m，1.5 m等11种情况，对每种情形，分别基于XFEM并按图7所示的6种测点布置方案获取对应的位移值。网络搭建时，采用a=0.5 m，0.6 m，0.7 m，···，1.4 m等10种情形对应的结果作为训练数据，并分别基于搭建好的GA-BP神经网络和传统BP神经网络模型（神经网络的结构相同）预测裂尖的坐标值，即将a=1.5 m时的测点位移值作为网络的输入数据以预测XA。相关结果列于表4。可以看出，GA-BP神经网络预测的最大相对误差为2.16%，而传统BP神经网络预测的最大相对误差为6.51%，且同等情况下GA-BP神经网络模型的预测精度大体上高于传统BP神经网络，很好地展示了本文方法的优越性。此外，从表4还可以看出，在6个测点布置方案中，传统BP神经网络预测时方案2的效果最佳，而GA-BP神经网络预测时方案3和方案5的效果最佳。在GA-BP神经网络预测的情况下，可发现方案1胜于方案2，方案3胜于方案4，方案5胜于方案6，由此可见，矩形板上边缘的测点有利于结构内部裂纹的检测识别，这主要是因为板顶部距有位移约束的板底较远，其上各点的变形对裂纹构型变化的敏感度更大。

    表  4  BP与GA-BP神经网络预测的XA值
    Table  4.  Prediction of XA by BP and GA-BP neural networks
    layout scheme of
    measuring points    		number of
    measuring points    		number of hidden
    layer neurons    		true XABP prediction
    XA    		relative error
    ek/%    		GA-BP prediction
    XA    		relative error
    ek/%
    11441.50001.47561.631.49580.28
    21241.49680.211.48620.92
    31081.59776.511.49790.14
    4841.49110.591.48371.08
    5631.52101.401.49790.14
    6431.55183.451.46762.16
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    为了测试GA-BP神经网络的稳定性，进一步对由XFEM模拟获得的输入数据添加噪声，即

    $$ {{\boldsymbol{u}}_{{\text{input}}}} = {{\boldsymbol{u}}_{{\text{XFEM}}}}(1 + \delta ) ,$$ (21)

    其中，${{\boldsymbol{u}}_{{\text{input}}}}$为GA-BP神经网络的输入数据（即输入的测点位移值），${{\boldsymbol{u}}_{{\text{XFEM}}}}$为XFEM正向分析获得的测点位移值，$\delta $为噪声的大小（百分比）。

    图8给出了$\delta $分别取1%，2%，5%和10%时XA预测的相对误差绝对值随噪声值的变化情况（测点按图7方案5布置，隐藏层神经元数量取3）。可以看出，随着噪声值的增加，裂尖位置预测的相对误差逐渐增大。此外，还可发现当噪声强度等级不超过10%时，XA预测的相对误差均小于1%，表明搭建的GA-BP神经网络具有较好的容噪性和鲁棒性。

    图  8  不同噪声下XA预测的相对误差绝对值
    Figure  8.  Absolute values of relative errors of predicted XA under various noises
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    5.2   方板中的内嵌双斜裂纹识别

    如图9所示，方板边长L=2 m，两条裂纹的长度均为a（单位 m），裂纹与水平方向夹角均为$\beta = {45^ \circ }$，裂纹中心点至板左右两侧的距离$b = 0.7\;{\text{m}}$，其他条件与5.1小节相同。

    图  9  单向拉伸荷载作用下含双斜裂纹的方板
    Figure  9.  A square plate with two inclined cracks under uniaxial tension
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    5.2.1   GA-BP神经网络的训练和预测结果

    1) 网络的训练

    网络的输入数据仍采用XFEM模拟得到的测点位移值，输出数据为裂尖A、B、C、D的坐标，即(XA, YA)、(XB, YB)、(XC, YC)和(XD, YD)。XFEM仿真时采用图10的网格，裂纹长度先后取0.500 m，0.528 m，0.556 m，0.585 m，0.613 m，0.641 m，0.670 m和0.698 m，12个测点的布置如图10所示。据此，BP神经网络的输入层、隐藏层和输出层的神经元个数分别取为12，4和4；GA中种群的最大迭代次数为50，种群规模为20，种群的交叉概率为0.5，变异概率为0.1。为验证网络的可靠性，采用训练数据进行裂尖坐标预测，相关结果见表5 ~ 8。可以看出，对给定的8种裂纹尺寸，该网络的预测精度都很高。

    表  6  GA-BP神经网络对裂尖B坐标的训练值
    Table  6.  Training coordinates of crack tip B by the GA-BP neural network
    crack length a/mtrue XBtraining XBtrue YBtraining YB
    0.5000.87680.87691.67681.6806
    0.5280.88680.88731.68681.6913
    0.5560.89680.89531.69681.6974
    0.5850.90680.90841.70681.7109
    0.6130.91680.91701.71681.7218
    0.6410.92680.92571.72681.7299
    0.6700.93680.93801.73681.7406
    0.6980.94680.94621.74681.7449
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    表  7  GA-BP神经网络对裂尖C坐标的训练值
    Table  7.  Training coordinates of crack tip C by the GA-BP neural network
    crack length a/mtrue XCtraining XCtrue YCtraining YC
    0.5001.12321.12360.67680.6744
    0.5281.11321.11280.68680.6841
    0.5561.10321.10460.69680.6941
    0.5851.09321.09100.70680.7027
    0.6131.08321.08260.71680.7121
    0.6411.07321.07390.72680.7225
    0.6701.06321.06200.73680.7329
    0.6981.05321.05430.74680.7438
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    图  10  XFEM网格和测点布置 (a=0.5 m)
    Figure  10.  The XFEM mesh and measuring points (a=0.5 m)
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    2) 网络的预测精度

    基于已经搭建好的GA-BP神经网络和传统BP神经网络，将a=0.726 m，0.755 m和0.783 m时由XFEM得到的测点位移作为输入数据，分别预测各裂尖的坐标值，相应的结果见表9和10。可以看出，除个别情况（a= 0.783 m时的YC）传统BP神经网络的预测精度稍高外，GA-BP神经网络的预测结果与实际值均更吻合，可见本文搭建的GA-BP神经网络较传统的BP神经网络总体上拟合度更高、误差更小、更有利于结构内部裂纹的定位识别。

    表  5  GA-BP神经网络对裂尖A坐标的训练值
    Table  5.  Training coordinates of crack tip A by the GA-BP neural network
    crack length a/mtrue XAtraining XAtrue YAtraining YA
    0.5000.52320.52381.32321.3194
    0.5280.51320.51271.31321.3088
    0.5560.50320.50441.30321.3031
    0.5850.49320.49061.29321.2893
    0.6130.48320.48231.28321.2783
    0.6410.47320.47381.27321.2703
    0.6700.46320.46221.26321.2594
    0.6980.45320.45491.25321.2556
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    表  8  GA-BP神经网络对裂尖D坐标的训练值
    Table  8.  Training coordinates of crack tip D by the GA-BP neural network
    crack length a/mtrue XDtraining XDtrue YDtraining YD
    0.5001.47681.47480.32320.3258
    0.5281.48681.48720.31320.3160
    0.5561.49681.49620.30320.3049
    0.5851.50681.51130.29320.2971
    0.6131.51681.51920.28320.2879
    0.6411.52681.52720.27320.2772
    0.6701.53681.53770.26320.2671
    0.6981.54681.54330.25320.2553
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    表  9  BP与GA-BP神经网络对裂尖A、B的预测值
    Table  9.  Prediction of crack tips A and B by BP and GA-BP neural networks
    crack length a/mXArelative error ek/%YArelative error ek/%XBrelative error ek/%YBrelative error ek/%
    0.726true value0.4432−1.2432−0.9568−1.7568−
    BP0.44650.741.24910.470.95580.111.75150.30
    GA-BP0.44350.071.24330.010.95640.041.75660.01
    0.755true value0.4332−1.2332−0.9668−1.7668−
    BP0.44111.821.25341.640.96370.321.74821.05
    GA-BP0.43450.291.23360.030.96580.101.76630.03
    0.783true value0.4232−1.2232−0.9768−1.7768−
    BP0.43502.791.25292.430.97290.401.74921.55
    GA-BP0.42640.771.22480.130.97390.301.77500.10
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    表  10  BP与GA-BP神经网络对裂尖C、D的预测值
    Table  10.  Prediction of crack tips C and D by BP and GA-BP neural networks
    crack length a/mXCrelative error ek/%YCrelative error ek/%XDrelative error ek/%YDrelative error ek/%
    0.726true value1.0432−0.7568−1.5568−0.2432−
    BP1.04540.220.75410.361.54920.490.24460.56
    GA-BP1.04360.040.75670.021.55630.030.24330.05
    0.755true value1.0332−0.7668−1.5668−0.2332−
    BP1.03900.560.76560.161.54951.110.23061.10
    GA-BP1.03420.100.76640.051.56580.060.23360.17
    0.783true value1.0232−0.7768−1.5768−0.2232−
    BP1.03180.840.77530.191.54921.750.21961.59
    GA-BP1.02620.290.77520.211.57390.190.22480.72
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    为进一步测试网络的鲁棒性，仍然对输入数据添加噪声。真实裂纹长度依次取0.726 m，0.755 m和0.783 m，图11和12给出了噪声值依次取1%，2%，5%和10%时4个裂尖坐标相对误差的绝对值。可以看出，随着噪声强度等级的增加网络预测的相对误差也逐渐增大。此外，在同一裂纹长度和同一噪声值下，裂尖A的误差大都大于裂尖B，XC的误差也基本大于XD，而YC的误差则小于YD。当噪声强度不超过5%时，预测结果的误差均在10%以内且绝大部分小于5%，当噪声强度为10%时，绝大部分误差在8%以内，表明搭建的网络具有较好的鲁棒性。此外，由图12可以看出，对于三种裂纹长度，YD的预测误差均明显大于其他情况，这主要与裂尖D的位置和测点分布有关，由于该裂尖靠近板底部，而板底部所有点的Y向位移均为零，致使该裂尖附近区域点（含部分测点）的纵向位移对外载和裂纹长度变化的响应不明显，从而导致预测精度的退化。此外，还可以看出4个裂尖的X坐标的预测精度总体较Y坐标的更高，这主要与整块板仅左下角点处存在水平位移约束有关；而对裂尖D，由于其距水平约束点最远，相较于其他裂尖，D点附近区域点的水平位移受该约束的影响最小，进而使得相关的响应对裂纹构型的变化更敏感，因而XD的预测精度整体来说较其他裂尖的对应值更高。

    图  11  不同噪声下，XA，XB，XC和XD预测值的相对误差绝对值
    Figure  11.  Absolute values of relative errors of predicted XA, XB, XC and XD under different noises
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    图  12  不同噪声下，YA，YB，YC和YD预测值的相对误差绝对值
    Figure  12.  Absolute values of relative errors of predicted YA, YB, YC and YD under different noises
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    6.   结　　论

    通过在标准有限元的框架内引入裂面和裂尖改进函数，XFEM可使用固定网格对不断变化的裂纹构型进行高精度模拟。GA是一种独立于求解域且具有较强鲁棒性的全局性概率搜索方法，BP神经网络优化算法则具有较强的非线性映射能力和局部搜索能力。本文结合了三者的优点，基于XFEM获取网络训练数据，利用GA对BP神经网络的初始权值和阈值进行优化，建立了用于结构内部直线裂纹反演分析的XFEM与GA-BP神经网络方法。在给出XFEM、GA和BP神经网络基本原理的基础上，重点阐述了GA优化BP的结合策略和计算过程，最后通过两个典型算例对其精度和鲁棒性等进行了验证，并探讨了网格密度、测点布置和输入数据噪声等因素对精度的影响。结果表明，XFEM正向分析的精度、GA-BP神经网络的裂纹识别精度及鲁棒性均较好。另外，与传统的BP神经网络对比，本文搭建的GA-BP神经网络的预测精度普遍更高。

    需要说明的是，本文基于经典的线弹性断裂力学模型开展分析，选用了较简单的裂纹构型（如单直线和双直线裂纹等）进行反演分析。但就方法本身而言，本文的工作可以推广至更复杂的如多裂纹、分支、交叉和曲线裂纹等的预测工作中。在现有工作的基础上，后期我们将进一步围绕更复杂更贴合实际的裂纹开展更深入的研究工作。

  • 图  1  含裂纹结构及测点示意图

    Figure  1.  Schematic diagram of the structure with cracks and the measuring points

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    图  2  GA优化BP神经网络的流程图

    Figure  2.  The flow chart of the BP neural network optimized by GA

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    图  3  BP神经网络的结构模型

    Figure  3.  The structure of the BP neural network

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    图  4  XFEM与GA-BP神经网络算法开展裂纹识别的流程图

    Figure  4.  The flow chart of crack identification based on the XFEM and the GA-BP neural network algorithm

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    图  5  单向拉伸作用下含单边裂纹的矩形板

    Figure  5.  A rectangular plate with an edge crack under uniaxial tension

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    图  6  XFEM网格：(a) 120个单元； (b) 435个单元； (c) 780个单元； (d) 1 540个单元

    Figure  6.  XFEM meshes: (a) 120 elements; (b) 435 elements; (c) 780 elements; (d) 1 540 elements

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    图  7  测点布置方案：(a) 方案1，14个测点； (b) 方案2，12个测点； (c) 方案3，10个测点； (d) 方案4，8个测点；(e) 方案5，6个测点； (f) 方案6，4个测点

    Figure  7.  Layouts of measuring points: (a) scheme 1, 14 points; (b) scheme 2, 12 points; (c) scheme 3, 10 points; (d) scheme 4, 8 points; (e) scheme 5, 6 points; (f) scheme 6, 4 points

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    图  8  不同噪声下XA预测的相对误差绝对值

    Figure  8.  Absolute values of relative errors of predicted XA under various noises

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    图  9  单向拉伸荷载作用下含双斜裂纹的方板

    Figure  9.  A square plate with two inclined cracks under uniaxial tension

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    图  10  XFEM网格和测点布置 (a=0.5 m)

    Figure  10.  The XFEM mesh and measuring points (a=0.5 m)

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    图  11  不同噪声下，XA，XB，XC和XD预测值的相对误差绝对值

    Figure  11.  Absolute values of relative errors of predicted XA, XB, XC and XD under different noises

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    图  12  不同噪声下，YA，YB，YC和YD预测值的相对误差绝对值

    Figure  12.  Absolute values of relative errors of predicted YA, YB, YC and YD under different noises

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    表  1  不同网格下的$ {K_{\rm I}} $(单位：MPa·m1/2)

    Table  1.   $ {K_{\rm I}} $ for different meshes (unit: MPa·m1/2)

    XFEM solutionreference solution
    120 elements435 elements780 elements1540 elements
    2.5743
    （6.86%）    		2.6801
    （3.03%）    		2.7209
    （1.55%）    		2.7224
    （1.50%）    		2.7639
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    表  2  测点坐标

    Table  2.   Coordinates of measuring points

    numberXYnumberXY
    10.00000.769281.30006.0000
    20.00001.538592.00005.2308
    30.00002.3077102.00004.4615
    40.00003.6923112.00003.6923
    50.00004.4615122.00002.3077
    60.00005.2308132.00001.5385
    70.70006.0000142.00000.7692
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    表  3  GA-BP神经网络对XA的训练输出结果

    Table  3.   Training results of the GA-BP neural network for XA

    crack length a/mtrue XAtraining XArelative error ek/%
    0.50.50000.50571.14
    0.60.60000.60040.07
    0.70.70000.6991−0.13
    0.80.80000.7996−0.05
    0.90.90000.90030.03
    1.01.00001.00040.04
    1.11.10001.0999−0.01
    1.21.20001.1994−0.05
    1.31.30001.2999−0.01
    1.41.40001.40100.07
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    表  4  BP与GA-BP神经网络预测的XA值

    Table  4.   Prediction of XA by BP and GA-BP neural networks

    layout scheme of
    measuring points    		number of
    measuring points    		number of hidden
    layer neurons    		true XABP prediction
    XA    		relative error
    ek/%    		GA-BP prediction
    XA    		relative error
    ek/%
    11441.50001.47561.631.49580.28
    21241.49680.211.48620.92
    31081.59776.511.49790.14
    4841.49110.591.48371.08
    5631.52101.401.49790.14
    6431.55183.451.46762.16
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    表  6  GA-BP神经网络对裂尖B坐标的训练值

    Table  6.   Training coordinates of crack tip B by the GA-BP neural network

    crack length a/mtrue XBtraining XBtrue YBtraining YB
    0.5000.87680.87691.67681.6806
    0.5280.88680.88731.68681.6913
    0.5560.89680.89531.69681.6974
    0.5850.90680.90841.70681.7109
    0.6130.91680.91701.71681.7218
    0.6410.92680.92571.72681.7299
    0.6700.93680.93801.73681.7406
    0.6980.94680.94621.74681.7449
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    表  7  GA-BP神经网络对裂尖C坐标的训练值

    Table  7.   Training coordinates of crack tip C by the GA-BP neural network

    crack length a/mtrue XCtraining XCtrue YCtraining YC
    0.5001.12321.12360.67680.6744
    0.5281.11321.11280.68680.6841
    0.5561.10321.10460.69680.6941
    0.5851.09321.09100.70680.7027
    0.6131.08321.08260.71680.7121
    0.6411.07321.07390.72680.7225
    0.6701.06321.06200.73680.7329
    0.6981.05321.05430.74680.7438
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    表  5  GA-BP神经网络对裂尖A坐标的训练值

    Table  5.   Training coordinates of crack tip A by the GA-BP neural network

    crack length a/mtrue XAtraining XAtrue YAtraining YA
    0.5000.52320.52381.32321.3194
    0.5280.51320.51271.31321.3088
    0.5560.50320.50441.30321.3031
    0.5850.49320.49061.29321.2893
    0.6130.48320.48231.28321.2783
    0.6410.47320.47381.27321.2703
    0.6700.46320.46221.26321.2594
    0.6980.45320.45491.25321.2556
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    表  8  GA-BP神经网络对裂尖D坐标的训练值

    Table  8.   Training coordinates of crack tip D by the GA-BP neural network

    crack length a/mtrue XDtraining XDtrue YDtraining YD
    0.5001.47681.47480.32320.3258
    0.5281.48681.48720.31320.3160
    0.5561.49681.49620.30320.3049
    0.5851.50681.51130.29320.2971
    0.6131.51681.51920.28320.2879
    0.6411.52681.52720.27320.2772
    0.6701.53681.53770.26320.2671
    0.6981.54681.54330.25320.2553
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    表  9  BP与GA-BP神经网络对裂尖A、B的预测值

    Table  9.   Prediction of crack tips A and B by BP and GA-BP neural networks

    crack length a/mXArelative error ek/%YArelative error ek/%XBrelative error ek/%YBrelative error ek/%
    0.726true value0.4432−1.2432−0.9568−1.7568−
    BP0.44650.741.24910.470.95580.111.75150.30
    GA-BP0.44350.071.24330.010.95640.041.75660.01
    0.755true value0.4332−1.2332−0.9668−1.7668−
    BP0.44111.821.25341.640.96370.321.74821.05
    GA-BP0.43450.291.23360.030.96580.101.76630.03
    0.783true value0.4232−1.2232−0.9768−1.7768−
    BP0.43502.791.25292.430.97290.401.74921.55
    GA-BP0.42640.771.22480.130.97390.301.77500.10
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    表  10  BP与GA-BP神经网络对裂尖C、D的预测值

    Table  10.   Prediction of crack tips C and D by BP and GA-BP neural networks

    crack length a/mXCrelative error ek/%YCrelative error ek/%XDrelative error ek/%YDrelative error ek/%
    0.726true value1.0432−0.7568−1.5568−0.2432−
    BP1.04540.220.75410.361.54920.490.24460.56
    GA-BP1.04360.040.75670.021.55630.030.24330.05
    0.755true value1.0332−0.7668−1.5668−0.2332−
    BP1.03900.560.76560.161.54951.110.23061.10
    GA-BP1.03420.100.76640.051.56580.060.23360.17
    0.783true value1.0232−0.7768−1.5768−0.2232−
    BP1.03180.840.77530.191.54921.750.21961.59
    GA-BP1.02620.290.77520.211.57390.190.22480.72
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-08-25
  • 录用日期:  2022-02-01
  • 修回日期:  2021-12-20
  • 网络出版日期:  2022-10-15
  • 刊出日期:  2022-11-30

目录

摘要
HTML全文

  • 引　　言

  • 1.   裂纹反演模型简介

  • 2.   XFEM简介

  • 2.1   裂纹问题的XFEM位移近似函数

  • 2.2   XFEM离散方程

  • 3.   GA-BP神经网络算法

  • 3.1   确定BP神经网络的结构

  • 3.2   基于GA对BP神经网络的初始权值和阈值进行优化

  • 3.3   计算BP网络的训练误差

  • 3.4   判断迭代是否结束

  • 4.   XFEM与GA-BP神经网络的实现

  • 5.   算 例 分 析

  • 5.1   矩形板内的单边水平裂纹识别

  • 5.2   方板中的内嵌双斜裂纹识别

  • 6.   结　　论

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