由于具有高比强、高比刚度等优点，多孔结构在土木工程、机械工程和航天航空工程等领域得到了广泛应用。在随机动力荷载作用下多孔结构的随机响应分析是值得关注的研究方向之一。采用多尺度渐近均匀化法，推导了周期性多孔结构动力问题的多尺度控制微分方程，并建立了多孔结构宏观和细观动力响应的时域显式表达式。在此基础上，结合结构随机振动时域显式法，实现了非平稳随机激励下多孔结构动力响应统计矩的计算。所提出的渐近均匀化-时域显式法，一方面可以发挥多尺度动力分析渐近均匀化法的计算优势，高效建立多孔结构宏观和细观动力响应的时域显式表达式；另一方面也可以利用随机振动时域显式法的计算特点，快速精确地求解非平稳随机激励下多孔结构的随机振动问题。通过数值算例，验证了所提方法在多孔结构非平稳随机振动问题求解中的计算精度和计算效率。

基于凹角蜂窝的负Poisson比拉胀效应，对其屈曲力学性能进行了有限元仿真分析，得出区别于传统正六边形蜂窝结构的两种屈曲模态。为了研究这两种屈曲模态的屈曲强度以及产生机理，采用梁柱理论对其进行了理论分析。根据梁-柱方程和平衡关系建立包含杆端弯矩和杆端转角的方程组，利用屈曲临界条件建立稳定方程，得到屈曲强度的解析表达式。采用增材制造技术打印凹角蜂窝试件，对其屈曲性能进行实验验证。结果表明，双轴加载条件的不同会引起屈曲模态的显著变化；区别于传统蜂窝结构，凹角蜂窝的负Poisson比拉胀效应使其在双轴受拉状态下发生屈曲失稳；双轴应力状态下的屈曲失效界面分析获得了典型的屈曲分岔现象。这项研究对凹角蜂窝因失稳而破坏以及利用凹角蜂窝失稳实现特殊力学性能的研究具有一定的指导意义。

通过经典的弹性矩形薄板，研究了小波Galerkin法(WGM)在非线性屈曲问题数值求解方面的应用。首先，介绍了基于小波Galerkin法的von Kármán方程离散格式，然后提出了离散方程Jacobi矩阵和Hesse矩阵的一个简便计算方法，并讨论了基于小波离散格式的特征方程法、扩展方程法和伪弧长法等非线性屈曲分析方法。其次，较为详细地分析了弹性矩形薄板的二次屈曲平衡路径以及长宽比、边界条件和双向压缩对波形跳跃的影响。数值结果表明，小波Galerkin法在求解矩形板屈曲临界载荷时仍然有良好的收敛性，所获结果与稳定性实验、二次摄动法和非线性有限单元法的结果也非常一致，而结合不同分岔计算方法的可行性，更使其可为典型板壳的复杂非线性稳定性问题提供一种高效的空间离散方法。

回火是影响燃气轮机等动力设备正常运行的关键性问题，边界层回火作为引发回火的主要机理之一，对燃气轮机燃烧室等燃烧装置的设计与运行有着重要影响。自1945年Lewis等提出关于边界层回火的临界梯度模型以来，针对边界层回火，相继发展了Peclet数模型、Damköhler数模型和火焰角度理论等理论模型，但上述理论模型各有不足之处，直到目前，边界层回火的理论模型仍处于持续的发展与完善之中。该文回顾了边界层回火的提出及研究历史，以理论模型建立时间的先后为序，阐释了各理论模型的建立背景、针对性和不足之处，并综述了近年来边界层回火理论模型的发展现状和研究进展，特别是应用数值模拟和统计分析等新方法开展边界层回火研究所取得的进展，进而提出了当前及未来燃烧边界层回火的理论研究方向和突破点。

该文以端部旋转的圆柱形容器内的Stokes流为研究对象，根据流动的特点，将轴向坐标模拟为时间，则问题归结为Hamilton对偶方程的本征值和本征解问题。利用本征解空间的完备性和本征解之间的共轭辛正交关系，给出了问题解的展开形式，并建立了展开系数的数值求解方法。采用该方法研究了单端旋转、两端以相同或相反角速度旋转时不同外形比(容器的高度与半径之比)时圆柱形容器内流动速度和应力的分布情况，展示了不同边界条件下流场的一些特点。

该文利用数值方法模拟了封闭腔体的排液流动，获取了排液孔的流量系数。通过量纲分析法研究了小孔流量系数的主要影响因素，拟合了计算小孔流量系数的经验公式。结果表明：当水头高度小于200 mm时，小孔流量系数随水头高度的增加而减小；当水头高度大于200 mm时，小孔流量系数稳定在0.61附近。不同厚径比的小孔流量系数表现为两种不同的形式：小厚径比的小孔呈现薄孔流动特性，流量系数为0.6左右；大厚径比的小孔呈现厚孔流动特性，流量系数为0.8左右。

该文基于“相对运动模型”对高Re数层流管道中颗粒的惯性聚集特性进行了数值模拟。为了解决高Re数流长管道问题，对管道进、出口施加了周期性边界条件。研究结果表明，采用周期性边界条件可以有效地减小计算域，选用L=4D的管道便可计算出高Re数管流中颗粒的受力特性。与低Re数不同的是：随着Re数的不断增大，颗粒在径向上的升力不再呈类抛物线分布，升力曲线在r ⁺ =0.5 ~ 0.7之间出现一个下凹的区域，在这个区域内有出现新聚集点的趋势，并且用a ⁺ =1/17的颗粒在Re>1 000时得到了这个新聚集点的位置。此外，通过对流场进行分析，发现颗粒的周围有二次流产生，其强度随着Re数的增大以及颗粒向壁面靠近逐渐增强，而二次流的产生影响了颗粒升力空间分布。

采用PDE灵敏度滤波器可以消除连续体结构拓扑优化结果存在的棋盘格现象、数值不稳定等问题，且PDE灵敏度滤波器的实质是具有Neumann边界条件的Helmholtz偏微分方程。针对大规模PDE灵敏度滤波器的求解问题，有限元分析得到其代数方程，分别采用共轭梯度算法、多重网格算法和多重网格预处理共轭梯度算法对代数方程进行求解，并且研究精度、过滤半径以及网格数量对拓扑优化效率的影响。结果表明：与共轭梯度算法和多重网格算法相比，多重网格预处理共轭梯度算法迭代次数最少，运行时间最短，极大地提高了拓扑优化效率。

为了高效、准确地模拟高维多元Cahn-Hilliard (C-H)方程描述的复杂相分离过程，该文发展了一种基于纯无网格改进有限点集法(corrected finite pointset method, CFPM) 和CPU-GPU异构的快速并行算法 (简称为CFPM-GPU)。CFPM-GPU的构造过程为：① 基于Taylor展开和加权最小二乘思想，采用Wendland权函数推导出空间一/二阶导数的有限点集法(finite pointset method, FPM)格式；② 将多元C-H方程中四阶导数分为两个二阶导数，依次运用FPM对其离散得到C-H的改进FPM法(CFPM)；③ 基于CUDA的单个GPU架构，首次给出了CFPM的一种并行算法以提高计算效率。 数值研究中，首先对二维径向或三维球对称C-H方程描述的相分离基准算例进行了求解，并与可靠结果作对比验证了提出的并行算法的准确性和高效性，单个CPU-GPU异构并行计算效率约是串行情况的160倍；其次，运用CFPM-GPU对复杂区域上二维/三维的两相或三相分离现象进行数值预测，并与其他方法结果做比较。数值结果表明，给出的CFPM-GPU能准确、高效地模拟二维/三维复杂区域上的多相分离过程。

针对含源项的双曲守恒方程给出了一种新的有限体积格式。经典的有限体积格式不能正确地模拟对流通量项和外力之间的平衡所产生的动力学问题。为解决这个问题，仿照经典的HLL近似Riemann求解器设计思路设计了含源项的近似Riemann求解器。针对含重力源项的一维流体Euler方程和理想磁流体方程，通过对通量计算格式的修正得到了保平衡HLL格式（WB-HLL），并给出了保平衡的证明。针对一维Euler方程和理想磁流体给出了两个算例，比较了传统HLL格式和提出的WB-HLL格式的计算精度。计算结果表明，WB-HLL格式精度更高，收敛更快。

双曲守恒律方程间断问题的求解是该类方程数值求解问题研究的重点之一。 采用PINN (physics-informed neural networks)求解双曲守恒律方程正问题时需要添加扩散项，但扩散项的系数很难确定，需要通过试算方法来得到，造成很大的计算浪费。 为了捕捉间断并节约计算成本，对方程进行了扩散正则化处理，将正则化方程纳入损失函数中，使用守恒律方程的精确解或参考解作为训练集，学习出扩散系数，进而预测出不同时刻的解。 该算法与PINN求解正问题方法相比，间断解的分辨率得到了提高，且避免了多次试算系数的麻烦。 最后，通过一维和二维数值试验验证了算法的可行性，数值结果表明新算法捕捉间断能力更强、无伪振荡和抹平现象的产生，且所学习出的扩散系数为传统数值求解格式构造提供了依据。